第17讲 双曲线（十大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第17讲 双曲线（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 双曲线及其标准方程 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质.本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题. 【知识点1 双曲线及其标准方程】 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫 作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 【题型1 双曲线定义及辨析】 【例1】（25-26高二上·宁夏·期末）已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的定义及双曲线上的点到焦点的距离的范围求解. 【解答过程】因为双曲线方程为，所以， 所以，所以， 由双曲线的定义可得，即， 可得或， 又当点在双曲线左支上时，， 当点在双曲线右支上时，， 所以或. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高二上·广东·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的定义可知，，再代入求解即可． 【解答过程】点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， ， ， 则． 故选：B． 【变式1-2】（25-26高二上·河北保定·期中）若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D．10 【答案】A 【解题思路】由双曲线的标准方程求得，根据双曲线定义可得答案. 【解答过程】由双曲线，得. 由双曲线的定义可知，到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为. 故选：A. 【变式1-3】（25-26高二上·四川泸州·期末）双曲线：的左、右焦点分别为，，是上一点，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【解题思路】根据双曲线的定义即可求出. 【解答过程】由题意双曲线：的，， 又是上一点，，在双曲线的右支上， 根据双曲线的定义，得，，解得. 故选：D. 【题型2 曲线方程与双曲线】 【例2】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知为实数，若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】根据双曲线方程的性质，列式计算，即可得答案. 【解答过程】由表示双曲线，得， 解得或， 故选：D. 【变式2-1】（25-26高二上·山西太原·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【解答过程】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得， 解得. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得． 【解答过程】因为方程表示双曲线， 所以，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件， 故选：B． 【变式2-3】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的标准方程列不等式，由此求得的取值范围. 【解答过程】依题意，方程表示双曲线， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 【题型3 双曲线的标准方程的求解】 【例3】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意设双曲线的标准方程为，得，解出即可求解. 【解答过程】由题意有，焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为， 且，由双曲线性质得，即①， 双曲线过点， 将其代入标准方程得：，化简为②， 联立①②，得， 解得，， 所以双曲线方程为 故选：D. 【变式3-1】（25-26高二上·天津·期中）过点，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的标准方程和关系求解即可. 【解答过程】设双曲线的方程为， 由题可得， ，所以， 解得或（舍）， 所以，所以该双曲线的方程为. 故选：. 【变式3-2】（25-26高二上·天津·期中）焦点坐标为，，且实轴长为4的双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接利用双曲线的性质计算即可. 【解答过程】由题意可知，且焦点在轴上， 所以该双曲线方程为：. 故选：A. 【变式3-3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意求得，，得到，进而求得双曲线的标准方程. 【解答过程】由椭圆，可化为标准方程，可得， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以， 又因为双曲线过点，可得，则， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B. 【题型4 求双曲线的轨迹方程】 【例4】（25-26高二上·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的定义，即可求解方程. 【解答过程】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由圆与圆的位置关系及双曲线的定义写出动圆圆心的轨迹方程. 【解答过程】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点， 所以，的双曲线的左支， 又，则，故， 动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用双曲线定义计算即可得. 【解答过程】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为. 故选：B. 【变式4-3】（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，根据题意结合斜率公式运算求解即可. 【解答过程】设， 则，整理可得， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 模块三 双曲线的焦点三角形 【知识点2 双曲线的焦点三角形】 1．双曲线的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. (2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法 方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式，求得面积. 方法二：利用公式，求得面积. (3)焦点三角形的常用结论 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为. 【题型5 双曲线中的焦点三角形问题】 【例5】（25-26高二上·河北张家口·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用双曲线的定义和余弦定理结合三角形的面积公式即可求解. 【解答过程】由题意知，. 又，所以， 则，所以， 可得，则的面积为. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【解题思路】利用双曲线的定义可求得的周长. 【解答过程】如图，由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得 ，又 ， 所以 ， 所以的周长为12． 故选：B.    【变式5-2】（25-26高二上·新疆喀什·期末）设和是双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】方法一：先利用双曲线定义得，再结合勾股定理，通过两式运算求出，进而得面积； 方法二：直接用双曲线焦点三角形面积公式，代入即得结果. 【解答过程】方法一：①，② 得． 的面积. 方法二：双曲线焦点三角形的面积公式：， 又， 所以． 故选：C. 【变式5-3】（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为，点P是双曲线上一点，若，则 的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据双曲线定义，用表示，结合余弦定理求得，再结合三角形面积公式，即可求得结果. 【解答过程】因为，所以， 在双曲线上，设 ①， 由，在中， 根据余弦定理可得，， 故，即②， 由①②可得， 得到的面积 故选：C. 模块四 双曲线的简单几何性质 【知识点3 双曲线的简单几何性质】 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率. 3．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【题型6 利用双曲线的几何性质求标准方程】 【例6】（25-26高三上·北京顺义·期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用双曲线渐近线方程，结合待定系数法即可求解. 【解答过程】由双曲线的渐近线方程为，可得， 再由过点可得：， 代入得：， 则，所以双曲线的方程为， 故选：A. 【变式6-1】（25-26高二上·贵州黔南·期末）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由双曲线方程可知双曲线的焦点在轴上，由离心率为，得，求得的值，从而求得其渐近线方程. 【解答过程】由题可知双曲线的焦点在轴上，且，，所以. 由，可得． 由离心率，可得．解得，从而， 所以双曲线的渐近线方程为，即． 故选：D． 【变式6-2】（25-26高二上·山西太原·期末）已知双曲线以圆的圆心为右焦点，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先通过圆得到双曲线的右焦点，再结合渐近线方程得到，利用 关系求得双曲线方程. 【解答过程】由圆的方程得， 所以圆心为，即为双曲线的右焦点，故， 设双曲线的标准方程为， 又因为渐近线方程为，所以，即； 由得， 故双曲线的标准方程为. 故选：. 【变式6-3】（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据焦点到渐近线的距离为1列出等式，求出，然后结合离心率求出，进而可得到双曲线的标准方程. 【解答过程】因为双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线方程为（）， 所以渐近线方程为，即. 因为焦点到一条渐近线的距离为1 ，则有， 化简解得，又离心率，所以. 所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 【题型7 双曲线的渐近线方程】 【例7】（25-26高二上·湖北黄石·期末）双曲线的焦距为6，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用双曲线的性质结合已知条件求出，再求出双曲线的渐近线方程． 【解答过程】已知双曲线的焦距为6，则，即，，则， ，，， 双曲线的渐近线方程为， 双曲线的渐近线方程为，故A正确． 故选：A． 【变式7-1】（25-26高二上·陕西汉中·期末）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件，直接求出双曲线的方程，即可求解. 【解答过程】由，得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高二上·福建泉州·期末）已知双曲线的一个顶点坐标为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】借助双曲线性质可得、，再利用渐近线方程定义计算即可得. 【解答过程】由题意可得，，则， 故双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 【变式7-3】（25-26高二上·天津南开·期末）若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意可得，，进而可求渐近线方程，注意焦点所在位置. 【解答过程】因为双曲线的虚轴长为，即， 由双曲线方程可知，且焦点在x轴上， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 【题型8 求双曲线的离心率或其取值范围】 【例8】（25-26高二上·云南德宏·期末）双曲线的其中一条渐近线的斜率为，则离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用渐近线方程可得到的关系式，进而可得到离心率. 【解答过程】由双曲线方程，得其渐近线方程为：， 又由其中一条渐近线的斜率为 ，故有， ， 由 代入可得：. 故选：D. 【变式8-1】（25-26高二上·江苏无锡·期末）双曲线的离心率为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由双曲线方程得到，再利用离心率求出，根据求解. 【解答过程】因为双曲线方程为，所以， 又，所以， 所以，解得， 故选：B. 【变式8-2】（25-26高二上·广东湛江·期末）已知双曲线，以双曲线的右顶点为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】由题知为等边三角形，进而得点A到渐近线的距离为，再结合点到直线的距离公式得，最后根据离心率公式求解即可. 【解答过程】双曲线，右顶点，不妨取渐近线方程为， 因为，， 所以为等边三角形， 所以，在正三角形中，点A到渐近线的距离为， 由点到直线的距离公式，化简得， 所以， 故选：D. 【变式8-3】（25-26高二上·广东·期末），是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，先由双曲线的定义，再利用余弦定理，由题意可得，最后再用可得、的不等关系，可得离心率. 【解答过程】由题，不妨取点为右支上的点，设， 根据双曲线的定义知：， 在三角形中，由余弦定理可得：， 又因为 可得，即， 又因为， 所以 即，. 故选：B. 【题型9 双曲线中的最值问题】 【例9】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知是双曲线的左焦点，点是双曲线的右支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的定义对所求代数式进行变形，结合两点间距离公式即可求出最小值. 【解答过程】由题意知，双曲线，，，左焦点，右焦点. 由双曲线的定义可知，双曲线右支上点满足，即， 所以，当、、共线时，等号成立. ， 故的最小值为. 故选：B. 【变式9-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设双曲线右焦点为，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差小于第三边的几何性质求解即可． 【解答过程】设双曲线的右焦点为，则，， 而（渐近线斜率）， 故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 所以的最大值为， 故选：C. 【变式9-2】（25-26高二上·江西·阶段检测）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可. 【解答过程】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式9-3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 【答案】B 【解题思路】先由已知条件得双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用圆的几何性质和双曲线的定义即可求的最大值. 【解答过程】 由，得，，则， 则双曲线的两个焦点，， 又，分别是两个圆的圆心，两圆的半径， 所以，， 则 ， 即的最大值为． 故选：B. 【题型10 双曲线的实际应用问题】 【例10】（25-26高二上·贵州·期中）在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】如图，建立平面直角坐标系，求得双曲线标准方程，当时，代入计算可解. 【解答过程】如图，建立平面直角坐标系，设该双曲线的方程为），焦距为， 由题意得，得， 所以双曲线的方程为1. 当时，， 所以该进料口的上口宽度为. 故选：B. 【变式10-1】（25-26高二上·河北张家口·阶段检测）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【解题思路】将代入双曲线得到，当得到，进而求得拱顶到水面的距离，即可判断. 【解答过程】根据题意，，，故，解得，即， 则当水面宽度为米时，即时，解得，， 因此，拱顶M到水面的距离为. 故选：D. 【变式10-2】（25-26高二上·湖北·期末）双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线在双曲线上的点、处反射后射出共线），若，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】由对称性以及几何关系得出，，再由求出的离心率，即可得. 【解答过程】连接， 因为，则，即为等边三角形， 由对称性可知，则， 又因为，即， 整理得，解得或（舍）， 所以. 故选：A. 【变式10-3】（25-26高二上·江苏泰州·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（   ）      A． B．18cm C． D． 【答案】D 【解题思路】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可. 【解答过程】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A与分别为上，下底面对应点，设双曲线的方程为， 由双曲线的离心率为，得，则， 由喉部（中间最细处）的直径为，得， 所以双曲线的方程为，设点， 由，得，所以该塔筒的高为. 故选：D.    模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的定义求解即可. 【解答过程】由双曲线C：， 可知，即， 所以由双曲线定义可知， 解得或， 故选：C. 2．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知双曲线：，则双曲线的虚轴长与实轴长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意得双曲线的标准方程，通过标准方程即可求得实轴长和虚轴长，进而可求虚轴长与实轴长之比. 【解答过程】由题意得双曲线的标准方程为， 则虚轴长为，实轴长为， 所以其虚轴长与实轴长之比为， 故选：A. 3．（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知曲线的方程为.若曲线表示的是双曲线，则的取值范围（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】由双曲线方程的结构得到，求解即可. 【解答过程】由方程表示双曲线， 可得， 解得或， 故选：D. 4．（25-26高二上·宁夏银川·期末）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的离心率可得，进而可得渐近线方程. 【解答过程】由题意可得：，解得， 且双曲线的焦点在x轴上，所以其渐近线方程为. 故选：C. 5．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的两条渐近线为，且过点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由双曲线渐近线设出双曲线方程，再根据经过的点求得方程. 【解答过程】双曲线的渐近线为，可设对应双曲线方程为：， 又双曲线经过，即，解得， 则双曲线的方程为：. 故选：C. 6．（25-26高二上·陕西安康·期末）记双曲线的左，右焦点分别为上一点满足，，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】D 【解题思路】由双曲线定义可得，从而求出，得到，求出答案. 【解答过程】由双曲线定义可知，即，故， 故，故， 所以，的周长为. 故选：D. 7．（25-26高二上·河南南阳·期末）为双曲线的右焦点，为左顶点，为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】由题知，，设双曲线的左焦点为，连接，则，在中，由余弦定理化简可得，即可求解． 【解答过程】因为，，，所以， 设双曲线的左焦点为，连接，则， 所以在中，，由余弦定理得， ， 整理得，即，得． 故选：C． 8．（25-26高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【解答过程】由圆可化为， 则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值， 即的最小值是. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二上·河南郑州·期末）关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【解题思路】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，所以C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，所以D正确. 故选：ABD. 10．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为C上的一点，则（   ） A．C的虚轴长为 B． C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 【答案】AB 【解题思路】利用双曲线的性质逐个选项分析求解即可. 【解答过程】由，得，可得的虚轴长为，故A正确， 由双曲线的定义得，故B正确， 而的离心率为，故C错误， 而渐近线方程为，故D错误. 故选：AB. 11．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知双曲线：（，）的离心率为，点为双曲线上一动点，且双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的渐近线方程为 B． C．若，则的面积为1 D．若的面积为，则为钝角三角形 【答案】ACD 【解题思路】利用离心率与点到直线距离公式可求出双曲线的方程，即可得A、B；结合双曲线定义与三角形面积公式计算可得C；利用面积可得，从而可得点坐标，再求出、、后即可得D. 【解答过程】双曲线：的渐近线方程为，焦点坐标为， 则由双曲线的焦点到渐近线的距离为1，可得 ， 由，则，即有， 解得，则，故双曲线的方程为； 对A：由双曲线的方程为，则渐近线方程为，故A正确； 对B：由双曲线的方程为，故，故B错误； 对C：设，，则， 由有 ， 又 ，故， 则，故C正确； 对D：由，则， 故有，解得，由对称性，不妨取， 则有 ， ， 又 ，故中最大角为， 由，故为钝角， 即为钝角三角形，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高二上·北京·期末）已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为4，则等于________. 【答案】 【解题思路】根据双曲线焦点在轴上，将双曲线方程转化为标准方程，再根据焦距为4，列式求解即可得到答案. 【解答过程】因为双曲线焦点在轴上， 将双曲线方程化为标准方程得， 又因为双曲线焦距为4， 则，解得. 故答案为：. 13．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于2，则点与另一个焦点的距离等于__________. 【答案】18 【解题思路】根据方程可得，结合双曲线的定义运算求解即可. 【解答过程】设双曲线的两个焦点分别为， 双曲线，即， 则，可得， 不妨设，则，即，解得， 且，符合题意， 所以点与另一个焦点的距离等于18. 故答案为：18. 14．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，右焦点为，则双曲线的方程为__________． 【答案】 【解题思路】设所求双曲线的方程为，根据该双曲线的焦点坐标求出的值，即可得出所求双曲线的标准方程. 【解答过程】由于所求等轴双曲线的焦点在轴上， 可设所求双曲线的方程为， 则，解得， 因此，所求等轴双曲线的方程为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·河南·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）判断焦点位置，利用待定系数法求解； （2）利用待定系数法求解. 【解答过程】（1）因为双曲线的焦点为，， 则焦点在上，且， 方程可设为 又经过点， 则， 又，则， 所以双曲线方程为 （2）因为焦点在y轴上， 可设方程为， 又经过点，， 则，解得， 所以双曲线方程为. 16．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6. (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的顶点，实轴长，虚轴长，焦距，渐近线方程、离心率. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）利用给定条件结合双曲线中基本量的性质得到基本量的值，再写出方程即可. （2）利用双曲线的性质求解目标元素即可. 【解答过程】（1）因为双曲线的两个焦点在轴上， 所以设双曲线方程为， 因为双曲线的两个焦点分别为，， 所以，由题意得双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6， 故，由双曲线的定义得，解得， 因为,所以,即， 得到，故双曲线的标准方程为. （2）对于双曲线，其实轴长为，虚轴长为， 焦距为，离心率为, 渐近线方程为，顶点为. 17．（25-26高二上·广东·期中）已知，，动点满足，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点在上，且，求的面积. 【答案】(1) (2)5 【解题思路】（1）根据双曲线的定义求解即可； （2）设，，由双曲线的定义和勾股定理列方程组，进而可求出，从而可得出答案. 【解答过程】（1）由双曲线的定义及， 可得点的轨迹是焦点在轴上的双曲线， 设其标准方程为（，）， 则，解得，， 所以的方程为； （2）设，，由双曲线的定义得， 因为，所以， 所以的面积为. 18．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知双曲线C：，为双曲线C的两个焦点. (1)若双曲线C的离心率，求实数m的取值范围； (2)若，为双曲线C上一点，且，求的值. 【答案】(1)； (2)10. 【解题思路】（1）根据离心率公式及关系，结合题意列式求解即可； （2）根据双曲线的定义及勾股定理列式求解即可. 【解答过程】（1）因为 ， 因为， 所以， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为. （2）当时，双曲线， 所以， 所以， 所以， 所以. 19．（25-26高二上·江西抚州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，由点在上和即可求解； （2）由点在上和数量积运算即可求出点P，再由即可计算求解. 【解答过程】（1）设， 由题意可知，当时，， 由点在上可得，即， 又，所以， 所以的方程为. （2） 由（1）可知， 则， 由题得， 解得， 所以的面积. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 双曲线（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 双曲线及其标准方程 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质.本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题. 【知识点1 双曲线及其标准方程】 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫 作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 【题型1 双曲线定义及辨析】 【例1】（25-26高二上·宁夏·期末）已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【变式1-1】（25-26高二上·广东·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 【变式1-2】（25-26高二上·河北保定·期中）若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D．10 【变式1-3】（25-26高二上·四川泸州·期末）双曲线：的左、右焦点分别为，，是上一点，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【题型2 曲线方程与双曲线】 【例2】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知为实数，若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式2-1】（25-26高二上·山西太原·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型3 双曲线的标准方程的求解】 【例3】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·天津·期中）过点，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·天津·期中）焦点坐标为，，且实轴长为4的双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【题型4 求双曲线的轨迹方程】 【例4】（25-26高二上·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 模块三 双曲线的焦点三角形 【知识点2 双曲线的焦点三角形】 1．双曲线的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. (2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法 方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式，求得面积. 方法二：利用公式，求得面积. (3)焦点三角形的常用结论 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为. 【题型5 双曲线中的焦点三角形问题】 【例5】（25-26高二上·河北张家口·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【变式5-2】（25-26高二上·新疆喀什·期末）设和是双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为，点P是双曲线上一点，若，则 的面积为（    ） A． B． C． D． 模块四 双曲线的简单几何性质 【知识点3 双曲线的简单几何性质】 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率. 3．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【题型6 利用双曲线的几何性质求标准方程】 【例6】（25-26高三上·北京顺义·期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·贵州黔南·期末）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·山西太原·期末）已知双曲线以圆的圆心为右焦点，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【题型7 双曲线的渐近线方程】 【例7】（25-26高二上·湖北黄石·期末）双曲线的焦距为6，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·陕西汉中·期末）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·福建泉州·期末）已知双曲线的一个顶点坐标为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二上·天津南开·期末）若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型8 求双曲线的离心率或其取值范围】 【例8】（25-26高二上·云南德宏·期末）双曲线的其中一条渐近线的斜率为，则离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·江苏无锡·期末）双曲线的离心率为2，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·广东湛江·期末）已知双曲线，以双曲线的右顶点为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【变式8-3】（25-26高二上·广东·期末），是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型9 双曲线中的最值问题】 【例9】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知是双曲线的左焦点，点是双曲线的右支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式9-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二上·江西·阶段检测）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 【题型10 双曲线的实际应用问题】 【例10】（25-26高二上·贵州·期中）在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26高二上·河北张家口·阶段检测）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【变式10-2】（25-26高二上·湖北·期末）双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线在双曲线上的点、处反射后射出共线），若，则（   ） A． B． C．2 D． 【变式10-3】（25-26高二上·江苏泰州·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（   ）      A． B．18cm C． D． 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 2．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知双曲线：，则双曲线的虚轴长与实轴长之比为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知曲线的方程为.若曲线表示的是双曲线，则的取值范围（    ） A． B． C． D．或 4．（25-26高二上·宁夏银川·期末）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的两条渐近线为，且过点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·陕西安康·期末）记双曲线的左，右焦点分别为上一点满足，，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 7．（25-26高二上·河南南阳·期末）为双曲线的右焦点，为左顶点，为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 8．（25-26高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 二、多选题 9．（25-26高二上·河南郑州·期末）关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 10．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为C上的一点，则（   ） A．C的虚轴长为 B． C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 11．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知双曲线：（，）的离心率为，点为双曲线上一动点，且双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的渐近线方程为 B． C．若，则的面积为1 D．若的面积为，则为钝角三角形 三、填空题 12．（25-26高二上·北京·期末）已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为4，则等于________. 13．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于2，则点与另一个焦点的距离等于__________. 14．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，右焦点为，则双曲线的方程为__________． 四、解答题 15．（25-26高二上·河南·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 16．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6. (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的顶点，实轴长，虚轴长，焦距，渐近线方程、离心率. 17．（25-26高二上·广东·期中）已知，，动点满足，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点在上，且，求的面积. 18．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知双曲线C：，为双曲线C的两个焦点. (1)若双曲线C的离心率，求实数m的取值范围； (2)若，为双曲线C上一点，且，求的值. 19．（25-26高二上·江西抚州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求的面积. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $