2.1.1 倾斜角与斜率（6个题型归纳）（原卷版）人教A版2026年新高二数学暑假预习讲义

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【2.1.1 倾斜角与斜率】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．直线的倾斜角 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线首次重合时所成的角，称为直线的倾斜角 规定 当直线和轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0______ 记法 图示 范围 作用 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角刻画了直线的__倾斜程度______，倾斜角越接近，__倾斜程度______越大 2．直线的斜率 如图，在直线上任取两个不同的点，，记（_______0），，则在直线上点平移到点，相当于在横轴上改变了，即横坐标的改变量为，在纵轴上改变了，即纵坐标的改变量为．因此，比值反映了直线的倾斜程度． 由图可知，的大小与两点，在直线上的位置无关，称________（其中________）为经过不同两点，的直线的斜率． 3．直线的方向向量 （1）定义： 一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线l__平行或重合________，则称向量为直线l的一个方向向量，记作_______． （2）性质： ①如果为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数，向量____都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定__共线____． ②如果是直线l上两个不同的点，则_____ _____________是直线的一个方向向量. 4．倾斜角与斜率关系 图示 倾斜角 (范围) _90°__ 斜率 (范围) __ __ ____ 不存在 _____ k的增 减情况 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求直线的倾斜角】 【练方法】 公式结论 1.斜率与倾斜角对应关系 2.分段对应规则 斜率不存在 方法技巧 1.先计算直线斜率再结合正切函数分段求倾斜角 2.斜率不存在时直接判定倾斜角为 3.负斜率不可直接取反正切必须加匹配倾斜角取值区间 （26-27高三·全国·一轮复习）若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　）经典例题1例题 A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】∵直线的方程为， ∴直线与轴垂直. 因此直线的倾斜角是. （25-26高一下·山东青岛·期末）若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为________．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据方向向量计算斜率，利用斜率与倾斜角的关系计算． 【详解】由直线的方向向量， 可得斜率，则倾斜角满足； 因为，可得． （24-25高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算直线AB的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. （25-26高二上·陕西汉中·期中）直线的倾斜角是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 【题型2：由两点求斜率】 【练方法】 公式结论 1.设直线上两点 2.若分母为0直线斜率不存在倾斜角为 3.坐标差等价变形比值不变 方法技巧 1.纵坐标之差作分子横坐标之差作分母两点顺序可互换 2.横坐标相等时直接判定斜率不存在 3.分数结果化为最简形式便于后续判断正负 易错提醒 1.分子分母坐标差顺序不统一符号计算出错 2.横坐标相等仍套用斜率分式公式出现分母为0无意义算式 （25-26高二下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（    ）经典例题1例题 A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】. （25-26高二·全国·暑假作业）经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________.小试牛刀1 【答案】 【详解】设此直线的倾斜角为，则. 因为，所以. （25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. （25-26高二上·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直线经过两点，得直线的斜率， 则直线的倾斜角，直线的倾斜角为， 所以的斜率为. 【题型3：由斜率求参数】 【练方法】 公式结论 1.两点斜率等式为已知定值 2.斜率不存在约束两点横坐标相等 3.倾斜角对应斜率范围 方法技巧 1.将含参坐标代入两点斜率公式构建分式方程求解参数 2.已知倾斜角范围转化为斜率正负约束列不等式求参数区间 3.解出参数后回代检验分母不为0排除斜率不存在的矛盾解 易错提醒 1.求解参数后未检验横坐标相等保留使斜率无意义的解 2.倾斜角为钝角时遗漏斜率小于0的约束条件 （25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，整理得，解得. （25-26高二上·山东菏泽·期末）已知经过两点的直线的方向向量为，则的值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】应用两点得出直线斜率，再根据方向向量得出斜率，最后列式求参数. 【详解】经过两点的直线斜率为， 又因为直线的方向向量为，则直线斜率为， 所以，即. 故选：C. （25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知点，，若直线的倾斜角为，则（   ）小试牛刀2 A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】此题利用倾斜角求出斜率，代入两点坐标列方程求解，再检验分母不为零即可得到结果. 【详解】若直线的倾斜角为，则直线的斜率为1，即，且，化简得，且，解得或且，，所以． 故选： D． （25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（    ）小试牛刀3 A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据直线的倾斜角求出其斜率，再由过两点， 的直线的斜率公式为求出的值. 【详解】直线的倾斜角为，故其斜率， 根据两点间斜率公式可得：，解得. 故选：B 【题型4：斜率与倾斜角的变化关系】 【练方法】 公式结论 1.区间单调递增值域 2.区间单调递增值域 3.分界点函数间断斜率不存在 方法技巧 1.分左右两段分别分析单调性不可将视作连续单调区间 2.已知斜率范围反向拆分两段倾斜角区间 3.借助正切函数图像直观判断角度增减对应的斜率变化 易错提醒 1.误认为上整体单调递增 2.忽略处间断点跨区间直接比较斜率大小 （2026高三·全国·专题练习）直线倾斜角的范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. （24-25高二上·天津红桥·阶段检测）若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________．小试牛刀1 【答案】 【分析】由直线倾斜角的范围再结合正切函数的单调性即可求出的取值范围. 【详解】当时，，所以； 当时，，即； 所以的取值范围是. （2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． （25-26高三下·江苏南通·开学考试）设直线，的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则“”是“”的（    ）小试牛刀3 A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用举反例来作出既不充分也不必要条件的判断. 【详解】举反例：取，，满足， 但，，此时， 举反例：取（对应），（对应）， 满足，但， 因此“”是“”的既不充分也不必要条件. 【题型5：直线与线段的相交关系求斜率范围】 【练方法】 公式结论 1.设线段端点定点直线过与线段MN相交 2.临界斜率为 3.直线垂直轴为临界时斜率不存在单独划分区间 方法技巧 1.计算定点与线段两个端点连线的临界斜率 2.画出平面直角坐标系草图判断斜率区间是两段分开或一段连续 3.若中间包含垂直轴直线区间分为小于小临界值与大于大临界值两部分 易错提醒 1.草图判断区间方向颠倒斜率范围取反 2.遗漏垂直x轴斜率不存在的临界情况 （25-26高二上·陕西西安·期中）已知点，，若直线与线段（包括端点）总有公共点，则实数的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程可确定直线过定点；求出有公共点的临界状态时的斜率，即和；根据位置关系可确定的范围. 【详解】直线经过定点，又点，， 所以，， 又因为直线的斜率为，所以结合图形可得的取值范围为. 故选：A.    （25-26高二上·山西太原·期中）已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在坐标系中标出这三个点，然后根据直线和线段有公共点的临界情况分析. 【详解】由题， 如图，由图可知直线斜率. 故选：B （25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点.小试牛刀2 (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，由此可得出当直线与线段无公共点时直线的斜率的取值范围； （2）分、两种情况讨论，利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】（1）因为、、， 所以，， 先考虑直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以，当直线与线段有公共点，直线的斜率的取值范围是．    故当直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围为. （2）因为，当时，， 当时，， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. （25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知直线与线段不相交，其中，，则直线斜率的取值范围为_______．小试牛刀3 【答案】 【分析】求出直线所过定点和，再数形结合即可求解. 【详解】直线过定点， 则，如图， 则由图可知当直线与线段相交时或.    故直线与线段不相交时，斜率的取值范围为. 故答案为：. 【题型6：斜率公式的应用】 【练方法】 公式结论 1.斜率几何意义表示两点连线倾斜程度 2.分式最值转化：形如的代数式看作点与定点连线的斜率 3.平行直线斜率相等 垂直直线斜率满足（两直线斜率均存在） 方法技巧 1.分式型代数式最值问题转化为动点与定点连线斜率范围求解 2.证明三点共线验证任意两组两点斜率相等 3.利用平行垂直斜率等量关系构建方程求坐标参数 易错提醒 1.垂直直线有一条斜率不存在时仍套用 2.动点范围未结合图形限制求出超出定义域的斜率最值 （2025高二上·河南安阳·专题练习）已知实数满足，则的最大值为______．经典例题1例题 【答案】8 【分析】根据斜率的两点式确定目标式的几何意义，再应用数形结合求目标式的最大值. 【详解】由的几何意义是 图象上的点与点连线的斜率． 如图所示，直线的倾斜角始终为锐角，结合正切函数在上单调递增， 当直线过点时斜率最大，将代入，得最大值为8． 故答案为：8 已知函数，且，则，，的大小关系是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把，，分别看作函数图象上的点与原点确定直线的斜率，结合图象即可得答案． 【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率， 画出函数的图象，如图， 直线的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是. 故选：A （24-25高二上·河南周口·阶段检测）已知，平面内三点共线，则________．小试牛刀2 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】解：因为三点共线， 所以， 又因为， 所以， 整理得：， 即， 又因为， 解得. 故答案为： （23-24高二上·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是_______.小试牛刀3    【答案】 【分析】根据题意线段，，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【详解】由题意知：，，设，则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：, 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 故答案为：.    课后过关检测 一、单选题 1．（2026·宁夏吴忠·二模）已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系求解. 【详解】直线的斜率为，又因为直线的一个方向向量为，所以该直线的斜率也为，故. 故选：C. 2．（25-26高二上·四川南充·期中）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合图象应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【详解】直线倾斜角为，当时，其斜率，函数的图象如图， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角，则， 所以． 故选：C 3．（25-26高二下·上海·期中）直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的斜率为， 设倾斜角为，则， ． 4．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，结合斜率的范围求解即可. 【详解】若，直线的方程为，所以直线的倾斜角，排除A，C. 若，则， 所以， 又，所以， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D. 5．（25-26高二上·海南·阶段检测）若直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由斜率和倾斜角的关系得到，并判断出倾斜角为锐角，再由同角三角函数关系求出，最后由得到答案. 【详解】直线的斜率为，所以， 即，且倾斜角为锐角； 又因为，所以得到； 所以； 故选：D 6．（2026·重庆·模拟预测）若倾斜角为的直线的方向向量为，则（   ） A． B． C．-5 D．5 【答案】A 【分析】由方向向量求倾斜角正切值，再用两角和公式计算即可. 【详解】因为倾斜角为的直线的方向向量为， 所以 所以. 故选：A. 7．（2026·湖北·二模）将直线绕点逆时针旋转（为锐角，其中）后所得直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题目条件计算出旋转后的直线斜率，再利用点斜式列出方程. 【详解】设直线的倾斜角为，所求直线倾斜角为α， 又为锐角，其中，所以，则， 即，故直线方程为． 故选：A 8．（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. 9．（25-26高一下·全国·课堂例题）关于直线的倾斜角和斜率，下列正确的个数是（   ） ①任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；③平行于轴的直线的倾斜角是0或；④两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；⑤直线斜率的范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据倾斜角和斜率的定义逐项判断即可. 【详解】对于①，任一条直线都有倾斜角，但当直线的倾斜角为时，此直线的斜率不存在，所以①不正确； 对于②，当直线的倾斜角大于时，它的斜率为负数，而倾斜角为锐角时，其斜率为正数，大于所有负数， 所以不能说直线的倾斜角越大，它的斜率就越大，所以②不正确； 对于③，平行于轴的直线的倾斜角只能是0，所以③不正确； 对于④，一般地，两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；但如果这两条直线的倾斜角都是， 它们斜率都不存在，也就不能说它们斜率相等，所以④不正确； 对于⑤，直线斜率的范围是，满足定义，所以⑤正确． 故选：A． 10．（24-25高二上·湖南常德·期中）直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，可得倾斜角，当时，由直线方程可得斜率，然后由余弦函数和正切函数的性质求解． 【详解】当时，直线的方程为，此时倾斜角， 当时，由直线方程可得斜率， 因为且， 所以，即， 又，所以， 综上， 故选：D 11．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的法向量得到直线的方向向量，进而求得直线的斜率，利用斜率与 倾斜角的关系求范围. 【详解】由直线的法向量为可得：直线的方向向量可取为. 当时，，此时直线垂直于轴，. 当时，直线的斜率，， 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 综上可得：的取值范围是. 故选：A. 12．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先充分性验证：通过举反例直接否定充分性; 必要性验证：设()，由推出，进而得. 【详解】直线的斜率(，且). 充分性，已知，设，，则，，，，则充分性不成立. 必要性，由可知，异号，设： ，则； ，令()，则. 已知，代入得， 即. 因为正切函数在上单调递增， 所以，所以， 又因为，所以，代入得 化简得，所以， 必要性成立. 故选：B 13．（25-26高二上·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，所在直线的斜率存在且分别为．若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】不妨设直线的倾斜角为，则直线的斜率分别为，由得到，由，得到的方程，计算得解. 【详解】不妨设直线的倾斜角为， 则直线的斜率分别为， ，， 又，，即． 又，， 化简得， 解得（负值舍去）． 故选：D. 二、多选题 14．（2023·广东·二模）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，结合图象分析运算. 【详解】因为选项斜率均为正值，不妨假设所在的直线过点， 设直线的倾斜角为，斜率为， ①若所在的直线过点，如图，可得， 因为，即，则； ②若所在的直线过点，如图，可得， 因为，即，则； ③若所在的直线过点，如图，可得， 因为，即，则； 综上所述：的可能值为. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，数形结合处理问题. 三、填空题 15．（25-26高二下·上海·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么_____. 【答案】 【详解】过、两点的直线的倾斜角为， 说明的横坐标相同，且纵坐标不同，即. 16．（25-26高二下·上海·期中）直线与的夹角的大小为_______． 【答案】 【分析】根据直线的方程求直线的斜率，根据直线的斜率求直线的倾斜角，从而得到两条直线的夹角． 【详解】因为直线的斜率不存在，故它的倾斜角为， 又的斜率为，故它的倾斜角为， 故这两条直线的夹角的大小为． 17．（25-26高二下·上海·期中）若直线的一个法向量为，则的倾斜角为_______． 【答案】 【分析】利用直线的法向量与方向向量的关系，进而得直线的斜率，最后求得倾斜角. 【详解】因为直线的一个法向量为， 可得直线的其中一个方向向量为， 所以直线的斜率，设直线的倾斜角为，， 可得，所以． 18．（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【答案】 【分析】根据斜率公式可得关于m的方程，求解可得实数的值. 【详解】由题可知，直线的斜率为. 所以，化简得， 即，解得. 故答案为：. 19．已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则___________. 【答案】 【分析】根据已知条件易得四边形为正方形，再由是以角为顶角的等腰三角形得到必为边的中点，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得和，再利用同角三角函数的基本关系和诱导公式得到答案即可. 【详解】由题中条件可得，，且不重合， 所以，，所以四边形为平行四边形， 如图，连接， 由两点间距离公式得，所以平行四边形为菱形， 因为，所以，所以菱形为正方形， 因为为边的中点，是以角为顶角的等腰三角形， 所以必为边的中点，则，， 所以， 由题意得，所以，因为， 解得，(负根舍去)，直线与轴垂直， 则，所以. 故答案为： 20．（25-26高三上·重庆·阶段检测）若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为______． 【答案】 【分析】确定线段端点与直线的位置关系，先代入端点计算，再解不等式即可. 【详解】将 代入直线方程： ， 将 代入直线方程： ， 因为直线 与线段 有公共点， 所以，所以解集为 ， 即实数 的取值范围为 ， 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【2.1.1 倾斜角与斜率】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．直线的倾斜角 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线首次重合时所成的角，称为直线的倾斜角 规定 当直线和轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0______ 记法 图示 范围 作用 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角刻画了直线的__倾斜程度______，倾斜角越接近，__倾斜程度______越大 2．直线的斜率 如图，在直线上任取两个不同的点，，记（_______0），，则在直线上点平移到点，相当于在横轴上改变了，即横坐标的改变量为，在纵轴上改变了，即纵坐标的改变量为．因此，比值反映了直线的倾斜程度． 由图可知，的大小与两点，在直线上的位置无关，称________（其中________）为经过不同两点，的直线的斜率． 3．直线的方向向量 （1）定义： 一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线l__平行或重合________，则称向量为直线l的一个方向向量，记作_______． （2）性质： ①如果为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数，向量____都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定__共线____． ②如果是直线l上两个不同的点，则_____ _____________是直线的一个方向向量. 4．倾斜角与斜率关系 图示 倾斜角 (范围) _90°__ 斜率 (范围) __ __ ____ 不存在 _____ k的增 减情况 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求直线的倾斜角】 【练方法】 公式结论 1.斜率与倾斜角对应关系 2.分段对应规则 斜率不存在 方法技巧 1.先计算直线斜率再结合正切函数分段求倾斜角 2.斜率不存在时直接判定倾斜角为 3.负斜率不可直接取反正切必须加匹配倾斜角取值区间 （26-27高三·全国·一轮复习）若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　）经典例题1例题 A． B． C． D．0 （25-26高一下·山东青岛·期末）若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为________．小试牛刀1 （24-25高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·陕西汉中·期中）直线的倾斜角是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：由两点求斜率】 【练方法】 公式结论 1.设直线上两点 2.若分母为0直线斜率不存在倾斜角为 3.坐标差等价变形比值不变 方法技巧 1.纵坐标之差作分子横坐标之差作分母两点顺序可互换 2.横坐标相等时直接判定斜率不存在 3.分数结果化为最简形式便于后续判断正负 易错提醒 1.分子分母坐标差顺序不统一符号计算出错 2.横坐标相等仍套用斜率分式公式出现分母为0无意义算式 （25-26高二下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（    ）经典例题1例题 A． B．1 C． D．2 （25-26高二·全国·暑假作业）经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________.小试牛刀1 （25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：由斜率求参数】 【练方法】 公式结论 1.两点斜率等式为已知定值 2.斜率不存在约束两点横坐标相等 3.倾斜角对应斜率范围 方法技巧 1.将含参坐标代入两点斜率公式构建分式方程求解参数 2.已知倾斜角范围转化为斜率正负约束列不等式求参数区间 3.解出参数后回代检验分母不为0排除斜率不存在的矛盾解 易错提醒 1.求解参数后未检验横坐标相等保留使斜率无意义的解 2.倾斜角为钝角时遗漏斜率小于0的约束条件 （25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·山东菏泽·期末）已知经过两点的直线的方向向量为，则的值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D．2 （25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知点，，若直线的倾斜角为，则（   ）小试牛刀2 A．2 B．1 C． D． （25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（    ）小试牛刀3 A．－2 B．0 C．1 D．2 【题型4：斜率与倾斜角的变化关系】 【练方法】 公式结论 1.区间单调递增值域 2.区间单调递增值域 3.分界点函数间断斜率不存在 方法技巧 1.分左右两段分别分析单调性不可将视作连续单调区间 2.已知斜率范围反向拆分两段倾斜角区间 3.借助正切函数图像直观判断角度增减对应的斜率变化 易错提醒 1.误认为上整体单调递增 2.忽略处间断点跨区间直接比较斜率大小 （2026高三·全国·专题练习）直线倾斜角的范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高二上·天津红桥·阶段检测）若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________．小试牛刀1 （2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B．或 C． D．或 （25-26高三下·江苏南通·开学考试）设直线，的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则“”是“”的（    ）小试牛刀3 A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型5：直线与线段的相交关系求斜率范围】 【练方法】 公式结论 1.设线段端点定点直线过与线段MN相交 2.临界斜率为 3.直线垂直轴为临界时斜率不存在单独划分区间 方法技巧 1.计算定点与线段两个端点连线的临界斜率 2.画出平面直角坐标系草图判断斜率区间是两段分开或一段连续 3.若中间包含垂直轴直线区间分为小于小临界值与大于大临界值两部分 易错提醒 1.草图判断区间方向颠倒斜率范围取反 2.遗漏垂直x轴斜率不存在的临界情况 （25-26高二上·陕西西安·期中）已知点，，若直线与线段（包括端点）总有公共点，则实数的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·山西太原·期中）已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点.小试牛刀2 (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. （25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知直线与线段不相交，其中，，则直线斜率的取值范围为_______．小试牛刀3 【题型6：斜率公式的应用】 【练方法】 公式结论 1.斜率几何意义表示两点连线倾斜程度 2.分式最值转化：形如的代数式看作点与定点连线的斜率 3.平行直线斜率相等 垂直直线斜率满足（两直线斜率均存在） 方法技巧 1.分式型代数式最值问题转化为动点与定点连线斜率范围求解 2.证明三点共线验证任意两组两点斜率相等 3.利用平行垂直斜率等量关系构建方程求坐标参数 易错提醒 1.垂直直线有一条斜率不存在时仍套用 2.动点范围未结合图形限制求出超出定义域的斜率最值 （2025高二上·河南安阳·专题练习）已知实数满足，则的最大值为______．经典例题1例题 已知函数，且，则，，的大小关系是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二上·河南周口·阶段检测）已知，平面内三点共线，则________．小试牛刀2 （23-24高二上·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是_______.小试牛刀3    课后过关检测 一、单选题 1．（2026·宁夏吴忠·二模）已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（    ） A． B． C．1 D．2 2．（25-26高二上·四川南充·期中）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·上海·期中）直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·海南·阶段检测）若直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆·模拟预测）若倾斜角为的直线的方向向量为，则（   ） A． B． C．-5 D．5 7．（2026·湖北·二模）将直线绕点逆时针旋转（为锐角，其中）后所得直线方程为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·全国·课堂例题）关于直线的倾斜角和斜率，下列正确的个数是（   ） ①任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；③平行于轴的直线的倾斜角是0或；④两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；⑤直线斜率的范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 10．（24-25高二上·湖南常德·期中）直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（25-26高二上·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，所在直线的斜率存在且分别为．若，则（    ） A． B． C．2 D． 二、多选题 14．（2023·广东·二模）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（    ） A．2 B． C． D． 三、填空题 15．（25-26高二下·上海·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么_____. 16．（25-26高二下·上海·期中）直线与的夹角的大小为_______． 17．（25-26高二下·上海·期中）若直线的一个法向量为，则的倾斜角为_______． 18．（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 19．已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则___________. 20．（25-26高三上·重庆·阶段检测）若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $