第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷（基础版）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为人教A版必修一第二章一元二次函数、方程和不等式基础版单元卷，知识覆盖全面，注重基础巩固与数学应用，适配单元复习，助力提升数学思维与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式性质、基本不等式、充分必要条件|基础概念辨析，强化数学推理| |多选题|3/18|含参不等式解集、函数最值判断|多角度考查，培养批判性思维| |填空题|3/15|不等式解集、最值求解、取值范围|聚焦运算能力，提升数学表达| |解答题|5/77|最值应用、不等式求解、实际问题（政府补贴收益）|结合社会热点，体现数学建模，发展应用意识|

第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷（基础版） 【人教A版】 考试范围：必修一第2章；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡规定区域范围内。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．若，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．设，则“”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．下列选项不正确的是（   ） A．当时，的最小值是3 B．已知，则的最大值是 C．当时，的最大值是5 D．设，则的最小值为2 6．下列函数的最值中错误的是（   ） A．已知的最大值是 B．的最大值为5 C．已知的最小值为3 D．的最小值为2 7．若，均为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9．设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．若，则函数的最小值为2 C．函数的定义域是或 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 11．如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．不等式的解集为_____． 13．当时，的最小值是___________． 14．已知，，设，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（1）已知，求的最小值； （2）已知且，求的最大值. 16．（15分）求下列不等式的解集： (1) (2) (3) 17．（15分）已知关于的不等式的解集为或． (1)求，的值； (2)已知，，且，求的最小值． 18．（17分）已知函数. (1)若的解集为，求实数，的值； (2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴.波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本. (1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式； (2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷（基础版） 【人教A版】 考试范围：必修一第2章；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡规定区域范围内。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．若，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特值和不等式的性质可得答案. 【详解】当时，，A不正确； 因为，所以，即，B正确； 当时，满足，但是，C不正确； 当时，满足，但是，D不正确； 故选：B 2．已知，，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，利用均值不等式即可求解. 【详解】由题意得：， 当，即时，等号成立， 故选：D. 3．设，则“”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】记为条件“”，其解集为， 记为条件“”，其解集为， 因为，所以成立，而不成立， 因此，“”是“”的必要不充分条件. 4．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，原不等式化为，显然恒成立； 当时，不等式对一切恒成立，则有 且，即， 解得， 综上可得，. 5．下列选项不正确的是（   ） A．当时，的最小值是3 B．已知，则的最大值是 C．当时，的最大值是5 D．设，则的最小值为2 【答案】D 【分析】根据基本不等式及对勾函数的性质直接可得. 【详解】对于A：当时，， 当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是3，故A正确； 对于B：当，则，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以，即的最大值是，故B正确； 对于C：当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是5，故C正确； 对于D：令，所以， 由对勾函数的性质可知，在单调递增，所以，故D错误. 故选：D. 6．下列函数的最值中错误的是（   ） A．已知的最大值是 B．的最大值为5 C．已知的最小值为3 D．的最小值为2 【答案】D 【分析】利用基本不等式逐项验证即可求解. 【详解】对于A，由，所以，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，所以的最大值为，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，由，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，当，当且仅当，即时，等号成立， 当时，，当且仅当，即时，等号成立，故D错误； 故选：D. 7．若，均为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】通过不等式的性质一一验证其充分性与必要性即可. 【详解】若，则，则或，故充分性不成立； 若，则，故必要性成立； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8．不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，即可求得. 【详解】依题意，不等式等价于，即， 解得，或，所以原不等式的解集为或. 故选： 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9．设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据含参数的一元二次不等式求解方法求解即可. 【详解】当时，原不等式可化为，即，所以， 所以此时不等式的解集为，A正确. 当时，的两根为，. 当时，，此时不等式的解集为，B正确； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为，D正确. 故选：ABD. 10．下列说法正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．若，则函数的最小值为2 C．函数的定义域是或 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】CD 【分析】对于A,C由不等式求解；对于B项应用基本不等式求解；对于D项，由不等式恒成立求解． 【详解】对A，由解得或，故A错误； 对B，利用基本不等式知， 由得，故不等式取不到等号， 所以2不是函数的最小值，故B错误； 对C，由可得：或，故C正确； 对D，①当时，不等式为，恒成立； ②当时，若要使不等式恒成立， 则，解得， 所以当时，不等式恒成立，则的取值范围是，故D正确； 故选：CD 11．如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 【答案】BCD 【分析】根据二次函数的图象的开口、对称轴、零点，知，可判断A，B，由对称性知函数有两个零点，得，，代入不等式，结合求解，即可判断C，D. 【详解】对于A，由图象开口向下，得，故A不正确； 对于B，对称轴为，故对， 即，故B正确； 对于C，图像过点，由对称性得有两个零点， 所以，故，由， ，得，故的解集为，故C正确； 对于D，∵，，由，得 又，，解得， ∴的解集为，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】先将不等式变形为标准形式，求出对应方程的根，再根据根划分区间判断符号，确定解集. 【详解】根据题意，不等式可化为， 解得或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 13．当时，的最小值是___________． 【答案】 【分析】根据题意，得到，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 14．已知，，设，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】利用不等式的性质即可得出答案. 【详解】解：因为，，所以，所以， 即的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（1）已知，求的最小值； （2）已知且，求的最大值. 【答案】（1）7；（2）. 【分析】（1）对所求式子进行变形配凑，结合已知条件，直接利用基本不等式，即可求得结果； （2）方法一，根据已知条件，直接利用基本不等式，即可求得结果.方法二对所有式子变形，再结合基本不等式，求出结果. 【详解】（1）∵，即， ， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为7. （2）方法一： ，即 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为 方法二：且 当且仅当，即时取等号 所以的最大值为 16．（15分）求下列不等式的解集： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用不等式的性质将不等式化为，再利用因式分解法求解即得； （2）利用绝对值的几何意义将不等式化成或，求解即得； （3）先移项通分将不等式化成，再化商为积，即可得解. 【详解】（1）因，故不等式的解集为. （2）或，解得或. 故不等式的解集为. （3）,解得或. 故不等式的解集为. 17．（15分）已知关于的不等式的解集为或． (1)求，的值； (2)已知，，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意可知，的根为，2，利用韦达定理可求，的值； （2）结合（1）可得，则，展开后利用基本不等式可求的最小值． 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为或， 所以，的根为，2， 则即． （2）， ， 当且仅当，即时取得最小值， 所以的最小值为． 18．（17分）已知函数. (1)若的解集为，求实数，的值； (2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集与方程根的关系可求两个未知数； （2）根据恒成立可从开口方向和判别式得出限制条件，从而可求答案. 【详解】（1）因为的解集为， 所以， 解得，经检验知符合题意. （2）当时，显然不合题意； 当时，因为对一切实数恒成立， 所以， 解得. 19．（17分）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴.波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本. (1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式； (2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？ 【答案】(1) (2)当高邮政府的专项补贴为万元时，所获收益最大. 【分析】（1）根据题意列出函数关系式，化简得到； （2）在（1）的基础上，变形后利用基本不等式求出答案. 【详解】（1）， 因为，所以； （2）， 又因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故当高邮政府的专项补贴为万元时，取最大值万元. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $