圆锥曲线重难点二：直线和双曲线的位置关系（8个题型归纳）（原卷版）人教A版2026年新高二数学暑假预习讲义

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【圆锥曲线重难点二：直线和双曲线的位置关系】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．直线与双曲线的位置关系 将与联立消去y得一元方程. 的取值 位置关系 交点个数 且时 相交 只有_一个__交点 且 有_两个__交点 且 相切 只有_一个_交点 且 相离 _没有__公共点 2．弦长公式：已知直线与双曲线交于两点，则_________ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：直线与双曲线位置关系的判断】 【练方法】 公式结论 1.双曲线标准方程 直线设为 联立消元得到整式方程 2.二次项系数时方程为一元二次方程 直线与双曲线交于两个点 直线与双曲线相切仅有一个公共点 直线与双曲线无交点 3.二次项系数时方程退化为一次方程 直线与双曲线渐近线平行仅有一个交点（相交而非相切） 方法技巧 1.联立方程后优先核验二次项系数是否为0区分渐近线平行的单点相交与相切 2.斜率不存在的竖直线直接将横坐标代入双曲线方程依据解的数量判定位置关系 3.双曲线存在“一个公共点≠相切”的特殊情况不可仅凭交点个数判定相切 （26-27高三·全国·一轮复习）过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，这样的直线有（    ）经典例题1例题 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，分两类讨论：平行于渐近线的直线，和与双曲线相切的直线，再统计总数． 【详解】解：双曲线方程为，点在双曲线的两支之间（代入得，无实数解，说明轴与双曲线无交点） 过该点作直线与双曲线仅有一个公共点的情况如下： 双曲线的渐近线方程为 过点 作平行于这两条渐近线的直线，即 和 这两条直线分别与双曲线的一支交于一点，共有2条 由于点在双曲线两支之间，过该点可以向双曲线的两支各作一条切线，共有2条 综上，满足条件的直线共有 4 条． 故选：D. （2026·山东临沂·二模）（多选）已知曲线与直线只有一个公共点，则m，n可能的取值为（   ）小试牛刀1 A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据各选项的条件联立曲线和直线方程，结合判别式判断根的个数，即可确定. 【详解】A选项，，时，联立与得 ，解得，故与只有一个公共点，满足要求； B选项，，时，联立与得 ，解得，故与只有一个公共点，满足要求； C选项，，时，联立与得 ，，故有两个不相等的实根， 即与有两个公共点，C错误； D选项，，时，联立与得 ，，故有两个相等的实根， 即与只有一个公共点，D正确. 双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为____________________.小试牛刀2 【答案】0或1 【分析】根据双曲线的图像性质，以及渐近线来分析即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，    所以当时，直线l：与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线l与渐近线平行，此时直线l与双曲线有一个交点． 故答案为：0或1. （24-25高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线.小试牛刀3 (1)若双曲线的离心率为，求的值； (2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 【答案】(1)由题意可得，因为， (2)证明如下： 因为直线与圆相切，所以，可得， 联立得，即， 则，所以方程有两个不等的实根， 设这两个实根分别为、，则， 因此，直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 【题型2：由直线与双曲线交点个数求参数】 【练方法】 公式结论 1.两个交点：且 2.相切（单个公共点）：且 3.渐近线平行式单点相交： 4.无交点：且 方法技巧 1.联立得到含参整式方程分与两类情况列式求解参数 2.题干写明“两个交点”必须同时满足二次项不为零+判别式大于零两个条件 3.求解参数范围后划分区间检验边界取值是否符合题意 直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有______条．经典例题1例题 【答案】4 【分析】结合图形，将直线分成斜率不存在和存在两种情况考虑，在斜率存在时，再考虑所得方程的二次项系数为0的情况，最后结合根的判别式为0考虑相切的情况即得. 【详解】 当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时直线恰只经过双曲线的右顶点，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入双曲线方程， 整理得：， 当时，即时，代入方程解得或， 即直线与双曲线只有1个交点为； 直线与双曲线只有1个交点为，均符合题意； 当时，由，解得， 此时直线与双曲线相切于点，符合题意. 综上，过点与双曲线有且只有一个交点的直线共有4条. 故答案为：4. 直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有______条．小试牛刀1 【答案】2 【分析】结合双曲线的顶点和渐近线及点位置，画出对应图形即可得. 【详解】由双曲线方程知：右顶点为，渐近线为，点在双曲线的外部， 如下图所示，    所以，过点的直线与渐近线平行与双曲线有且只有一个交点. 故共有两条直线满足要求. 故答案为：2 （25-26高二下·上海·期中）如果直线与双曲线有两个不同的交点，那么斜率k的取值范围是______.小试牛刀2 【答案】 【分析】联立直线与双曲线方程，得到关于的方程，通过分析方程得判别式确定交点个数，进而求出的取值范围. 【详解】联立直线与双曲线方程，整理可得， 直线与双曲线有两个不同的交点，所以， 解得且，所以斜率k的取值范围是 （2026·北京石景山·二模）设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______．小试牛刀3 【答案】1（只要满足即可，答案不唯一） 【分析】根据题意可知，只需比较直线的斜率与渐近线的斜率即可. 【详解】双曲线C：的一条渐近线的斜率为， 若直线与双曲线C无公共点，只需. 故b的一个取值可以为，（只要满足即可，答案不唯一）. 【题型3：求双曲线的弦长】 【练方法】 公式结论 1.斜率存在时弦长公式 等价变形 为联立方程两根为一元二次方程判别式 2.斜率不存在时 3.韦达定理 方法技巧 1.计算弦长只需借助韦达整体代换不需要求解两根具体数值 2.计算前确认且保证弦真实存在 3.计算根式部分先化简判别式再代入求值减少计算失误 （2026高三·全国·专题练习）两条渐近线为，的双曲线，则被直线截得弦长为，双曲线方程为__________．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据渐近线方程设出双曲线方程，与直线方程联立，结合弦长公式及韦达定理求解即可. 【详解】已知两条渐近线为，，即. 可设双曲线的方程为 . 联立，整理得. ，则. 设方程的两根为，，则，， 代入弦长公式得， 即，，解得. 故双曲线方程为，即. （25-26高二上·四川达州·阶段检测）过双曲线的左顶点作倾斜角为的直线与交于另一点，则___________．小试牛刀1 【答案】 【分析】求出直线的方程后，联立双曲线方程，计算可得点坐标，再利用两点间距离公式计算即可得解. 【详解】双曲线的左顶点为，则， 联立，消去可得， 则或，由，故，则， 故. 故答案为：. 过双曲线右焦点的直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有______条．小试牛刀2 【答案】4 【分析】根据题意，分直线斜率不存在与存在时，设，，联立得，利用弦长公式得到，再根据方程求解即可. 【详解】由题知双曲线右焦点， 当直线斜率不存在时，，此时，不符合题意； 当直线斜率存在时，设，， ， ， ， 则或， 综上，这样的直线有4条. 故答案为：4. （24-25高二下·广西南宁·阶段检测）焦点在轴上的双曲线，它的实轴长为4，虚轴长为.那么过焦点且弦长为4的直线有__________条.小试牛刀3 【答案】5 【分析】先验证直线斜率不存在时是否符合题意，然后斜率存在时，设出直线，与双曲线联立，利用韦达定理和弦长公式计算求出满足条件的直线方程，最后根据双曲线的对称性解题. 【详解】因为实轴长为，虚轴长为，所以， 双曲线为，右焦点 设直线与双曲线交于， 当直线斜率不存在时，直线方程的方程为， 令，则，得，此时弦长为，不符合题目； 当直线斜率存在时，设直线方程为 联立，可得， ， 解得且 ， 解得或，过右焦点共有3条直线符合条件； 所以根据对称性可知过左焦点与相交所得弦长为4的直线有条. 综上，总共有5条直线符合条件 故答案为：5. 【题型4：求双曲线的通径】 【练方法】 公式结论 1.焦点在x轴双曲线 通径所在直线 通径长度 2.焦点在y轴双曲线 通径所在直线 通径长度 3.通径定义：过焦点且垂直于实轴的焦点弦是同支焦点弦里长度最小值 方法技巧 1.直接套用固定长度公式无需每次联立直线与双曲线计算弦长 2.双曲线两支上的焦点弦没有固定最小值只有单支焦点弦最小值为通径 3.区分焦点坐标轴只改变通径所在直线长度计算公式保持统一 （25-26高二上·天津河东·阶段检测）双曲线 的焦距为8，通径长为，则_________.经典例题1例题 【答案】/ 【分析】根据双曲线的概念及性质列等式计算即可. 【详解】由题意知，，，又， 整理得，解得或（舍去）. 故答案为：. （2023·河南开封·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，垂直于轴的直线经过且与双曲线交于、两点，若，则__________.小试牛刀1 【答案】 【分析】将双曲线方程化为标准式，求出、、，令求出，即可求出、坐标，由求出，再利用余弦定理计算可得. 【详解】双曲线即，所以，，， 令，解得，如图不妨令，， 所以，解得， 则，，， 所以， 所以. 故答案为： 已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率是_________．小试牛刀2 【答案】/ 【分析】利用双曲线通径长和与渐近线交点情况可得,,由和关系可求得，，由此可求得离心率． 【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：， 直线 为双曲线的通径，则 由得，则， 由得，则 由得： 即 所以， 所以离心率 故答案为： 已知F1（－5，0），F2（5，0）是双曲线C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=，则C的方程为________.小试牛刀3 【答案】 【分析】由题意， 设双曲线，然后根据题意列出关于的方程组，求出，从而可求出C的方程. 【详解】由题意， 设双曲线， 根据题意得，解得 因此，所求的双曲线方程为. 故答案为： 【题型5：与双曲线有关的中点弦（点差法）】 【练方法】 公式结论 1.设双曲线上两点弦中点 两式作差化简得 为弦的直线斜率为中点与原点连线斜率 2.中点坐标恒式 方法技巧 1.已知中点求解弦直线方程优先使用点差法计算效率高于联立判别式法 2.点差法求出直线方程后必须联立双曲线验证双曲线极易出现虚假中点弦 3.平行弦的中点轨迹可依靠该二级结论快速推导解析式 （2026高三·全国·专题练习）已知双曲线经过点，其渐近线方程为．经典例题1例题 (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【答案】(1)（1）双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为 . (2)假设是线段 的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段 的中点，， 代入上式，可得，即此时直线 的斜率为， 于是直线 的方程为，即 . 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段 的中点. （25-26高二上·上海·期末）已知斜率为2的直线交双曲线于两点，线段的中点为，直线的斜率等于__________.小试牛刀1 【答案】/0.5 【分析】利用点差法即可求得答案. 【详解】依题意，设，直线的斜率分别为， 则，两式相减，整理得， 因是线段的中点，则， 代入上式整理得：， 依题意，，则得， 即，因，则. 故答案为：. （25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）过点的直线与双曲线相交于两点，若点是线段的中点，则直线的方程为______.小试牛刀2 【答案】 【分析】利用点差法可求出直线的斜率，再利用点斜式可得答案. 【详解】设 ， 在双曲线 上， 且 为 的中点, 则. 由， 两式相减并整理得 ， 代入 ，， 得： 化简得：， 即， 又因为直线过点， 故直线方程为 故答案为：. 已知A，B为双曲线上的两点，且A，B关于直线对称，则线段AB中点的坐标为______．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据题意，设线段AB的中点为，利用点差法即可得到直线OM的方程，再与直线联立即可得到中点坐标. 【详解】由题意可知直线的斜率，可知直线AB的斜率． 设，线段AB的中点为，则， 可得，． 因为A，B为双曲线上的两点， 所以，两式相减整理得，， 即，解得，所以直线， 因为线段AB的中点在直线上，又在直线OM上，故两直线交点即为中点， 联立，解得，可知线段AB中点的坐标为． 故答案为：. 【题型6：中点弦的应用】 【练方法】 公式结论 1.中点弦核心关系式 2.定点平分弦问题定点即为弦中点直接代入关系式求解直线斜率 3.一组平行弦的中点轨迹为过原点的定直线 方法技巧 1.遇见平分弦弦中点轨迹平行弦中点集合类题型直接使用点差推导的二级结论 2.解出直线后核验直线与双曲线存在两个交点排除无解情况 3.轨迹方程需要结合中点的取值范围划定轨迹的有效线段区间 （24-25高二上·江西南昌·阶段检测）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令的中点为E，设，利用点差法得到，设直线，求出M、N的坐标，再根据求出k、m，即可得解. 【详解】令的中点为E，因为，所以， 设，，则， 两式相减得，， 所以，则， 设直线， 令得，令得，即， 所以，即，解得或（舍去）， 又，即，解得或（舍去）， 所以直线，即. 故选：A. （25-26高二上·重庆·期中）已知直线l过双曲线C：的左焦点F，与C的左、右两支分别交于A、B两点，且P为线段中点，设O为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程求得左焦点，设，利用点差法，求得点的坐标满足；由是以为底边的等腰三角形，得，得到点的坐标满足，两式联立，求出中点坐标.由，即可求出直线的斜率. 【详解】由题可知，，则，则得. 设直线的方程为，依题意设， 则，， 由，两式相减整理得， 化简得，即（*）. 依题意，，即得（**）， 代入（*），可得，化简得. 解得（舍去），或，将其代入（**），解得. 所以. 故选：C. （25-26高三上·山东聊城·开学考试）已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为____，直线MN的方程为____.小试牛刀2 【答案】 【分析】设，，由F为的重心，得，，可求MN的中点坐标；点差法求出直线MN的斜率，得直线方程. 【详解】由题知，，设M点的坐标为，N点的坐标为， 因为F为的重心，所以， ， 即，， 所以MN的中点坐标为； 因为M，N是双曲线C右支上的两点，所以， 两式相减并化简得， 所以直线MN的方程为，即. 故答案为：； （25-26高三上·湖北襄阳·开学考试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与C交于A，B两点，若（e为C的离心率），O为坐标原点，G为的重心，则斜率的最小值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得直线的斜率，的中点为M，利用点差法可得，再得到斜率，利用基本不等式求最值即可. 【详解】，则， 所以直线AB的斜率为． 设，，的中点为M，则点G在直线OM上， 则，，两式作差， 得，即， 则， 当且仅当时等号成立，所以直线的斜率的最小值为． 故选：B. 【题型7：求双曲线中的三角形与四边形面积】 【练方法】 1.以弦AB为底边定点为顶点的三角形面积 为点到直线$AB$的距离 2.焦点三角形面积 3.四边形面积可拆分为两个三角形面积相加求解 方法技巧 1.通用计算步骤为先算弦长再算点到直线距离代入基础面积公式运算 2.顶点为双曲线两个焦点时直接使用焦点三角形面积秒杀公式 3.过原点的相交弦构成的四边形可利用中心对称简化面积计算 （26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知双曲线：，斜率为2的动直线与双曲线交于，两点，点是，的中点.经典例题1例题 (1)证明：点在直线上； (2)若点，为坐标原点，试求此时三角形的面积. 【答案】(1)设，，， 因为点，在双曲线上， 则， 即：，. ∴点在直线上，得证. (2) 【分析】（1）根据点差法即可求解； （2）先求出直线方程，与双曲线联立，然后根据弦长公式求出，根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，最后由面积公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）直线的方程是l：， 与双曲线方程联立得：， 所以，. ， 点到直线的距离， 所以.    （25-26高二下·云南玉溪·期末）已知，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上的一点．小试牛刀1 (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线，交双曲线的左、右两支于，两点（异于，）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，其中为坐标原点，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）或 【分析】（1）应用点在双曲线上列式计算求解双曲线方程； （2）（ⅰ）先设直线再联立结合根与系数关系及判别式列式计算求解；（ⅱ）应用面积及几何特征列式计算求解. 【详解】（1）因为是C上一点，所以，解得， 所以双曲线的方程为． （2）（ⅰ）由题意知，直线的方程为，设，， 联立，化简得， 因为直线与双曲线左右两支相交，所以，所以， 解得或，所以的取值范围为． （ⅱ）由图易知，， 则 ， 所以，解得或． 由（ⅰ）知，得，直线的方程为， 即或． （25-26高二下·重庆渝中·期末）已知点，点满足直线和直线的斜率之积为.点的轨迹为曲线.小试牛刀2 (1)求的方程； (2)设是坐标原点，是上位于第一象限内的一点，点，射线交于点，射线交于点，若和的面积之差为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用斜率公式计算即可得； （2）由题意可设，，联立直线与双曲线方程，可得与交点纵坐标有关的韦达定理，再利用面积公式表示出和的面积之差，计算即可得的值，即可得解. 【详解】（1）设，则，整理得， 即的方程为； （2）由题意可得直线斜率存在且小于， 可设，，则， 联立，消去得， 则，， 由，， 故， 由，故， 整理得，故， 由，故，即直线的方程为. （2026·福建厦门·模拟预测）已知定直线l：，点M在l右侧，且M到的距离与到l的距离之比为2，记其轨迹为曲线.小试牛刀3 (1)求的方程； (2)过F与x轴垂直的直线交于A，C两点，过F的直线交于B，D两点.若四边形ABCD的面积为，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据题意可得，化简可得曲线的方程； （2）设直线的方程为，，与双曲线方程联立，结合根与系数的关系可得，进而可得，结合题意求解即可. 【详解】（1）设， 因为M到的距离与到l的距离之比为2，所以， 两边平方可得，所以， 所以，所以， 所以的方程为； （2）由题意可知的方程为，代入的方程可得， 由题意的斜率存在，所以设直线的方程为， 联立，可得， 设，所以， 所以或， 所以 ， 因为为的中点，所以，所以， 所以，整理得，解得（舍去）或， 所以，所以的方程. 【题型8：双曲线中的三角形四边形面积最值与范围】 【练方法】 公式结论 1.联立直线与双曲线后将面积表达式化简为单变量（或）函数 2.结合函数单调性二次函数最值均值不等式求解最值 3.约束条件恒为且 方法技巧 1.统一将面积式子化简为单一变量的函数形式规避多变量复杂运算 2.求解最值时同步标注变量的取值范围（由得到） 3.面积范围结合函数值域对应写出上下界标注能否取到边界数值 （2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线与直线()有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于、 两点.当点运动时，点的轨迹为曲线.经典例题1例题 (1)求曲线的方程； (2)设点 ，若过点的直线与曲线的右支交于、两点. （ⅰ）证明：直线和直线的斜率乘积为定值； （ⅱ）若直线、与圆分别交于、两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）依题意，直线的斜率必不为0，可设其方程为，， 联立，消元得， 则由，解得 由韦达定理，， 则， 为定值； （ii） 【分析】（1）联立双曲线方程和直线可利用根的判别式，整理得，得到，所以过点P且与直线l垂直的直线为，可得，所以即可求解； （2）（i）设直线方程为，，，联立方程，由韦达定理，，则为定值；（ii）设，，且，，联立方程得到，，，所以由（ⅰ）知，，则，代入得，所以. 【详解】（1）联立，消元得 因为，由，整理得， 因此，， 所以，其中 过点P且与直线l垂直的直线为， 可得，，依题意可得 由，，可得， 即点Q的轨迹方程为 （2）（ⅰ）略 （ⅱ）设，，且， 联立，得，所以，同理可得 联立得，所以，同理可得 所以 由（ⅰ）知，，则， 代入得 因为，所以，设， 因函数在上单调递减，在上单调递增，故， 则，从而，，即 又因为， 所以的取值范围为. （25-26高二下·河南濮阳·期末）已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点.小试牛刀1 (1)求的方程. (2)过的右焦点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交直线于点，. （i）证明：； （ii）求的面积的最小值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）由（1）知，， 设，，直线， 代入，整理得， ，且，得， ，， ∴直线，， ∴直线，， ，， ， . （ⅱ） 【分析】（1）由双曲线上的点和离心率，求出得双曲线的方程； （2）（i）设直线，代入双曲线方程，利用韦达定理证明即可； （ⅱ）利用面积公式结合韦达定理把表示成的函数，通过解析式判断最小值. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为. 由题知，，，， 的方程为. （2）（i）略 （ii） ， 其中， ， ， ∴当时，. （26-27高二下·江西·阶段检测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线的右支上，直线交轴于点（点在点的右侧）．小试牛刀2 (1)若点，且，求点的坐标； (2)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由点及可得，从而利用三角形外角关系可得直线的斜率，与双曲线方程联立求解即可. （2）设直线，，，，与双曲线方程联立得交点坐标关系，由重心可得，根据点线关系即可得的范围，再结合三角形面积关系得与的关系，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1） 双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即， 所以，整理得，解得，，即， 则，所以点的坐标为. （2） 设直线，，，， 联立，整理得， 依题意，，， 则，， 因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而， 因点在轴上方，则可得， 因点为的重心，易得， ， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. （2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线C：（，）过点，且的渐近线方程为.小试牛刀3 (1)求的方程； (2)记双曲线的左右顶点为，，过右焦点的直线与双曲线的右支交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求的值； (3)过原点且相互垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧，求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）因为渐近线方程为，所以可得​，再将点代入双曲线方程，联立即可求解，得到双曲线方程； （2）先求出 的坐标，设过的直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到坐标的关系，再写出的表达式，代入坐标关系化简即可求得比值； （3）设的斜率为，则​的斜率为​，分别将两条直线方程与双曲线联立，求出弦长和，根据四边形面积公式 得到关于的表达式，结合双曲线的交点限制和函数性质求解取值范围. 【详解】（1）已知双曲线（）的渐近线方程为， 因此，即. 双曲线过点 ，代入方程得： ， 将代入： ， 解得，则 . 因此双曲线的方程为 （2） 由（1）知双曲线的左右顶点为，，右焦点. 设过的直线方程为，，. 联立，消去得直线与右支交于两点， 由韦达定理得，而,故， 斜率，，则 将和代入， 化简得： ， 故. （3） 设直线（），则. 联立与双曲线：需， 则， ， 故. 同理，联立与双曲线需， 则. 四边形的面积， 代入得 , 不妨设，则, 令，则 ，设 ， 因为，所以，所以，故. 因此四边形面积的取值范围为. 课后过关检测 一、单选题 1．（2025·湖南邵阳·三模）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，求，即可求双曲线的渐近线方程. 【详解】设，， 则，两式相减得， ，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C 2．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与双曲线方程，结合韦达定理即可求解. 【详解】设直线与双曲线的右支有两个不同的交点， 联立，消去得， 所以，解得， 故k的取值范围是. 故选：A. 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线与双曲线有两个不同的交点转化为方程有两个不同的根，再用一元二次方程根的判别式解得. 【详解】将直线代入双曲线中，整理得， 因为直线与双曲线交于不同的两点， 所以,，解得， 所以斜率的取值范围是. 故选：C. 二、填空题 4．设双曲线的动弦所在直线的斜率为中点为，则______． 【答案】 【分析】设，证明即可求解. 【详解】设， 已知，则， 两式相减得， 故，即， 即． 故答案为：. 5．（25-26高二上·北京·期末）已知双曲线与直线没有公共点，则符合题意的一个的值为______． 【答案】(答案不唯一) 【分析】联立双曲线和直线，然后方程无实数解. 【详解】联立和方程， ， ， 易知，即时，双曲线和直线无交点. 所以解得，(时) 要使方程无实数解，需满足， 即，即， 同时，原方程是双曲线，所以， 综上，. 一个符合题意的值：可取， 故答案为：(答案不唯一) 6．（25-26高二上·浙江·期末）已知双曲线，过点有且仅有2条直线与双曲线有1个公共点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意，得到满足或点在双曲线的渐近线上，结合不等式的解法，即可求解. 【详解】由双曲线，可得其渐近线方程为， 因为过点有且仅有2条直线与双曲线有1个公共点， 则满足或点在双曲线的渐近线上， 由，可得，解得或， 由点在双曲线的渐近线上，可得，解得或， 综上可得，实数的取值范围是． 故答案为：． 7．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知直线与双曲线的左右两支各交于一点，则b的取值范围为________． 【答案】 【详解】由题意直线过点且双曲线的右顶点为， 又双曲线的渐近线方程为， 因此由题意，解得， 所以b的取值范围为. 8．（23-24高三下·浙江宁波·阶段检测）已知双曲线，斜率为的直线与的左右两支分别交于两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则的离心率为__________. 【答案】 【分析】设，线段AB的中点，代入双曲线的方程中可得，两式相减得，可得①，设，线段CD的中点，同理得②，由，得 三点共线， 从而求得，由此可求得双曲线的离心率. 【详解】 设，线段AB的中点， 则，两式相减得， 所以①， 设，线段CD的中点，同理得②， 因为，所以，则三点共线， 所以，将①②代入得：， 即， 所以，即， 所以， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查了双曲线离心率的求解，难度较大，解答本题的关键在于结合点差法表示出点的坐标，从而得到的关系式，即可求解. 9．（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为､，若的斜率之和为，则___________. 【答案】 【分析】设，利用点差法可得，同理有，结合条件即可求得答案. 【详解】设，则， ，，两式相减，得， 即，即， 同理可求得， 而的斜率之和为， 所以 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题运用点差法，这是解决圆锥曲线中弦中点与直线斜率关系问题的常用方法.通过设出弦的端点坐标，代入曲线方程作差，可巧妙地建立起弦的斜率与中点坐标所确定直线斜率的关系. 10．（25-26高三上·河南·期中）已知双曲线，斜率为的直线交于、两点，为上异于、的点，且．直线、均不过坐标原点．设与的重心分别为、，的外心为，直线、、的倾斜角分别为、、．若，则的离心率为______． 【答案】 【分析】设点的坐标，得到重心的坐标，得到、、的斜率，根据点差法结合已知条件可求出的值，由此可得出该双曲线的离心率为的值. 【详解】设、、， 因为、、都在双曲线上， 所以①，②，③， 与的重心分别、 ， 直线、的斜率分别为： ，， 所以，， 的外心为是三角形三边重直平分线的交点， 因为，所以是直角三角形，其外心是三角形斜边的中点， 所以，直线的斜率为， 所以， ①②得，所以，即， 同理可得，， 由题意可知，， 所以，所以， 所以该双曲线的离心率为. 故答案为：. 三、解答题 11．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知双曲线E的标准方程为：，左右焦点分别是､，到双曲线渐近线的距离是1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若斜率为1的直线过点与双曲线E交于A､B两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点到直线的距离公式可得，代入可得双曲线的标准方程； （2）由弦长公式可得，由三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）设 ，由已知得：， 双曲线E的渐近线方程为：，即 设到双曲线渐近线的距离是1. 由点到直线的距离公式得： 所以双曲线的标准方程为； （2）设， 由（1）及题设知：， 所以直线方程为：， ，消得： ， ， ， 又因为， ， 即的面积为. 12．（24-25高二上·陕西·期中）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为2.记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若，是曲线上两点，试判断点能否成为线段的中点，如果可以，求出直线的方程；如果不可以，请说明理由. 【答案】(1)（且） (2)不可以，理由：设在曲线上（），且中点为， 则（且）， 所以， 所以直线为即，， 联立，整理得，，解得或，但这与且矛盾， 故不符合题意； 设在曲线上（），且中点为， 但根据双曲线的对称性可知，中点应该为，这与中点为，矛盾； 综上所述，不存在满足题意的直线的方程. 【分析】（1）由斜率公式化简即可得解； （2）设在曲线上，且中点为，分是否相等两种情况讨论即可，注意用点差法求得斜率后，还应该检验是否和顶点重合，由此即可得解. 【详解】（1）由题意，显然且， 所以的方程为（且）； （2）略 13．已知双曲线的右焦点为，直线与的右支交于两点.若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】 【分析】设，根据题意利用点差法可得直线的斜率，即可得方程，注意检验. 【详解】设，则，直线的斜率， 因为在椭圆上，则，两式相减得， 整理可得，即， 可得直线的方程为，即，经检验符合题意， 所以直线的方程为，即. 14．（25-26高二上·上海松江·期末）已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率和实轴即可联立方程求解， （2）联立直线与双曲线方程，得韦达定理，即可根据弦长公式求解. 【详解】（1）由题意可得，解得，， 故双曲线的方程为； （2）联立，则， 设, 则，， 故弦长为， 解得. 15．（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程得到与的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，联立求解出，的值，进而求出的值，得到焦距； （2）先求出直线的方程，然后联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出即可. 【详解】（1）由题意得： ， 又，可得， ，则双曲线的焦距为． （2）双曲线的方程为， 右焦点坐标为， 设直线的斜率为． 直线的方程为：， 联立，整理得， 因 设，则 ． 16．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的左顶点为，斜率不为0的直线l过点．当直线l的斜率为2时，直线l与双曲线C恰有一个交点，求双曲线C的标准方程． 【答案】 【分析】由题意确定双曲线的一条渐近线斜率为2，列式求解即可. 【详解】由题意知，斜率为2的直线与双曲线的一条渐近线平行， 则 . 所以双曲线C的标准方程为. 17．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，点在C上. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过的直线交双曲线C于M，N两点（M，N两点均位于x轴下方，M在左，N在右），线段AM与线段交于点R，若的面积等于的面积，求直线MN的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）方法1：根据焦距和点在双曲线上列方程组求解即可； 方法2：利用双曲线定义求得，再利用及求解即可； （2）设过的直线为，由得点和点到直线的距离相等，利用点到直线距离公式列式求解即可. 【详解】（1）方法1：根据题意，得，解得，所以双曲线C的标准方程为； 方法2：根据题意知， ，则，     双曲线C的标准方程为； （2）由题知直线斜率不为0，设过的直线为，     因为，所以， 即点和点到直线的距离相等， 则有，解得（舍），     则直线MN的方程为.    18．（2026高三·全国·专题练习）如图，为双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上．设的平分线与轴、轴分别交于点和点，且当时，． (1)当时，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，设过点的直线与双曲线交于两点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）延长与交于点，当时，，且为中点，结合双曲线定义，以及角平分线的性质，根据题意即可求得结果； （2）根据题意表示出直线的方程，结合韦达定理表示出三角形面积并直接求出范围即可. 【详解】（1）延长与交于点． 当时，，且为中点， 所以， 则，所以双曲线的方程为：， 则， 即， 由点在的平分线上知， 由， 且点在双曲线右支，即，可得， 则， 且， 故由，得. （2）由（1）知， 令，则， 故点．则， 与双曲线方程联立消去得：．， 设，则， 所以， 因为，令，所以， 此式子随着的增大而增大， 所以得，当且仅当时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【圆锥曲线重难点二：直线和双曲线的位置关系】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．直线与双曲线的位置关系 将与联立消去y得一元方程. 的取值 位置关系 交点个数 且时 相交 只有_一个__交点 且 有_两个__交点 且 相切 只有_一个_交点 且 相离 _没有__公共点 2．弦长公式：已知直线与双曲线交于两点，则_________ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：直线与双曲线位置关系的判断】 【练方法】 公式结论 1.双曲线标准方程 直线设为 联立消元得到整式方程 2.二次项系数时方程为一元二次方程 直线与双曲线交于两个点 直线与双曲线相切仅有一个公共点 直线与双曲线无交点 3.二次项系数时方程退化为一次方程 直线与双曲线渐近线平行仅有一个交点（相交而非相切） 方法技巧 1.联立方程后优先核验二次项系数是否为0区分渐近线平行的单点相交与相切 2.斜率不存在的竖直线直接将横坐标代入双曲线方程依据解的数量判定位置关系 3.双曲线存在“一个公共点≠相切”的特殊情况不可仅凭交点个数判定相切 （26-27高三·全国·一轮复习）过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，这样的直线有（    ）经典例题1例题 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 （2026·山东临沂·二模）（多选）已知曲线与直线只有一个公共点，则m，n可能的取值为（   ）小试牛刀1 A．， B．， C．， D．， 双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为____________________.小试牛刀2 （24-25高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线.小试牛刀3 (1)若双曲线的离心率为，求的值； (2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 【题型2：由直线与双曲线交点个数求参数】 【练方法】 公式结论 1.两个交点：且 2.相切（单个公共点）：且 3.渐近线平行式单点相交： 4.无交点：且 方法技巧 1.联立得到含参整式方程分与两类情况列式求解参数 2.题干写明“两个交点”必须同时满足二次项不为零+判别式大于零两个条件 3.求解参数范围后划分区间检验边界取值是否符合题意 直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有______条．经典例题1例题 直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有______条．小试牛刀1 （25-26高二下·上海·期中）如果直线与双曲线有两个不同的交点，那么斜率k的取值范围是______.小试牛刀2 （2026·北京石景山·二模）设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______．小试牛刀3 【题型3：求双曲线的弦长】 【练方法】 公式结论 1.斜率存在时弦长公式 等价变形 为联立方程两根为一元二次方程判别式 2.斜率不存在时 3.韦达定理 方法技巧 1.计算弦长只需借助韦达整体代换不需要求解两根具体数值 2.计算前确认且保证弦真实存在 3.计算根式部分先化简判别式再代入求值减少计算失误 （2026高三·全国·专题练习）两条渐近线为，的双曲线，则被直线截得弦长为，双曲线方程为__________．经典例题1例题 （25-26高二上·四川达州·阶段检测）过双曲线的左顶点作倾斜角为的直线与交于另一点，则___________．小试牛刀1 过双曲线右焦点的直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有______条．小试牛刀2 （24-25高二下·广西南宁·阶段检测）焦点在轴上的双曲线，它的实轴长为4，虚轴长为.那么过焦点且弦长为4的直线有__________条.小试牛刀3 【题型4：求双曲线的通径】 【练方法】 公式结论 1.焦点在x轴双曲线 通径所在直线 通径长度 2.焦点在y轴双曲线 通径所在直线 通径长度 3.通径定义：过焦点且垂直于实轴的焦点弦是同支焦点弦里长度最小值 方法技巧 1.直接套用固定长度公式无需每次联立直线与双曲线计算弦长 2.双曲线两支上的焦点弦没有固定最小值只有单支焦点弦最小值为通径 3.区分焦点坐标轴只改变通径所在直线长度计算公式保持统一 （25-26高二上·天津河东·阶段检测）双曲线 的焦距为8，通径长为，则_________.经典例题1例题 （2023·河南开封·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，垂直于轴的直线经过且与双曲线交于、两点，若，则__________.小试牛刀1 已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率是_________．小试牛刀2 已知F1（－5，0），F2（5，0）是双曲线C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=，则C的方程为________.小试牛刀3 【题型5：与双曲线有关的中点弦（点差法）】 【练方法】 公式结论 1.设双曲线上两点弦中点 两式作差化简得 为弦的直线斜率为中点与原点连线斜率 2.中点坐标恒式 方法技巧 1.已知中点求解弦直线方程优先使用点差法计算效率高于联立判别式法 2.点差法求出直线方程后必须联立双曲线验证双曲线极易出现虚假中点弦 3.平行弦的中点轨迹可依靠该二级结论快速推导解析式 （2026高三·全国·专题练习）已知双曲线经过点，其渐近线方程为．经典例题1例题 (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． （25-26高二上·上海·期末）已知斜率为2的直线交双曲线于两点，线段的中点为，直线的斜率等于__________.小试牛刀1 （25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）过点的直线与双曲线相交于两点，若点是线段的中点，则直线的方程为______.小试牛刀2 已知A，B为双曲线上的两点，且A，B关于直线对称，则线段AB中点的坐标为______．小试牛刀3 【题型6：中点弦的应用】 【练方法】 公式结论 1.中点弦核心关系式 2.定点平分弦问题定点即为弦中点直接代入关系式求解直线斜率 3.一组平行弦的中点轨迹为过原点的定直线 方法技巧 1.遇见平分弦弦中点轨迹平行弦中点集合类题型直接使用点差推导的二级结论 2.解出直线后核验直线与双曲线存在两个交点排除无解情况 3.轨迹方程需要结合中点的取值范围划定轨迹的有效线段区间 （24-25高二上·江西南昌·阶段检测）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·重庆·期中）已知直线l过双曲线C：的左焦点F，与C的左、右两支分别交于A、B两点，且P为线段中点，设O为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·山东聊城·开学考试）已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为____，直线MN的方程为____.小试牛刀2 （25-26高三上·湖北襄阳·开学考试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与C交于A，B两点，若（e为C的离心率），O为坐标原点，G为的重心，则斜率的最小值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：求双曲线中的三角形与四边形面积】 【练方法】 1.以弦AB为底边定点为顶点的三角形面积 为点到直线$AB$的距离 2.焦点三角形面积 3.四边形面积可拆分为两个三角形面积相加求解 方法技巧 1.通用计算步骤为先算弦长再算点到直线距离代入基础面积公式运算 2.顶点为双曲线两个焦点时直接使用焦点三角形面积秒杀公式 3.过原点的相交弦构成的四边形可利用中心对称简化面积计算 （26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知双曲线：，斜率为2的动直线与双曲线交于，两点，点是，的中点.经典例题1例题 (1)证明：点在直线上； (2)若点，为坐标原点，试求此时三角形的面积. （25-26高二下·云南玉溪·期末）已知，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上的一点．小试牛刀1 (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线，交双曲线的左、右两支于，两点（异于，）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，其中为坐标原点，求直线的方程． （25-26高二下·重庆渝中·期末）已知点，点满足直线和直线的斜率之积为.点的轨迹为曲线.小试牛刀2 (1)求的方程； (2)设是坐标原点，是上位于第一象限内的一点，点，射线交于点，射线交于点，若和的面积之差为，求直线的方程. （2026·福建厦门·模拟预测）已知定直线l：，点M在l右侧，且M到的距离与到l的距离之比为2，记其轨迹为曲线.小试牛刀3 (1)求的方程； (2)过F与x轴垂直的直线交于A，C两点，过F的直线交于B，D两点.若四边形ABCD的面积为，求的方程. 【题型8：双曲线中的三角形四边形面积最值与范围】 【练方法】 公式结论 1.联立直线与双曲线后将面积表达式化简为单变量（或）函数 2.结合函数单调性二次函数最值均值不等式求解最值 3.约束条件恒为且 方法技巧 1.统一将面积式子化简为单一变量的函数形式规避多变量复杂运算 2.求解最值时同步标注变量的取值范围（由得到） 3.面积范围结合函数值域对应写出上下界标注能否取到边界数值 （2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线与直线()有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于、 两点.当点运动时，点的轨迹为曲线.经典例题1例题 (1)求曲线的方程； (2)设点 ，若过点的直线与曲线的右支交于、两点. （ⅰ）证明：直线和直线的斜率乘积为定值； （ⅱ）若直线、与圆分别交于、两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围. （25-26高二下·河南濮阳·期末）已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点.小试牛刀1 (1)求的方程. (2)过的右焦点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交直线于点，. （i）证明：； （ii）求的面积的最小值. （26-27高二下·江西·阶段检测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线的右支上，直线交轴于点（点在点的右侧）．小试牛刀2 (1)若点，且，求点的坐标； (2)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． （2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线C：（，）过点，且的渐近线方程为.小试牛刀3 (1)求的方程； (2)记双曲线的左右顶点为，，过右焦点的直线与双曲线的右支交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求的值； (3)过原点且相互垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧，求四边形面积的取值范围. 课后过关检测 一、单选题 1．（2025·湖南邵阳·三模）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．设双曲线的动弦所在直线的斜率为中点为，则______． 5．（25-26高二上·北京·期末）已知双曲线与直线没有公共点，则符合题意的一个的值为______． 6．（25-26高二上·浙江·期末）已知双曲线，过点有且仅有2条直线与双曲线有1个公共点，则实数的取值范围是______． 7．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知直线与双曲线的左右两支各交于一点，则b的取值范围为________． 8．（23-24高三下·浙江宁波·阶段检测）已知双曲线，斜率为的直线与的左右两支分别交于两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则的离心率为__________. 9．（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为､，若的斜率之和为，则___________. 10．（25-26高三上·河南·期中）已知双曲线，斜率为的直线交于、两点，为上异于、的点，且．直线、均不过坐标原点．设与的重心分别为、，的外心为，直线、、的倾斜角分别为、、．若，则的离心率为______． 三、解答题 11．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知双曲线E的标准方程为：，左右焦点分别是､，到双曲线渐近线的距离是1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若斜率为1的直线过点与双曲线E交于A､B两点，求的面积. 12．（24-25高二上·陕西·期中）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为2.记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若，是曲线上两点，试判断点能否成为线段的中点，如果可以，求出直线的方程；如果不可以，请说明理由. 13．已知双曲线的右焦点为，直线与的右支交于两点.若线段的中点坐标为，求直线的方程. 14．（25-26高二上·上海松江·期末）已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值． 15．（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 16．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的左顶点为，斜率不为0的直线l过点．当直线l的斜率为2时，直线l与双曲线C恰有一个交点，求双曲线C的标准方程． 17．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，点在C上. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过的直线交双曲线C于M，N两点（M，N两点均位于x轴下方，M在左，N在右），线段AM与线段交于点R，若的面积等于的面积，求直线MN的方程. 18．（2026高三·全国·专题练习）如图，为双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上．设的平分线与轴、轴分别交于点和点，且当时，． (1)当时，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，设过点的直线与双曲线交于两点，求面积的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $