第17讲 双曲线的简单几何性质（培优讲义）新高二数学人教A版

第17讲 双曲线的简单几何性质（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 双曲线的几何性质 2 知识点02 直线与双曲线的位置关系 3 剖题型・讲技巧 4 题型1 根据双曲线的标准方程研究几何性质 4 题型2 根据双曲线的几何性质求标准方程 4 题型3 求双曲线的离心率 4 题型4 求双曲线的渐近线 4 题型5 双曲线的实际应用 4 题型6 直线与双曲线的位置关系 4 题型7 双曲线的弦长问题 4 题型8 双曲线的三角形面积问题 4 释疑惑·重难拓展 5 题型1 求双曲线离心率的最值或取值范围 5 题型2 双曲线的中点弦问题 5 题型3 双曲线的定点问题 5 题型4 双曲线的定值问题 5 知高考·真题探源 6 练好题·提分培优 6 课标要点 1．掌握两类双曲线标准方程，明晰焦点在 x、y 轴时的范围、顶点、焦距、实虚轴、离心率、渐近线等几何性质，理解双曲线对称性。 2．认识等轴双曲线，熟记其方程、垂直渐近线与离心率特征。 3．会联立直线与双曲线方程，依据二次项系数、判别式判断二者相交、相切、相离、平行渐近线四种位置关系。 4．运用韦达定理推导弦长公式，解决双曲线弦长计算问题。 知识点01 双曲线的几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 焦距 范围 ,或 或 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 渐近线 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质： (1)方程形式为； (2)渐近线方程为,它们互相垂直； (3)离心率 练习 1．已知双曲线的焦点在轴上，且实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的标准方程为_________. 2．若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 知识点02 直线与双曲线的位置关系 一般地,设直线方程为,双曲线方程为,将代入,消去y并化简,得. ①当,即时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点； ②当,即时, 判别式直线与双曲线相交,有两个公共点； 判别式直线与双曲线相切,有且只有一个公共点； 判别式直线与双曲线相离,没有公共点． 弦长问题 设直线交双曲线于点两点,则， 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 练习 3．直线与双曲线公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型1 根据双曲线的标准方程研究几何性质 例1．双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 变式1-1．（多选）已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使的方程为的是（   ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C．的实轴长为 D．是上的点 变式1-2．已知双曲线：的左顶点为，则该双曲线的离心率为_____. 变式1-3．（多选）已知双曲线：，则的（    ） A．实轴长为定值 B．焦点在轴上 C．离心率为定值 D．渐近线方程为 题型2 根据双曲线的几何性质求标准方程 例2．已知双曲线与椭圆共焦点，且其虚轴长为2，则的标准方程为___________. 变式2-1．求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 变式2-2．设双曲线的焦距为，若双曲线的焦距与实轴长的和为16，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式2-3．已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. 题型3 求双曲线的离心率 方法技巧 1.基础型：已知直接用；已知先通过转化再计算； 2.条件转化型：结合渐近线、焦点三角形、点在双曲上等条件，把已知等式全部转化为含的齐次式，等式两边同除以，换元，解一元方程得到离心率，舍去的解。 例3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．已知是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的右支交于点，与轴交于点，若是正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．已知双曲线：的渐近线与圆：相切，则的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 变式3-3．设双曲线的左右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于，两点，若，，则双曲线的离心率为________. 题型4 求双曲线的渐近线 例4．若双曲线虚轴的一端点与两顶点构成直角三角形，则C的渐近线方程为（） A． B． C． D． 变式4-1．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ）． A． B． C． D． 变式4-2．已知为双曲线：的右焦点，为坐标原点，点是右支上的一点，且.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为______. 变式4-3．已知为双曲线的左、右焦点，点在第一象限且在双曲线的渐近线上，为线段与双曲线的交点，且，若，则双曲线的离心率为_____． 题型5 双曲线的实际应用 例5．某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 变式5-1．某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C：绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为，则该花瓶的高为（   ） A． B． C． D． 变式5-2．如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 变式5-3．双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线，一束光线从C的右焦点射出，经过C反射后到达点.则光线从到Q所经过的路径长为_______. 题型6 直线与双曲线的位置关系例6．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有______条． 变式6-1．设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______． 变式6-2．若是双曲线的渐近线上任意一点，下列正确的是（   ）． A．存在过点的直线与该双曲线相切 B．不存在过点的直线与该双曲线相切 C．至多存在一条过点的直线与该双曲线相切 D．至多存在一条过点的直线与该双曲线只有一个交点 变式6-3．若双曲线的离心率为，右焦点为，点的坐标为，则直线（为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 题型7 双曲线的弦长问题 例7．过点的直线交双曲线于，两点，若弦的长为，则满足条件的直线有（     ） A．2条 B．4条 C．3条 D．6条 变式7-1．已知，点P满足，记点P的轨迹为E．直线与轨迹E交于A，B两点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 变式7-2．（多选）已知直线被双曲线截得的弦长为，则下列直线中被截得的弦长也为的有（    ） A． B． C． D． 变式7-3．双曲线的右焦点为，右顶点为是的一条渐近线，点到的距离为，点到的距离为，直线与交于点，则__________. 题型8 双曲线的三角形面积问题 例8．已知双曲线：，斜率为2的动直线与双曲线交于，两点，点是，的中点. (1)证明：点在直线上； (2)若点，为坐标原点，试求此时三角形的面积. 变式8-1．已知双曲线左顶点为，焦距为，过点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为则的面积（     ） A． B． C． D． 变式8-2．在平面直角坐标系中，一动直线分别交，于A，B（A，B横坐标同号）两点，且的面积恒为4. (1)求中点的轨迹的方程； (2)若直线交轨迹于，两点，的面积为，求的值. 变式8-3．已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于、两点，求的面积. 释疑惑·重难拓展 题型1 求双曲线离心率的最值或取值范围 方法技巧 1.根据题干约束条件（点位置、夹角、线段长度、直线相交限制）列出不等关系； 2.全部转化为齐次不等式，换元，得到关于的一元不等式； 3.结合双曲线固有范围，求出最终取值范围或最值。 例1．若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式1-2．设双曲线的左、右焦点分别为，若的右支上任意一点，恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1-3．已知分别为双曲线 的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，则双曲线的离心率的取值范围为_______． 题型2 双曲线的中点弦问题 方法技巧 点差法：设两个交点坐标，代入双曲线方程作差，利用中点坐标、斜率公式快速建立与直线斜率的关系； 联立验证：点差法求出直线后，必须联立方程检验，排除无实交点的直线； 例2．双曲线：的一条渐近线的方程是________；若，为双曲线上的两点，且线段的中点为，则实数的一个取值为________． 变式2-1．已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知双曲线，双曲线的某弦中点为，且点在第一象限，弦所在直线与双曲线的一条渐近线垂直，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 变式2-3．已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 题型3 双曲线的定点问题 方法技巧 1.设动直线方程（含参数），联立双曲线，借助韦达定理得到交点坐标关系； 2.利用垂直、相等、共线等条件化简，消去参数； 3.将方程整理为参数的多项式，令参数系数全部为0，解出固定点坐标。 例3．已知点，，双曲线的方程经过点，且的一条渐近线与直线平行，为上异于顶点的任意一点，为的左顶点． (1)求的方程； (2)求直线与的斜率之积； (3)设为上异于顶点和点的任意一点，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线恒过定点． 变式3-1．已知双曲线经过点 (1)求E的方程； (2)设直线经过E的右焦点，且与E交于不同的两点M，N，点N关于x轴的对称点为P，证明：直线过定点. 变式3-2．已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，P为E上一点，且． (1)求E的方程； (2)过点且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，求证：直线恒过点． 变式3-3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为，实轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线的左支交于两点，点与点关于轴对称． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标. 题型4 双曲线的定值问题 方法技巧 1.设动点/动直线参数，写出目标表达式（斜率积、线段长度和、数量积等）； 2.联立双曲线，用韦达定理替换，整体代入化简； 3.化简后参数完全消去，剩余常数即为定值；无需求解参数具体值。 例4．已知双曲线：（，）上有两点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点（异于点），证明：直线与的斜率之积为定值. 变式4-1．已知双曲线的左顶点到其渐近线的距离为，过右焦点的任意直线与双曲线的右支交于M，N两点，且直线AM，AN与直线分别交于P，Q两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线FP，FQ的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 变式4-2．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：存在轴上的一点，使得为定值. 变式4-3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为分别为左、右焦点，为右顶点，为左支上的动点（不包括顶点）． (1)求的离心率； (2)是否存在常数，使得总成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； 1．（2026·北京·高考真题）已知双曲线：的渐近线方程为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 2．（2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 3．（2026·全国二卷·高考真题）设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 5．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 6．（2026·全国一卷·高考真题）双曲线的离心率为__________． 7．（2025·上海·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长至B使得．若的面积为，则a的值为__________． 8．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 一、单选题 1．若双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．已知双曲线：，则双曲线的离心率为（　　） A． B．5 C． D． 3．已知双曲线C：的虚轴长是实轴长的2倍，且焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线上一点到两条渐近线的距离之积等于，则（   ） A．3 B．2 C． D． 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 6．已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知双曲线：，则（     ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线的斜率为 8．已知双曲线C：的离心率为2，点是C上一点，过P作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则（    ） A． B．C的渐近线方程为 C． D．的面积为 9．已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则下列结论中正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的方程为 C． D．双曲线的渐近线方程为 三、填空题 10．已知双曲线（，）的一条渐近线与直线平行，且双曲线的焦距为，则双曲线的方程为______． 11．已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为______． 四、解答题 12．根据下列条件求双曲线的标准方程： (1)过点（2，0），与双曲线1的离心率相等； (2)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M（3，﹣2）． 13．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； 14．已知双曲线的一个焦点是，一条渐近线方程是. (1)求双曲线的方程； (2)斜率为1的直线与双曲线交于不同的两点为线段的中点，点，若以为直径的圆过点，求直线的方程. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 双曲线的简单几何性质（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 双曲线的几何性质 2 知识点02 直线与双曲线的位置关系 3 剖题型・讲技巧 4 题型1 根据双曲线的标准方程研究几何性质 4 题型2 根据双曲线的几何性质求标准方程 4 题型3 求双曲线的离心率 4 题型4 求双曲线的渐近线 4 题型5 双曲线的实际应用 4 题型6 直线与双曲线的位置关系 4 题型7 双曲线的弦长问题 4 题型8 双曲线的三角形面积问题 4 释疑惑·重难拓展 5 题型1 求双曲线离心率的最值或取值范围 5 题型2 双曲线的中点弦问题 5 题型3 双曲线的定点问题 5 题型4 双曲线的定值问题 5 知高考·真题探源 6 练好题·提分培优 6 课标要点 1．掌握两类双曲线标准方程，明晰焦点在 x、y 轴时的范围、顶点、焦距、实虚轴、离心率、渐近线等几何性质，理解双曲线对称性。 2．认识等轴双曲线，熟记其方程、垂直渐近线与离心率特征。 3．会联立直线与双曲线方程，依据二次项系数、判别式判断二者相交、相切、相离、平行渐近线四种位置关系。 4．运用韦达定理推导弦长公式，解决双曲线弦长计算问题。 知识点01 双曲线的几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 焦距 范围 ,或 或 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 渐近线 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质： (1)方程形式为； (2)渐近线方程为,它们互相垂直； (3)离心率 练习 1．已知双曲线的焦点在轴上，且实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的标准方程为_________. 【答案】 【详解】依题意，双曲线的焦点在轴上， 且，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 2．若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，，得， 则该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 知识点02 直线与双曲线的位置关系 一般地,设直线方程为,双曲线方程为,将代入,消去y并化简,得. ①当,即时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点； ②当,即时, 判别式直线与双曲线相交,有两个公共点； 判别式直线与双曲线相切,有且只有一个公共点； 判别式直线与双曲线相离,没有公共点． 弦长问题 设直线交双曲线于点两点,则， 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 练习 3．直线与双曲线公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【详解】联立直线与双曲线的方程为 ，整理得，方程无解， 故选:A. 【点睛】本题考查了直线和双曲线的位置关系，属于基础题. 4．过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【详解】解：双曲线方程为，点在双曲线的两支之间（代入得，无实数解，说明轴与双曲线无交点） 过该点作直线与双曲线仅有一个公共点的情况如下： 双曲线的渐近线方程为 过点 作平行于这两条渐近线的直线，即 和 这两条直线分别与双曲线的一支交于一点，共有2条 由于点在双曲线两支之间，过该点可以向双曲线的两支各作一条切线，共有2条 综上，满足条件的直线共有 4 条． 故选：D. 题型1 根据双曲线的标准方程研究几何性质 例1．双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】解：双曲线，则右顶点为， 由对称性，不妨取其中一条渐近线，方程为，即， 则右顶点到其渐近线的距离为． 变式1-1．（多选）已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使的方程为的是（   ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C．的实轴长为 D．是上的点 【答案】AD 【分析】详解】由题可知，，即，因此. 双曲线方程，等价于. 对于A：若的离心率，解得， 又因为，故，符合题意，故A正确； 对于B：若的渐近线方程为，则，即， 又因为，易解得，与题意不符，故B错误； 对于C：若的实轴长为，即，则，与题意不符，故C错误； 对于D：将代入，可得，又因为， 联立，可得，整理得：，解得或（舍去，因为），又因为，故，符合题意，故D正确. 故选：AD. 变式1-2．已知双曲线：的左顶点为，则该双曲线的离心率为_____. 【答案】/ 【分析】详解】由题意知，因为，则， 则双曲线离心率为, 故答案为： 变式1-3．（多选）已知双曲线：，则的（    ） A．实轴长为定值 B．焦点在轴上 C．离心率为定值 D．渐近线方程为 【答案】BC 【详解】因为，可得， 则，，， 可得实轴长为，不为定值，故A错误； 焦点在轴上，故B正确； 离心率为，为定值，故C正确； 渐近线方程为，故D错误. 题型2 根据双曲线的几何性质求标准方程 例2．已知双曲线与椭圆共焦点，且其虚轴长为2，则的标准方程为___________. 【答案】 【分析】详解】由题意可知双曲线的焦点在轴上，且半焦距. 设双曲线的标准方程为，则，所以， 所以，因此的标准方程为. 故答案为： 变式2-1．求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设双曲线标准方程为：， ，，双曲线标准方程为. （2）当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 综上所述：双曲线标准方程为或. 变式2-2．设双曲线的焦距为，若双曲线的焦距与实轴长的和为16，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】详解】由题意知，整理得，解得. 故选：B 变式2-3．已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. 【答案】 【详解】依题意，设双曲线M的方程为， 将点代入得,解得， 所以双曲线M的方程为. 题型3 求双曲线的离心率 方法技巧 1.基础型：已知直接用；已知先通过转化再计算； 2.条件转化型：结合渐近线、焦点三角形、点在双曲上等条件，把已知等式全部转化为含的齐次式，等式两边同除以，换元，解一元方程得到离心率，舍去的解。 例3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线的渐近线方程为， 而双曲线的一条渐近线方程为，则， 所以双曲线的离心率为. 变式3-1．已知是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的右支交于点，与轴交于点，若是正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】∵为等边三角形，∴，即， 由对称性可得，所以，又， 所以，结合，， 可得，，又， 所以，化简可得， 所以双曲线的离心率为. 变式3-2．已知双曲线：的渐近线与圆：相切，则的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 由渐近线与相切，得，所以， 所以的离心率. 变式3-3．设双曲线的左右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于，两点，若，，则双曲线的离心率为________. 【答案】 【详解】过 平行于轴的直线，代入双曲线方程得，，因此弦长， 而，所以， 不妨取,，则， 所以，故，即， 而，所以，而，所以， 所以. 题型4 求双曲线的渐近线 例4．若双曲线虚轴的一端点与两顶点构成直角三角形，则C的渐近线方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线的顶点为，虚轴的一个端点为 由题意，这三点构成直角三角形，且直角顶点只能是. 则，即，整理得，即 双曲线的渐近线方程为，代入，得渐近线方程为. 变式4-1．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线的离心率，得， 所以该双曲线的渐近线方程为． 变式4-2．已知为双曲线：的右焦点，为坐标原点，点是右支上的一点，且.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为______. 【答案】或/或 【分析】详解】设点关于点的对称点为，双曲线的左焦点为，易得， 因为，所以，如图，令， 则，又， 在中，，即， 化简得（*）； 在中，，即， 化简得，将其代入（*），化简得，即， 所以双曲线的渐近线的斜率为. 变式4-3．已知为双曲线的左、右焦点，点在第一象限且在双曲线的渐近线上，为线段与双曲线的交点，且，若，则双曲线的离心率为_____． 【答案】4 【分析】详解】如图，连接，因为为线段的中点，且， 所以是线段的中点． 又，所以 因为 所以，因此. 又，所以 在中，由余弦定理知. 所以. 所以 由，得． 所以双曲线离心率为4． 故答案为：4. 题型5 双曲线的实际应用 例5．某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【分析】详解】因为、同时接到信号，所以，，则点在线段的垂直平分线上， 因为、比处同时晚收到信号，所以有， 从而在以、为焦点的双曲线的右支上，所以，，，则， 如图，以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，正东方向为轴的正方向， 建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、，， 所以，双曲线的方程为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 联立，解得，即点， 从而，所以，直线的倾斜角为， 则在处测得的方向角为北偏东， 故选：A. 变式5-1．某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C：绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为，则该花瓶的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】如图所示，作出花瓶的纵截面，    因为横截面圆最小直径为40，所以，解得， 将，代入可得，，解得， 所以该花瓶的高为. 变式5-2．如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】详解】 以双曲线虚轴为轴，最小直径处的水平线为轴，双曲线中心为原点， 最小直径为米， 实半轴，双曲线标准方程为， 塔底直径为米，最小直径处距塔底高度为米， 点在双曲线上，故，解得， 双曲线方程为， 塔顶直径为，设塔顶直径上点为， ，解得， 塔顶位于轴上方， ，故， 塔高：米，故B正确 故选：B． 变式5-3．双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线，一束光线从C的右焦点射出，经过C反射后到达点.则光线从到Q所经过的路径长为_______. 【答案】8 【分析】详解】已知双曲线，可得：， 设光线与双曲线C的交点为，双曲线C的左焦点为． 所以， 由题意知，共线， 因为，所以， 故路径长． 故答案为：8. 题型6 直线与双曲线的位置关系例6．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有______条． 【答案】4 【分析】详解】 当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时直线恰只经过双曲线的右顶点，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入双曲线方程， 整理得：， 当时，即时，代入方程解得或， 即直线与双曲线只有1个交点为； 直线与双曲线只有1个交点为，均符合题意； 当时，由，解得， 此时直线与双曲线相切于点，符合题意. 综上，过点与双曲线有且只有一个交点的直线共有4条. 故答案为：4. 变式6-1．设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______． 【答案】1（只要满足即可，答案不唯一） 【分析】详解】双曲线C：的一条渐近线的斜率为， 若直线与双曲线C无公共点，只需. 故b的一个取值可以为，（只要满足即可，答案不唯一）. 变式6-2．若是双曲线的渐近线上任意一点，下列正确的是（   ）． A．存在过点的直线与该双曲线相切 B．不存在过点的直线与该双曲线相切 C．至多存在一条过点的直线与该双曲线相切 D．至多存在一条过点的直线与该双曲线只有一个交点 【答案】C 【分析】详解】由题易知切线斜率不为零，也不与渐近线平行（平行时只有一个交点，但不相切）， 则设切线方程为， 则， ， 所以， 当时，，解得与题设矛盾， 即当点时，过点的直线不存在与双曲线相切， 当时， ， 又切线过渐近线上的点，由对称性，不妨设点， 则，解得， 所以， 又，所以， 则， 所以每一个点，的值只有一个， 所以至多存在一条过点的直线与该双曲线相切，故C正确，B错误； 对于D，易知当点不在原点时，与另一条渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点， 与双曲线相切时也与双曲线只有一个交点，故D错误； 故选：C. 变式6-3．若双曲线的离心率为，右焦点为，点的坐标为，则直线（为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【分析】详解】因为双曲线的离心率为，且右焦点为， 所以，所以，， 所以的坐标为，且双曲线的渐近线方程为， 又因为，所以直线与双曲线的交点个数为2个． 故选：C 题型7 双曲线的弦长问题 例7．过点的直线交双曲线于，两点，若弦的长为，则满足条件的直线有（     ） A．2条 B．4条 C．3条 D．6条 【答案】B 【分析】详解】斜率不存在时：，与双曲线交于一点，不满足题意； 斜率必然存在，设直线方程，，； 联立方程：可得：； 则，即， 且恒成立； 即，； 则； 两边平方可得：，即； 解得或；则的取值为四个， 故满足题意的直线有４条． 变式7-1．已知，点P满足，记点P的轨迹为E．直线与轨迹E交于A，B两点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】详解】由知，点P的轨迹E是以为焦点的双曲线， 设轨迹E的方程为，因为，所以， 故轨迹E的方程为， 设，由可得， 则则． 变式7-2．（多选）已知直线被双曲线截得的弦长为，则下列直线中被截得的弦长也为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】双曲线关于轴、轴和原点对称 若两直线关于轴、轴或原点对称，那么它们被双曲线截得的弦长相等. 对于A，直线与直线关于轴对称，它们被双曲线截得的弦长相等，故A正确； 对于B，直线与直线，它们既不关于轴对称，也不关于轴和原点对称，它们被双曲线截得的弦长不相等，故B错误； 对于C，直线与直线关于原点对称，它们被双曲线截得的弦长相等，故C正确； 对于D，直线与直线，它们既不关于轴对称，也不关于轴和原点对称，它们被双曲线截得的弦长不相等，故D错误. 变式7-3．双曲线的右焦点为，右顶点为是的一条渐近线，点到的距离为，点到的距离为，直线与交于点，则__________. 【答案】30 【分析】详解】设，渐近线的方程为， 则到的距离，到的距离， 所以，又，所以， 所以双曲线的标准方程为. 由，得， 设，则， ，所以， 所以. 题型8 双曲线的三角形面积问题 例8．已知双曲线：，斜率为2的动直线与双曲线交于，两点，点是，的中点. (1)证明：点在直线上； (2)若点，为坐标原点，试求此时三角形的面积. 【答案】(1)设，，， 因为点，在双曲线上， 则， 即：，. ∴点在直线上，得证. (2) 【详解】（1）略 （2）直线的方程是l：， 与双曲线方程联立得：， 所以，. ， 点到直线的距离， 所以.    变式8-1．已知双曲线左顶点为，焦距为，过点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为则的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由，，又，解得， 双曲线的标准方程为，其渐近线方程为. 如图任选一条渐近线，因可得， 又，所以， 故. 变式8-2．在平面直角坐标系中，一动直线分别交，于A，B（A，B横坐标同号）两点，且的面积恒为4. (1)求中点的轨迹的方程； (2)若直线交轨迹于，两点，的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设，，由题知， 则，    设，则，，所以， 因此，中点的轨迹的方程. （2）解：设，， 将代入，整理得， 则，解得，，， 由弦长公式可得： ， 设点到直线的距离为，则， 所以， 两边同时平方，化简整理得， 解得或（舍），所以. 变式8-3．已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于、两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意设所求双曲线的方程为， 代入点得，解得， 所以双曲线的方程为，即． （2）由（1）知，，， 由题意得直线的方程为，即． 设，， 联立，整理得， ， 则，， 则， 点到直线：的距离． 所以． 释疑惑·重难拓展 题型1 求双曲线离心率的最值或取值范围 方法技巧 1.根据题干约束条件（点位置、夹角、线段长度、直线相交限制）列出不等关系； 2.全部转化为齐次不等式，换元，得到关于的一元不等式； 3.结合双曲线固有范围，求出最终取值范围或最值。 例1．若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】将直线代入得， 所以， 因为大于的虚轴长，所以，即， 同时除以得， 解得，所以离心率， 所以的离心率的取值范围是. 变式1-1．焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】由题意设双曲线的方程为，渐近线为，圆心，半径， 整理渐近线方程得或， 若与圆有公共点， 则有圆心到直线距离，即，， 两边同时平方得，即，， 两边同时除以得，解得，在双曲线中，， 故离心率的取值范围为， 若与圆有公共点， 则有圆心到直线距离，即，， 两边同时平方得，即，， 两边同时除以得，解得，在双曲线中，， 故离心率的取值范围为， 综上，离心率的取值范围为， 故选：A. 变式1-2．设双曲线的左、右焦点分别为，若的右支上任意一点，恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】依题意，由双曲线定义得，而，则， 令双曲线的半焦距为，则，于是，解得， 所以双曲线的离心率的取值范围是. 变式1-3．已知分别为双曲线 的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，则双曲线的离心率的取值范围为_______． 【答案】 【详解】由题意可得，，， 所以，当且仅当， 即时取等号，所以， 因为，， 所以，所以． 题型2 双曲线的中点弦问题 方法技巧 点差法：设两个交点坐标，代入双曲线方程作差，利用中点坐标、斜率公式快速建立与直线斜率的关系； 联立验证：点差法求出直线后，必须联立方程检验，排除无实交点的直线； 例2．双曲线：的一条渐近线的方程是________；若，为双曲线上的两点，且线段的中点为，则实数的一个取值为________． 【答案】 （或） 3（答案不唯一） 【详解】对于双曲线：，有， 其渐近线方程为； 设，则， 两式相减得，即， 线段的中点为，则， 若，则中点为双曲线顶点，此时直线AB的方程为，与双曲线只有一个交点，不符合题意，故， 则，即得，即得直线的斜率为， 可得直线的，联立， 得， 则， 化简得，解得或， 故实数的一个取值可为3. 变式2-1．已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】设，直线的方程为． 由题意知，为的中点， 因为， 两式相减，得， 所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为， 与双曲线联立， 得，即， 解得或， 所以. 变式2-2．已知双曲线，双曲线的某弦中点为，且点在第一象限，弦所在直线与双曲线的一条渐近线垂直，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】详解】由双曲线方程得，渐近线方程为，则直线的斜率， 设，代入双曲线方程得， 两式相减得，， 所以， 因为弦中点为，所以， 当时，， 当时，， 又因为点在第一象限，所以， 所以． 变式2-3．已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【答案】(1) (2)假设是线段 的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段 的中点，， 代入上式，可得，即此时直线 的斜率为， 于是直线 的方程为，即 . 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段 的中点. 【详解】（1）双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为 . （2）略 题型3 双曲线的定点问题 方法技巧 1.设动直线方程（含参数），联立双曲线，借助韦达定理得到交点坐标关系； 2.利用垂直、相等、共线等条件化简，消去参数； 3.将方程整理为参数的多项式，令参数系数全部为0，解出固定点坐标。 例3．已知点，，双曲线的方程经过点，且的一条渐近线与直线平行，为上异于顶点的任意一点，为的左顶点． (1)求的方程； (2)求直线与的斜率之积； (3)设为上异于顶点和点的任意一点，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明：（方法一）由（2）知，，因为，所以． 设直线的方程为，代入， 得， 则且，即且． 设（且），则，． 因为， 再将，代入得：得， 即， 所以， 因为直线不过点，所以，所以， ，化简整理得，解得， 所以直线的方程为，故直线恒过定点． （方法二）设直线的方程为，代入， 得， 则且，即且． 设（且），则，． 因为，所以，即， 整理得， 由，所以，得， 所以， ，整理得， 因为等式恒成立，所以，解得． 所以直线的方程为，故直线恒过定点． 【详解】（1）由经过点，得． 由，又因为双曲线一条渐近线与直线平行， 所以，则，故的方程为． （2）设，则，即， 因为，， 所以， 故直线与的斜率之积为． （3）略 变式3-1．已知双曲线经过点 (1)求E的方程； (2)设直线经过E的右焦点，且与E交于不同的两点M，N，点N关于x轴的对称点为P，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)由（1）知E的右焦点为，则， 联立消去y得，. 设，则，即， 故，. 因为点N关于x轴的对称点为P，所以， 则直线的方程为. 根据对称性可知，直线经过的定点必在x轴上， 令，得 . 当且时，， 所以直线过定点. 【详解】（1）由题意可得解得所以E的方程为. （2）略 变式3-2．已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，P为E上一点，且． (1)求E的方程； (2)过点且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，求证：直线恒过点． 【答案】(1) (2)证明：依题意，设直线l的方程为，，． 联立直线与双曲线的方程，得 消去x并整理，得， ∴，且，解得，且． ∴，． 由题意知，， ∴直线的方程为． 令，得 ， ∴直线恒过点． 【详解】（1）设E的半焦距为c（）． 由题意知P在E的右支上，，∴， ∵，∴， ∴， ∴E的方程为． （2）略 变式3-3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为，实轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线的左支交于两点，点与点关于轴对称． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析， 【详解】（1）由题意可知，解得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）当时，易知不符合题意； 当时，联立，得， 因为直线与双曲线的左支交于两点，所以， 解得或，故实数的取值范围为. （ii）证明：设，则, 由（i）可知，， 直线的方程为，即， 令可得 把，代入可得， 即直线恒过，所以直线过轴上一定点，该定点的坐标为. 题型4 双曲线的定值问题 方法技巧 1.设动点/动直线参数，写出目标表达式（斜率积、线段长度和、数量积等）； 2.联立双曲线，用韦达定理替换，整体代入化简； 3.化简后参数完全消去，剩余常数即为定值；无需求解参数具体值。 例4．已知双曲线：（，）上有两点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点（异于点），证明：直线与的斜率之积为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意，因为点，在双曲线：（，）上， 所以，解得， 故的方程为. （2）证明：由题意，易知的斜率不为0， 设的方程为，，， 与双曲线联立，即，化简可得， 则，，. 故直线与的斜率之积为 . 即直线与的斜率之积为定值. 变式4-1．已知双曲线的左顶点到其渐近线的距离为，过右焦点的任意直线与双曲线的右支交于M，N两点，且直线AM，AN与直线分别交于P，Q两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线FP，FQ的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， 【详解】（1）由渐近线方程为得， 左顶点坐标为，则点到渐近线的距离， 解得，则， 双曲线的标准方程为 （2）设点， 依题意知直线的斜率不为0，设直线，与双曲线联立， 化简得， 则，， 根据韦达定理，可得 点坐标为 直线与直线的交点坐标为， 同理可得点. 变式4-2．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：存在轴上的一点，使得为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：因为实轴长为，故， 而点到双曲线C的渐近线的距离为1，故， 故双曲线的方程为：. （2）证明：设为半焦距，则，故， 因为与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设，， 由可得即， 故且， 所以，又. 设，则，， 故 为定值当且仅当，故， 故存在轴上的一点，使得为定值且定值为. 变式4-3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为分别为左、右焦点，为右顶点，为左支上的动点（不包括顶点）． (1)求的离心率； (2)是否存在常数，使得总成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)2 (2)存在常数 【详解】（1）由题意得，所以，则， 所以的离心率. （2）由（1）可知，，， ①当时，，， 此时，有； ②当时，可知的斜率都存在， 设，其中， 则， 则 ， 则， 因为为锐角，所以，， 所以，即. 所以存在常数，使得总成立.      1．（2026·北京·高考真题）已知双曲线：的渐近线方程为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【详解】因为双曲线为，则渐近线为， 又因为渐近线为，且，所以. 2．（2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解法一：如图，过点作垂直于轴，垂足为， 因为，所以，所以， 又，所以， 根据双曲线对称性，不妨设点在第二象限，则， 将点坐标代入双曲线方程得：， 整理得， 将代入上式，整理得， 两边同时除以，整理得，解得. 解法二：如图， 设右焦点为，连接， 由题意可知：，， 在三角形中，， 在三角形中，， 即， 整理可得，可得， 所以. 3．（2026·全国二卷·高考真题）设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】把点和，代入双曲线方程可得 ， 所以双曲线方程为， 故该双曲线渐近线方程为. 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 5．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 6．（2026·全国一卷·高考真题）双曲线的离心率为__________． 【答案】 【详解】将双曲线化为标准方程，得，则， 因此，则离心率为. 7．（2025·上海·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长至B使得．若的面积为，则a的值为__________． 【答案】 【详解】由题意可作图如下： 由，则，解得，且， 则，， 设，则，解得， 由题意可得直线的斜率，则方程为， 将代入上式，则，解得， 由题意可得， 易知. 故答案为：. 8．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）对于双曲线，，， ， 所以双曲线离心率. （2）因为点是的中点，所以点， 代入双曲线方程，得， 解得， 又点在双曲线的右支上，所以，即， 所以， 所以直线的斜率为. （3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为时，设直线方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，的取值范围为. 一、单选题 1．若双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】双曲线（焦点在轴上）的渐近线方程为， 由题中方程，得，即， 所以，解得． 2．已知双曲线：，则双曲线的离心率为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，双曲线的离心率为：. 3．已知双曲线C：的虚轴长是实轴长的2倍，且焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，渐近线方程， 焦点到的距离为，则， 则此双曲线的方程为 4．已知双曲线上一点到两条渐近线的距离之积等于，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由题可知：，渐近线方程为，即， 设在双曲线上，则，即， 根据点到直线的距离公式，到两条渐近线的距离分别为，， 因为点到两条渐近线的距离之积等于，所以， 又，所以，解得，又，所以. 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】设的半焦距为，过点且与其渐近线垂直的直线与渐近线交于点H，， 渐近线的斜率的绝对值为，所以， 因为又，所以，故解得，， 则．在中，由正弦定理，得，解得，故， 由余弦定理，得，整理得，所以的离心率． 6．已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】双曲线渐近线，即， 因为渐近线被圆所截得的弦长为， 则圆心到渐近线的距离，解得， 则双曲线方程为，故，，则， 故双曲线C的离心率为. 二、多选题 7．已知双曲线：，则（     ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线的斜率为 【答案】ABD 【详解】由双曲线，得， 即， 所以双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率， 渐近线的斜率为，故A正确，B正确，C错误，D正确． 8．已知双曲线C：的离心率为2，点是C上一点，过P作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则（    ） A． B．C的渐近线方程为 C． D．的面积为 【答案】ABD 【详解】如图， 由题意可知，可得，，，∴，故A正确． 由渐近线方程为，可得，故B正确． 点到两条渐近线的距离分别为，，∴，故C错误． ∵，∴，∴由面积公式可得的面积为，故D正确． 9．已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则下列结论中正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的方程为 C． D．双曲线的渐近线方程为 【答案】BD 【详解】∵ 分别是双曲线的左、右焦点，， ∴ ，即. 设点，， ∵的面积为， ∴ ，即，解得. ∵ 直线的斜率为， ∴ ，代入，得，解得，即.    ∵ 在双曲线上，由双曲线定义得， 计算得，， ∴，即. 又， 对于A选项，双曲线离心率，故A错误. 对于B选项，双曲线C的方程为，故B正确. 对于C选项，，故C错误. 对于D选项，双曲线渐近线方程为，故D正确. 三、填空题 10．已知双曲线（，）的一条渐近线与直线平行，且双曲线的焦距为，则双曲线的方程为______． 【答案】 【详解】双曲线的一条渐近线与直线平行，，得. 又双曲线的焦距为，，得. 又，可得. 故双曲线的方程为. 11．已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为______． 【答案】 【详解】因为双曲线的一条渐近线与平行，所以， 又因为双曲线的焦点为，且双曲线的一个焦点在直线上， 而直线与x轴的交点为，所以， 所以，所以， 所以双曲线的方程为：. 四、解答题 12．根据下列条件求双曲线的标准方程： (1)过点（2，0），与双曲线1的离心率相等； (2)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M（3，﹣2）． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】 【详解】（1）过点（2，0），可知所求双曲线的焦点在x轴上，且a＝2， 因为所求双曲线与双曲线1的离心率相等； 所以e，解得c，所以b1， 所以双曲线方程为1． （2）与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M（3，﹣2）， 则可设所求双曲线的方程为k（）， 把点M（3，﹣2）代入上述方程得k，解得k＝﹣2． 所以所求双曲线的标准方程为1． 13．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得， 又由点在双曲线上，有， 代入，有，可得，， 故双曲线的标准方程为. （2）如图所示： 设点的坐标为，则，即． 双曲线的两条渐近线，的方程分别为，， 则点到两条渐近线的距离分别为，， 则． 所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值． 14．已知双曲线的一个焦点是，一条渐近线方程是. (1)求双曲线的方程； (2)斜率为1的直线与双曲线交于不同的两点为线段的中点，点，若以为直径的圆过点，求直线的方程. 【答案】(1) (2). 【分析】 【详解】（1）由题意得，，，，解得， 则双曲线的方程为. （2）设直线的方程为，， 联立，得，此时， 由韦达定理得，所以，即. 因为以为直径的圆过点，所以，即， 因为，所以，得， 所以直线的方程为， 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $