2.5直线与圆的位置关系经典题型分类训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 该练习通过十二大题型57小题，构建从基础判断到综合应用的梯度训练，以运算能力和推理意识为核心，实现直线与圆位置关系知识的系统巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|位置关系判断、参数求解|以选择填空为主，直接应用距离公式，如判断直线与圆位置关系（题型一）| |进阶|切线方程、弦长计算|融合分类讨论，如过点求切线方程（题型四）及弦长公式应用（题型七）| |提高|最值问题、定点定值|结合数形结合思想，如圆上点到直线距离最值（题型十一）及定点证明（题型十二）|

《直线与圆的位置关系》经典题型分类训练 （十二大题型，共57小题） 题型一： 判断直线与圆的位置关系 1．已知直线l：x﹣y﹣4＝0，圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝3，则直线l与圆C的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 2．已知动直线l：（m+1）x+（m﹣1）y+2m＝0，圆O：x2+y2＝3，则直线l与圆O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m值有关，无法确定 3．已知直线l：（m+2）x+（3﹣m）y﹣3m+4＝0与圆C：（x﹣2）2+（y+1）2＝4，则直线l与圆C的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定的 4．已知直线l：ax+2y+a+4＝0与圆C：x2+y2+2y﹣2＝0，则直线l与圆C的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定的 5．（多选）若直线l：y＝kx+1与圆C：（x+2）2+（y﹣1）2＝2相切，则直线l与圆D：（x﹣1）2+y2＝2的位置关系可以是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 6．（多选）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0．则以下几个命题正确的有（　　） A．直线l恒过定点（3，1） B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l与圆C相离 题型二： 根据直线与圆的位置关系求参数 7．若直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1，3] C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） 8．若直线3x+4y+m＝0与圆（x+1）2+y2＝1相离，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣8）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（8，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣8）∪（8，+∞） 9．若直线1：﹣2x﹣y+5＝0与圆C：x2+y2﹣2mx+4my+5m2﹣5＝0相切，则实数m的取值范围为（　　） A．或m＝0 B．或m＝0 C．m＝0 D．m∈R 10．已知直线l：y＝x+m和圆C：x2+y2＝4有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣2，2） B．[﹣2，2] C． D． 题型三： 圆上的点到直线距离个数问题 11．若圆x2+（y+2）2＝r2（r＞0）上到直线yx+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（　　） A．（0，1） B．（1，3） C．（3，+∞） D．（0，+∞） 12．已知圆C：x2+y2＝4，直线l：x﹣y0，则圆C上 A．1 B．2 C．3 D．4到直线l的距离等于1的点的个数为（　　） 13．已知在圆（x+2）2+y2＝r2上到直线x+y﹣4＝0的距离为的点恰有三个，则r＝（　　） A． B． C． D．8 14．若圆M：x2+y2﹣6x+8y＝0上至少有3个点到直线l：y﹣1＝k（x﹣3）的距离为，则k的取值范围是（　　） A． B．[﹣3，3] C． D． 题型四： 圆的切线方程的求解 15．过圆（x﹣1）2+（y+1）2＝5上一点M（﹣1，0）作圆的切线l，则l的方程为（　　） A．x+2y+1＝0 B．x﹣2y+1＝0 C．2x﹣y+2＝0 D．2x+y﹣2＝0 16．过点P（2，1）作圆O：x2+y2＝1的切线l，则切线l的方程为（　　） A．3x﹣4y﹣5＝0 B．4x﹣3y﹣5＝0 C．y＝1或4x﹣3y﹣5＝0 D．y＝1或3x﹣4y﹣5＝0 17．过圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0上一点（2，4）作圆的切线l，则直线l的方程为（　　） A．x+2y﹣10＝0 B．2x+y﹣8＝0 C．x﹣2y+6＝0 D．2x﹣y＝0 18．在平面直角坐标系xOy中，过点M（﹣1，4）与圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝1相切的直线方程是（　　） A．y＝﹣1 B．x＝﹣1 C．y＝﹣1或3x﹣4y+19＝0 D．x＝﹣1或3x﹣4y+19＝0 19．（多选）平面直角坐标系xOy中，点P（3，6），圆O：x2+y2＝9与x轴的正半轴交于点Q．则（　　） A．点P到圆O上的点的距离最大值为 B．过点P且斜率为1的直线被圆O截得的弦长为 C．过点P与圆O相切的直线方程为3x﹣4y+15＝0 D．过点P的直线与圆O交于不同的两点A，B，则直线QA，QB的斜率之和为定值﹣1 20．过点P（1，﹣3）作圆O：x2+y2+2x﹣2y﹣2＝0的切线l，则切线l的方程为 　 　 ． 21． 已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0，过点P（5，1）作圆C的切线l，求切线l的方程． 题型五： 圆的切线长问题 22．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣6y+9＝0，过直线m：x1与x轴的交点P向圆C引切线，切点为Q，则PQ长为（　　） A．3 B．2 C．2 D．3 23．由直线y＝x上的一点P向圆（x﹣4）2+y2＝4引切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 24．过点P（2，﹣1）的直线与圆C：（x+1）2+（y﹣1）2＝5相切，则切线长为（　　） A． B． C． D． 25．（多选）已知圆C：x2+y2﹣4x+2y+1＝0与直线l：4x﹣3y+m＝0，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列说法正确的是（　　） A．若m＝9，则直线l与圆C相切 B．若圆C上存在两点关于直线l对称，则m＝﹣11 C．若m＝14，则|PQ|min＝3 D．若m＝14，从Q点向圆C引切线，则切线长的最小值是 26．由直线l：y＝2x+1上的动点M向圆C：（x﹣2）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值为　 　 ． 27．已知圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0． （1）求过点P（，0）与圆C相切的直线方程； （2）若过点Q（1，1）的直线l1，与圆C相交所得弦长为4，求直线l1的方程； （3）若由直线l2：4x+3y﹣24＝0上的动点M向圆C作切线，求所得切线长的最小值． 题型六： 已知切线求参数 28．若过点P（0，1）可作圆x2+y2﹣2x﹣4y+a＝0的两条切线，则a的取值范围是（　　） A．（3，+∞） B．（﹣1，3） C．（3，5） D．（5，+∞） 29．过直线l：y＝kx+4（k≠0）上一点P作圆M：（x﹣2）2+y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，若∠APB的最大值为，则k＝（　　） 30．过点（﹣2，0）与圆x2+y2﹣4x﹣m＝0相切的两条直线垂直，则m＝（　　） A．﹣4 B． C． D．4 31．已知直线l：2x+y+m＝0上存在点A，使得过点A可作两条直线与圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+2＝0分别切于点M，N，且∠MAN＝120°，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型七： 求圆的弦长与中点弦 32．已知直线3x﹣4y+4＝0与圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝25相交于A，B两点，则|AB|＝（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 33．已知直线l：3x+y+6＝0，圆C：x2+y2+2x﹣4y＝0，则直线l被圆C截得的弦长是（　　） A． B． C．5 D． 34．已知圆C：x2+y2+4x﹣12y+24＝0，直线l：yx+5，直线l被圆C截得的弦长为 　 　 ． 35．已知圆C过点M（2，0）和点N（1，﹣1），且圆心C在直线l1：x﹣y﹣3＝0上． （1）求圆C的方程； （2）已知直线l2：x+2y﹣1＝0与圆C相交于A，B两点，求△ABC的面积． 36．已知圆C过点M（﹣1，2）和点N（1，0），且圆心C在直线l1：2x﹣y＝0上． （1）求圆C的方程； （2）已知直线l2：kx+y﹣k＝0与圆C相交于A，B两点，求△ABC面积的最大值． 37．已知圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣4y+9＝0． （1）若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； （2）若直线y＝x+1与圆C交于A，B两点，求弦AB的长． 题型八： 已知圆的弦长求方程或参数 38．已知圆C：x2+（y﹣3）2＝4，过A（﹣1，0）的直线l与圆C相交于P，Q两点，若|PQ|＝2，则直线l的方程为（　　） A．x＝﹣1或4x+3y﹣4＝0 B．x＝﹣1或4x﹣3y+4＝0 C．x＝1或4x﹣3y+4＝0 D．x＝1或4x+3y﹣4＝0 39．若直线l：x+y﹣m＝0（m＞0）被圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4截得的弦长为，则m＝（　　） A． B． C．2 D． 40．（多选）已知直线l：kx﹣yk＝0被圆x2+y2＝4截得的弦长为，点（m，n）是直线l上的任意一点，则m2+n2的值有可能为（　　） A． B．1 C．2 D．3 41．已知直线l：x﹣y﹣m＝0被圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣1＝0截得的弦长为，则m＝ 　 　 ． 42．已知点O为坐标原点，圆C过点（1，1）和点（﹣2，4），且圆心在y轴上． （1）求圆C的标准方程； （2）如果过点P（1，0）的直线l与圆C有公共点，求直线l的斜率k的取值范围； （3）如果过点P（1，0）的直线l与圆C交于A、B两点，且，试求直线l的方程． 题型九： 直线与部分圆的相交问题 43．曲线y＝1与直线y＝k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 44．若曲线y1与直线y＝k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 45．若直线l：mx﹣y﹣m＝0与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣1，1） B． C． D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 46．若直线y＝x+b与曲线有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型十： 直线与圆中的面积问题 47．已知点P是直线l：3x﹣y﹣2＝0上的任意一点，过点P作圆（x+3）2+（y+1）2＝1的两条切线，切点分别为A和B，圆心为C，则四边形PACB面积的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．3 48．（多选）已知直线l：（m+2）x﹣（m+1）y+m＝0（m∈R），圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+2＝0，则下列说法正确的是（　　） A．直线l与圆C恒相交 B．当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为y＝x+1 C．若圆C上恰有三个点到直线l的距离为，则m＝﹣1 D．若直线l与圆C交于A，B两点，则△ABC面积的最大值为 49．已知圆C经过点A（1，1），B（3，﹣1），圆心C在直线2x﹣y﹣5＝0上，P是直线3x﹣4y+10＝0上的任意一点． （1）求圆C的方程； （2）过点P向圆C引两条切线，切点分别为M，N求四边形PMCN的面积的最小值． 50．已知三点O（0，0），A（﹣1，﹣1），B（2，0），记△AOB的外接圆为⊙C． （1）求⊙C的方程； （2）若直线l：x﹣y﹣1＝0与⊙C交于M，N两点，求△CMN的面积． 题型十一： 直线与圆有关的最值问题 51．P是圆（x﹣a）2+（y﹣a2）2＝1上的动点，Q是直线y＝x﹣2上的动点，则|PQ|的最小值为（　　） A． B． C． D． 52．已知圆C：x2+（y﹣1）2＝3，直线l：y＝x+m（m∈R）． （1）若直线l与圆C相切，求m的值； （2）若m＝﹣2，过直线l上一点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，求四边形PACB面积的最小值及此时点P的坐标． 53．已知点P（x，y）是圆（x+2）2+y2＝1上任意一点． （1）求P点到直线3x+4y+12＝0的距离的最大值和最小值； （2）求x﹣2y的最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值． 题型十二： 直线与圆中的定点定值问题 54．已知圆O：x2+y2＝4，直线l：mx+y+m＝0． （1）求证：直线l与圆O有两个不同的交点； （2）记直线l与圆O交于A，B两点， ①当时，求直线l的方程； ②记圆O与x轴的正半轴交点为M，直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2，求证：k1k2为定值． 55．在平面直角坐标系xOy中，圆C的圆心在直线x+y﹣3＝0上，圆C经过点A（0，4），且与直线3x﹣4y+16＝0相切． （1）求圆C的方程； （2）设直线l交圆C于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求该定点坐标． 56．已知⊙C的圆心在直线3x﹣y﹣3＝0上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，⊙C被直线l：x﹣y+3＝0截得的弦长为2． （1）求⊙C的方程； （2）设点D在⊙C上运动，且点T满足，（O为原点）记点T的轨迹为E． ①求曲线E的方程； ②过点M（1，0）的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 57．在平面直角坐标系中．点A（2，4），B（6，2），直线l1：x+y﹣4＝0，l2：（m﹣1）x+y+2m+2＝0，m∈R．圆C经过A，B两点，且圆心C在直线l1上． （1）求圆C的方程； （2）当直线l2与圆C相切时，求实数m的值． （3）若直线l2与圆C相交于D，E两点，当m变化时，是否存在一个定点P，使得|DP|•|EP|为定值？若存在，求出一个P的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 《直线与圆的位置关系》经典题型分类训练 （十二大题型，共57小题） 题型一： 判断直线与圆的位置关系 1．已知直线l：x﹣y﹣4＝0，圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝3，则直线l与圆C的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【分析】直接用几何法判断直线与圆的位置关系可得结果． 【解答】解：已知直线l：x﹣y﹣4＝0，圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝3， 则圆心为（1，﹣1），半径为， 因为圆心C到直线l的距离，所以直线l和圆C相交． 故选：A． 【点评】本题考查直线与圆相关位置关系，属于基础题． 2．已知动直线l：（m+1）x+（m﹣1）y+2m＝0，圆O：x2+y2＝3，则直线l与圆O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m值有关，无法确定 【分析】根据题意将直线l的方程整理，得到直线l经过定点M（﹣1，﹣1），然后判断出点M是圆O：x2+y2＝3内部的一点，从而得出直线l与圆O的位置关系． 【解答】解：根据题意，直线l的方程为（m+1）x+（m﹣1）y+2m＝0，变形可得：m（x+y+2）+x﹣y＝0， 由，解得，即直线l经过点M（﹣1，﹣1）， 圆O：x2+y2＝3，由于（﹣1）2+（﹣1）2＜3，则点M（﹣1，﹣1）在圆O：x2+y2＝3的内部， 根据直线l经过圆O内的定点，可知直线l与圆O相交． 故选：A． 【点评】本题考查直线与圆位置关系的判断，涉及直线过定点问题，属于基础题． 3．已知直线l：（m+2）x+（3﹣m）y﹣3m+4＝0与圆C：（x﹣2）2+（y+1）2＝4，则直线l与圆C的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定的 【分析】由直线的方程确定所过的定点坐标，再判断该点与圆的位置关系，即可得结论． 【解答】解：直线l可化为m（x﹣y﹣3）+2x+3y+4＝0， 由，解得，则直线l过定点A（1，﹣2）， 因为（1﹣2）2+（﹣2+1）2＝2＜4，所以点A在圆C的内部， 故直线l与圆C相交． 故选：C． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的性质，属于中档题． 4．已知直线l：ax+2y+a+4＝0与圆C：x2+y2+2y﹣2＝0，则直线l与圆C的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定的 【分析】根据题意可得直线过定点A（﹣1，﹣2），判断点在圆内，可判断直线与圆相交． 【解答】解：已知直线l：ax+2y+a+4＝0， 变形可得：直线l：a（x+1）+2y+4＝0， 令， 即， 即直线l过定点A（﹣1，﹣2）． 因为（﹣1）2+（﹣2）2+2×（﹣2）﹣2＝﹣1＜0， 所以点A（﹣1，﹣2）在圆C内， 则直线l与圆C相交． 故选：C． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题． （多选）5．若直线l：y＝kx+1与圆C：（x+2）2+（y﹣1）2＝2相切，则直线l与圆D：（x﹣1）2+y2＝2的位置关系可以是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【分析】利用直线l：y＝kx+1与圆C：（x+2）2+（y﹣1）2＝2相切，求出k，再由圆D的圆心到直线l的距离与半径的关系判断． 【解答】解：圆C的圆心坐标为（﹣2，1），半径为， ∵直线l：y＝kx+1与圆C：（x+2）2+（y﹣1）2＝2相切， ∴，得k＝±1， 由圆D方程可得D（1，0），r，且圆心D（1，0）到直线的距离d， 当k＝﹣1时，d＝0，此时圆D与直线l相交； 当k＝1时，d，即d＝r，此时圆D与直线l相切． ∴直线l与圆D：（x﹣1）2+y2＝2是相交或相切． 故选：AB． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题． （多选）6．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0．则以下几个命题正确的有（　　） A．直线l恒过定点（3，1） B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l与圆C相离 【分析】求出直线所过的定点，确定点（3，1）在圆内，从而确定直线与圆的位置关系． 【解答】解：将直线l的方程整理为x+y﹣4+m（2x+y﹣7）＝0， 由，解得， 则无论m为何值，直线l过定点（3，1）， 因为（3﹣1）2+（1﹣2）2＜25，所以点（3，1）在圆内， 故直线l与圆C恒相交，故AC正确． 故选：AC． 【点评】本题主要考查直线恒过定点问题，直线与圆位置关系的判断，属于基础题． 题型二： 根据直线与圆的位置关系求参数 7．若直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1，3] C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） 【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线x﹣y+1＝0的距离d，结合直线与圆的位置关系可得必有d，即，解可得a的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，圆（x﹣a）2+y2＝2的圆心为（a，0），半径r， 圆心到直线x﹣y+1＝0的距离d， 若直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点，则必有d，即， 变形可得：|a+1|≤2， 解可得：﹣3≤x≤1，即a的取值范围为[﹣3，1]； 故选：C． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题． 8．若直线3x+4y+m＝0与圆（x+1）2+y2＝1相离，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣8）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（8，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣8）∪（8，+∞） 【分析】根据题意可得圆心到直线的距离大于半径，由此建立关于m的不等式，解出即可． 【解答】解：圆（x+1）2+y2＝1的圆心为（﹣1，0），半径为1， 因为直线3x+4y+m＝0与圆（x+1）2+y2＝1相离， 所以，即得m＜﹣2或m＞8， 故选：B． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题． 9．若直线1：﹣2x﹣y+5＝0与圆C：x2+y2﹣2mx+4my+5m2﹣5＝0相切，则实数m的取值范围为（　　） A．或m＝0 B．或m＝0 C．m＝0 D．m∈R 【分析】由圆的方程可得圆心与半径，利用圆心到直线的距离等于半径，求解即可． 【解答】解：由圆C：x2+y2﹣2mx+4my+5m2﹣5＝0，得（x﹣m）2+（y+2m）2＝5， 方程表示圆心为（m，﹣2m），半径等于的圆． 又圆心（m，﹣2m）到直线﹣2x﹣y+5＝0的距离d恒成立， 故直线与圆相切， 故实数m取值的集合为R． 故选：D． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属基础题． 10．已知直线l：y＝x+m和圆C：x2+y2＝4有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣2，2） B．[﹣2，2] C． D． 【分析】根据直线与圆的位置关系可得，即可求解． 【解答】解：∵圆C：x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径为2， 又∵直线l：y＝x+m和圆C：x2+y2＝4有两个不同的交点， ∴，解得， 故实数m的取值范围是． 故选：C． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题． 题型三： 圆上的点到直线距离个数问题 11．若圆x2+（y+2）2＝r2（r＞0）上到直线yx+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（　　） A．（0，1） B．（1，3） C．（3，+∞） D．（0，+∞） 【分析】求解圆的圆心到直线的距离，与圆的半径比较，即可得到r的范围． 【解答】解：圆x2+（y+2）2＝r2（r＞0）的圆心（0，﹣2），半径为r， 圆心到直线yx+2的距离d2， 圆x2+（y+2）2＝r2（r＞0）上到直线yx+2的距离为1的点有且仅有2个， 可得d﹣1＜r＜d+1，即r∈（1，3）． 故选：B． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题． 12．已知圆C：x2+y2＝4，直线l：x﹣y0，则圆C上到直线l的距离等于1的点的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】求出圆心C到直线l的距离d，即可判断出结论． 【解答】解：圆C：x2+y2＝4， 可得圆心C（0，0），半径r＝2， 圆心C到直线l的距离d， ∵r﹣d＝2﹣1＝1， ∴圆C上到直线l的距离等于1的点的个数为3． 故选：C． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，属于基础题． 13．已知在圆（x+2）2+y2＝r2上到直线x+y﹣4＝0的距离为的点恰有三个，则r＝（　　） A． B． C． D．8 【分析】先求出与直线x+y﹣4＝0平行且距离为的直线，再据条件圆上到直线x+y﹣4＝0的距离为的点恰有三个，可推得x+y﹣6＝0与圆相切，并结合点到直线的距离公式，即可求解． 【解答】解：与直线x+y﹣4＝0平行且距离为的直线分别为x+y﹣2＝0或x+y﹣6＝0， 圆（x+2）2+y2＝r2上的圆心为（﹣2，0）， ∵圆（x+2）2+y2＝r2上到直线x+y﹣4＝0的距离为的点恰有三个， ∴x+y﹣6＝0与圆相切， ∴． 故选：C． 【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于基础题． 14．若圆M：x2+y2﹣6x+8y＝0上至少有3个点到直线l：y﹣1＝k（x﹣3）的距离为，则k的取值范围是（　　） A． B．[﹣3，3] C． D． 【分析】根据圆上至少有3个点到直线距离为，转化为圆心到直线的距离至多为，由点到直线的距离公式列出不等式求解即可． 【解答】解：将圆M：x2+y2﹣6x+8y＝0写成标准方程为：（x﹣3）2+（y+4）2＝25， 圆心为M（3，﹣4），半径为5， 直线l：y﹣1＝k（x﹣3）即kx﹣y+1﹣3k＝0， M到直线l：y﹣1＝k（x﹣3）的距离d， 若圆M：x2+y2﹣6x+8y＝0上至少有3个点到直线l：y﹣1＝k（x﹣3）的距离为， 则，所以， 所以或， 故选：C． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，属于中档题． 题型四： 圆的切线方程的求解 15．过圆（x﹣1）2+（y+1）2＝5上一点M（﹣1，0）作圆的切线l，则l的方程为（　　） A．x+2y+1＝0 B．x﹣2y+1＝0 C．2x﹣y+2＝0 D．2x+y﹣2＝0 【分析】根据圆的方程求得圆心C的坐标，进而求得直线CM的斜率，根据圆的切线的性质求得切线l的斜率，结合直线的点斜式方程求出答案． 【解答】解：根据题意，可得（x﹣1）2+（y+1）2＝5的圆心为C（1，﹣1）， 所以直线CM的斜率， 由圆的切线的性质，可知CM⊥l，所以切线l的斜率， 可得切线l的方程为y＝2（x+1），即2x﹣y+2＝0． 故选：C． 【点评】本题主要考查直线的方程、两条直线垂直的条件、圆的切线的性质等知识，属于基础题． 16．过点P（2，1）作圆O：x2+y2＝1的切线l，则切线l的方程为（　　） A．3x﹣4y﹣5＝0 B．4x﹣3y﹣5＝0 C．y＝1或4x﹣3y﹣5＝0 D．y＝1或3x﹣4y﹣5＝0 【分析】设切线l为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0，由l与圆O：x2+y2＝1相切，得，即可求解． 【解答】解：由题知，圆O：x2+y2＝1，圆心为（0，0），半径为1， 因为P（2，1）在圆外， 所以设切线l为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0， 因为l与圆O：x2+y2＝1相切， 所以，解得k＝0或， 所以切线l的方程为y＝1或4x﹣3y﹣5＝0． 故选：C． 【点评】本题主要考查圆的切线方程，属于基础题． 17．过圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0上一点（2，4）作圆的切线l，则直线l的方程为（　　） A．x+2y﹣10＝0 B．2x+y﹣8＝0 C．x﹣2y+6＝0 D．2x﹣y＝0 【分析】根据直线垂直可得斜率关系，进而根据点斜式即可求解切线方程． 【解答】解：设P（2，4），设圆心为C（1，2），由于P（2，4）在圆上，所以， 所以切线的斜率为，由点斜式可得切线方程为，即x+2y﹣10＝0． 故选：A． 【点评】本题考查圆的切线方程的求法，是基础题． 18．在平面直角坐标系xOy中，过点M（﹣1，4）与圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝1相切的直线方程是（　　） A．y＝﹣1 B．x＝﹣1 C．y＝﹣1或3x﹣4y+19＝0 D．x＝﹣1或3x﹣4y+19＝0 【分析】分为切线的斜率是否存在两种情况，结合直线与圆相切的条件列式即可得到答案． 【解答】解：圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝1的圆心为C（﹣2，2），半径r＝1， 当斜率不存在时，直线为x＝﹣1，此时圆心C到直线的距离为1＝r，符合题意； 当斜率存在时，设直线的斜率为k，则直线方程为y﹣4＝k（x+1），即kx﹣y+k+4＝0， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离d＝r， 根据点到直线的距离公式可得，解得， 所以直线方程为3x﹣4y+19＝0； 综上，过点M（﹣1，4）与圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝1相切的直线方程是x＝﹣1或3x﹣4y+19＝0． 故选：D． 【点评】本题考查了圆的切线方程的计算，属于基础题． （多选）19．平面直角坐标系xOy中，点P（3，6），圆O：x2+y2＝9与x轴的正半轴交于点Q．则（　　） A．点P到圆O上的点的距离最大值为 B．过点P且斜率为1的直线被圆O截得的弦长为 C．过点P与圆O相切的直线方程为3x﹣4y+15＝0 D．过点P的直线与圆O交于不同的两点A，B，则直线QA，QB的斜率之和为定值﹣1 【分析】对于A，点P到圆心O的距离与半径之和即为点到圆上点的最大值，求出即可；对于B，利用圆的弦长公式求得即可；对于C，过点P（3，6）的直线与圆相切，分斜率存在与不存在两种情况，其中存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得直线斜率即可；对于D，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，代入化简，验证是否是定值﹣1即可． 【解答】解：对于选项A，点P到圆O上的点的距离最大值为P到O的距离与圆O的半径之和， 即为，故选项A正确； 对于选项B，过点P且斜率为1的直线为x﹣y+3＝0， 则圆心O到该直线的距离为， 由圆的弦长公式知，弦长为，故选项B正确； 对于选项C，圆心坐标为（0，0），半径r＝3， 则圆心（0，0）到直线x＝3的距离为|3﹣0|＝3＝r，符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为k，直线方程为y﹣6＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+6＝0， 则圆心（0，0）到直线的距离为，解得， 则直线方程为3x﹣4y+15＝0， 综上，过点P与圆O相切的直线方程为x＝3和3x﹣4y+15＝0．故选项C不正确； 对于选项D，由题意知点Q（3，0）， 联立得（1+k2）x2﹣6k（k﹣2）x+9k2﹣36k+27＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则， 所以 ． 故选项D正确． 故选：ABD． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的弦长公式，韦达定理及其应用，定值问题的求解等知识，属于中等题． 20．过点P（1，﹣3）作圆O：x2+y2+2x﹣2y﹣2＝0的切线l，则切线l的方程为 x＝1或3x+4y+9＝0　 ． 【分析】圆O：x2+y2+2x﹣2y﹣2＝0，即（x+1）2+（y﹣1）2＝4，则该圆的圆心为O（﹣1，1），半径为r，再分切线斜率存在与不存在两种情况讨论，即可求解． 【解答】解：∵圆O：x2+y2+2x﹣2y﹣2＝0，即（x+1）2+（y﹣1）2＝4， ∴该圆的圆心为O（﹣1，1），半径为r， ①当过点P（1，﹣3）的直线斜率不存在时，其方程为x＝1， ∵O（﹣1，1）到直线x＝1的距离为d＝1﹣（﹣1）＝2＝r， ∴直线x＝1与圆（x+1）2+（y﹣1）2＝4相切， ②当过点P（1，﹣3）的直线斜率存在时， 设其斜率为k， 则其方程为y＝k（x﹣1）﹣3，即kx﹣y﹣k﹣3＝0， ∵该直线与圆（x+1）2+（y﹣1）2＝4相切， ∴O（﹣1，1）到直线kx﹣y﹣k﹣3＝0的距离为d，解得k， 故直线方程为3x+4y+9＝0， 综上所述，切线l的方程为x＝1或3x+4y+9＝0． 故答案为：x＝1或3x+4y+9＝0． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的思想，属于基础题． 21．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0，过点P（5，1）作圆C的切线l，求切线l的方程． 【分析】由已知可得圆心坐标和半径，设切线l的方程为y﹣1＝k（x﹣5），根据圆心到直线的距离等于半径，即可求解． 【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0即（x﹣1）2+（y+2）2＝9， 所以圆心为C（1，﹣2），半径r＝3， 过点P（5，1）作圆C的切线l， 所以切线l的斜率存在，设切线l的方程为y﹣1＝k（x﹣5），即kx﹣y﹣5k+1＝0， 所以，解得或k＝0， 所以切线l的方程为24x﹣7y﹣113＝0或y﹣1＝0． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题． 题型五： 圆的切线长问题 22．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣6y+9＝0，过直线m：x1与x轴的交点P向圆C引切线，切点为Q，则PQ长为（　　） A．3 B．2 C．2 D．3 【分析】将圆C化简为标准方程，算出圆心C与半径r，然后求出直线m与x轴的交点P的坐标，根据圆的切线的性质与勾股定理，结合两点之间的距离公式进行求解，即可得到本题的答案． 【解答】解：直线m：x1，令y＝0，得x＝1，即直线m与x轴交于点P（1，0）， 圆C：x2+y2﹣2x﹣6y+9＝0，即（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1， 圆心为C（1，3），半径r＝1， 若过点P作直线与圆C相切，切点为Q，则|PQ|． 故选：C． 【点评】本题主要考查圆的方程、圆的切线的性质、两点之间的距离公式等知识，属于基础题． 23．由直线y＝x上的一点P向圆（x﹣4）2+y2＝4引切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及勾股定理，即可求解． 【解答】解：圆（x﹣4）2+y2＝4， 则圆心为（4，0），半径r＝2， 圆心（4，0）到直线y＝x的距离d， |PQ|的最小值为． 故选：B． 【点评】本题主要考查圆的切线，属于基础题． 24．过点P（2，﹣1）的直线与圆C：（x+1）2+（y﹣1）2＝5相切，则切线长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，求出P到圆心C的距离|PC|，由切线长公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，圆C：（x+1）2+（y﹣1）2＝5，其圆心为（﹣1，1），半径r， 点P（2，﹣1）的直线与圆C：（x+1）2+（y﹣1）2＝5相切， 又由|PC|， 所以切线长为； 故选：C． 【点评】本题考查直线与圆相切的性质，涉及切线长的计算，属于基础题． （多选）25．已知圆C：x2+y2﹣4x+2y+1＝0与直线l：4x﹣3y+m＝0，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列说法正确的是（　　） A．若m＝9，则直线l与圆C相切 B．若圆C上存在两点关于直线l对称，则m＝﹣11 C．若m＝14，则|PQ|min＝3 D．若m＝14，从Q点向圆C引切线，则切线长的最小值是 【分析】利用圆心到直线的距离与半径的关系可判断A错误；由圆C上存在两点关于直线l对称可得直线l过圆心，圆心坐标代入直线方程可得选项B正确；由题意可知|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径，选项C正确；由切线得垂直，根据勾股定理表示切线长，可知当|CQ|最小时，切线长最小，结合点到直线的距离求解可知选项D错误． 【解答】解：对于选项A：由题意得，圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝4，圆心为C（2，﹣1），半径r＝2， ∴圆心C到直线l的距离， ∴直线l与圆C相离，故A不正确； 对于选项B：若圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l经过圆C的圆心， ∴4×2﹣3×（﹣1）+m＝0，解得m＝﹣11，故B正确； 对于选项C：若m＝14，则圆心C到直线l的距离， ∴|PQ|min＝5﹣2＝3，故C正确； 对于选项D：若m＝14，从Q点向圆C引切线，设一个切点为M，连接CM，则CM⊥MQ，如图所示， ， 当CQ⊥l时，|CQ|取得最小值5，此时|MQ|取得最小值， 即，故D不正确． 故选：BC． 【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，属于中档题． 26．由直线l：y＝2x+1上的动点M向圆C：（x﹣2）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值为　2　 ． 【分析】根据题意，设圆的一个切点为N，由切线长公式可得|MN|的表达式，分析可得答案． 【解答】解：由题知，圆C：（x﹣2）2+y2＝1，其圆心为（2，0），半径r＝1， 过点M向圆C：（x﹣2）2+y2＝1引切线，设其中一个切点为N， 则切线长． 当|MC|为C到直线l的距离最小，即时，|MN|最小，且其最小值为2， 故答案为：2 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及切线长的计算，属于基础题． 27．已知圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0． （1）求过点P（，0）与圆C相切的直线方程； （2）若过点Q（1，1）的直线l1，与圆C相交所得弦长为4，求直线l1的方程； （3）若由直线l2：4x+3y﹣24＝0上的动点M向圆C作切线，求所得切线长的最小值． 【分析】（1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求过点P（，0）与圆C相切的直线方程； （2）分类讨论，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求出直线l1的方程； （3）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求出所得切线长的最小值． 【解答】解：（1）C：x2+y2﹣2y﹣4＝0可化为：x2+（y﹣1）2＝5， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为x，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y＝k（x），即kx﹣yk＝0， 圆心到直线的距离d，∴k， ∴直线的方程为y（x）， 综上，直线的方程为x，或y（x）； （2）若过点Q（1，1）的直线l1，斜率不存在时，直线的方程为x＝1，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y﹣1＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+1＝0， 圆心到直线的距离d， ∵与圆C相交所得弦长为4， ∴4+（）2＝5，无解． 综上，直线l1的方程为x＝1； （3）圆心到直线的距离d， ∴所得切线长的最小值为． 【点评】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 题型六： 已知切线求参数 28．若过点P（0，1）可作圆x2+y2﹣2x﹣4y+a＝0的两条切线，则a的取值范围是（　　） A．（3，+∞） B．（﹣1，3） C．（3，5） D．（5，+∞） 【分析】圆外的点作圆的切线有两条，由此可列不等式． 【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣4y+a＝0，即圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣a， 则圆心为（1，2），5﹣a＞0，∴a＜5．由于过点P（0，1）作出圆的两条切线， 则点P在圆外，∴2＞5﹣a，∴a＞3，∴3＜a＜5． 则a的取值范围是（3，5）． 故选：C． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题． 29．过直线l：y＝kx+4（k≠0）上一点P作圆M：（x﹣2）2+y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，若∠APB的最大值为，则k＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据∠APB最大有MP⊥l且圆心M（2，0）到直线l的距离最短，利用圆的切线性质得|MP|＝4，再应用点线距离公式列方程求参数值． 【解答】解：过直线l：y＝kx+4（k≠0）上一点P作圆M：（x﹣2）2+y2＝4的两条切线，切点分别为A，B， 当MP⊥l时，圆心M（2，0）到直线l的距离最短，∠APB最大， 因为∠APB的最大值为， 在Rt△MPA，Rt△MPB中，，|MA|＝|MB|＝2， 所以|MP|＝4， 当∠APB最大时，圆心M到直线l的距离为4，即， 解得k＝0（舍）或． 故选：C． 【点评】本题考查了圆的切线性质和点到直线的距离公式，属于中档题． 30．过点（﹣2，0）与圆x2+y2﹣4x﹣m＝0相切的两条直线垂直，则m＝（　　） A．﹣4 B． C． D．4 【分析】将圆的方程化为标准方程，表示出圆心和半径，根据题意，，由此可得m的值． 【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣m＝0化为标准方程为（x﹣2）2+y2＝m+4， 则圆心坐标为（2，0），半径为， 依题意，点（﹣2，0），圆心以及两切点围成的四边形为正方形， 且正方形的边长为半径r， 则圆心（2，0）与（﹣2，0）的距离等于正方形的对角线长， 即， 解得m＝4． 故选：D． 【点评】本题考查直线与圆相切的性质，考查运算求解能力，属于基础题． 31．已知直线l：2x+y+m＝0上存在点A，使得过点A可作两条直线与圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+2＝0分别切于点M，N，且∠MAN＝120°，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意求出|AC|＝2，转化为直线上存在与C距离为2的点，利用点到直线距离建立不等式求解即可． 【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y+2＝0，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2＝3，圆心C（1，2），半径， 过点A可作两条直线与圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+2＝0分别切于点M，N，连接AC，CM，CN，如图， 由∠MAN＝120°，知∠MAC＝60°，又|MC|＝r， 所以|AC|2，由题意，只需直线上存在与圆心距离为2的点即可， 即圆心到直线的距离，解得． 故选：B． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题． 题型七： 求圆的弦长与中点弦 32．已知直线3x﹣4y+4＝0与圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝25相交于A，B两点，则|AB|＝（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】利用点到直线的距离与圆的半径，半弦长满足勾股定理，转化求解即可． 【解答】解：设圆心C到该直线的距离为d，则， 所以． 故选：B． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是考查计算能力． 33．已知直线l：3x+y+6＝0，圆C：x2+y2+2x﹣4y＝0，则直线l被圆C截得的弦长是（　　） A． B． C．5 D． 【分析】将圆C：x2+y2+2x﹣4y＝0化为标准形式，求出圆心与半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l：3x+y+6＝0的距离，根据弦长的几何求法即可求解． 【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣4y＝0⇒（x+1）2+（y﹣2）2＝5， 所以圆的半径，圆心为（﹣1，2）， 所以圆心到直线l：3x+y+6＝0的距离， 所以直线l被圆C截得的弦长为． 故选：B． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题． 34．已知圆C：x2+y2+4x﹣12y+24＝0，直线l：yx+5，直线l被圆C截得的弦长为 　4　 ． 【分析】根据点到直线的距离公式及圆的弦长公式即可求解． 【解答】解：∵圆C的方程可化为：（x+2）2+（y﹣6）2＝16， ∴圆心C为（﹣2，6），半径r＝4， ∴圆心C为（﹣2，6）到直线l：yx+5的距离d2， ∴所求弦长为24． 故答案为：4． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的弦长的求解，属基础题． 35．已知圆C过点M（2，0）和点N（1，﹣1），且圆心C在直线l1：x﹣y﹣3＝0上． （1）求圆C的方程； （2）已知直线l2：x+2y﹣1＝0与圆C相交于A，B两点，求△ABC的面积． 【分析】（1）由题意求出线段MN的中点D的坐标及的坐标，由点法式可得线段MN的中垂线的方程，由题意联立两条直线的方程，可得圆心C的坐标，再求出圆的半径|CM|，即求出圆的方程； （2）求出圆心C到直线l2的距离d，进而可得弦长|AB|，代入△ABC的面积公式，可得该三角形的面积． 【解答】解：（1）圆心C在直线l1：x﹣y﹣3＝0上，圆C过点M（2，0）和点N（1，﹣1）， 可得MN的中点D（，），（1，1）， 所以线段MN的中垂线的方程为1•（x）+1•（y）＝0，即x+y﹣1＝0， 由圆的性质可得圆心C在线段MN的中垂线上， 联立，解得x＝2，y＝﹣1， 即圆心C（2，﹣1），且半径r＝|CM|＝1， 所以圆C的方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝1； （2）圆心C到直线l2：x+2y﹣1＝0的距离d， 弦长|AB|＝22， 所以S△ABC|AB|•d． 【点评】本题考查圆的方程的求法及直线与圆的综合应用，属于中档题． 36．已知圆C过点M（﹣1，2）和点N（1，0），且圆心C在直线l1：2x﹣y＝0上． （1）求圆C的方程； （2）已知直线l2：kx+y﹣k＝0与圆C相交于A，B两点，求△ABC面积的最大值． 【分析】（1）利用待定系数法，直接求解圆的方程即可； （2）利用点到直线的距离公式和几何法表示弦长，进而表示出三角形的面积，结合基本不等式，即可求出其最值． 【解答】解：（1）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2， 则，解得a＝1，b＝r＝2， 所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4． （2）由（1）知，圆C的圆心C（1，2），半径r＝2， 又直线l2方程为kx+y﹣k＝0， 所以点C到l2的距离， 又， 所以△ABC的面积为， 当且仅当，即k＝±1时，等号成立， 故△ABC面积的最大值为2． 【点评】本题主要考查了圆的方程的应用，还考查了直线与圆相交性质的应用，属于中档题． 37．已知圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣4y+9＝0． （1）若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； （2）若直线y＝x+1与圆C交于A，B两点，求弦AB的长． 【分析】（1）首先求出圆的标准方程，则圆心坐标可求，再由点斜式方程求解即可得答案； （2）利用点到直线的距离公式结合勾股定理知识可求解． 【解答】解：（1）由圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣4y+9＝0， 得圆C的标准方程（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4， 即圆心坐标为（3，2）， 若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为， 可得直线方程为， 即x+y﹣5＝0； （2）圆心（3，2）到直线y＝x+1的距离为， 所以弦AB的长为． 【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 题型八： 已知圆的弦长求方程或参数 38．已知圆C：x2+（y﹣3）2＝4，过A（﹣1，0）的直线l与圆C相交于P，Q两点，若|PQ|＝2，则直线l的方程为（　　） A．x＝﹣1或4x+3y﹣4＝0 B．x＝﹣1或4x﹣3y+4＝0 C．x＝1或4x﹣3y+4＝0 D．x＝1或4x+3y﹣4＝0 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①，直线l的斜率不存在，此时直线l的方程为x＝﹣1，求出直线与圆的交点，验证可得直线的方程，②，直线l的斜率存在，设直线的方程为y＝k（x+1），即kx﹣y+k＝0，结合直线与圆的位置关系可得，解可得k的值，即可得此时直线的方程，综合2种情况即可得答案． 【解答】解：根据题意，分2种情况讨论： ①，直线l的斜率不存在，此时直线l的方程为x＝﹣1， 又由圆C：x2+（y﹣3）2＝4，此时有（y﹣3）2＝3， 解可得：|y1﹣y2|＝2， 即|PQ|＝2，符合题意； ②，直线l的斜率存在，设直线的方程为y＝k（x+1），即kx﹣y+k＝0， 圆C：x2+（y﹣3）2＝4，圆心为（0，3），半径r＝2， 直线l与圆C相交于P，Q两点， 若|PQ|＝2，则有d， 解可得：k， 此时直线l的方程为4x﹣3y+4＝0； 综合可得：直线l的方程为x＝﹣1或4x﹣3y+4＝0； 故选：B． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意分析直线的斜率是否存在，属于基础题． 39．若直线l：x+y﹣m＝0（m＞0）被圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4截得的弦长为，则m＝（　　） A． B． C．2 D． 【分析】根据点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d（m＞0），利用圆内的弦长公式可得，解出m验证即可求解． 【解答】解：圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝4，圆心为（1，﹣1），半径r＝2， 直线l的方程为x+y﹣m＝0，圆心到直线的距离为）， 因为直线l：x+y﹣m＝0（m＞0）被圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4截得的弦长为， 则根据弦长公式可得， 解得m＝2， 将m＝2代入原方程，验证弦长是否匹配，结果符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，属于中档题． （多选）40．已知直线l：kx﹣yk＝0被圆x2+y2＝4截得的弦长为，点（m，n）是直线l上的任意一点，则m2+n2的值有可能为（　　） A． B．1 C．2 D．3 【分析】由圆的方程求出圆心和半径，利用垂径定理和点到直线距离公式求出k的值，得到直线方程，进而求出m，n的关系，计算出m2+n2的表达式，进而得到答案． 【解答】解：圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径r＝2， 故圆心（0，0）到直线的距离为， 由垂径定理得222，解得d＝1， 即，解得， 则点（m，n）在直线， 故，所以mn﹣2， 则m2+n2＝（n﹣2）2+n2＝4n2﹣4n+4＝4（n）2+1≥1，故A错误，BCD正确． 故选：BCD． 【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用及弦长公式的应用，属于中档题． 41．已知直线l：x﹣y﹣m＝0被圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣1＝0截得的弦长为，则m＝ 　或　 ． 【分析】先用几何法求出圆心到直线的距离，再结合点到直线距离公式求参数m的值． 【解答】解：圆C的方程可化为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝6，所以圆C的圆心是C（2，1），半径为． 又弦长为，所以圆心到直线的距离为：． 由⇒，所以或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查直线与圆相交的性质，属于基础题． 42．已知点O为坐标原点，圆C过点（1，1）和点（﹣2，4），且圆心在y轴上． （1）求圆C的标准方程； （2）如果过点P（1，0）的直线l与圆C有公共点，求直线l的斜率k的取值范围； （3）如果过点P（1，0）的直线l与圆C交于A、B两点，且，试求直线l的方程． 【分析】（1）根据题意设圆心C（0，c），利用两点间的距离公式列出关于c的方程，确定出圆心C坐标，进而确定出半径r，写出圆C方程即可； （2）表示出直线l方程，根据直线l与圆有公共点，得到圆心到直线的距离d小于等于半径，即可求出k的范围； （3）表示出直线l方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线l的距离d，根据已知的弦长与半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出直线l方程． 【解答】解：（1）设圆心C（0，c）， 根据题意得：， 解得：c＝3，即C（0，3）， 半径r， 则圆C方程为x2+（y﹣3）2＝5； （2）直线l方程为y＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k＝0， 由题意得：圆心C到直线l的距离d≤r，即， 解得：k或k≥2； （3）直线l方程为y＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k＝0， ∵圆心C到直线l的距离d，|AB|＝2，r， ∴222， 解得：k＝7或k＝﹣1， 则直线l方程为7x﹣y﹣7＝0或x+y﹣1＝0． 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及直线与圆相交的性质，弄清题意是解本题的关键． 题型九： 直线与部分圆的相交问题 43．曲线y＝1与直线y＝k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】要求的实数k的取值范围即为直线l斜率的取值范围，主要求出斜率的取值范围，方法为：曲线表示以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线l与半圆有不同的交点，故抓住两个关键点：当直线l与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值；当直线l过B点时，由A和B的坐标求出此时直线l的斜率，根据两种情况求出的斜率得出k的取值范围． 【解答】解：根据题意画出图形，如图所示： 由题意可得：直线l过A（2，4），B（﹣2，1）， 又曲线图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆， 当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，即2， 解得：k； 当直线l过B点时，直线l的斜率为， 则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为． 故选：D． 【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键． 44．若曲线y1与直线y＝k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围． 【解答】解：y1可化为x2+（y﹣1）2＝4，y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y≥1的部分． 直线y＝k（x﹣2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个． 且kAP，由直线与圆相切得d2， 解得k， 则实数k的取值范围为（，]． 故选：A． 【点评】本题考查直线与圆相交的性质，同时考查了学生数形结合的能力，是个基础题． 45．若直线l：mx﹣y﹣m＝0与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣1，1） B． C． D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 【分析】曲线表示双曲线的右支，联立，结合题意与右支交于两个不等的正根，结合判别式和两个正根求解即可． 【解答】解：曲线，变形得， 所以曲线表示双曲线的右支， 联立，化简得（1﹣m2）x2+2m2x﹣m2﹣4＝0， 因为直线l：mx﹣y﹣m＝0与曲线有两个不同的交点， 所以1﹣m2≠0，即m≠±1，Δ＝（2m2）2﹣4（1﹣m2）（﹣m2﹣4）＝16﹣12m2＞0， 解得且m≠±1， 又因为直线l：mx﹣y﹣m＝0与双曲线右支相交， 则存在两个不等且不小于2的根，设两个交点为（x1，y1），（x2，y2）， 所以，， 所以m2﹣1＞0，解得m＞1或m＜﹣1， 综上：或， 即m的取值范围是． 故选：B． 【点评】本题考查了直线与双曲线位置关系，属于中档题． 46．若直线y＝x+b与曲线有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】曲线表示以C（0，2）为圆心、半径等于2的半圆，当直线y＝x+b过点（0，4）时，可得b＝4，满足条件，当直线y＝x+b和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径求得b，数形结合可得实数b的取值范围． 【解答】解：曲线方程变形为x2+（y﹣2）2＝4（y≥2），表示圆心C为（0，2），半径为2的上半圆， 据题意画出图形，如图所示： 当直线y＝x+b过点（0，4）时，可得b＝4，满足直线y＝x+b与曲线y＝2有两个不同的公共点． 当直线y＝x+b和半圆相切时，由2，解得b＝2或b＝2﹣2（舍去）， 故直线y＝x+b与曲线y＝2有两个不同的公共点时，实数b的取值范围为[4，2+2）， 故选：C． 【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题． 题型十： 直线与圆中的面积问题 47．已知点P是直线l：3x﹣y﹣2＝0上的任意一点，过点P作圆（x+3）2+（y+1）2＝1的两条切线，切点分别为A和B，圆心为C，则四边形PACB面积的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．3 【分析】由已知把问题转化为求圆心到直线的最小距离问题，结合点到直线的距离公式求解． 【解答】解：∵CA⊥PA，CB⊥PB，|PA|＝|PB|，|AC|＝1， ∴S四边形PACB＝2S△PAC＝|AC|•|PA|＝|PA|． 当PC⊥l时，|PC|取得最小值， ∴|PC|min， ∴|PA|min． 即四边形PACB面积的最小值为3． 故选：D． 【点评】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题． （多选）48．已知直线l：（m+2）x﹣（m+1）y+m＝0（m∈R），圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+2＝0，则下列说法正确的是（　　） A．直线l与圆C恒相交 B．当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为y＝x+1 C．若圆C上恰有三个点到直线l的距离为，则m＝﹣1 D．若直线l与圆C交于A，B两点，则△ABC面积的最大值为 【分析】对于A，先得到直线过定点P（1，2），结合点P（1，2）在圆C内部，即可判断直线与圆的位置关系；对于B，当l⊥PC时，直线l被圆C截得的弦长最短，再求直线方程即可；对于C，由直线与圆的位置关系，可得圆心C到l的距离为1时，圆C上恰有三个点到直线l的距离为，然后求直线方程即可；对于D，由题可知，再由△ABC的面积为即可求解． 【解答】解：对于选项A，圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+2＝0的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝3，圆心C（2，1），半径， 直线l：（x﹣y+1）m+2x﹣y＝0， 令， ∴直线l过定点P（1，2），又点P（1，2）在圆C内部， ∴直线l与圆C恒相交，故A正确； 对于选项B，当l⊥PC时，直线l被圆C截得的弦长最短，又直线PC的斜率为， 故直线l的斜率为1，∴直线l的方程为y＝x+1，故B正确； 对于选项C，∵圆C的半径为，∴当且仅当圆心C到l的距离为1时， 圆C上恰有三个点到直线l的距离为， 此时直线l的斜率为0或不存在，∴m＝﹣2或m＝﹣1，故C错误； 对于选项D，设圆心C到l的距离为d，则，且， 又△ABC的面积为， 当且仅当时取等号， ∴△ABC的面积的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题． 49．已知圆C经过点A（1，1），B（3，﹣1），圆心C在直线2x﹣y﹣5＝0上，P是直线3x﹣4y+10＝0上的任意一点． （1）求圆C的方程； （2）过点P向圆C引两条切线，切点分别为M，N求四边形PMCN的面积的最小值． 【分析】（1）设圆心坐标，根据圆C过两点A（1，1），B（3，﹣1），利用两点间的距离公式，即可求得圆心与半径，从而可得圆C的方程； （2）四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM＝1，显然PM最小时，四边形面积最小，此时PC最小，由此可得结论． 【解答】解：（1）设圆心坐标为（a，2a﹣5），则 ∵圆C过两点A（1，1），B（3，﹣1）， ∴ ∴a＝3，∴圆心坐标为（3，1）圆的半径为2 ∴圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝4； （2）由题意过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N， 可知四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM＝1， 显然PM最小时，四边形面积最小，此时PC最小 ∵P是直线3x﹣4y+10＝0上的动点， PC最小值．∴PM最小值． ∴四边形PMCN面积的最小值为22． 【点评】本题考查圆的方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 50．已知三点O（0，0），A（﹣1，﹣1），B（2，0），记△AOB的外接圆为⊙C． （1）求⊙C的方程； （2）若直线l：x﹣y﹣1＝0与⊙C交于M，N两点，求△CMN的面积． 【分析】（1）设出圆的一般式方程，代入点的坐标计算，即可得到圆的一般式方程； （2）由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式可得|MN|，再由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果． 【解答】解：（1）设⊙C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0， 由题意可得，解得， 所以⊙C的方程为x2+y2﹣2x+4y＝0； （2）由（1）可得圆心C（1，﹣2），半径， 所以圆心C到直线l：x﹣y﹣1＝0的距离为， 且|MN|＝222， 因此△CMN的面积为S|MN|•d2． 【点评】本题考查圆的方程的求法及直线与圆的相交的弦长公式的应用及三角形的面积公式的应用，属于基础题． 题型十一： 直线与圆有关的最值问题 51．P是圆（x﹣a）2+（y﹣a2）2＝1上的动点，Q是直线y＝x﹣2上的动点，则|PQ|的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用几何法先判断直线与圆的位置关系，进而利用圆心到直线的距离减去半径即可求解． 【解答】解：由题意得，圆（x﹣a）2+（y﹣a2）2＝1的圆心为（a，a2），半径r＝1． ∵（a，a2）到直线y＝x﹣2的距离d1， 当且仅当a时等号成立，∴直线与该圆相离， ∴|PQ|的最小值为． 故选：C． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题． 52．已知圆C：x2+（y﹣1）2＝3，直线l：y＝x+m（m∈R）． （1）若直线l与圆C相切，求m的值； （2）若m＝﹣2，过直线l上一点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，求四边形PACB面积的最小值及此时点P的坐标． 【分析】（1）利用直线l与圆C相切，可得d，求解即可； （2）S＝2S△PAC|PA|，可求|PA|min，进而可得四边形PACB面积的最小值，进而联立方程可求点P的坐标． 【解答】解：（1）由已知，圆心C（0，1）到直线l：x﹣y+m＝0的距离等于半径， 即d， 解得： 或， （2）当m＝﹣2时，直线l的方程为y＝x﹣2，四边形PACB的面积S＝2S△PAC|PA|， ∵△PAC为直角三角形，|PA|2＝|PCl2﹣3， 当|PC|最小时，切线长|PA|最短，显然当PC⊥l时，|PC|min， ∴|PA|min， 四边形PACB的面积最小值为Smin， 此时，kR＝﹣1，C（0，1），∴直线PC：y﹣1＝﹣1×（x﹣0），即y＝﹣x+1， 由，解得，即． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查方程思想，考查运算求解能力，属中档题． 53．已知点P（x，y）是圆（x+2）2+y2＝1上任意一点． （1）求P点到直线3x+4y+12＝0的距离的最大值和最小值； （2）求x﹣2y的最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值． 【分析】（1）求出圆心C（﹣2，0）到直线3x+4y+12＝0的距离d，大于半径r＝1，再根据P点到直线3x+4y+12＝0的距离的最大值为d+r、最小值d﹣r，可得结论． （2）令t＝x﹣2y，则当圆（x+2）2+y2＝1和此直线相切时，t取得最值．再根据圆心（﹣2，0）到直线x﹣2y﹣t＝0的距离为1，求得t的值，即为所求． （3）表示圆上的点P（x，y）与点M（1，2）连线的斜率，设为k，则过点M的圆的切线方程为y﹣2＝k（x﹣1），由圆心到切线的距离等于半径，求得k的值，可得的最大值和最小值． 【解答】解：（1）圆心C（﹣2，0）到直线3x+4y+12＝0的距离d，大于半径r＝1， 故P点到直线3x+4y+12＝0的距离的最大值为d+r，最小值d﹣r． （2）令t＝x﹣2y，即y，表示斜率为、在y轴上的截距为的直线， 故当此直线和圆（x+2）2+y2＝1相切时，t取得最值． 由圆心（﹣2，0）到直线x﹣2y﹣t＝0的距离为半径1，可得1， 求得t＝﹣2，或t＝﹣2， 故t＝x﹣2y的最大值为﹣2，t＝x﹣2y的最小值为﹣2． （3）表示圆上的点P（x，y）与点M（1，2）连线的斜率， 设为k，则过点M的圆的切线方程为y﹣2＝k（x﹣1）， 即 kx﹣y+2﹣k＝0，由圆心到切线的距离等于半径，可得 1，求得k， 故的最大值为，最小值为． 【点评】本题主要考查直线的斜率公式，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题． 题型十二： 直线与圆中的定点定值问题 54．已知圆O：x2+y2＝4，直线l：mx+y+m＝0． （1）求证：直线l与圆O有两个不同的交点； （2）记直线l与圆O交于A，B两点， ①当时，求直线l的方程； ②记圆O与x轴的正半轴交点为M，直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2，求证：k1k2为定值． 【分析】（1）求出直线l经过圆内的定点P（﹣1，0），由此证出直线l与圆O有两个不同的交点； （2）①根据圆的弦长公式算出圆心O到直线l的距离d，从而运用点到直线的距离公式列式算出m，进而可得直线l的方程； ②根据直线的斜率公式、一元二次方程根与系数的关系进行化简，可证出k1k2（定值），进而可得答案． 【解答】（1）证明：由题意得圆O：x2+y2＝4的圆心为O（0，0），半径r＝2， 直线l的方程可化为（x+1）m+y＝0，可知直线l经过直线x+1＝0与y＝0的交点P（﹣1，0）， 根据|OP|＝1＜2，可知定点P在圆内，所以l与圆O有两个不同的交点． （2）①解：设O到直线l的距离为d， 根据圆的弦长公式，可得|AB|，即，解得， 由d，解得，可得直线l的方程为； ②证明：由题意知直线l的斜率存在，圆O与x轴正半轴的交点为M（2，0）， 设直线l的方程为y＝k（x+1），代入圆的方程x2+y2＝4， 化简得（1+k2）x2+2k2x+k2﹣4＝0， 设A（x1，y2），B（x2，y2），则， 可得， 所以． 综上所述，k1k2为定值． 【点评】本题主要考查圆的方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系、一元二次方程根与系数的关系等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 55．在平面直角坐标系xOy中，圆C的圆心在直线x+y﹣3＝0上，圆C经过点A（0，4），且与直线3x﹣4y+16＝0相切． （1）求圆C的方程； （2）设直线l交圆C于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求该定点坐标． 【分析】（1）由题意，设C（a，3﹣a），则圆C的半径，又圆C和直线3x﹣4y+16＝0相切，则利用点到直线的距离公式，可求出r，从而可得关于a的方程，求出a，进而可得圆C的方程； （2）若直线l的斜率不存在，则可设P（x0，y0），Q（x0，﹣y0），x0≠0，由直线AP，AQ的斜率之积为2，可推出y0不存在，故直线l的斜率存在，设直线l的方程y＝kx+t（t≠4），P（x1，kx1+t），Q（x2，kx2+t），与圆的方程联立，可推导出t＝6k﹣12，进而可得出直线l过一个定点，该定点坐标为（﹣6，﹣12）． 【解答】解：（1）因为圆心C在直线x+y﹣3＝0上，所以设C（a，3﹣a）， 因为圆C经过点A（0，4），所以圆C的半径， 因为圆C和直线3x﹣4y+16＝0相切， 所以圆C的半径， 所以． 化简得a2﹣6a+9＝0，解得a＝3． 所以C（3，0），半径r＝5． 所以圆C的方程为（x﹣3）2+y2＝25． （2）若直线l的斜率不存在，则可设P（x0，y0），Q（x0，﹣y0），x0≠0， 所以，， 消去y0得x0＝﹣6，再代入，y0不存在， 所以直线l的斜率存在； 设直线l的方程y＝kx+t（t≠4），P（x1，kx1+t），Q（x2，kx2+t）， 所以， 整理得， ① 直线方程与圆C方程联立， 消去y得（k2+1）x2+（2kt﹣6）x+t2﹣16＝0， 所以，代入①， 得（k2﹣2）（t2﹣16）﹣k（t﹣4）（2kt﹣6）+（t﹣4）2（k2+1）＝0， 由于t≠4，整理得6k﹣t﹣12＝0，即t＝6k﹣12， 所以直线l的方程为y＝kx+6k﹣12，即y＝k（x+6）﹣12， 令解得 所以直线l过一个定点，该定点坐标为（﹣6，﹣12）． 【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，直线的斜率及点到直线的距离公式，直线过定点问题，属于综合题． 56．已知⊙C的圆心在直线3x﹣y﹣3＝0上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，⊙C被直线l：x﹣y+3＝0截得的弦长为2． （1）求⊙C的方程； （2）设点D在⊙C上运动，且点T满足，（O为原点）记点T的轨迹为E． ①求曲线E的方程； ②过点M（1，0）的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设圆C的圆心坐标为C（1，b），代入直线方程求得b，可得圆心坐标，求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求半径，则圆的方程可求； （2）①设T（x，y），D（x′，y′），由2，得，再由D在圆C上，即可求得点T的轨迹Γ的方程； ②当直线AB的斜率不存在时，有x轴平分∠ANB；当直线AB的斜率存在时，设AB：y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），N（t，0），联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系结合kAN+kBN＝0，求得t为定值，即可得到在x轴正半轴上存在定点N，使得x轴平分∠ANB． 【解答】解：（1）不妨设圆C的圆心C的坐标为（1，b）， 因为圆C的圆心C在直线3x﹣y﹣3＝0上， 所以3﹣b﹣3＝0， 解得b＝0， 则圆心为（1，0）， 而圆心到直线l的距离为， 不妨设圆C的半径为r， 易知弦长为2， 解得r2＝9， 所以圆C的标准方程为（x﹣1）2+y2＝9； （2）①不妨设T（x，y），D（x′，y′）， 易知， 此时， 可知， 解得， 因为D在圆C上运动，（3x﹣1）2+（3y）2＝9， 整理得点T的轨迹方程E为； ②当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB， 当直线AB斜率存在时，不妨设直线AB的方程为y＝k（x﹣1）， 联立，消去y并整理得， 此时， 不妨设N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 由韦达定理得， 若x轴平分∠ANB， 此时kAN+kBN＝0， 所以， 因为y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1）， 所以2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t＝0， 可得， 整理得， 即， 解得， 则当时，能使x轴平分∠ANB． 【点评】本题考查轨迹方程以及直线与圆的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力． 57．在平面直角坐标系中．点A（2，4），B（6，2），直线l1：x+y﹣4＝0，l2：（m﹣1）x+y+2m+2＝0，m∈R．圆C经过A，B两点，且圆心C在直线l1上． （1）求圆C的方程； （2）当直线l2与圆C相切时，求实数m的值． （3）若直线l2与圆C相交于D，E两点，当m变化时，是否存在一个定点P，使得|DP|•|EP|为定值？若存在，求出一个P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设圆心坐标为 C（a，b），由题意可得2a﹣b﹣5＝0，且b＝4﹣a，可求得圆心坐标与半径，进而可求得圆的方程； （2）由题意可得，求解即可； （3）由题意可得直线l2经过定点M（﹣2，﹣4），设过M（﹣2，4）的直线与圆的切点为N，可得|MN|2＝|MD||ME|，当P为定点M（﹣2，﹣4），符合题意． 【解答】解：（1）点A（2，4），B（6，2），直线l1：x+y﹣4＝0，圆C经过A，B两点，且圆心C在直线l1上．设圆心坐标为 C（a，b）， ∵圆心C在直线l1：x+y﹣4＝0上， 则b＝4﹣a， ∴， 两边平方后得（a﹣2）2+（b﹣4）2＝（a﹣6）2+（b﹣2）2， 整理得2a﹣b﹣5＝0，又b＝4﹣a，解得a＝3，b＝1，∴圆心为C（3，1）， 圆的半径， ∴圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10； （2）∵l2：（m﹣1）x+y+2m+2＝0， 由题意可得 的距离为， ∴， 两边平方，化简得3m2+4m﹣4＝0，解得或m＝﹣2； （3）直线l2的方程为（m﹣1）x+y+2m+2＝0， 即m（x+2）﹣x+y+2＝0， 由，解得x＝﹣2，y＝﹣4，∴直线l2经过定点M（﹣2，﹣4）， 又（﹣2﹣3）2+（﹣4﹣1）2＞10，∴点M（﹣2，﹣4）在圆外， 设过M（﹣2，4）的直线与圆的切点为N， 则有|MN|2＝|MD||ME|，又， ∴|MD||ME|＝|MN|2＝40， ∴当P为定点M（﹣2，﹣4）时，|DP|•|EP|为定值40． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/23 10:26:32；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21498003 学科网（北京）股份有限公司 $