3.1.1椭圆及其标准方程同步练-2026年暑假预习新高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以椭圆定义为起点，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层递进设计，强化从概念辨析到综合应用的知识巩固路径，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|椭圆定义及简单距离计算|填空与单选结合，强化定义本质理解（如定义条件辨析、双焦点距离和计算）| |技能应用|方程判断与a/b/c参数求解|单选、多选及填空搭配，提升方程识别与参数运算能力（如方程充要条件、焦距计算）| |综合拓展|轨迹方程与焦点三角形综合|解答题与多选题结合，深化定义应用与几何性质综合（如轨迹方程推导、焦点三角形面积及性质判断）|

3.1.1椭圆及其标准方程 一、椭圆的定义及辨析 1．椭圆的定义 平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做________．其数学表达式：集合，，其中，，且，为常数： （1）若________，则集合为椭圆； （2）若________，则集合为线段； （3）若________，则集合为空集． 2．椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．若，则________． 3．若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离是__________. 二、判断方程是否为椭圆 1．设，“曲线为椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则方程表示（ ） A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆 C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线 4．方程表示椭圆的充要条件是__________． 5．（多选题）已知方程，则下列说法正确的有（　　） A．当时，方程表示直线 B．当时，方程表示的曲线是圆 C．当时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆 D．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 三、求椭圆中的a、b、c 1．椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 2．已知椭圆的一个焦点为，则（   ） A． B． C．1 D．3 3．已知椭圆的一个焦点坐标为，则m的值为（    ） A． B．4 C． D．35 4．椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为__________. 5．椭圆的一个焦点坐标是，则的值为______. 6．椭圆的焦距为________． 四、利用椭圆定义求标准方程 1．已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 4．两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．（多选题）若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的两个焦点坐标分别为，，并且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，当点在椭圆上运动时 ①线段的中点的轨迹方程； ②不过原点且斜率为2的直线与点的轨迹交于A，B两点，求的面积最大值. 7．已知椭圆过点，求椭圆的方程. 五、椭圆中焦点三角形问题 1．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 2．已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 3．若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，若，则_______． 5．已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 6．（多选题）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，则（   ） A．的最大值为4 B．不存在点，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有四个 7．（多选题）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（   ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 参考答案 一、椭圆的定义及辨析 1．椭圆 2．4 3．4 二、判断方程是否为椭圆 1．A 2．C 3．B 4．答案不唯一 5．ABD 三、求椭圆中的a、b、c 1．D 2．A 3．D 4．6 5．1 6． 四、利用椭圆定义求标准方程 1．B 2．A 3．D 4．B 5．BD 6．(1) (2)①；② 7． 五椭圆中焦点三角形问题 1．B 2．D 3．B 4． 5． 6．AB 7．BD 学科网（北京）股份有限公司 $