上海市市南中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

2025学年第一学期期中考试 高三年级 数学试卷 2025年11月 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟. 2.本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题. 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知全集，集合，则__________． 2. 已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 3. 若复数满足（是虚数单位），则___________. 4. 已知，则__________. 5. 若，，那么在方向上的数量投影为__________. 6. 已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______． 7. 短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为__________. 8. 已知，，则不等式的解是___________. 9. 设，则的最小值为_________． 10. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种__________. 11. 已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度) 12. 已知，集合，（其中为虚数单位），若，且满足，则实数的取值范围是__________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，每题有且只有一个正确答案）第13、14题每题4分，第15、16题每题5分. 13. ，，，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（ ） A. 为 B. 为的中点 C. 的轨迹长度为 D. 为的中点 16. 对于数列，若存在常数，对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．给出下列两个结论： ①若数列和均具有性质，则数列也具有性质 ②若数列和均具有性质，则数列也具有性质． 则下列判断正确的是（ ） A. ①为真命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须写出必要的步骤. 17. 如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周上，点 F 在线段DE 上. （1）求证: AF⊥BE; （2）若点E是的中点，求直线DE与平面ABD所成角的大小. 18. 已知函数，. （1）若，当时，求的值域； （2）若的最小正周期是，在（）上有且仅有三个零点，求实数a的取值范围. 19. 甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边． （1）分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数； （2）从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率； （3）为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？ 20. 已知双曲线的右焦点为． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； （3）过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 21. 若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数． （1）求证：函数是函数的“控制函数” （2）若存在实数，使得函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围； （3）若，其中且，函数为定义在上的偶函数，函数是函数的“控制函数”，当时，求证““的充要条件是“为常值函数”． 2025学年第一学期期中考试 高三年级 数学试卷 2025年11月 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟. 2.本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题. 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】## 【6题答案】 【答案】1 【7题答案】 【答案】## 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】4 【10题答案】 【答案】186 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，每题有且只有一个正确答案）第13、14题每题4分，第15、16题每题5分. 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】（1） 连接，则，又平面，而平面， ∴，又，平面， ∴平面，又∵平面， ∴. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）甲组第60百分位数为173 厘米，乙组第60百分位数为厘米； （2）； （3）把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组. 【20题答案】 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【21题答案】 【答案】（1） 因为，所以， 故，即恒成立， 故函数是函数的“控制函数”； （2） （3） 充分性：若存在常数使得恒成立， ∴，∴， 因为为偶函数，则， 可得，得，则，∴， 因，∴， 当时，恒成立，则充分性得证； 必要性：当时，， 则， 则为偶函数， 又是偶函数，则， 当时，，∴，则， 则，即，则； 综上可得，当时，“”的充要条件是“为常值函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $