6.2.2 线段的比较与运算 讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦线段的比较与运算核心知识点，从叠合法和度量法比较线段长短入手，衔接尺规作图作等长线段及和差，再通过中点概念深化线段关系，结合分类讨论解决点位置不确定问题，最后应用“两点之间线段最短”基本事实，构建递进式学习支架。 资料设计亮点突出，通过对比表格清晰呈现两种比较方法差异，记忆口诀与易错提醒强化理解，分层例题（基础计算到分类讨论）培养推理意识。结合生活实例（隧道穿山）渗透几何直观与应用意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生梳理知识、弥补盲点。

人教版七年级上册 · 第六章 几何图形初步 6.2.2 线段的比较与运算 6.2.2 线段的比较与运算讲义 ◎ 本讲学习目标 ● 会用叠合法和度量法比较两条线段的长短 ● 会用尺规作图画一条线段等于已知线段 ● 理解线段中点的概念，能进行线段的和差运算 ● 理解两点之间线段最短的性质并会应用 ● 掌握分类讨论思想，解决点的位置不确定问题 ▎ 一、线段长短的比较 在实际生活和数学学习中，我们经常需要比较两条线段哪条更长。比如：选择最短的路线、裁剪合适的绳子长度等。数学中提供了两种标准方法。 ◆ 1.1 叠合法（图形的比较） 核心思想： 把两条线段放在同一直线上，让一个端点重合，观察另一个端点的位置来判断长短。 图1 · 叠合法比较线段长短（三种情况） ▸ 叠合法的三种结果 1. 端点重合，另一端也重合 → 两条线段相等 2. 一个端点落在另一个线段内部 → 该线段更短 3. 一个端点落在另一个线段延长线上 → 该线段更长 【记忆口诀】 端点重合看另一头：重合相等，在内则短，在外则长。 ◆ 1.2 度量法（数量的比较） 核心思想： 用刻度尺分别量出两条线段的长度，通过比较数值大小来判断长短。 图2 · 度量法：用刻度尺测量线段长度 若 AB = 5 cm，CD = 6 cm，则 AB < CD 度量法结果精确，需要统一单位 两种方法对比： 比较方法 操作步骤 所需工具 结果形式 适用场景 叠合法 端点重合，观察另一端位置 无/圆规 长短关系 几何作图、直观比较 度量法 测量长度，比较数值大小 刻度尺 具体数值 需要精确数据 【方法选择】 叠合法直观快速，适合几何作图和粗略比较；度量法精确，适合需要具体数值的场景。两种方法互为补充。 ▎ 二、尺规作图：画一条线段等于已知线段 尺规作图是限定只用无刻度的直尺和圆规进行作图的方法。这是几何学中最基本的作图技能。 ◆ 2.1 作图步骤 图3 · 尺规作图：作一条线段等于已知线段 1. 画一条射线 CX（用直尺） 2. 用圆规量取已知线段 AB 的长度 3. 以 C 为圆心，AB 长为半径画弧，交射线 CX 于点 D 4. 则 CD = AB，线段 CD 即为所求 【注意事项】 尺规作图中，圆规的跨度不能改变（保持半径不变）。作图痕迹要保留，这是得分关键！ ◆ 2.2 作线段的和与差 利用尺规作图，还可以在射线上依次截取，作出两条线段的和与差。 图4 · 线段的和与差示意图 和：AC = AB + BC（C在AB延长线上） 差：AC = AB − BC（C在AB上） ▎ 三、线段的中点与等分点 ◆ 3.1 线段的中点 核心定义 线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。 图5 · 中点与三等分点示意图 若 M 是 AB 的中点，则 AM = MB = ½AB，AB = 2AM = 2MB 若 C、D 是 AB 的三等分点，则 AC = CD = DB = ⅓AB ▸ 中点的判定（反之亦成立） 若 M 在线段 AB 上，且 AM = MB，则 M 是 AB 的中点。 【易错提醒】 中点必须在线段上（不在延长线上），且将线段平分。若只说 AM = MB，必须先确认 M 在线段 AB 上，才能判定 M 是中点。 ◆ 3.2 例题精讲 例题 1 中点基础计算 已知：线段 AB = 12 cm，点 M 是 AB 的中点，求 AM 的长。 解：∵ M 是 AB 的中点 ∴ AM = ½ AB = ½ × 12 = 6 cm 答：AM 的长为 6 cm。 例题 2 中点 + 和差综合 已知：如图，AB = 10 cm，M 是 AB 的中点，N 是 MB 的中点。求 MN 的长。 解：∵ M 是 AB 的中点，AB = 10 ∴ MB = ½ AB = 5 cm ∵ N 是 MB 的中点 ∴ MN = ½ MB = 2.5 cm 答：MN 的长为 2.5 cm。 ▎ 四、线段的和差运算 ◆ 4.1 基本关系 设 A、B、C 三点共线，根据 C 的位置不同，有两种情况： 1. C 在线段 AB 上：AC + CB = AB，AC = AB − CB 2. C 在 AB 延长线上：AB + BC = AC ◆ 4.2 分类讨论——位置不确定问题 当题目中未明确点的位置时，必须分情况讨论！这是考试高频考点。 图6 · 点C的三种可能位置 例题 3 分类讨论（重点题型） 已知：直线 AB 上有一点 C，AB = 10 cm，BC = 4 cm，M 是 AC 的中点。求 AM 的长。 分析：C 的位置不确定，需分两种情况。 解： 情况① C 在线段 AB 上： AC = AB − BC = 10 − 4 = 6 cm ∵ M 是 AC 的中点 ∴ AM = ½ AC = 3 cm 情况② C 在 AB 延长线上： AC = AB + BC = 10 + 4 = 14 cm ∵ M 是 AC 的中点 ∴ AM = ½ AC = 7 cm 答：AM 的长为 3 cm 或 7 cm。 【考试提醒】 凡遇到「直线AB上有一点C」而非「线段AB上」，一定要想到两种（或三种）情况！漏讨论会扣一半分数。 ▎ 五、基本事实的应用 ◆ 5.1 两点之间，线段最短 两点之间，线段最短 连接两点的线段的长度，叫做这两点之间的距离 【生活应用】 隧道穿山、河道取直、走路抄近道——都是利用「两点之间线段最短」来缩短路程，节省时间和成本。 ▎ 六、本讲知识小结 ▎ 知识要点速记 ✓ 叠合法：端点重合 → 看另一端位置（重合/内/外） ✓ 度量法：用刻度尺量长度，比数值大小 ✓ 尺规作图：画射线 → 圆规量距 → 截取等长线段 ✓ 中点：AM = MB = ½AB（M 必须在线段上） ✓ 和差：C在AB上→AC+CB=AB；C在延长线上→AC=AB+BC ✓ 两点之间线段最短（基本事实） ✓ 位置不确定时 → 必须分类讨论！ — 第 页 — 学科网（北京）股份有限公司 $