直线的点斜式方程、直线的两点式方程、直线的截距式方程同步练-2026年新高二暑假预习数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习聚焦直线方程三种形式，通过“例-变式”分层设计，实现从基础应用到综合探究的知识巩固，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础例|单一方程直接应用|以选择填空为主，如例1直接求平行直线方程，强化概念理解| |综合例|结合几何情境的综合应用|含多问解答题，如例3结合方向向量与倾斜角，提升推理能力| |变式拓展|跨考点与动态问题|引入旋转、平移等动态情境，如变式2直线旋转后方程，发展空间观念|

暑假预习：直线的点斜式方程、直线的两点式方程、直线的截距式方程专项训练 暑假预习：直线的点斜式方程、直线的两点式方程、直线的截距式方程专项训练 考点目录 直线的点斜式方程 直线的两点式方程 直线的截距式方程 考点一 直线的点斜式方程 例1．（25-26高二下·广东河源·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三下·重庆渝中·阶段检测）直线绕原点顺时针旋转，再向左平移1个单位，所得到的直线为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍． (1)求直线的斜率． (2)求过点，直线的点斜式方程． 例4．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）三个顶点，求： (1)边上的中线所在直线方程； (2)边上的高所在直线方程. 变式1．（25-26高二下·陕西安康·期中）过点且方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知的三个顶点分别为，是的重心． (1)试求点的坐标； (2)试求的值； (3)试求以为顶点构成的平行四边形的两条对角线所在的直线方程． 变式4．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知的三个顶点是. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程. 考点二 直线的两点式方程 例1．（25-26高二上·安徽·期末）经过点和的直线的方程为________． 例2．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 例3．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知在中，. (1)求点D的坐标； (2)试判定是否为菱形? (3)求直线AD的方程. 变式1．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）（1））（1）若直线l经过点，则直线l的方程为________； （2）若点在过点的直线上，则________. 变式2．（25-26高二上·福建厦门·期中）若三点，，在同一条直线上，则的值为___________. 变式3．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程； (2)边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线的方程. 考点三 直线的截距式方程 例1．（25-26高二上·北京朝阳·期末）直线在x轴上的截距为______． 例2．（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 例3．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知直线经过点，斜率为2. (1)求直线的截距式方程. (2)若直线与垂直，且，在y轴上的截距相等，求的截距式方程. 变式1．（25-26高二上·湖北·期中）直线过点，且在轴、轴上的截距互为相反数，则直线的方程为________. 变式2．（25-26高二上·山东烟台·期中）若直线在两坐标轴上的截距相等，则的值为__________. 变式3．（25-26高二上·湖南株洲·阶段检测）在平面直角坐标系中，过的直线与坐标轴交于两点，的面积记为. (1)当直线在轴上截距为4时，求的值； (2)当时，求直线在轴上的截距. 变式4．（25-26高二上·河北秦皇岛·期中）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为． (1)若直线经过点、，求的斜截式方程，并判断与是否平行； (2)若直线的一般式方程为，求在轴上的截距，并判断与是否垂直． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：直线的点斜式方程、直线的两点式方程、直线的截距式方程专项训练 暑假预习：直线的点斜式方程、直线的两点式方程、直线的截距式方程专项训练 考点目录 直线的点斜式方程 直线的两点式方程 直线的截距式方程 考点一 直线的点斜式方程 例1．（25-26高二下·广东河源·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为. 又所求直线经过点，由点斜式得 ， 整理得，即. 例2．（25-26高三下·重庆渝中·阶段检测）直线绕原点顺时针旋转，再向左平移1个单位，所得到的直线为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线绕原点顺时针旋转，求出旋转后的直线的斜率，再结合平移知识，可得到所求直线. 【详解】设的倾斜角为，则， 当直线绕原点顺时针旋转时， 旋转后的直线的倾斜角为， 其斜率为， 该直线方程为， 再将该直线向左平移1个单位可得：，即. 例3．（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍． (1)求直线的斜率． (2)求过点，直线的点斜式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用方向向量求出直线的倾斜角，进而求出直线的倾斜角及斜率. （2）由（1）的结论，利用直线的点斜式方程写出即可. 【详解】（1）由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 因此直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. （2）由（1）知：直线的斜率为，而直线过点 所以直线的点斜式方程为. 例4．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）三个顶点，求： (1)边上的中线所在直线方程； (2)边上的高所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点坐标求法，和点斜式方程，求出直线方程即可； （2）根据直线垂直的斜率性质，以及点斜式方程，求出直线方程即可； 【详解】（1）设的中点为，所以，所以， 所以， 根据点斜式方程得，即 （2）设边上高所在直线的斜率为，由题意得，由，所以， 根据点斜式方程得，即. 变式1．（25-26高二下·陕西安康·期中）过点且方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】由题意可知，所求直线的斜率为，故所求直线的方程为，即. 变式2．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助两角和的正切公式可得该直线斜率，再利用直线方程的点斜式求解即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 由直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线， 故直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 又在直线上，故直线过点， 即直线的方程为，化简得. 变式3．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知的三个顶点分别为，是的重心． (1)试求点的坐标； (2)试求的值； (3)试求以为顶点构成的平行四边形的两条对角线所在的直线方程． 【答案】(1)； (2)； (3) ①对角线（为第四个顶点） 所在直线方程为. 的方程为. ②对角线（为第四个顶点） 所在直线方程为. 的方程为. ③对角线（为第四个顶点） 所在直线方程为. 的方程为. 【分析】（1）根据重心坐标与三角形顶点坐标的关系计算即可. （2）根据斜率公式计算即可. （3）以为顶点可构成三个不同的平行四边形，求这三个平行四边形的所有对角线所在的直线方程. 【详解】（1）因为的三个顶点分别为，是的重心 所以重心坐标为，即. （2）因为的三个顶点分别为， 所以. 所以. （3）以为顶点的平行四边形有三种情况，对应三组对角线： ①对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. ②对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. ③对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. 变式4．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知的三个顶点是. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由中点坐标公式得到中点的坐标，然后得到，由点斜式写出中线所在直线的方程； （2）由所在直线的斜率求得高所在直线斜率，由点斜式写出高所在直线的方程. 【详解】（1）因为， 所以的中点的坐标为. 又. 所以边上的中线所在的直线方程为， 即. （2）因为， 所以. 设边上的高所在的直线的斜率为， 所以，得. 所以边上的高所在的直线方程为， 即. 考点二 直线的两点式方程 例1．（25-26高二上·安徽·期末）经过点和的直线的方程为________． 【答案】 【分析】已知两点， 利用两点式化简得到一般式方程即可. 【详解】由已知得直线的方程为，即． 例2．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 【答案】 【详解】设，由，，的中点，的中点， 则，． 因为点在轴上，所以，所以． 因为点在轴上，所以， 所以，即， 所以，， 所以直线的方程为，即． 例3．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知在中，. (1)求点D的坐标； (2)试判定是否为菱形? (3)求直线AD的方程. 【答案】(1) (2)是 (3) 【分析】（1）运用直线的斜率相等构造方程组计算D坐标； （2）运用直线斜率乘积判断，进而判断菱形； （3）运用两点式得到直线AD方程. 【详解】（1）设，因为四边形为平行四边形， 所以 所以解得，所以 （2）因为 所以， 所以.所以为菱形. （3）由于则直线AD方程为：，化简得到直线AD方程为:. 变式1．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）（1））（1）若直线l经过点，则直线l的方程为________； （2）若点在过点的直线上，则________. 【答案】 【分析】（1）由两点横坐标相等，即可直接确定直线方程； （2）利用斜率两点式列方程求参数. 【详解】（1）由点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为. （2）由斜率两点式，即，可得. 故答案为：；. 变式2．（25-26高二上·福建厦门·期中）若三点，，在同一条直线上，则的值为___________. 【答案】 【分析】求出直线的方程，将代入直线方程，求出答案. 【详解】由题意得直线的方程为，即， 将代入直线中，则，解得. 故答案为： 变式3．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程； (2)边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两点式和截距式求解直线方程即可； （2）根据直线垂直时斜率的性质，以及点斜式方程求解即可； （3）根据直线垂直时斜率的性质，以及点斜式方程求解即可； 【详解】（1）由两点式得边所在直线方程为，即. 由截距式得边所在直线方程为，即. （2）设的中点为，由中点坐标公式可得， 因为，所以垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线方程为，即. （3）因为，所以高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即. 考点三 直线的截距式方程 例1．（25-26高二上·北京朝阳·期末）直线在x轴上的截距为______． 【答案】 【分析】根据在x轴上的截距的概念，列出方程，求出结果即可. 【详解】当时，得，解得，即在x轴上的截距为. 故答案为：. 例2．（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 【答案】或 【分析】根据题意设直线的方程为，求截距，列式求解即可. 【详解】由题意可知直线斜率存在且不为0，设直线的方程为， 令，解得；令，解得， 可得，解得或， 所以直线方程为或. 故答案为：或. 例3．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知直线经过点，斜率为2. (1)求直线的截距式方程. (2)若直线与垂直，且，在y轴上的截距相等，求的截距式方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再化成直线的截距式方程即得. （2）求出直线的斜率及方程，再化成直线的截距式方程即可. 【详解】（1）依题意，直线的方程为：，即， 所以直线的截距式方程为. （2）由直线与垂直，得直线的斜率为，由（1）知，直线在y轴上的截距为， 于是直线的方程为，即， 所以直线的截距式方程为. 变式1．（25-26高二上·湖北·期中）直线过点，且在轴、轴上的截距互为相反数，则直线的方程为________. 【答案】或 【分析】分截距为0和不为0两种情况讨论求解.在截距不为0的情况下，利用直线的截距式求解. 【详解】当轴、轴上的截距为0时，直线过，又过，则， 的方程为，即； 当轴、轴上的截距不为0时，直线在轴、轴上的截距互为相反数， 设直线的方程为，又过，， ，设直线的方程为，即. 综上可知，直线的方程为或. 故答案为：或. 变式2．（25-26高二上·山东烟台·期中）若直线在两坐标轴上的截距相等，则的值为__________. 【答案】1或2 【分析】根据给定条件，利用直线在坐标轴上的截距的意义列方程求解. 【详解】依题意，，直线在轴上的截距分别为， 因此，解得或，所以的值为1或2. 故答案为：1或2 变式3．（25-26高二上·湖南株洲·阶段检测）在平面直角坐标系中，过的直线与坐标轴交于两点，的面积记为. (1)当直线在轴上截距为4时，求的值； (2)当时，求直线在轴上的截距. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两点式得直线的方程，进而得纵截距，利用三角形面积公式即可求解； （2）设直线，进而得，解出即可求解. 【详解】（1）当直线在轴上截距为4时，直线l过点，又直线l过， 根据两点式得，即， 令得， 所以的面积； （2）由题知，截距一定不为0，不妨设直线， 所以或， 解得或或或， 所以直线在轴上的截距为或. 变式4．（25-26高二上·河北秦皇岛·期中）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为． (1)若直线经过点、，求的斜截式方程，并判断与是否平行； (2)若直线的一般式方程为，求在轴上的截距，并判断与是否垂直． 【答案】(1)的斜截式方程为， (2)在轴上的截距； 【分析】（1）求出直线的斜率，结合直线过点，可得出直线的点斜式方程，即可得出直线的斜截式方程，再利用斜率关系可判断出直线与的位置关系； （2）在直线的方程中，令，可求出直线在轴上的截距，然后利用斜率关系可得出直线和的位置关系. 【详解】（1）直线的斜率，直线过点，直线的点斜式方程为， 故直线的斜截式方程为. 直线的斜率,， 显然点不在直线上，故. （2）在直线的方程中令，得，故直线在轴上的截距为， 直线的斜率为，所以，故. 2 学科网（北京）股份有限公司 $