3.1.2 椭圆方程的几何性质（二）（8个题型归纳）（原卷版）人教A版2026年新高二数学暑假预习讲义

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【3.1.2 椭圆方程的几何性质（二）】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 图形         性质 范围 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 ，，， ，，， 轴 长轴的长为___ _____；短轴的长为___ _____ 焦距 ____ ____ 离心率 ________ ，，的关系 ________ 2．椭圆的离心率 若椭圆的方程为，半焦距为，则焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，记为. （1）____________； （2）趋向于1时，椭圆越_扁__；趋向于0时，椭圆越_圆___； 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：椭圆中x,y的取值范围】 【练方法】 公式结论 焦点落在轴 横坐标取值区间. 纵坐标取值区间. 焦点落在轴 横坐标取值区间. 纵坐标取值区间. 方法技巧 1观察椭圆标准形式判定长轴所在坐标轴直接写出与的闭区间范围 2利用方程变形.推导变量边界 3椭圆上任意横纵坐标的绝对值不会超过对应长半轴长度 （2026·甘肃兰州·一模）已知曲线，则曲线上的点到直线的距离的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的方程，设点为曲线的任意一点，且，进而根据点到直线的距离，结合三角恒等变换求解即可. 【详解】曲线变形得，表示轴右侧的部分椭圆， 所以，， 设点为曲线的任意一点，且， 点到直线的距离为： 因为，， 所以， 所以， 所以曲线上的点到直线的距离的取值范围是. （25-26高二上·陕西西安·期中）已知为椭圆上任意一点，则的最小值为_____，的取值范围是_____.小试牛刀1 【答案】 【分析】由椭圆方程求出的范围，的范围，即可得解. 【详解】由，可得，. 所以的最小值为，的取值范围是. 故答案为：；. （2025·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为_____.小试牛刀2 【答案】/ 【分析】根据两点间的距离公式列关于的函数式，然后利用二次函数求出最值即可 【详解】由题意得，且 所以 当时，取得最小值为， 故答案为： （24-25高二上·上海·期末）已知椭圆方程为，点为椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为________．小试牛刀3 【答案】 【分析】设，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数探讨最小值. 【详解】椭圆方程为，则圆的右顶点 设，则，， 则， 所以，， 当恰与点重合时，取得最小值， 即要使时取最小值，则必有，所以. 故答案为：. 【题型2：根据椭圆的有界性求范围与最值】 【练方法】 公式结论 椭圆动点满足. 椭圆上点横坐标最值.. 椭圆上点纵坐标最值.. 方法技巧 1求解含.代数式最值时依托变量取值范围结合二次函数性质计算边界值 2条件式最值问题利用椭圆方程消元转化为单变量函数搭配定义域求解最值 3距离类最值可结合椭圆顶点位置快速判定最远点与最近点坐标 （25-26高三·全国·一轮复习）设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则椭圆C的离心率的取值范围是_______.经典例题1例题 【答案】 【分析】设，求出，由于，根据二次函数的性质分类讨论求得的最大值，并由得出关于的不等式，从而求得的范围． 【详解】由已知，设，则，又，， 所以 ， 因为，所以， 当，即时，时，，即满足题意， 此时由得，，， 当，即时，时，， 由题意，， ，， ，，， 又，即， 所以， 综上，的范围是,即. （25-26高二上·江苏南京·期末）椭圆的长轴的顶点为、，动点P在椭圆内，且，则的取值范围是______．小试牛刀1 【答案】 【分析】先设，根据得到，根据P在椭圆内，得到，故，则，利用极化恒等式得到. 【详解】不妨设， 设，则，， 故， 化简得，因为P在椭圆内，故，即，解得， ， 因为，，两式平方相减可得 . 故答案为： （25-26高二上·广东深圳·期末）记动椭圆 的左、右焦点分别为，，若上存在点使得，且的取值范围为，则的离心率的取值范围为_________________．小试牛刀2 【答案】 【分析】设的半焦距为，则易知的离心率也为，由椭圆的对称性易知，再讨论两个临界位置时的情况即可求得答案. 【详解】显然动椭圆的长半轴长为，设的半焦距为，则，且的离心率亦为， 由椭圆的对称性易知， ∴，即，    ①当点在上顶点位置时（临界位置一）， 在中，由余弦定理得：， ②当点的横坐标为的时（或对应的点）（临界位置二）， 满足条件的点有四个，不妨取，如图， ∴，则由椭圆定义可知， 在△中，由余弦定理的推论可知， ∴，解得，即， ∴的离心率的取值范围亦为， 故答案为：. （25-26高二上·广东·期中）已知椭圆过点和，是椭圆上的一个动点，，是的两个焦点.小试牛刀3 (1)求椭圆的方程； (2)若，求的面积； (3)已知轴上一点（），求的最大值. 【答案】(1)； (2) ； (3) 当时，的最大值为；当时，的最大值为. 【分析】（1）设出椭圆方程，利用待定系数法求出方程. （2）由（1）的结论，利用椭圆的定义，结合余弦定理及三角形面积公式求解. （3）设出点，利用两点间距离公式列式，再利用椭圆的范围及二次函数求出最大值. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 由椭圆过点和，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）得椭圆的焦点，， 由及余弦定理得， 则，即， 解得，所以的面积. （3）设，则，而， 因此， 函数，而， 当，即时，函数在上单调递减，，， 当，即时，，， 所以当时，的最大值为；当时，的最大值为. 【题型3：椭圆的对称性】 【练方法】 公式结论 椭圆均具备三重对称性质 1关于轴对称若在椭圆上则一定在椭圆上 2关于轴对称若在椭圆上则一定在椭圆上 3关于坐标原点中心对称若在椭圆上则一定在椭圆上 椭圆的对称轴为长轴所在直线、短轴所在直线对称中心为坐标原点 方法技巧 1已知椭圆一侧点坐标依靠对称规律快速写出其余对称点坐标 2求解椭圆内线段、弦长问题利用对称性简化列式计算步骤 3图像类作图只需要绘制第一象限图像再依靠对称补齐完整椭圆轮廓 （2026·山东聊城·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，上､下顶点分别为，且，直线与椭圆交于两点，则四边形的周长为（    ）经典例题1例题 A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】设椭圆半焦距为，则，即，， 连接，由关于原点对称，关于原点对称，    得四边形为平行四边形，， 则，而点与点关于直线对称， 因此，， 所以四边形的周长为. （25-26高二上·山东日照·期末）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（    ）小试牛刀1    A．40 B．28 C．35 D．30 【答案】C 【分析】由椭圆的对称性结合椭圆定义即可分析求解. 【详解】    由题可得，为椭圆上顶点， 则根据椭圆的对称性知，，，， ∴. 故选：C （2026·上海·高考真题）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________.小试牛刀2 【答案】 【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可. 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 且两个椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为， 又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由，代入椭圆中， 得，又，故， 故答案为： 【题型4：椭圆的离心率与椭圆的圆扁的关系】 【练方法】 公式结论 .. 数值越趋近于.越趋近于.椭圆形状越接近圆形 数值越趋近于.越趋近于.趋近于椭圆形状越扁长 方法技巧 1对比离心率大小即可直观判断多个椭圆的扁平程度 2已知椭圆扁平特征反向锁定离心率的大致取值区间 3结合完成..三者数值的互相换算 （24-25高二上·广东广州·期末）比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出各选项中椭圆的离心率后，比较离心率大小，借助离心率越小椭圆越接近于圆判断即可得. 【详解】椭圆离心率； 对于椭圆 ，其离心率， 对于椭圆 ，则离心率， 对于椭圆 ，离心率， 对于椭圆 ，离心率， 因为，所以， 离心率越小椭圆越接近于圆，因为选项D的椭圆离心率最小，所以更接近于圆. （25-26高二下·浙江杭州·期中）下列椭圆中，形状最接近于圆的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆离心率公式逐项求解，然后利用离心率的性质分析即可. 【详解】对于A，， 所以椭圆离心率为， 对于B，， 所以椭圆离心率为， 对于C，， 所以椭圆离心率为， 对于D，， 所以椭圆离心率为， 因为，所以D选项中椭圆离心率最小， 由椭圆性质知，离心率越小，越接近于圆，故D正确. （25-26高二下·重庆·阶段检测）下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，其离心率为， 对B，其离心率为， 对C，其离心率为， 对D，其离心率为， 根据离心率越小，其越接近于圆，则最小，其形状最接近于圆，则A选项符合题意. （25-26高二上·山东潍坊·期末）如图，直角坐标系中有3条圆锥曲线，其离心率分别为，则的大小关系为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的离心率与图形的关系即可判断. 【详解】设三条曲线的方程为 （），其中 相同,离心率 由图可知，短半轴 ，因此 ， 即 . 两边同除以 ，得 ，即 . 故选：B 【题型5：根据椭圆方程求离心率】 【练方法】 公式结论 方法技巧 1从标准式直接读取.数值先计算再代入定义式计算 2只给出与比值时直接套用变形公式求值 3计算结果必须校验排除计算产生的不合理数值 （25-26高二下·贵州六盘水·期末）椭圆的离心率为________．经典例题1例题 【答案】 【分析】将椭圆方程化为标准方程，即可得，利用，即可计算离心率. 【详解】将椭圆方程化为标准方程，所以，即. 所以，. 所以离心率. （2026·安徽滁州·三模）已知椭圆C：经过点，则C的离心率为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知椭圆C：经过点， 则，解得， ， ． （25-26高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出的值，再由离心率公式求解即可. 【详解】因为椭圆的短轴的长为6， 所以，解得， 所以， 所以离心率. （2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知点在椭圆上，的焦距为4，则的离心率为______．小试牛刀3 【答案】/ 【详解】设的半焦距为，由焦距为4，得，， 所以， 将代入椭圆方程，得，解得， 故，得，离心率. 【题型6：根据椭圆与几何图形的关系求椭圆的离心率】 【练方法】 公式结论 依托几何图形边长、角度、垂直、相似等量关系构造..的齐次等式 等式两侧同除以转化为只含的一元方程求解离心率 方法技巧 1梳理几何图形中的边长等量、直角、等腰、夹角条件列出边长关系式 2将关系式内全部.统一用与代换构造只含的方程求解 3求解出之后剔除大于等于1或者小于等于0的不合理解 （2026·河北秦皇岛·二模）已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出另一个焦点，利用椭圆的定义结合余弦定理求出基本量的关系，可得椭圆的离心率. 【详解】如图， 设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形， 所以，， 所以，所以. 又，所以. 在中，由余弦定理得：， 即 . 所以椭圆的离心率为. （25-26高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的左右焦点分别为是上一点．若（为坐标原点），则的离心率为（     ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义，设，结合已知得，再由及向量数量积的定义和运算律、余弦定理得到，最后列方程得，即可得. 【详解】由椭圆的定义可知，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，即， 由题意知，设，则，， 代入得，所以，，， 由于原点是两焦点的中点，所以是边上的中线， 所以，则， 由且， 所以，则， 综上，即， 所以 ，则，即， 椭圆的离心率满足，且，解得， 故椭圆的离心率为. （25-26高二下·四川成都·期末）设椭圆的右顶点为，上顶点为，若直线与圆：相切，则该椭圆的离心率为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的坐标，得到直线的方程，利用与圆相切得到关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】由于椭圆的右顶点为，上顶点为， 所以，，故直线的方程为即， 若直线与圆：相切， 则， 化简得， 两边除以，得 ， 设，那么，解得 ，或（舍去）， 所以，，，. （25-26高二下·湖南怀化·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、．过的直线与椭圆交于、两点，且满足．若是以为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可得出，利用椭圆的定义结合勾股定理可得出与的等量关系，可得出的值，然后在中利用余弦定理可得出与的关系，即可得出椭圆的离心率的值. 【详解】不妨设，则，， 由椭圆定义可得，， 因为是以为斜边的直角三角形，由勾股定理可得， 即，整理可得， 即，解得或（舍去）， 所以，，， ， 由余弦定理可得， 整理可得，故椭圆的离心率为. 【题型7：求离心率的取值范围】 【练方法】 公式结论 结合题干约束条件列出关于..的不等式 利用消去整理得到只含的不等式结合求解区间 方法技巧 1焦点三角形、点的位置、直线相交等条件转化为对应不等式关系 2统一变量为离心率解不等式后与基础范围取交集 3最值类约束优先算出临界状态下的离心率数值再判定开区间或者闭区间 （2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，依题意即得，借助于的关系求解不等式即得离心率的范围. 【详解】由可得，要使点M总在椭圆内部， 即需使以为直径的圆上的点总在椭圆的内部， 如图可得，即，得，则， 又，则得. （2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的两个焦点是，若在椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义和题设等式求出焦半径，再结合椭圆中焦半径的范围，求解不等式即得离心率范围.． 【详解】由椭圆的定义，得， 又，联立解得， 因， 即 ,解得, 则离心率， 又，所以． （2026·河南周口·三模）已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______.小试牛刀2 【答案】 【分析】若四边形为矩形，则四边形为正方形，可得，根据椭圆性质可得，运算求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由题意可知：，，且， 若存在点，使得四边形为矩形，此时， 且，则四边形为正方形，可得， 则，可得，且，即， 可得，可得， 所以椭圆的离心率的取值范围是. （2026·陕西咸阳·二模）已知直线与椭圆（）交于A，B两点，若在E上存在一点C使得是以为斜边的直角三角形，则E的离心率的最小值为______．小试牛刀3 【答案】/ 【分析】先转化为以AB为直径的圆与椭圆的交点找到点C的坐标，再利用椭圆上的点的坐标取值范围求解. 【详解】将直线 代入椭圆方程 ， ，因此，，， 因为是以为斜边的直角三角形，所以,即点C在以AB为直径的圆上， AB 的中点（圆心）是，故半径 圆的方程： 因为点 在椭圆上，联立 由椭圆方程解出 ，代入圆的方程：， 所以，即，因为是方程的一个解， 所以，解得（舍去），（对应点 C 的纵坐标）， 椭圆上点的纵坐标范围为 ，只需满足：， 解得， 椭圆离心率 ， 由于 随 增大而增大，故当 时， 取得最小值：. 【题型8：根据离心率求参数范围】 【练方法】 公式结论 由结合建立关于方程参数的不等式 方法技巧 1把已知离心率区间代入离心率变形公式反向求解.中所含参数范围 2区分焦点在轴、轴两种情况分别对应.的表达式列式计算 3求解参数不等式时同步满足椭圆基础要求剔除无效取值区间 （26-27高三·全国·一轮复习）已知，，以为焦点的椭圆经过点，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是______.经典例题1例题 【答案】 【详解】不妨设，， 该椭圆的离心率为，解得或， 因为，所以，所以. 所以的取值范围为. （2026高三·全国·专题练习）椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆的左顶点为,根据右焦点F在AP的垂直平分线上，知，得到，列出关于的不等式，求解即得的取值范围. 【详解】设椭圆的左顶点为. 由题意，即以F为圆心，为半径画圆与椭圆有交点P，如图．只需 即即 两边除以得即 得，又， ． （25-26高二上·江苏宿迁·期中）椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数的取值范围. 【详解】由椭圆方程， 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得； 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. （25-26高二上·辽宁朝阳·期中）椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出. 【详解】 设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 ， ，， ，，则，即， 所以线段的长度的最小值为. 故选：D. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·广东汕头·阶段检测）已知椭圆左､右焦点分别为为椭圆上一点，若的周长为48，且椭圆的短轴长为24，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令椭圆的半焦距为， 由的周长为48，得，即， 由椭圆的短轴长为24，得，则， 因此，解得，所以椭圆的离心率为. 2．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知椭圆的焦距为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】椭圆的焦距为，，， 椭圆的离心率为． 3．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）设是椭圆上不同于左顶点,右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，求得，根据椭圆的离心率为，求得，再由斜率公式，化简得到，即可求解. 【详解】由椭圆，可得， 设，由，可得， 因为椭圆的离心率为，可得，解得， 又因为，可得. 故选：C. 4．（2026·广东肇庆·模拟预测）设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为.若，则椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与椭圆方程求出点坐标，利用向量垂直数量积为0建立关系式，结合转化为离心率方程，即可求出离心率. 【详解】由题意得，则，直线的斜率为， 所以直线的方程为. 由得， 所以，故， 代入直线的方程得，故， 可得. 因为，所以， 得，即， 又，所以，等号两边同时除以得， 又因为，所以. 5．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设是椭圆上异于A，B的点，，，把代入椭圆方程， 得，， 又，，又，，， ， 故B选项正确. 6．（25-26高三上·江苏无锡·期末）下列椭圆的方程中，形状最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】需要分别计算各项中椭圆的离心率，再比较大小. 【详解】对于椭圆，其离心率，椭圆的扁平程度由离心率决定，离心率越接近0，椭圆越接近圆, 选项A，化为标准方程为， ， 选项B,化为标准方程为,因此其离心率, 选项C, , 选项D, ,又 ， 所以，因此选项D中椭圆的离心率最小，形状最接近于圆. 故选:D 7．（25-26高三·全国·一轮复习）已知椭圆 的一个焦点为，点是上关于原点对称的两点．则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对称性和椭圆定义可知，将表达式化简表示成的形式，再求出的取值范围并利用二次函数性质即可求出其取值范围. 【详解】由对称性和椭圆定义可知 ，其中， 故 ， 不妨设， 则 故当时，取得最小值，最小值为4， 当时，取得最大值，最大值为64，故， 故当时，取得最小值，最小值为51， 当时，取得最大值，最大值为， 故的取值范围是． 故选：C 8．（25-26高二上·河南·期中）如图，点是椭圆的左､右焦点，是上两点，，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交椭圆于另一点，根据给定条件，利用椭圆对称性及定义，结合余弦定理列式求解. 【详解】如图，延长交椭圆于另一点，连接，由，得， 由椭圆对称性得，设，则，， 在中，由余弦定理得，解得， 即，令椭圆的半焦距为c， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，所以的离心率. 故选：D 二、多选题 9．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】利用椭圆的定义可判断A选项；分析可知当点为短轴顶点时，的面积最大，求其最大值，可判断B选项；利用平面向量数量积的坐标运算并结合椭圆的范围可判断C选项；求得，利用椭圆的定义结合二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】由可得，，，. 对于A选项，的周长为，A错； 对于B选项，设，，则， 所以当点为短轴顶点时，的面积最大，最大面积为，B对； 对于C选项，设，，、， 则，，则. 因为，所以，所以， 又，所以， 所以的取值范围为，C对； 对于D选项，由可得，， 由C知， ， 所以， 当时，有最大值， 当或时，的值为， 但是且，所以的取值范围为，D对. 故选：BCD. 三、填空题 10．（25-26高二上·陕西·阶段检测）已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率______． 【答案】/0.5 【分析】利用椭圆的对称性可得四边形是平行四边形，求得，再利用数量积的定义及椭圆定义求得，进而求出离心率. 【详解】连接，由点、关于原点对称，得四边形是平行四边形， 由，得， 由，得，即， 又，则，因此为等边三角形，， 所以椭圆的离心率为. 故答案为： 11．（25-26高二上·河北保定·期中）已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】设，根据两点间的距离公式列出，再由点为椭圆上的点进行求解即可. 【详解】设，所以， 又因为为椭圆上任意一点， 所以， 因为，当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 12．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】设出的坐标，将向量数量积运算转化为坐标运算，根据的坐标满足椭圆方程进行化简，再根据的范围可求的最小值. 【详解】设，因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以，此时， 故答案为：. 13．（25-26高二上·上海·期中）已知，若是椭圆上一点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用椭圆的范围求解即可. 【详解】因为是椭圆上一点， 所以点满足椭圆的范围， 因此，所以，即的取值范围是． 故答案为：. 14．（河北衡水中学2024届高三第二学期开学检测数学试题）已知椭圆的左、右焦点分别为分别是C上的两个动点，当最大时，，则C的离心率为________. 【答案】 【分析】利用椭圆的性质先确定P点位置，根据向量共线的坐标计算Q坐标，代入椭圆方程得出齐次方程计算离心率即可. 【详解】由题意得，当最大时，点P位于椭圆上顶点或下顶点处，设椭圆半焦距为c， 此时， 由，可得，将点代入椭圆方程， 可得，解得，故离心率为. 15．（2026高三·全国·专题练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若到两焦点的距离之比为，则离心率范围为________． 【答案】 【详解】设到两个焦点的距离分别为，，根据椭圆定义可知：， 又结合椭圆的性质可知．根据三角形三边关系有，即，，即．又因为， 所以． 16．（2026高三·全国·专题练习）椭圆的两个焦点为，点P在椭圆上，且的最大值为，则椭圆的离心率为________ 【答案】/ 【分析】由椭圆的性质及已知得是等边三角形，即可得椭圆参数的齐次式，即可得. 【详解】椭圆上，点对两个焦点的张角为， 当落在椭圆短轴端点时，取得最大值，且最大值为， 因此在短轴端点时，，此时为等腰三角形，顶角为， 故是等边三角形，得，则椭圆离心率. 四、解答题 17．（25-26高二上·广东·期中）已知圆的圆心为，圆的圆心为，动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)当为钝角时，求点横坐标的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）结合圆与圆的位置关系，利用椭圆的定义求解即可； （2）设点，将为钝角转化为且、、三点不共线，然后结合点在椭圆上，利用数量积的坐标运算列不等式求解即可. 【详解】（1）设动圆的半径为，圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为.因为动圆与圆外切，且与圆内切， 所以，所以， 所以曲线是以，为焦点，长轴长为10的椭圆. 设椭圆方程为，所以，，即，， 所以，又， 所以圆与圆内切于点， 所以的方程为； （2）设点，，， 所以，， 若为钝角，且、、三点不共线， 所以，------①         又由椭圆的方程得，------②         联合①②得，解得 所以点的横坐标的取值范围是. 18．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）动圆与圆外切，同时与圆内切，为圆的任意一条直径. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)已知点为圆心的轨迹上任意一点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆与圆的内切与外切可得圆心间距离与半径的关系，结合椭圆定义可得轨迹方程； （2）设点，利用转化法及坐标法表示向量数量积，结合点在椭圆上，根据椭圆上的点的坐标取值范围可得数量积范围. 【详解】（1）设圆心的坐标为，半径为. 由圆方程知圆心，半径， 由圆方程知圆心，半径， 由圆与圆外切可知由圆与圆内切，可知， 故， 由椭圆定义可知，圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆(除去点)， 其中，且，即， 又， 故轨迹方程为； （2）由题知圆心，半径为， 设且满足，则， ， 又，故，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【3.1.2 椭圆方程的几何性质（二）】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 图形         性质 范围 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 ，，， ，，， 轴 长轴的长为___ _____；短轴的长为___ _____ 焦距 ____ ____ 离心率 ________ ，，的关系 ________ 2．椭圆的离心率 若椭圆的方程为，半焦距为，则焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，记为. （1）____________； （2）趋向于1时，椭圆越_扁__；趋向于0时，椭圆越_圆___； 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：椭圆中x,y的取值范围】 【练方法】 公式结论 焦点落在轴 横坐标取值区间. 纵坐标取值区间. 焦点落在轴 横坐标取值区间. 纵坐标取值区间. 方法技巧 1观察椭圆标准形式判定长轴所在坐标轴直接写出与的闭区间范围 2利用方程变形.推导变量边界 3椭圆上任意横纵坐标的绝对值不会超过对应长半轴长度 （2026·甘肃兰州·一模）已知曲线，则曲线上的点到直线的距离的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·陕西西安·期中）已知为椭圆上任意一点，则的最小值为_____，的取值范围是_____.小试牛刀1 （2025·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为_____.小试牛刀2 （24-25高二上·上海·期末）已知椭圆方程为，点为椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为________．小试牛刀3 【题型2：根据椭圆的有界性求范围与最值】 【练方法】 公式结论 椭圆动点满足. 椭圆上点横坐标最值.. 椭圆上点纵坐标最值.. 方法技巧 1求解含.代数式最值时依托变量取值范围结合二次函数性质计算边界值 2条件式最值问题利用椭圆方程消元转化为单变量函数搭配定义域求解最值 3距离类最值可结合椭圆顶点位置快速判定最远点与最近点坐标 （25-26高三·全国·一轮复习）设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则椭圆C的离心率的取值范围是_______.经典例题1例题 （25-26高二上·江苏南京·期末）椭圆的长轴的顶点为、，动点P在椭圆内，且，则的取值范围是______．小试牛刀1 （25-26高二上·广东深圳·期末）记动椭圆 的左、右焦点分别为，，若上存在点使得，且的取值范围为，则的离心率的取值范围为_________________．小试牛刀2 （25-26高二上·广东·期中）已知椭圆过点和，是椭圆上的一个动点，，是的两个焦点.小试牛刀3 (1)求椭圆的方程； (2)若，求的面积； (3)已知轴上一点（），求的最大值. 【题型3：椭圆的对称性】 【练方法】 公式结论 椭圆均具备三重对称性质 1关于轴对称若在椭圆上则一定在椭圆上 2关于轴对称若在椭圆上则一定在椭圆上 3关于坐标原点中心对称若在椭圆上则一定在椭圆上 椭圆的对称轴为长轴所在直线、短轴所在直线对称中心为坐标原点 方法技巧 1已知椭圆一侧点坐标依靠对称规律快速写出其余对称点坐标 2求解椭圆内线段、弦长问题利用对称性简化列式计算步骤 3图像类作图只需要绘制第一象限图像再依靠对称补齐完整椭圆轮廓 （2026·山东聊城·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，上､下顶点分别为，且，直线与椭圆交于两点，则四边形的周长为（    ）经典例题1例题 A．2 B． C．4 D． （25-26高二上·山东日照·期末）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（    ）小试牛刀1    A．40 B．28 C．35 D．30 （2026·上海·高考真题）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________.小试牛刀2 【题型4：椭圆的离心率与椭圆的圆扁的关系】 【练方法】 公式结论 .. 数值越趋近于.越趋近于.椭圆形状越接近圆形 数值越趋近于.越趋近于.趋近于椭圆形状越扁长 方法技巧 1对比离心率大小即可直观判断多个椭圆的扁平程度 2已知椭圆扁平特征反向锁定离心率的大致取值区间 3结合完成..三者数值的互相换算 （24-25高二上·广东广州·期末）比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·浙江杭州·期中）下列椭圆中，形状最接近于圆的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·重庆·阶段检测）下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·山东潍坊·期末）如图，直角坐标系中有3条圆锥曲线，其离心率分别为，则的大小关系为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：根据椭圆方程求离心率】 【练方法】 公式结论 方法技巧 1从标准式直接读取.数值先计算再代入定义式计算 2只给出与比值时直接套用变形公式求值 3计算结果必须校验排除计算产生的不合理数值 （25-26高二下·贵州六盘水·期末）椭圆的离心率为________．经典例题1例题 （2026·安徽滁州·三模）已知椭圆C：经过点，则C的离心率为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知点在椭圆上，的焦距为4，则的离心率为______．小试牛刀3 【题型6：根据椭圆与几何图形的关系求椭圆的离心率】 【练方法】 公式结论 依托几何图形边长、角度、垂直、相似等量关系构造..的齐次等式 等式两侧同除以转化为只含的一元方程求解离心率 方法技巧 1梳理几何图形中的边长等量、直角、等腰、夹角条件列出边长关系式 2将关系式内全部.统一用与代换构造只含的方程求解 3求解出之后剔除大于等于1或者小于等于0的不合理解 （2026·河北秦皇岛·二模）已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的左右焦点分别为是上一点．若（为坐标原点），则的离心率为（     ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·四川成都·期末）设椭圆的右顶点为，上顶点为，若直线与圆：相切，则该椭圆的离心率为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二下·湖南怀化·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、．过的直线与椭圆交于、两点，且满足．若是以为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：求离心率的取值范围】 【练方法】 公式结论 结合题干约束条件列出关于..的不等式 利用消去整理得到只含的不等式结合求解区间 方法技巧 1焦点三角形、点的位置、直线相交等条件转化为对应不等式关系 2统一变量为离心率解不等式后与基础范围取交集 3最值类约束优先算出临界状态下的离心率数值再判定开区间或者闭区间 （2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的两个焦点是，若在椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·河南周口·三模）已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______.小试牛刀2 （2026·陕西咸阳·二模）已知直线与椭圆（）交于A，B两点，若在E上存在一点C使得是以为斜边的直角三角形，则E的离心率的最小值为______．小试牛刀3 【题型8：根据离心率求参数范围】 【练方法】 公式结论 由结合建立关于方程参数的不等式 方法技巧 1把已知离心率区间代入离心率变形公式反向求解.中所含参数范围 2区分焦点在轴、轴两种情况分别对应.的表达式列式计算 3求解参数不等式时同步满足椭圆基础要求剔除无效取值区间 （26-27高三·全国·一轮复习）已知，，以为焦点的椭圆经过点，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是______.经典例题1例题 （2026高三·全国·专题练习）椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·江苏宿迁·期中）椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·辽宁朝阳·期中）椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·广东汕头·阶段检测）已知椭圆左､右焦点分别为为椭圆上一点，若的周长为48，且椭圆的短轴长为24，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知椭圆的焦距为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）设是椭圆上不同于左顶点,右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·广东肇庆·模拟预测）设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为.若，则椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·江苏无锡·期末）下列椭圆的方程中，形状最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·全国·一轮复习）已知椭圆 的一个焦点为，点是上关于原点对称的两点．则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河南·期中）如图，点是椭圆的左､右焦点，是上两点，，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 三、填空题 10．（25-26高二上·陕西·阶段检测）已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率______． 11．（25-26高二上·河北保定·期中）已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为__________. 12．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是__________. 13．（25-26高二上·上海·期中）已知，若是椭圆上一点，则的取值范围是______． 14．（河北衡水中学2024届高三第二学期开学检测数学试题）已知椭圆的左、右焦点分别为分别是C上的两个动点，当最大时，，则C的离心率为________. 15．（2026高三·全国·专题练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若到两焦点的距离之比为，则离心率范围为________． 16．（2026高三·全国·专题练习）椭圆的两个焦点为，点P在椭圆上，且的最大值为，则椭圆的离心率为________ 四、解答题 17．（25-26高二上·广东·期中）已知圆的圆心为，圆的圆心为，动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)当为钝角时，求点横坐标的取值范围. 18．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）动圆与圆外切，同时与圆内切，为圆的任意一条直径. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)已知点为圆心的轨迹上任意一点，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $