3.1椭圆课后练习 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习聚焦“椭圆的标准方程及性质的应用”，通过A级基础练、B级提升练、C级创新练三层设计，实现从单一知识点到综合应用的进阶，培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|椭圆方程、中点弦、焦点、弦长计算|选择填空为主，结合基础解答题，如第1题中点弦方程，巩固概念与运算| |B级|弦长最值、参数范围、距离最值|以选择填空形式，强化逻辑推理，如第9题弦长最大值，提升关键能力| |C级|椭圆方程、距离最小值、存在性问题|综合解答题，如第13题探究定点定值，发展创新意识与数学建模|

培优提升　椭圆的标准方程及性质的应用 A级　必备知识基础练 1.若椭圆=1的弦AB被点P(1,1)平分,则AB所在直线的方程为(　　) A.4x+9y-13=0 B.9x+4y-13=0 C.x+2y-3=0 D.x+3y-4=0 2.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过点F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=,则椭圆C的标准方程为(　　) A.+x2=1 B.+y2=1 C.=1 D.=1 3.(2026江苏扬州期中)已知椭圆=1,直线x-y+1=0与椭圆交于A,B两点,则线段AB的长为(　　) A. B. C.2 D. 4.某广场的一个椭球水景雕塑如图所示,其横截面为圆,过横截面圆心的纵截面为椭圆, F1,F2分别为该椭圆的两个焦点,PQ为该椭圆过点F2的一条弦,且△PQF1的周长为3|F1F2|.若该椭球横截面的最大直径为2米,则该椭球的高为(　　) A.米 B.米 C.米 D.米 5.已知焦点在y轴上的椭圆=1被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为,则正数a=　　　　　.  6.已知椭圆E:=1,设直线y=kx-被椭圆E截得的弦长为,则实数k的值是　　　　　.  7.已知直线l:y=kx+2和椭圆C:=1.分别求k取何值时,直线l与椭圆C有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点. 8.(2026贵州高二期中)已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2. (1)求椭圆E的方程. (2)若A,B是椭圆E上两点,且线段AB的中点坐标为M(). ①求直线AB的方程; ②求△OAB的面积. B级　关键能力提升练 9.(2026江西高二期中)已知直线l:mx-y+1=0与椭圆C:+y2=1交于A,B两点,则|AB|的最大值为(　　) A.2 B. C. D.4 10.若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆=1的交点个数为　　　　　.  11.若直线y-1=k(x-2)与椭圆=1恒有两个不同的公共点,则m的取值范围是　 .  12.在平面直角坐标系中,动点P在椭圆C:=1上运动,则点P到直线x-y-5=0的距离的最大值为　　　　　.  C级　学科素养创新练 13.(2026河北高二期中)已知椭圆C:=1(a>b>0)经过(0,),(1,-)两点. (1)求椭圆C的方程. (2)若点Q(,0),P是椭圆C上一动点,求|PQ|的最小值. (3)若直线l与椭圆C交于与点A(1,)不重合的M,N两点,且点A在以MN为直径的圆上,AD⊥MN,垂足为D,判断是否存在点Q,使得|DQ|为定值.若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 答案 1.A　设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1≠x2, 因为P(1,1)为弦AB的中点,所以x1+x2=2,y1+y2=2. 则所以=0,整理得=-,所以直线AB的斜率kAB==-=-,所以弦AB所在直线的方程为y-1=-(x-1),即4x+9y-13=0.故选A. 2.B　由题意,设椭圆的方程为=1且a>b>0,其中c2=a2-b2=1. 令x=c=1,则y2=b2(1-),可得y=±, 由|AB|=,得,故a=b2. 所以2b4-b2-1=0,可得b2=1(负值舍去),则a2=2, 故椭圆C的标准方程为+y2=1.故选B. 3.A　将y=x+1代入椭圆方程=1,得x2+2(x+1)2=6⇒3x2+4x-4=0⇒(3x-2)(x+2)=0⇒x=-2或x=.当x=-2时,y=-2+1=-1;当x=时,y=+1=.所以不妨令点A,B的坐标为(-2,-1)和().所以|AB|=.故选A. 4.B　根据题意,画出该椭球的过横截面圆心的纵截面如图所示, 根据椭圆的定义得△PQF1的周长为|PQ|+|PF1|+|QF1|=4a=3×2c,即2a=3c.① 由该椭球横截面的最大直径为2米,可知2b=2米,得b=1米. 又因为a2=b2+c2, 所以a2=c2+1.② 联立①②可得c=米,a=米. 所以该椭球的高为2a=米.故选B. 5.　由题意a>,把直线方程y=3x-2代入椭圆方程整理得(a2+18)x2-24x+2(4-a2)=0. 设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系可得,x1+x2=.椭圆=1被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为,由中点坐标公式可得,,得a2=6,可得a=. 6.±1　联立消去y整理得(2k2+1)x2-4kx=0,解得x=0或x=,设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),不妨令x1=0,x2=,所以弦长|AB|=·|x1-x2| =,整理得(1+k2)=,即k4+k2-2=0,解得k2=1(负值舍去),故k=±1. 7.解 联立直线y=kx+2和曲线=1,得(3k2+2)x2+12kx+6=0, ①直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点, ∴Δ=(12k)2-24(3k2+2)>0. 整理,得3k2-2>0, 解得k<-或k>.∴k<-或k>. ②直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有1个公共点,Δ=(12k)2-24(3k2+2)=0,k=-或k=. ③直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6没有公共点,Δ=(12k)2-24(3k2+2)<0,-<k<. 8.解 (1)由题意得解得 所以椭圆E的方程为=1. (2)①设A(x1,y1),B(x2,y2), 由A,B是椭圆E上两点,得 两式相减得=0, 即(x1+x2)+2(y1+y2)·=0. 因为线段AB的中点坐标为M(),所以x1+x2=,y1+y2=,所以=-1,即kAB=-1, 所以直线AB的方程为y-=-(x-),即x+y-1=0. ②由得3x2-4x-4=0, 则x1+x2=,x1x2=-, 所以|AB|=, 点O到直线AB的距离d=, 所以S△OAB=|AB|d=. 9.C　设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y整理得(1+4m2)x2+8mx=0, 不妨令x1=0,x2=,则y1=1,y2=, 则A(0,1),B(), 所以|AB|==8 =8=8=8, 所以当,即m=±时,|AB|取最大值.故选C. 10.2　因为直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点, 所以>2,所以m2+n2<4,即点P(m,n)在以原点为圆心,以2为半径的圆内(不包含边界),所以点P(m,n)在椭圆=1的内部,故过点P(m,n)的直线与椭圆=1有两个交点. 11.(,16)∪(16,+∞)　易知m>0,且m≠16. 直线y-1=k(x-2)恒过点(2,1),要使直线与椭圆=1恒有两个公共点, 则(2,1)必在椭圆内,即<1,得m>. 综上可知,m的取值范围为(,16)∪(16,+∞). 12.5　设直线x-y+m=0与椭圆=1相切,联立直线与椭圆的方程,消去y,得25x2+32mx+16m2-144=0,∴Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=0,解得m=5或m=-5. ∴与直线x-y-5=0平行且与椭圆相切的直线方程为x-y+5=0,两平行线间的距离为d==5,∴点P到直线x-y-5=0的距离的最大值为5. 13.解 (1)由题意得解得 所以椭圆C的方程为=1. (2)设P(x0,y0)(-2≤x0≤2).由=1,得=3-,则|PQ|=, 当x0=1时,|PQ|取得最小值,最小值为. (3)存在点Q(),使得|DQ|为定值.当l的斜率存在时,设点M(x1,y1),N(x2,y2),l:y=kx+m. 由得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, 得 由题意得AM⊥AN,则=(x1-1)(x2-1)+(y1-)(y2-)=0, 所以(x1-1)(x2-1)+(kx1+m-)(kx2+m-) =(1+k2)x1x2+(mk-k-1)(x1+x2)+m2-3m+ =(1+k2)·+(mk-k-1)·+m2-3m+=0, 化简得4k2+28m2+32km-36m-9=(2k+8m)2-(6m+3)2=(2k+14m+3)(2k+2m-3)=0. 因为点A(1,)不在直线l:y=kx+m上,所以2k+2m-3≠0,所以2k+14m+3=0,即m=-k-, 则l的方程为y=k(x-)-, 故直线l过定点E(,-). 当l的斜率不存在时,设点M(x1,y1),得N(x1,-y1), 则=(x1-1)(x1-1)+(y1-)(-y1-)=-2x1-=0. 由=1,得7-8x1+1=0,得x1=或x1=1(舍去). 故l的方程为x=,经过点E(,-). 综上,直线l过定点E(,-). 令Q为AE的中点,则Q(),点D在以AE为直径的圆上. 当D与E重合时,|DQ|=|AE|=,当D与E不重合时,|DQ|=|AE|=. 故存在点Q(),使得|DQ|为定值. 4 学科网（北京）股份有限公司 $