2.5.1 直线与圆的位置关系 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习以分层题型为框架，覆盖直线与圆位置关系全知识点，从基础判断到综合应用，梯度进阶培养数学推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|位置关系判断（相交/相切/相离）|选择填空直接考查概念，如题型一第1题基础判断| |技能应用层|参数求解、距离最值|多选与中档解答题提升运算能力，如题型二第8题参数计算| |综合创新层|交点坐标、韦达定理、定点定值|结合阿氏圆等情境，如题型六第24题证明定值，培养创新意识|

2.5.1 直线与圆的位置关系 题型一 判断直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 2．已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 3．设直线被圆所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线的位置关系是______. 4．已知直线（），圆． (1)当时，判断直线与圆的位置关系，若直线与圆相交，求出弦长；若直线与圆相离，求圆上的点到直线距离的最值； (2)圆上恰有两个点到直线的距离为，求b的取值范围． 题型二 由直线与圆的位置关系求参数 5．如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 6．已知斜率的直线过定点，圆：，为圆上的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为 7．已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 8．已知圆，直线. (1)当为何值时，直线与圆相切； (2)当直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 题型三 直线与圆的位置关系求距离的最值 9．已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 10．已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使得圆关于对称 B．若与圆相切，则 C．存在实数，使圆上存在点到的距离为6 D．若与圆相交于A，B两点，且，则 11．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 12．已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 题型四 求直线与圆交点坐标 13．过点作直线l交圆于点，，若 ，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 14．已知圆与y轴正半轴的交点为A，过点A且斜率为1的直线l与圆C的另一个交点为B，若的中点P恰好落在x轴上，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 15．记为坐标原点，若直线与圆交于A，B两点，且，则__________. 16．在平面直角坐标系中，圆：，，，与圆另交于点，以为圆心，为半径作圆. (1)求的面积； (2)为圆上一点，为直线上一点，求的最小值. 题型五 直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 17．已知为坐标原点，直线与圆交于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 18．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离的比值为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知两定点，动点满足条件，其轨迹是曲线，过作直线交曲线于两点，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C： B．的取值范围是 C．当直线的斜率时，平分 D．当点不共线时，面积的最大值为 19．已知直线与圆相交于，两点，则线段中点的坐标为_____. 20．已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型六 直线与圆中的定点定值问题 21．已知圆与直线，若平分圆的周长，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．18 22．已知，，成等差数列，点在直线外，作，垂足为点.为坐标原点，则（   ） A．直线过定点 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为4 23．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 24．已知平面上定点和，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点在曲线上运动，记点为过D、B两点的弦的中点，若直线DB与直线交于点，证明：恒为定值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1 直线与圆的位置关系 题型一 判断直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】C 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 即，所以直线l与圆C的位置关系是相离. 2．已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】对于A，将圆一般方程化为标准方程，据此可得圆心坐标；对于B，注意到直线过定点，由定点与圆关系可判断选项正误；对于C，设直线到圆心距离为，求出的最大值，可得弦长最小值；对于D，计算出直线到圆心距离，结合图形可判断选项正误. 【详解】对于A：，从而圆心坐标为，故A正确； 对于B：，则直线过定点，又， 则定点在圆内，则过该定点直线一定与圆相交，故B正确； 对于C：设直线到圆心距离为，直线被圆所截弦长为，圆半径为.由AB分析可得，直线过定点且该点到圆心距离为， 当直线与定点和圆心连线垂直时，最大为，则直线被圆截得的最短弦长为，故C错误； 对于D：当时，直线到圆心距离为，如下图，设直线与圆交于，中点为， 连接并延长交圆于，由垂径定理可得.易得， 则在劣弧上存在两点到直线的距离为，在优弧上也存在两点到直线的距离为， 综上圆上存在着4个点到直线的距离为，故D正确. 3．设直线被圆所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线的位置关系是______. 【答案】相交 【分析】求出直线恒过定点，由圆的性质可得，进而可得点的轨迹是一个以为直径的圆（去除O点），求出该圆的方程，求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】直线恒过定点， 由圆的性质可得：，所以中点的轨迹是以为直径的圆（去除O点）， 所以圆心为，半径为， 所以点的轨迹方程为：， 则圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系是相交． 故答案为：相交. 4．已知直线（），圆． (1)当时，判断直线与圆的位置关系，若直线与圆相交，求出弦长；若直线与圆相离，求圆上的点到直线距离的最值； (2)圆上恰有两个点到直线的距离为，求b的取值范围． 【答案】(1)直线与圆相离，圆上点到直线距离最小值为，最大值为； (2) 【分析】（1）将圆方程化为标准式确定圆心、半径，利用点到直线距离公式判定位置关系并求解距离最值. （2）根据圆上恰有两个点到直线的距离为列不等式，由此求得的范围. 【详解】（1）将圆的方程配方化为标准形式， 可得圆心，半径. 当时，直线整理为， 圆心到直线的距离， 因为，因此，直线与圆相离. 圆上点到直线距离的最小值为， 最大值为. （2）直线整理为，圆心到直线的距离，由得. 圆上恰有两个点到直线距离为，因此，， 代入得，， 解得，所以的取值范围是. 题型二 由直线与圆的位置关系求参数 5．如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将其看作为过原点的直线的斜率，数形结合进行求解. 【详解】中，解得， 由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为， 同一坐标系内画出草图， 由图可得当直线与圆相切时，斜率最小或最大，圆心为，半径为， 则，解得或， 所以的最小值是. 6．已知斜率的直线过定点，圆：，为圆上的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为 【答案】BC 【分析】先将圆方程化为标准式确定圆心和半径，再结合几何意义、直线与圆的位置关系、点到直线距离公式逐一分析选项． 【详解】由圆：，得圆心，半径， 对于A，表示点到原点的距离的平方，原点到圆心的距离为， 所以到原点的最大距离为，的最大值为，A错误； 对于B，是直线的斜率，当直线与圆相切时斜率取最值， 由圆心到直线距离等于半径得，解得， 所以最大值为，B正确； 对于C，直线的方程为， 相切时圆心到直线的距离等于半径，即，解得，C正确； 对于D，直线过定点，，但距离取时直线为，斜率不存在， 不符合题干“存在斜率”的要求，故距离的最大值小于，D错误． 7．已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径，列绝对值不等式求解即可 【详解】由题意得圆C的标准方程为 ， 可得圆心坐标为，圆的半径 而直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于圆的半径，即 ， 由题意得 ，得到， 整理得，解得 ， 因此实数的取值范围为. 8．已知圆，直线. (1)当为何值时，直线与圆相切； (2)当直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求解； （2）根据弦长和半径求出弦心距，然后利用点到直线的距离公式构建关于的方程. 【详解】（1）解：圆，即， 则圆心，半径，又直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离， 解得； （2）解：， 解得，则， 解得或， 则直线的方程为或． 题型三 直线与圆的位置关系求距离的最值 9．已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值. 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 10．已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使得圆关于对称 B．若与圆相切，则 C．存在实数，使圆上存在点到的距离为6 D．若与圆相交于A，B两点，且，则 【答案】CD 【分析】根据圆心不在直线上判断A，根据圆心到直线的距离为半径判断B，根据圆上的点到的距离的范围判断C，根据圆心到直线的距离为1求出的值判断D. 【详解】由题设可得圆的半径为2. 对于A，因为，故直线不过原点， 故不存在实数，使得圆关于对称，故A错误； 对于B，若相切，则圆心到直线的距离， 整理得，故，故B错误； 对于C，由B的分析可得圆心到直线的距离， 故圆上的动点到直线的距离的取值范围， 令，则， 故当时，圆上存在点到的距离为6，故C正确； 对于D，因为，故到的距离为， 结合C中的距离可得，故，故D正确. 11．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 【答案】 【分析】根据题意，利用待定系数法，求得圆的标准方程，结合直线与圆的位置关系，以及圆的性质，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 可得，解得：， 所以圆的标准方程为. 又因为圆到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以的最小值为. 12．已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先判断点在圆外，当直线斜率不存在时，结合图形易得切线，当直线斜率存在时，设点斜式方程，由圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率即得圆的切线方程； （2）先判断直线与圆相离，结合图形推出，将求的最小值的问题转化为求的最小值问题，由点到直线的距离公式即可求得. 【详解】（1）由题意得 ，则点在圆外，故有条切线， 若切线的斜率不存在，易得直线恰为圆的一条切线； 若切线的斜率存在，设切线的方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为， 即 ，解得， 所以切线的方程为，即. 综上，切线的方程为或. （2）如图，由圆心到直线的距离为 ，可得直线与圆相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值， 由图知，当时，最小，最小值恰为点到直线的距离， 故的最小值为. 题型四 求直线与圆交点坐标 13．过点作直线l交圆于点，，若 ，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点的坐标，结合题意可得点的坐标，又两点都在圆上，代入计算即可得点的横坐标. 【详解】设，故有，即， 由，则点为中点， 故，故有， 即有，整理得， 即. 故选：A. 14．已知圆与y轴正半轴的交点为A，过点A且斜率为1的直线l与圆C的另一个交点为B，若的中点P恰好落在x轴上，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】依题意，点，，直线方程为，直线交轴于点， 由点为线段的中点，得，由点在圆上， 得，而，解得，因此， 对于A，直线的斜率为，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 15．记为坐标原点，若直线与圆交于A，B两点，且，则__________. 【答案】/1.5 【分析】求出圆与轴的交点，利用三角形相似可得，即可得解. 【详解】令，代入圆的方程中，可得， 即圆与轴的两个交点为， 直线过原点且与圆交于两点， 由，可知和相似， 可得，即， 从而， 故答案为： 16．在平面直角坐标系中，圆：，，，与圆另交于点，以为圆心，为半径作圆. (1)求的面积； (2)为圆上一点，为直线上一点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线联立得出点的坐标，再结合面积公式计算求解； （2）应用点到直线距离公式计算得出点到圆上的点距离的最值. 【详解】（1）因为，，所以：， 设， 联立，得，由得， 而， 故的面积； （2），于是， 其到的距离， 而， 于是由几何关系知， 故的最小值为 题型五 直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 17．已知为坐标原点，直线与圆交于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】设，，则，， 由，消去整理得， 则， 所以，， 则 ， 所以，解得. 故选：B 18．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离的比值为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知两定点，动点满足条件，其轨迹是曲线，过作直线交曲线于两点，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C： B．的取值范围是 C．当直线的斜率时，平分 D．当点不共线时，面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】利用两点间距离公式代入，化简得到曲线C：，当直线垂直于BC时，，所以的取值范围是，由阿波罗尼斯圆的定义化简得到,根据角平分线定理的逆定理，平分；设 ，直线的方程为，代入圆的方程得到 ，利用韦达定理以及弦长公式化简计算即可得到面积的最大值为. 【详解】设动点，因为，所以 ； 化简得到，所以选项A正确； 该圆的圆心为 ,半径为 ， 当直线垂直于BC时， ，， 所以的取值范围是，选项B错误； 由阿波罗尼斯圆的定义， 在曲线C上，故，, 即,根据角平分线定理的逆定理，平分，选项C正确； 设 ，直线的方程为， 代入得到 ， 则，， ， 令 ，则 因为 ，所以当 ，即时面积最大为，选项D正确； 故选：ACD 19．已知直线与圆相交于，两点，则线段中点的坐标为_____. 【答案】 【分析】联立直线与圆，应用韦达定理求得，进而有，即可得中点坐标. 【详解】由题设，直线方程为，联立， 所以，则， 所以，则， 所以线段中点的坐标，即为. 故答案为： 20．已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）设圆心，由直线与圆相切，得，求出的值即可； （2）当直线轴时，显然存在；直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，将直线方程与圆方程联立，结合韦达定理和，求解即可. 【详解】（1）因为直线与轴相交于点, 设圆心， 则或（舍）． 所以圆的方程为． （2）当直线轴时，轴平分； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，，， 由，得， 所以，． 若轴平分， 则， 即， 又， 所以， 即， 所以， 所以， 解得， 所以当点为时，能使得总成立． 题型六 直线与圆中的定点定值问题 21．已知圆与直线，若平分圆的周长，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．18 【答案】C 【分析】由平分圆的周长，所以直线l过圆C的圆心，得，再利用不等式即可求得结果. 【详解】因为平分圆的周长，所以直线l过圆C的圆心，即， 即，所以， 当且仅当时取等号. 故选：C 22．已知，，成等差数列，点在直线外，作，垂足为点.为坐标原点，则（   ） A．直线过定点 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为4 【答案】ACD 【分析】对于A，由，，直线过；对于B，设，则；对于C，知点的轨迹为以为直径的圆，所以的最大值为：到圆心的距离加半径；对于D,设，求出其轨迹方程，.，令，即,当直线与圆相切时取最值，即可求解. 【详解】由题意得，，成等差数列，所以， 所以直线过，故A正确； 设，的最大值为，故B错误； 由题意得点的轨迹为以为直径的圆， 该圆的圆心为，半径为， 如图，作出符合题意的图形，    所以的最大值为，故C正确； 设，因为的轨迹为以为直径的圆，其方程为， 展开得，， 得到. 令，即，当直线与圆相切时取最值， 得到，解得或，所以的最大值为4，故D正确. 23．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 【答案】 【分析】设出点坐标，得到以为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立，可得直线的方程，再由直线系方程求解． 【详解】圆的圆心为，设， 则以为直径的圆的方程为， 即， 又圆，代入上式可得，即 即，令，解得， 所以直线经过定点． 24．已知平面上定点和，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点在曲线上运动，记点为过D、B两点的弦的中点，若直线DB与直线交于点，证明：恒为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用已知条件结合两点间距离公式求出曲线的方程； （2）根据直线与圆的位置关系，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，结合两点间距离公式求出，进而求出为定值． 【详解】（1）设点，， ，即， 化简整理得， 曲线的方程为 （2）曲线的方程为， 曲线为圆心为，半径为，如下图所示：    设过的弦交曲线于点，则点是弦的中点，故，当直线斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为， 的斜率为，直线方程为， 联立直线方程，则点， ，，故点， ， ， ，故恒为定值； 当直线斜率不存在时，方程为，则直线与直线平行，此时交点不存在，不符合题意． 恒为定值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $