3.4相似三角形的性质第1课时课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形对应高、角平分线、中线的比等于相似比这一核心知识点，通过全等三角形对应线段关系提问及模型房屋架立柱实例导入，以旧知引新知，搭建从全等到相似的学习支架。 其亮点在于通过问题驱动与实例探究，如网格图中用勾股定理计算相似比及对应线段比，培养数学思维（推理能力）和数学眼光（几何直观）。采用探究式教学与表格梳理知识，课堂小结明确性质及对应关系，帮助学生系统掌握，提升综合运用能力，也为教师提供清晰教学流程与丰富资源。

第三章　3.4　相似三角形的性质 第1课时　相似三角形对应高、 角平分线、中线的比 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学习目标 1.熟练掌握三角形中主要线段的性质，掌握相似三角形中对应线段的性质.(重点) 2.能利用相似三角形中对应线段的性质进行计算与证明，并在解题过程中加深对相似三角形的理解，提高综合运用所学知识的能力.(难点) 探究与应用 两个全等三角形的对应高、对应角平分线和对应中线分别相等,那么两个相似三角形的这些对应线段会有怎样的关系呢? 探究 对应线段的比与相似比的关系 问题导入 如图3-4-1,小王依据图纸上的△ABC,以1∶2的比例建造了模型房的屋架△A'B'C',CD和C'D'分别是它们的立柱.如果CD=1.5 cm,那么模型房的屋架立柱有多高?你是怎样想的? 图3-4-1 解:根据已知条件可知△ABC∽△A'B'C',进而得到AC∶A'C'=1∶2,再证明△ACD∽△A'C'D',得到CD∶C'D’= AC∶A'C'=1∶2.因为CD=1.5 cm,所以C'D’= 3 cm.所以模型房的屋架立柱有3 cm高. 问题　(1)如图，△ABC和△A'B'C'在边长为1的网格中的位置如图所示，已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，AE和A'E'分别是△ABC和△A'B'C'的高，则△ABC∽△A'B'C'的相似比是　　　，AD和A'D'的比是　　　，AE和A'E'的比是　　　；  提示　根据勾股定理，得AB==，A'B'==2，AD==，A'D'=2，AE=2，A'E'=4，所以△ABC∽△A'B'C'的相似比是1∶2，AD和A'D'的比是1∶2，AE和A'E'的比是1∶2. (2)利用同样的道理，可以得到△ABC和△A'B'C'对应角平分线的比是　　　　　.  提示　△ABC和△A'B'C'对应角平分线的比为1∶2. (1)如图3-4-2,已知△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比为3,那么这两个三角形的两条中线AD,A'D'有怎样的关系?你还能提出类似的问题吗? 思考交流 图3-4-2 解:(1)AD∶A'D'=3∶1. 提出问题:这两个三角形的角平分线AE, A'E'有怎样的关系?(提出问题不唯一) (2)如果两个三角形相似,那么它们的对应高的比是多少?对应角平分线的比是多少?对应中线的比呢?请说明你的理由. 图3-4-2 解:(2)如果两个三角形相似,那么它们的对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比.可借助三角形相似加以说明.理由略. 知识梳理 相似三角形的性质如表. 定理内容 符号表示 相似三角形对应高的比、对应 的比、对应 的比都等于相似比   如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，线段AD和A'D'，AE和A'E'，AF和A'F'分别是△ABC和△A'B'C'的中线、高、角平分线，那么===k 角平分线 中线 相似三角形的性质定理:相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于　　　　.  概括新知 相似比 例　(课本P85例1)如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E. 当SR=BC时，求DE的长，如果SR=BC呢？ 解　∵SR⊥AD，BC⊥AD， ∴SR∥BC. ∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C. ∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似). ∴=(相似三角形对应高的比等于相似比)， 例　(课本P85例1)如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E. 当SR=BC时，求DE的长，如果SR=BC呢？ 解　即=. 当SR=BC时，得=.解得DE=h. 当SR=BC时，得=，解得DE=h. 如图3-4-3,已知△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比为k;点D,E在BC边上,点D',E'在B'C'边上. (1)若∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'=∠B'A'C',则等于多少? 操作思考 图3-4-3 解:(1)由“两角分别相等的两个三角形相似”,可知△ABD∽△A'B'D',于是==k. (2)若BE=BC,B'E'=B'C',则等于多少? 图3-4-3 解：(2)由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”,可知△ABE∽△A'B'E',于是==k. 反思感悟 对于此类问题，其关键是审题，而审题的重点是两方面的内容，即已知条件与三角形的相似比是什么关系；二是所求线段是否为三角形中的主要线段或能否转化为三角形中的主要线段，若符合上述条件，利用相似三角形的性质即可得到答案. 在相似三角形中,对应线段的比都等于　　　　.  概括新知 相似比 (1)如果两个相似三角形的对应角平分线之比是2∶3,那么它们的对应边之比是　　　　;  (2)如果两个相似三角形的对应边之比为3∶7,其中一个三角形的一边上的中线长为2,那么另一个三角形对应中线的长为　　　　.  应用 　利用对应线段的比等于相似比解决问题 例 1 2∶3 或 跟踪训练　(1)如图，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，AH交DE于点G.已知DE=10，BC=15，AG=12.求GH的值. 解　∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. 又∵AH⊥BC，DE∥BC，∴AH⊥DE， ∴=，即=， ∴AH=18， ∴GH=AH-AG=18-12=6. (2)两个相似三角形的两条对应边的长分别是6 cm和8 cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42 cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？ 解　设其中较短的角平分线的长为x cm， 则另一条角平分线的长为(42-x)cm. 根据题意，得=，解得x=18. 所以42-x=24. 所以这两条角平分线的长分别是18 cm，24 cm. (教材典题)如图3-4-4,AD是△ABC的高,AD=h,点R在AC边上,点S在AB边上,SR⊥AD,垂足为E.当SR=BC时,求DE的长.如果SR=BC呢? 例 2 图3-4-4 解:∵SR⊥AD,BC⊥AD, ∴SR∥BC. ∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C. ∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似). ∴=(相似三角形对应高的比等于相似比), 即=. 当SR=BC时,得=,解得DE=h. 当SR=BC时,得=,解得DE=h. 图3-4-4 课堂小结 相似三角形的性质 在运用相似三角形中对应线段的性质定理时,要注意分清线段的“对应”关系,以及两个相似三角形的顺序. 知 关键 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么它们对应高线的比是 A.2∶3 B.2∶5 C.4∶9 D.8∶27 随堂演练 √ 2.若两个三角形相似，且相似比为1∶3，则这两个三角形对应角平分线的比为 A.1∶ B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9 随堂演练 √ 3.如图3-4-5是一个照相机成像的示意图,如果底片AB宽40 mm,焦距是60 mm,求所拍摄的2 m外的景物的宽CD.   图3-4-5 解:2 m=2000 mm. ∵AB∥CD, ∴∠BAE=∠CDE,∠ABE=∠DCE. ∴△AEB∽△DEC. ∴=, 即=. ∴CD= mm= m. 即所拍摄的2 m外的景物的宽CD为 m. 图3-4-5 $