精品解析：2022年甘肃省天水市武山县第四中学九年级中考模拟考试数学试卷

绝密★启用前 武山县第四中学2022年中考模拟考试数学试卷 一、选择题（本大题共10个题，每题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 将一副三角板如图摆放，顶点A在边DF上，顶点F在边BC上，，则（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 4. 下列二次根式中为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，为等边三角形，顶点A的坐标为，则顶点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ） A. 1．24米 B. 1．38米 C. 1．42米 D. 1．62米 7. 已知关于x，y的方程组的解是，则直线与的交点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，AB是的直径，点C，D在上，连接CD，若，则（ ） A. 36° B. 28° C. 15° D. 18° 9. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，于点E，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 10. 如图①，正方形中，，相交于点，是的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图②所示，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 因式分解：________． 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为位似中心作的位似图形得到，相似比为，若点A坐标为，则点C的坐标为______． 13. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值为__________． 14. 将二次函数化成的形式为__________． 15. 把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于__________． 16. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________． 17. 在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入3个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球约有_____个． 18. 已知一列数，按照这个规律写下去，第9个数是__________． 三、解答题（本大题共5小题，共38分） 19. 计算： 20. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 21. 如图，在中，是边上一点，且． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作的角平分线交于点； ②作线段的垂直平分线交于点． （2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系． 22. 如图，小斌家与某大厦的水平距离，小斌从自家的窗口C点眺望大厦BD，测得，（于点E），求大厦BD的高度，（参考数据：，，，，，） 23. 2019年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一，截至2020年1月，甘肃省已有五家国家5A级旅游景区，分别为A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山景区；D：敦煌鸣沙月牙泉景区：E：张掖七彩舟霞景区，张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩． （1）张帆一家选择E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？ （2）若张帆一家选择了E：张掖七彩丹霞景区，他们再从，，，四个景区中任选两个景区去旅游，求选，两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）． 四、解答题 24. 某数学研究小组为了解各类危险天气对航空飞行安全的影响，从国际航空飞行安全网提供的近百年飞行事故报告中，选取了650起与危险天气相关的个例，研究小组将危险天气细分为9类：火山灰云（A），强降水（B），飞机积冰（C），闪电（D），低能见度（E），沙尘暴（F），雷暴（G），湍流（H），风切变（I），然后对数据进行了收集、整理、描述和分析，相关信息如下： 信息一：各类危险天气导致飞行事故的数量统计图； 信息二：C类与E类危险天气导致飞行事故的月频数统计图； （以上数据来源于国际航空飞行安全网） 根据以上信息，解决下列问题： （1）导致重大飞行事故发生数量最多的危险天气类别是______类；（填写字母） （2）从C类与E类危险天气导致飞行事故的月频数统计图来看，______类危险天气导致飞行事故发生次数的波动性小；（填“C”或“E”） （3）根据以上信息，下列结论正确的是______．（只填序号） ①C类危险天气导致飞行事故的概率最高； ②每年1—4月份C类危险天气比E类危险天气导致飞行事故发生的次数要多； ③每年的12月至次年的1月是C类危险天气导致飞行事故发生的多发时期． 25. 某学校要印制招生宣传材料，如图，，分别表示甲、乙印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系，根据图象回答下列问题： （1）印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？ （2）该学校拟拿出5000元用于印制宣传材料，选择哪家印刷厂印制的份数较多，并说明能多印制多少份？ 26. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC． （1）求证：EC是⊙O的切线； （2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长． 27. 已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N． （1）如图1，当D，B，F共线时，求证： ①EB＝EP； ②∠EFP＝30°； （2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°． 28. 如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）． （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB； （3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 武山县第四中学2022年中考模拟考试数学试卷 一、选择题（本大题共10个题，每题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的倒数是. 2. 下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】俯视图是指从上面往下看，主视图是指从前面往后面看，根据定义逐一分析即可求解． 【详解】解：选项A：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项A错误； 选项B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项B错误； 选项C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项C正确； 选项D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故选项D错误． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了视图，主视图是指从前面往后面看，俯视图是指从上面往下看，左视图是指从左边往右边看，熟练三视图的概念即可求解. 3. 将一副三角板如图摆放，顶点A在边DF上，顶点F在边BC上，，则（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等解得，再结合三角板角的性质解答即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角板角的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 4. 下列二次根式中为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据以下条件判断：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；二次根式不能在分母的位置． 【详解】解：A，中被开方数是分数，，不符合要求； B，被开方数是整数，不含能开得尽方的因数，符合要求； C，中分母含有根号，，不符合要求； D，被开方数中含能开得尽方的因数，，不符合要求； 故选B． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的判定方法是解题的关键． 5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，为等边三角形，顶点A的坐标为，则顶点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点B作轴于点D，由等边三角形三线合一得，，解直角三角形求出，即可求出顶点B的坐标． 【详解】解：如图，过点B作轴于点D， 顶点A的坐标为， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 顶点B的坐标为， 故选A． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和利用锐角三角函数解直角三角形，熟练掌握等腰（等边）三角形三线合一的性质是解题的关键． 6. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ） A. 1．24米 B. 1．38米 C. 1．42米 D. 1．62米 【答案】A 【解析】 【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解． 【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2， ∴a≈2×0.618=1.236≈1.24． 故答案为：A 【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题． 7. 已知关于x，y的方程组的解是，则直线与的交点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】将代入，求出，即为直线与的交点坐标，判断所在象限即可． 【详解】解：将代入可得， ， 方程组的解是， 直线与的交点坐标为，在第二象限． 故选B． 【点睛】本题考查两直线的交点与二元一次方程的解，将两条直线的函数解析式联立组成二元一次方程组，根据方程组的解写出两直线的交点坐标是解题关键． 8. 如图，AB是的直径，点C，D在上，连接CD，若，则（ ） A. 36° B. 28° C. 15° D. 18° 【答案】D 【解析】 【分析】利用直径所对的圆周角是90°得，再利用三角形内角和定理求出，利用同弧所对的圆周角相等，可知． 【详解】解：如图，连接BD， AB是的直径， ， ， ， 和同是弧AD所对的圆周角， ， 故选D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，解题的关键是熟练掌握：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角． 9. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，于点E，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，利用求出，进一步得，设，则，利用勾股定理求出，再求出，，利用求解即可． 【详解】解：设，则， ∴，得：，即， ∵， ∴，， ∵， 设，则， ∴，解之得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半．解题的关键是求出，，再利用勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，求出BE，BO． 10. 如图①，正方形中，，相交于点，是的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图②所示，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据函数图象可知，再设正方形的边长为，从而可得，然后根据线段中点的定义可得，最后在中，利用勾股定理可求出a的值，由此即可得出答案． 【详解】如图，连接AE 由函数图象可知， 设正方形ABCD的边长为，则 四边形ABCD是正方形 ， 是的中点 则在，由勾股定理得： 因此有 解得 则 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、函数图象等知识点，根据函数图象得出是解题关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为位似中心作的位似图形得到，相似比为，若点A坐标为，则点C的坐标为______． 【答案】（，4） 【解析】 【分析】根据位似图形的性质确定答案即可． 【详解】解：∵和是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为 又∵ ∴点C的坐标为（，4） 故答案为：（，4） 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 13. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】要使方程有两个相等的实数根，即，则利用根的判别式即可求得一次项的系数． 【详解】由题意， 得 故答案为4 【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式()可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立． 14. 将二次函数化成的形式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用配方法整理即可得解． 【详解】解：， 所以． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：为常数)； (2)顶点式：； (3)交点式(与轴)：． 15. 把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积，依此列式计算即可． 【详解】解：如图： 新的正方形的边长为， ∴恒星的面积． 故答案为． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积． 16. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________． 【答案】或 【解析】 【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解． 【详解】解：①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为： ∴特征值 ②当为底角时，顶角的度数为： ∴特征值 综上所述，特征值为或． 故答案为或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏． 17. 在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入3个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球约有_____个． 【答案】17 【解析】 【分析】根据口袋中有3个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可． 【详解】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，口袋中有3个黑球， ∵假设有x个红球， ∴＝0.85， 解得：x＝17， 经检验x＝17是分式方程的解， ∴口袋中有红球约有17个． 故答案为：17． 【点睛】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键． 18. 已知一列数，按照这个规律写下去，第9个数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案． 【详解】解：由题意知从第3个数开始，每个数均为前两个数的和,则第7个数是，第8个数是，第9个数是， 故答案为． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律． 三、解答题（本大题共5小题，共38分） 19. 计算： 【答案】． 【解析】 【分析】先计算平方差公式、特殊角的正切函数值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可． 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查了平方差公式、特殊角的正切函数值、零指数幂等知识点，熟记各运算法则是解题关键． 20. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】-2x<3，在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【详解】解： 解不等式①，得x<3. 解不等式②，得x-2. 所以原不等式组的解集为-2x<3. 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 21. 如图，在中，是边上一点，且． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作的角平分线交于点； ②作线段的垂直平分线交于点． （2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系． 【答案】 （1）如图，①即为所求作的的角平分线， ②过的垂线是所求作的线段的垂直平分线． （2） 【解析】 【分析】（1）①根据角平分线的作图方法直接作图即可；②根据垂直平分线的作图方法直接作图即可； （2）根据等腰三角形的性质与垂直平分线的定义证明是的中位线，根据中位线的性质可得答案． 【详解】解：（1）①略 ②略 （2）如图，连接， 平分 由作图可知： 是的中位线， 【点睛】本题考查的是角平分线与垂直平分线的尺规作图，同时考查了三角形的中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 22. 如图，小斌家与某大厦的水平距离，小斌从自家的窗口C点眺望大厦BD，测得，（于点E），求大厦BD的高度，（参考数据：，，，，，） 【答案】117.5m 【解析】 【分析】由图可知：，利用，求出DE，利用 ，求出BE，再求解． 【详解】解：由图可知： ∵，∴，解之得：， ∵，∴，解之得：， ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是利用正切值，求出DE和BE的长． 23. 2019年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一，截至2020年1月，甘肃省已有五家国家5A级旅游景区，分别为A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山景区；D：敦煌鸣沙月牙泉景区：E：张掖七彩舟霞景区，张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩． （1）张帆一家选择E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？ （2）若张帆一家选择了E：张掖七彩丹霞景区，他们再从，，，四个景区中任选两个景区去旅游，求选，两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）． 【答案】(1) ；(2) 【解析】 【分析】(1) 张帆一家共有5种可能的选择方式，由此即可出选择景区E的概率为； (2) 画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出选到A，D两个景区的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：(1)由题意可知：张帆一家共有5种可能的选择方式， 故选择张掖七彩丹霞景区的概率为， 故答案为． (2)由题意知，画出树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中选到A，C两个景区的结果数为2， ∴所以选到A，C两个景区的概率=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求事件的概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A的结果数m，然后利用概率公式计，即可求出事件A的概率． 四、解答题 24. 某数学研究小组为了解各类危险天气对航空飞行安全的影响，从国际航空飞行安全网提供的近百年飞行事故报告中，选取了650起与危险天气相关的个例，研究小组将危险天气细分为9类：火山灰云（A），强降水（B），飞机积冰（C），闪电（D），低能见度（E），沙尘暴（F），雷暴（G），湍流（H），风切变（I），然后对数据进行了收集、整理、描述和分析，相关信息如下： 信息一：各类危险天气导致飞行事故的数量统计图； 信息二：C类与E类危险天气导致飞行事故的月频数统计图； （以上数据来源于国际航空飞行安全网） 根据以上信息，解决下列问题： （1）导致重大飞行事故发生数量最多的危险天气类别是______类；（填写字母） （2）从C类与E类危险天气导致飞行事故的月频数统计图来看，______类危险天气导致飞行事故发生次数的波动性小；（填“C”或“E”） （3）根据以上信息，下列结论正确的是______．（只填序号） ①C类危险天气导致飞行事故的概率最高； ②每年1—4月份C类危险天气比E类危险天气导致飞行事故发生的次数要多； ③每年的12月至次年的1月是C类危险天气导致飞行事故发生的多发时期． 【答案】（1）I （2）E （3）①②③ 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图中提供的重大飞行事故发生的数据进行判断即可； （2）由拆线统计图可得出变化波动的大小，故可得到结论； （3）结合信息一和信息二进行判断即可． 【小问1详解】 从各类危险天气导致飞行事故的数量统计图中可以知道导致重大飞行事故发生数量最多的危险天气类别是I类， 故答案为：I 【小问2详解】 从C类与E类危险天气导致飞行事故的月频数统计图可以看出：C类危险天气导致飞行事故发生次数的波动性大，E类危险天气导致飞行事故发生次数的波动性小， 故答案为E； 【小问3详解】 ①C类危险天气导致飞行事故的概率最高，故①的说法正确； ②每年1—4月份C类危险天气比E类危险天气导致飞行事故发生的次数要多，故②说法正确； ③每年的12月至次年的1月是C类危险天气导致飞行事故发生的多发时期，故③说法正确． 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查了从统计图获取信息的能力，正确读懂统计图是解答本题的关键 25. 某学校要印制招生宣传材料，如图，，分别表示甲、乙印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系，根据图象回答下列问题： （1）印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？ （2）该学校拟拿出5000元用于印制宣传材料，选择哪家印刷厂印制的份数较多，并说明能多印制多少份？ 【答案】（1）选择乙印刷厂比较合算 （2）选择甲印刷厂印制的份数较多，多1500份． 【解析】 【分析】（1）根据图象解答； （2）分别求出，的解析式，解得5000元印制宣传材料的份数，再作比较解答． 【小问1详解】 解：由图可知，当印刷1000份时，两家印刷厂的收费一样，都是2500元， 当印制的份数少于1000份时，选择乙印刷厂比较合算． 【小问2详解】 设的解析式为：代入得 设的解析式为：代入得 当y=5000时， ，3500-2000=1500（份） 选择甲印刷厂印制的份数较多，多1500份． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及一次函数的图象与性质、待定系数法求解析式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 26. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC． （1）求证：EC是⊙O的切线； （2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF＝90°，可证EC是⊙O的切线； （2）由勾股定理可求AC＝6，由锐角三角函数可求BF＝5，可求CF＝3，通过证明△OAC∽△ECF，可得，可求解． 【详解】解：（1）连接OC， ∵OC＝OB， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵DE⊥AB， ∴∠OBC+∠DFB＝90°， ∵EF＝EC， ∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB， ∴∠OCB+∠ECF＝90°， ∴OC⊥CE， ∴EC是⊙O的切线； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OB＝5， ∴AB＝10， ∴AC＝＝＝6， ∵cos∠ABC＝， ∴， ∴BF＝5， ∴CF＝BC﹣BF＝3， ∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°， ∴∠BFD＝∠A， ∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC， ∴△OAC∽△ECF， ∴， ∴EC＝＝＝． 【点睛】此题主要考查切线的判定与性质与相似三角形综合，解题的关键是熟知切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质． 27. 已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N． （1）如图1，当D，B，F共线时，求证： ①EB＝EP； ②∠EFP＝30°； （2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°． 【答案】（1）①见解析 ②30°（2）见解析 【解析】 【分析】（1）①本题主要考查通过角度计算求证平行，继而证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论． ②本题以上一问结论为解题依据，考查平行线以及垂直平分线的应用，根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°． （2）本题主要考查辅助线的做法以及垂直平分线性质的应用，需要延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论． 【详解】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30° ∴∠A＝90°﹣30°＝60° 同理∠EDF＝60° ∴∠A＝∠EDF＝60° ∴AC∥DE ∴∠DMB＝∠ACB＝90° ∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM ∴ 即M是BC的中点 ∵EP＝CE，即E是PC的中点 ∴ED∥BP ∴∠CBP＝∠DMB＝90° ∴△CBP是直角三角形 ∴BE＝PC＝EP ②∵∠ABC＝∠DFE＝30° ∴BC∥EF 由①知：∠CBP＝90° ∴BP⊥EF ∵EB＝EP ∴EF是线段BP的垂直平分线 ∴PF＝BF ∴∠PFE＝∠BFE＝30° （2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ ∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP ∴△QEP≌△DEC（SAS） 则PQ＝DC＝DB ∵QE＝DE，∠DEF＝90° ∴EF是DQ的垂直平分线 ∴QF＝DF ∵CD＝AD ∴∠CDA＝∠A＝60° ∴∠CDB＝120° ∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP ∴△FQP≌△FDB（SAS） ∴∠QFP＝∠BFD ∵EF是DQ的垂直平分线 ∴∠QFE＝∠EFD＝30° ∴∠QFP+∠EFP＝30° ∴∠BFD+∠EFP＝30° 【点睛】本题考点较多，涉及平行与角等的互推，垂直平分线的应用，全等的证明，特殊角度的利用，难度主要在于辅助线的构造，该类型题目必须多做专题训练以培养题感． 28. 如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）． （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB； （3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标． 【答案】（1）y＝x2；（2）见解析；（3）P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． （3）如图2中，设P（t，t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题． 【详解】解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2， 得到＝9a， ∴a＝， ∴抛物线的解析式为y＝x2． （2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有， 解得， ∴直线l的解析式为y＝﹣x+， 令x＝0，得到y＝， ∴C（0，）， 由，解得或， ∴B（1，）， 如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1， ∴＝＝＝，＝＝＝， ∴＝， 即MC2＝MA•MB． （3）如图2中，设P（t，t2） ∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形， ∴PD∥OC，PD＝OC， ∴D（t，﹣t+）， ∴|t2﹣（﹣t+）|＝， 整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0， 解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃）， ∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）． 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、平行线分线段成比例的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $