3.2.2 双曲线的简单几何性质（一）（7个题型归纳）（原卷版）人教A版2026年新高二数学暑假预习讲义

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【3.2.2 双曲线的简单几何性质（一）】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 图形 性质 范围 或， 或， 对称性 对称轴：__坐标轴______；对称中心： __原点______ 顶点 顶点坐标：________，________ 顶点坐标：________，________ 焦点 ， ， 渐近线 离心率 ________，其中 实虚轴 线段叫做双曲线的实轴，它的长________； 线段叫做双曲线的虚轴，它的长________； 叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长 的关系 ________ 2．已知双曲线方程是，点是双曲线上任意一点． （1）双曲线的焦点到渐近线的距离为______． （2）若点是双曲线右支上一点，、分别为双曲线的左、右焦点，则的最小值是_ / _____，的最小值是_ /_____． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：双曲线上的点到焦点的距离与最值】 【练方法】 公式结论 设标准双曲线，左右焦点、， 1.双曲线上任意一点满足定义式 2.右支上点：， 3.左支上点：， 4.双曲线上点到单个焦点距离取值范围： 方法技巧 1.优先区分动点在左支/右支，结合双曲线定义拆解焦半径长度 2.最值全部出现在双曲线顶点位置，无需复杂函数求最值 3.焦半径公式：右支、；左支、（为离心率，为横坐标） （23-24高二上·广西玉林·阶段检测）是双曲线 上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若 ，则______．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线，得，. 若在左支上，则，此时，故； 若在右支上，则，这与矛盾， 所以． （25-26高三下·江西·阶段检测）已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____.小试牛刀1 【答案】 【详解】，， ，， 设是C的右焦点，则， 因为是的中点，O为的中点，且， 所以由中位线性质得， 如图，当P在C的左支上时， ，，不符合题意. 如图，当P在C的右支上时， ，， 此时符合题意，故. （25-26高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ）小试牛刀2 A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线C：， 可知，即， 所以由双曲线定义可知， 解得或， 故选：C （25-26高三上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为是上的动点，则的最小值为___________．小试牛刀3 【答案】/ 【分析】不妨设点在双曲线的右支，令，则，令，得，利用函数的单调性求解． 【详解】不妨设点在双曲线的右支，令， 则，得，而， 则， 令，得 而函数在上单调递增，得， 故的最小值为． 故答案为： 【题型2：双曲线上的点到焦点与定点的距离和差问题】 【练方法】 公式结论 依托双曲线定义做恒等变形 1.求最值：替换其中一个焦半径，转化为两点之间线段最短 2.求最值：利用三角形三边关系 方法技巧 1.看见焦点距离立刻使用定义进行长度替换，把双动点距离转化为定点间定长距离 2.和的最小值：三点共线取等；差的最值：定点、动点、焦点三点共线时取得临界值 3.严格分辨动点所在分支，正负号不能混用 （25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ）经典例题1例题 A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义，将转化为，即可求其最小值. 【详解】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以 ， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. （2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ）小试牛刀1 A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质得到焦点的坐标和双曲线上的点到两个焦点的距离之差，结合三角形边的性质从而求解. 【详解】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. （2026·河北保定·三模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用双曲线的定义及三角形的性质，即可求解. 【详解】由双曲线，得，，即， 则， 当且仅当三点共线时，即时取等号，所以的最大值为. （2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________.小试牛刀3 【答案】 【详解】由题可知双曲线的实半轴长，设左焦点为， 由双曲线定义，，得， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号． 【题型3：双曲线焦点三角形的面积问题】 【练方法】 公式结论 为双曲线上一点，，焦点三角形面积 补充：若已知，，可推导出，代入面积即可得到上式 方法技巧 1.已知顶角直接套面积秒杀公式，不用联立方程组计算边长 2.已知周长、边长关系时，联立双曲线定义+余弦定理求出再算面积 3.焦点在y轴的双曲线该面积公式形式不变，只看数值 （26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______.经典例题1例题 【答案】48 【分析】根据所给条件结合双曲线的定义求出.方法一：过点作的垂线交于，求出的高，即可求出三角形的面积；方法二：在中运用余弦定理求得，求得，进而求出三角形的面积；方法三：根据海伦公式求三角形的面积. 【详解】由可得，，， ， ， 方法一：过点作的垂线交于，则， ， 所以的面积为. 方法二：在中，. 因为，所以， 所以. 方法三:根据海伦公式，，其中是三角形的三边长，得 . （25-26高三·全国·一轮复习）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，结合题设得、，再由正弦边角关系得，最后根据双曲线的定义、参数关系求曲线方程. 【详解】如图， 点必落在第四象限，， 设，，， 由，则， 因为，所以，则， 所以，则， 由正弦定理可得， 由，得，， 由，得， 所以，，，， 由双曲线的定义可得，，， 所以双曲线的方程为. （25-26高二上·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ）小试牛刀2 A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】法1，由双曲线焦点三角形的面积公式求解；法2，在焦点三角形中利用定义和余弦定理求解. 【详解】法1：由双曲线焦点三角形的面积公式可知，解得，即. 法2：由双曲线定义， 在焦点三角形中，由余弦定理得 , 即，所以， 又，所以， 整理得，解得. 故选：A. （25-26高二上·新疆喀什·期末）设和是双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足，则的面积为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：先利用双曲线定义得，再结合勾股定理，通过两式运算求出，进而得面积； 方法二：直接用双曲线焦点三角形面积公式，代入即得结果. 【详解】方法一：①，② 得． 的面积. 方法二：双曲线焦点三角形的面积公式：， 又， 所以． 故选：C. 【题型4：双曲线焦点三角形的综合问题】 【练方法】 公式结论 1.基础恒等式：，， 2.余弦定理： 3.离心率推导式：结合边长关系可推出（为焦点三角形两个底角） 4.外接圆、内切圆：内切圆圆心横坐标固定为（左右支分别对应） 方法技巧 1.综合题固定解题流程：先用定义，再用余弦定理，最后结合面积、离心率条件列式 2.出现角度、边长、周长、内切圆半径都优先使用焦点三角形基础方程组拆解 3.内切圆切点恒落在双曲线顶点，可快速简化坐标类计算 （25-26高三下·湖北孝感·开学考试）（多选）已知双曲线为坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线位于第一象限上的点，分别是的内心、重心，则下列说法正确的是（   ）经典例题1例题 A．的横坐标为 B．直线与双曲线相切 C．的最大值是 D．若轴，则 【答案】ABD 【分析】如图所示，内切圆与三边的切点分别为，延长交于，连接．对于A选项：由内切圆的性质求解；对于B选项：与的外角平分线相互垂直，由双曲线的光学性质得解；对于C：设内切圆的半径为，，化简可得，通过计算得解；对于D选项：利用重心的性质及角平分线定理及余弦定理求出，通过计算得到的范围. 【详解】如图所示，内切圆与三边的切点分别为， 延长交于，连接． 对于A选项：由题意可知、、， ，，可知， ，所以内心的横坐标为，故A正确； 对于B选项：与的外角平分线相互垂直， 由双曲线的光学性质可知直线是双曲线在点处的切线，故B正确； 对于C：设，则有， 其中为双曲线的离心率，设内切圆的半径为， 则有，化简可得， 两边同时平方，代入， 化简可得，所以，故C错误； 对于D选项：轴，由重心的性质可知， 由题意及角平分线定理可知， 则， 在中，由余弦定理可知， 代入数据可得 ， 因为，所以， 所以，故D正确． 故选：ABD. （25-26高二上·重庆大足·期中）（多选）已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀1 A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 【答案】BD 【分析】对于A，利用的面积，先求出点P的纵坐标，代入双曲线方程计算即得其横坐标；对于B，利用双曲线的焦半径长的公式求出两焦半径，即得的周长，对于C，利用余弦定理求出，结合余弦函数的图象单调性即可判断；对于D，利用等面积运算即可求得. 【详解】如图，由可得，双曲线的离心率为. 对于A，因，则的面积为， 解得，代入，因，则，故A错误； 对于B，因，， 又的周长为.故B正确； 对于C，由余弦定理可得，， 因，则，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为， 则，解得，故D正确. 故选：BD. （多选）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ）小试牛刀2 A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】BC 【分析】设点，根据求得判断A；求出点的坐标，利用两点距离求出，根据双曲线定义求出，即可判断B；结合B选项，利用余弦定理求得，则为钝角，即可判断C；由得，即可判断D． 【详解】设点． 因为双曲线，所以，，，． 对于A，，所以， 所以点到轴的距离为4，错误． 对于B，将代入得，则． 由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，正确． 对于C，结合B选项，在中，， 且，则为钝角， 所以为钝角三角形，正确． 对于D，由，得，且， 所以，所以，错误． 故选：BC （2024·重庆·三模）（多选）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A． B．直线PF1的斜率为 C．的周长为 D．的外接圆半径为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据三角形与其内切圆性质结合双曲线定义即可求解；根据已知条件、、以及与各个所需量的关系即可求出、和，进而可依次求出直线PF1的斜率、结合焦三角形面积公式得的周长、结合正弦定理得的外接圆半径. 【详解】如图1，由条件，点应在双曲线的右支上， 设圆分别与的三边切于点，则由题， 且，， 又 ，A选项正确； 由选项A得，连接、、，则， 所以，B选项错误； 同理，， ， ， 所以由焦三角面积公式得， 又，故得， 的周长为，选项正确； 由， 由正弦定理得，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：求直线PF1的斜率、的周长、的外接圆半径的关键是根据已知条件、、以及与各个所需量的关系即可求出、和. 【题型5：求共焦点的双曲线方程】 【练方法】 公式结论 1.已知椭圆，共焦点双曲线统一形式： 2.已知双曲线，共焦点双曲线系方程： 方法技巧 1.先算出公共的值，设出双曲线标准方程，带入已知点坐标求解参数 2.优先使用共焦点曲线系方程解题，省去重复计算的步骤 3.区分焦点在x轴/y轴，保证分母一正一负符合双曲线要求 （25-26高二上·青海西宁·阶段检测）与椭圆共焦点且过的双曲线方程为____________．经典例题1例题 【答案】 【分析】由题意可得椭圆的焦点为从而得双曲线的焦点为设所求双曲线的方程为，代入点坐标，结合，求解即可. 【详解】因为在椭圆中， 所以， 所以椭圆的焦点为 所以所求双曲线的焦点也为 设所求双曲线的方程为， 则有， 解得， 所以所求双曲线方程为. 故答案为： （25-26高二上·江苏扬州·期中）与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为________.小试牛刀1 【答案】 【分析】设双曲线方程为，将点代入求出的值，从而可得双曲线方程. 【详解】由题意可设双曲线方程为，又经过点， 所以，即，解得或(舍)， 所以双曲线的标准方程为， 故答案为：. 已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,得到c相等，构造方程求出即可. 【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即， 因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距， 又因为双曲线满足，即， 又由，即，解得，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 已知双曲线与共焦点，则的渐近线方程为（    ）.小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的性质计算即可. 【详解】易知，其焦点坐标为， 对于双曲线，可得，其焦点坐标为， 故， 此时，则其渐近线方程为. 故选：D 【题型6：求双曲线的渐近线方程】 【练方法】 公式结论 1.标准式，渐近线：，整体简写 2.标准式，渐近线：，整体简写 3.一般二次式，渐近线令常数项为0解方程即可 方法技巧 1.秒杀写法：把双曲线等式右侧常数直接改为0，因式分解直接写出渐近线，不用记忆斜率 2.看清焦点坐标轴：焦点x轴看，焦点y轴看 3.已知渐近线反推双曲线参数时，渐近线斜率=（x轴型） （25-26高二下·安徽马鞍山·期末）已知双曲线上一点到两条渐近线的距离之积等于，则（   ）经典例题1例题 A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式求出距离，再根据距离之积为，结合点在曲线上，化简求值即可. 【详解】由题可知：，渐近线方程为，即， 设在双曲线上，则，即， 根据点到直线的距离公式，到两条渐近线的距离分别为，， 因为点到两条渐近线的距离之积等于，所以， 又，所以，解得，又，所以. （2026·广西·模拟预测）若双曲线的一条渐近线方程为，则（    ）.小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的渐近线方程为， 故，平方得，故. （25-26高二下·安徽滁州·期末）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】双曲线的渐近线方程为， 依题意，，所以. （25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知双曲线C：，其一条渐近线被圆截得的弦长为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求双曲线的渐近线，再应用点到直线距离及几何法求弦长即可. 【详解】双曲线:的渐近线方程为， 圆，圆心，半径， 因为双曲线、圆的对称性，故取其中一条渐近线， 圆心到的距离， 故所求的弦长为. 【题型7：求共渐近线的双曲线方程】 【练方法】 公式结论 1.与共渐近线的双曲线系方程： 焦点在x轴；焦点在y轴 2.渐近线，统一系方程依旧为 方法技巧 1.遇到共渐近线题型直接设形式的曲线系，代入已知点坐标求出即可 2.算出正负快速判定焦点所在坐标轴，整理成标准双曲线方程 3.无需分别设a、b两个未知数，一个参数即可完成求解 （26-27高三·全国·一轮复习）已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________.经典例题1例题 【答案】 【详解】依题意，设双曲线M的方程为， 将点代入得,解得， 所以双曲线M的方程为. （24-25高二上·广东·期末）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设共渐近线方程，代入点坐标求参数整理方程即可． 【详解】因为双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线， 所以设双曲线方程为，将代入，可得，则， 所求双曲线的标准方程是． （25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是_________.小试牛刀2 【答案】 【分析】设双曲线方程为，将点坐标代入求值即可. 【详解】设双曲线方程为， 将点代入得，得， 故双曲线方程为. 故答案为： （25-26高二上·安徽池州·阶段检测）若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的右焦点在直线上，则双曲线的标准方程为______．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据有相同渐近线设出双曲线方程，结合已知条件求出交点坐标，即可求出双曲线方程. 【详解】由题意可设双曲线的方程为（），即， 所以，则，所以右焦点坐标为. 因为双曲线的右焦点在直线上，所以，解得. 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·陕西汉中·期末）若双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】双曲线（焦点在轴上）的渐近线方程为， 由题中方程，得，即， 所以，解得． 2．（25-26高二上·安徽六安·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．1或9 B．9 C．2或6 D．6 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义和性质可求答案. 【详解】由方程可得， 由定义可得，因为，所以或， 双曲线上的点到同侧焦点的最小距离为， 所以. 故选：B 3．（2026·吉林长春·二模）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【详解】由题意知，，所以. 在双曲线中，有，所以，又，所以. 由双曲线定义知，，即，所以或. 又，即，所以. 综上，. 4．（2026·北京·高考真题）已知双曲线：的渐近线方程为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】根据渐近线方程结合已知双曲线方程列式计算求解. 【详解】因为双曲线为，则渐近线为， 又因为渐近线为，且，所以. 5．（24-25高一上·广东·阶段检测）是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据题设及双曲线定义、圆的性质确定点到圆上点距离差的最大值. 【详解】双曲线中，如图所示：   ，，，设左、右焦点为，， ，， ， ，三点共线且在之间时取等号， ，则，共线且在之间时取等号， 所以. 故选：D 6．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）双曲线的左、右焦点分别为，右支上有一点，满足的面积为4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设，由，解出，进而得，计算，进而求解. 【详解】不妨设. 双曲线方程化成标准方程为，可得， 因为的面积为4，所以，则， 又，则，故.所以，， 则，所以， 故. 故选：C. 7．（25-26高二上·河北张家口·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义和余弦定理结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】由题意知，. 又，所以， 则，所以， 可得，则的面积为. 故选：B. 8．（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质得到三角形周长取到最小值时的动点的情况，再结合勾股定理和双曲线中之间的关系，从而得到的值. 【详解】 的周长为 ， 当且仅当三点共线时取等号， 因为，所以 ， 在中，，即，解得， 所以. 9．（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线定义得，再利用三角形两边差小于第三边，当三点共线时取等号即可求解. 【详解】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. 二、填空题 10．（25-26高二上·福建福州·期末）以直线为渐近线的双曲线的标准方程可以是___________.（只需写出一个满足条件的方程） 【答案】（答案不唯一，形如均可） 【分析】由相同渐近线的双曲线系方程即可求解. 【详解】若双曲线的渐近线方程为， 则该双曲线的方程可设为， 在这里不妨取即可满足题意. 故答案为：（答案不唯一，形如均可） 11．（2026·北京丰台·三模）双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 （或） 【分析】通过将双曲线方程化为标准形式代入渐近线公式，或直接令方程右侧常数为0化简，即可求得渐近线方程. 【详解】 方法1： 将双曲线方程化为标准形式 将原方程两边同时除以，得， 该双曲线焦点在轴上，其中实半轴长，虚半轴长， 代入渐近线公式求得； 方法2： 对于任意双曲线方程，其渐近线可令方程右侧常数项为0直接求解： 令，整理得，开方化简后即得 12．（24-25高二上·全国·课后作业）若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为______. 【答案】 【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，设双曲线方程，代入点求出参数即可. 【详解】可化为，其焦点为和， 所以双曲线焦点为和，即， 故设双曲线方程为， 因其过点，代入可得，解得或（舍去）， 故双曲线的方程为. 故答案为:. 13．（25-26高三上·河南漯河·期末）设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】通过双曲线的定义得，再利用数形结合即可求解． 【详解】设双曲线的右焦点为， ，如图所示： 由双曲线的定义得，所以， 所以，当且仅当P为线段与双曲线的右支时取等号． 故的最小值为. 故答案为： 三、解答题 14．（2.6.1双曲线的标准方程课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (3)过点，且焦点在坐标轴上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意设双曲线的标准方程为，代入点，计算求得，即得双曲线方程； （2）依题设所求双曲线方程为，代入点，计算求得的值，回代入方程即得双曲线方程； （3）依题意设双曲线的方程为，，代入点的坐标，求得的值，回代入方程即得双曲线方程. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，且， 则可设双曲线的标准方程为， 因双曲线经过点，可得，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）因所求的双曲线与双曲线有相同的焦点， 故可设所求双曲线方程为． 又双曲线过点，则得，解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）设双曲线的方程为，． 点，在双曲线上， 则有解得， 双曲线的标准方程为． 15．（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件，求双曲线方程： (1)与双曲线有公共焦点，且过点； (2)与双曲线有公共渐近线，且过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线有公共焦点得到，然后将点的坐标代入双曲线方程求解. （2）根据双曲线有公共渐近线得到，然后将点的坐标代入双曲线方程求解. 【详解】（1）解法1：设双曲线方程为. 由题意易求. 又双曲线过点， ， ， ， 故所求双曲线方程为， 解法2：设双曲线方程为， 将点代入得， ∴双曲线方程为. （2）解法1：设双曲线方程为. 由题意得，解得. 故双曲线方程为. 解法2：设所求双曲线方程为， 将点代入得. 所以双曲线方程为，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【3.2.2 双曲线的简单几何性质（一）】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 图形 性质 范围 或， 或， 对称性 对称轴：__坐标轴______；对称中心： __原点______ 顶点 顶点坐标：________，________ 顶点坐标：________，________ 焦点 ， ， 渐近线 离心率 ________，其中 实虚轴 线段叫做双曲线的实轴，它的长________； 线段叫做双曲线的虚轴，它的长________； 叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长 的关系 ________ 2．已知双曲线方程是，点是双曲线上任意一点． （1）双曲线的焦点到渐近线的距离为______． （2）若点是双曲线右支上一点，、分别为双曲线的左、右焦点，则的最小值是_ / _____，的最小值是_ /_____． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：双曲线上的点到焦点的距离与最值】 【练方法】 公式结论 设标准双曲线，左右焦点、， 1.双曲线上任意一点满足定义式 2.右支上点：， 3.左支上点：， 4.双曲线上点到单个焦点距离取值范围： 方法技巧 1.优先区分动点在左支/右支，结合双曲线定义拆解焦半径长度 2.最值全部出现在双曲线顶点位置，无需复杂函数求最值 3.焦半径公式：右支、；左支、（为离心率，为横坐标） （23-24高二上·广西玉林·阶段检测）是双曲线 上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若 ，则______．经典例题1例题 （25-26高三下·江西·阶段检测）已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____.小试牛刀1 （25-26高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ）小试牛刀2 A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 （25-26高三上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为是上的动点，则的最小值为___________．小试牛刀3 【题型2：双曲线上的点到焦点与定点的距离和差问题】 【练方法】 公式结论 依托双曲线定义做恒等变形 1.求最值：替换其中一个焦半径，转化为两点之间线段最短 2.求最值：利用三角形三边关系 方法技巧 1.看见焦点距离立刻使用定义进行长度替换，把双动点距离转化为定点间定长距离 2.和的最小值：三点共线取等；差的最值：定点、动点、焦点三点共线时取得临界值 3.严格分辨动点所在分支，正负号不能混用 （25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ）经典例题1例题 A． B． C．5 D．10 （2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ）小试牛刀1 A．12 B．15 C．16 D．18 （2026·河北保定·三模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________.小试牛刀3 【题型3：双曲线焦点三角形的面积问题】 【练方法】 公式结论 为双曲线上一点，，焦点三角形面积 补充：若已知，，可推导出，代入面积即可得到上式 方法技巧 1.已知顶角直接套面积秒杀公式，不用联立方程组计算边长 2.已知周长、边长关系时，联立双曲线定义+余弦定理求出再算面积 3.焦点在y轴的双曲线该面积公式形式不变，只看数值 （26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______.经典例题1例题 （25-26高三·全国·一轮复习）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ）小试牛刀2 A． B． C．3 D．4 （25-26高二上·新疆喀什·期末）设和是双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足，则的面积为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：双曲线焦点三角形的综合问题】 【练方法】 公式结论 1.基础恒等式：，， 2.余弦定理： 3.离心率推导式：结合边长关系可推出（为焦点三角形两个底角） 4.外接圆、内切圆：内切圆圆心横坐标固定为（左右支分别对应） 方法技巧 1.综合题固定解题流程：先用定义，再用余弦定理，最后结合面积、离心率条件列式 2.出现角度、边长、周长、内切圆半径都优先使用焦点三角形基础方程组拆解 3.内切圆切点恒落在双曲线顶点，可快速简化坐标类计算 （25-26高三下·湖北孝感·开学考试）（多选）已知双曲线为坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线位于第一象限上的点，分别是的内心、重心，则下列说法正确的是（   ）经典例题1例题 A．的横坐标为 B．直线与双曲线相切 C．的最大值是 D．若轴，则 （25-26高二上·重庆大足·期中）（多选）已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀1 A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 （多选）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ）小试牛刀2 A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． （2024·重庆·三模）（多选）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A． B．直线PF1的斜率为 C．的周长为 D．的外接圆半径为 【题型5：求共焦点的双曲线方程】 【练方法】 公式结论 1.已知椭圆，共焦点双曲线统一形式： 2.已知双曲线，共焦点双曲线系方程： 方法技巧 1.先算出公共的值，设出双曲线标准方程，带入已知点坐标求解参数 2.优先使用共焦点曲线系方程解题，省去重复计算的步骤 3.区分焦点在x轴/y轴，保证分母一正一负符合双曲线要求 （25-26高二上·青海西宁·阶段检测）与椭圆共焦点且过的双曲线方程为____________．经典例题1例题 （25-26高二上·江苏扬州·期中）与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为________.小试牛刀1 已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 已知双曲线与共焦点，则的渐近线方程为（    ）.小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：求双曲线的渐近线方程】 【练方法】 公式结论 1.标准式，渐近线：，整体简写 2.标准式，渐近线：，整体简写 3.一般二次式，渐近线令常数项为0解方程即可 方法技巧 1.秒杀写法：把双曲线等式右侧常数直接改为0，因式分解直接写出渐近线，不用记忆斜率 2.看清焦点坐标轴：焦点x轴看，焦点y轴看 3.已知渐近线反推双曲线参数时，渐近线斜率=（x轴型） （25-26高二下·安徽马鞍山·期末）已知双曲线上一点到两条渐近线的距离之积等于，则（   ）经典例题1例题 A．3 B．2 C． D． （2026·广西·模拟预测）若双曲线的一条渐近线方程为，则（    ）.小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·安徽滁州·期末）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知双曲线C：，其一条渐近线被圆截得的弦长为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：求共渐近线的双曲线方程】 【练方法】 公式结论 1.与共渐近线的双曲线系方程： 焦点在x轴；焦点在y轴 2.渐近线，统一系方程依旧为 方法技巧 1.遇到共渐近线题型直接设形式的曲线系，代入已知点坐标求出即可 2.算出正负快速判定焦点所在坐标轴，整理成标准双曲线方程 3.无需分别设a、b两个未知数，一个参数即可完成求解 （26-27高三·全国·一轮复习）已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________.经典例题1例题 （24-25高二上·广东·期末）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是_________.小试牛刀2 （25-26高二上·安徽池州·阶段检测）若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的右焦点在直线上，则双曲线的标准方程为______．小试牛刀3 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·陕西汉中·期末）若双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（25-26高二上·安徽六安·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．1或9 B．9 C．2或6 D．6 3．（2026·吉林长春·二模）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 4．（2026·北京·高考真题）已知双曲线：的渐近线方程为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 5．（24-25高一上·广东·阶段检测）是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）双曲线的左、右焦点分别为，右支上有一点，满足的面积为4，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河北张家口·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 9．（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（25-26高二上·福建福州·期末）以直线为渐近线的双曲线的标准方程可以是___________.（只需写出一个满足条件的方程） 11．（2026·北京丰台·三模）双曲线的渐近线方程为______． 12．（24-25高二上·全国·课后作业）若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为______. 13．（25-26高三上·河南漯河·期末）设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 三、解答题 14．（2.6.1双曲线的标准方程课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (3)过点，且焦点在坐标轴上． 15．（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件，求双曲线方程： (1)与双曲线有公共焦点，且过点； (2)与双曲线有公共渐近线，且过点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $