1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系课后同步练习（基础版）-2026年新高二暑假预习数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量研究直线、平面位置关系，以基础概念辨析、坐标运算到综合证明为进阶路径，分层设计适配暑假巩固需求，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础概念|法向量、方向向量定义及辨析|单选直接考查定义（如第1题法向量选择）| |技能应用|向量坐标运算、位置关系判断|结合简单几何体（如第7题长方体中线线关系）| |综合证明|几何体中平行垂直证明|解答题综合空间向量工具应用（如第14题正四棱柱证明）|

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系课后同步练习（基础版） 1．（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河北·阶段检测）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知，，若，则（   ） A．2 B． C． D． 6．（25-26高二下·江苏镇江·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 7．（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 8．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）如图，四棱柱为正方体，则（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 9．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．在四面体中，若，则四点共面 B．若是四面体的底面三角形的重心，则 C．若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为 D．若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在单位正交基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 10．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 11．（25-26高二下·福建龙岩·期末）（多选）若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．（2026高二上·全国·专题练习）已知平面ABC，且，，，则平面ABC的一个法向量为______． 13．（25-26高二·全国·课前预习）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体，    ①直线DD1的一个方向向量为； ②直线BC1的一个方向向量为； ③平面ABB1A1的一个法向量为； ④平面B1CD的一个法向量为； 则上述结论正确的是___________（填序号） 14．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 15．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 16．（25-26高二上·四川雅安·期中）如图，在正方体中，分别是的中点． (1)用空间向量法证明：平面； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系课后同步练习（基础版） 1．（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面法向量的求解过程求解即可． 【详解】设平面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， ，即平面的一个法向量为． 故选：B． 2．（25-26高三上·河北·阶段检测）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平面内的两个不共线向量的坐标，然后根据法向量的定义验证． 【详解】由题意，，，是中点，则， 因此， 对于A选项，，不是法向量，A错； 对于B选项，，是法向量，B正确； 对于C选项，，不是法向量，C错； 对于D选项，，不是法向量，D错； 故选：B． 3．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所在向量，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，利用共线向量的概念逐一计算判断选项． 【详解】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． 4．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何图形和向量基本定理以及方向向量的定义进行求解即可. 【详解】根据题意可得，. 所以直线的一个方向向量为. 故选：D. 5．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知，，若，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，，解得. 6．（25-26高二下·江苏镇江·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 已知，， 则，； 由与互相垂直，可得 ， 代入坐标计算得： 整理得，解得. 7．（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 【答案】C 【详解】如图建立空间直角坐标系：以为原点，分别以为轴， 根据已知边长，，，写出各点坐标： ，是中点，得； 是中点，得, 求向量： , 计算向量的数量积可得：， 由数量积为0可判断两向量垂直，即与垂直. 8．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）如图，四棱柱为正方体，则（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】ABC 【分析】根据空间直线的方向向量的概念以及平面的法向量的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】设正方体的棱长为， 对于选项A，由，，则，所以与平行， 故直线的一个方向向量为，故选项A正确； 对于选项B，由，，则， 所以与平行，故直线的一个方向向量为，故选项B正确； 对于选项C，由，，则， 又是平面的一个法向量，且与平行， 所以平面的一个法向量为，故选项C正确； 对于选项D，由，，则， 又，则与不垂直， 所以不是平面的一个法向量，故选项D不正确． 故选：ABC 9．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．在四面体中，若，则四点共面 B．若是四面体的底面三角形的重心，则 C．若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为 D．若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在单位正交基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 【答案】BD 【分析】借助空间向量共面定理可得A；借助重心性质及空间向量线性运算可得B；由向量数量积公式可得且不共线，解出即可得C；借助空间向量线性运算可得D. 【详解】对A：由，根据空间向量共面定理可得四点不共面，故A错误； 对B：由是三角形的重心，则, 即有， 化简得，故B正确； 对C：若向量的夹角为钝角， 则且不共线，即且， 即且，故C错误； 对D：由题意可得， 故向量在基底下的坐标为，故D正确. 故选：BD. 10．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 【答案】ABC 【详解】已知在空间直角坐标系中，，，原点， 则 ，，. 选项A：的模长， 因此A正确； 选项B：，因此B正确； 选项C：已知，且，因此，解得，因此C正确； 选项D：已知，且，因此，解得，因此D错误. 11．（25-26高二下·福建龙岩·期末）（多选）若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】由题意可知若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项A正确； 若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项B错误； 若，则，所以，选项C正确. 若，则，所以，所以或者，选项D错误. 12．（2026高二上·全国·专题练习）已知平面ABC，且，，，则平面ABC的一个法向量为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平面法向量的性质，用待定系数法即可求得平面的一个法向量. 【详解】，， 设平面ABC的法向量为， 则，即， 令，得，， 故平面ABC的一个法向量为． 故答案为：（答案不唯一）． 13．（25-26高二·全国·课前预习）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体，    ①直线DD1的一个方向向量为； ②直线BC1的一个方向向量为； ③平面ABB1A1的一个法向量为； ④平面B1CD的一个法向量为； 则上述结论正确的是___________（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据向量的平行、方向向量、法向量及坐标运算求解即可. 【详解】设正方体的棱长为1. 因为，且，所以①正确； 因为，，所以②正确； 因为平面，，所以③正确； 因为正方体中平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，而与相交，不平行，与平面不垂直， 故不是平面的法向量，所以④错误. 故答案为：①②③. 14．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）空间向量法求解，求出，得到，从而得到结论； （2）方法一：求出平面DEB的一个法向量，求出，从而得到证明；方法二：求出，利用向量垂直的公式及线面垂直的判定定理得解. 【详解】（1）如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. （2）方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得：， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 15．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得向量和的坐标，得到，即可证得． （2）求得向量和平面的法向量，得到，即可证得平面． 【详解】（1）证明：正四棱锥的侧棱长与底边长都为， 可得，且， 由点， 则， 因为， 所以，所以． （2）解：由点，可得 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又由点，可得， 则， 又因为平面，所以平面． 16．（25-26高二上·四川雅安·期中）如图，在正方体中，分别是的中点． (1)用空间向量法证明：平面； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ． 设平面的法向量为， 则取，则，得， 平面． (2)存在，在的延长线上，且 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据共线求证， （2）根据法向量与直线的方向向量垂直即可求解. 【详解】（1）略 （2）存在点，使得平面，在的延长线上，且． 由题意得， 设，则， 平面，得． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $