精品解析：上海市敬业中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年上海市黄浦区敬业中学高三（上）期中 数学试卷 一、单选题：本题共4小题，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是两条不重合直线，是两个不重合的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形即可逐一判断即可. 【详解】对于A，平行于同一个平面的两条直线不一定平行，如下图所示正方体，故A错误； 对于B，如下图所示正方体，由图可知B错误； 对于C，若，则，如下图所示正方体，由图可知C正确； 对于D，如下图所示正方体，由图可知D错误； 故选：C． 2. 随着Deepseek的流行，各种大模型层出不穷，现有甲、乙两个大模型，在对甲、乙两个大模型进行深度体验后，6位评委分别对甲、乙进行打分(满分10分)，得到如图所示的统计表格： 评委编号模型名称 1 2 3 4 5 6 甲 8.0 9.2 8.0 8.2 8.6 8.4 乙 7.8 9.0 8.3 8.4 8.5 8.5 则下列结论正确的是（ ） A. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 C. 甲得分的极差大于乙得分的极差 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出甲，乙两个大模型的平均数，中位数，极差，方差即可得解. 【详解】因为甲得分的平均数, 乙得分的平均数，，故A错误； 将甲的6个得分从小到大排序：， 所以甲的中位数为； 将乙6个得分从小到大排序：， 所以甲的中位数为；，故B错误； 甲的极差为，乙的极差为，故C错误； 甲得分的方差， 乙得分的方差， ，故D正确. 故选：D 3. 已知函数在闭区间上的最大值记为，若实数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由区间的定义可知，进而可得，结合余弦函数性质列式求解即可. 【详解】由题意可知：，可得，可知， 因为，则， 结合余弦函数性质可知，可得， 且或，则或，解得或. 故选：D． 4. 集合共有个三元子集，若将的三个元素之和记为，则（ ） A. 1980 B. 6600 C. 990 D. 3300 【答案】A 【解析】 【分析】先得到三元子集的个数，再得到各含元素1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的三元子集的个数求解. 【详解】解：由题意得，， 而含元素1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的三元子集各有个， 所以， 故选：A. 二、填空题：本题共12小题，共54分． 5. 不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的求法可直接求得结果. 【详解】由得：，解得：，即不等式的解集为. 故答案：. 6. 双曲线的实轴长为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】结合双曲线实轴长的概念，即可求解． 【详解】对于双曲线，，解得， 故实轴长为. 故答案为：. 7. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式、二倍角余弦公式直接求解即可. 【详解】. 故答案为：. 8. 若一个圆锥的底面半径为，高为，则它的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，先求出圆锥的母线长，然后利用侧面积公式求解即可． 【详解】因为圆锥的底面半径为，高为， 所以圆锥的母线长， 则该圆锥的侧面积为：． 故答案为：． 9. 二项式展开式中的常数项为___________．（用数字作答） 【答案】-4320 【解析】 【分析】写出二项式展开式中的通项，并整理，令的指数为零，求得相应的参数，代回通项，可求得二项式展开式中的常数项. 【详解】二项式展开式中的通项公式为 . 令，解得， 所以常数项为． 故答案为：-4320． 10. 某校高三年级有400名学生，将某次考试的数学成绩绘制成频率分布直方图，如图所示．则此次考试的数学成绩位于区间的人数约为___________． 【答案】120 【解析】 【分析】由频率和为1，列式先求出的值，再求对应区间的频数即可． 【详解】因为，解得， 所以此次考试的数学成绩位于区间的人数约为． 故答案为：120． 11. 已知集合，若，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分别应用一元二次不等式及绝对值不等式化简集合，利用两集合的关系，列不等式解出的范围． 【详解】集合或， 因为，所以， 即，无解． 故答案为：． 12. 已知，，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件得到，再利用基本不等式求和的最小值. 【详解】，，， ，当且仅当即，时取等号. 故答案为： 13. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数中，任取一个数，其为奇数的概率为___________（用最简分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理结合古典概型运算求解. 【详解】数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数的个数为：， 其中奇数的个数为， 所以任取一个数，其为奇数的概率为． 故答案为：． 14. 已知复数满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的加减运算及平行四边形的性质即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为， 由平行四边形的性质可得： 所以 故答案为： 15. 定义在上的函数满足：对任意的，且，均有成立，，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，讨论单调性，利用单调性解不等式． 【详解】对任意的，且，均有成立， 即对任意的成立， 则对任意的成立， 令，则在单调递增， 又， 即，且， 即，又在单调递增， 解得：， 所以不等式的解集为． 故答案为： 16. 在平面直角坐标系中，直线l与抛物线、单位圆分别相切于两点，当最小时，p的值等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】设切点，再求导函数，得出切线方程，直线与单位圆相切，应用圆心到直线的距离为1，表示出，表示出最后应用基本不等式计算即可求参． 【详解】解：令，根据则， ,则直线斜率为， 切线为，化简得， 即， 直线又与单位圆相切，则， 即， 则 ， 当且仅当， 即，即，时取“”． 故答案为：． 三、解答题：本题共5小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 在中，角所对边的边长分别为，且满足． （1）求角的值； （2）若外接圆的直径等于4，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理证出，结合题目信息可得，求出，进而可得角大小； （2）根据正弦定理求出，结合余弦定理推导出，然后根据基本不等式算出，再利用三角形的面积公式求出面积的最大值，可得答案． 【小问1详解】 根据余弦定理得， 由，可得， 因为，所以， 又因为，解得， 所以角的值为. 【小问2详解】 若外接圆的直径， 根据正弦定理得， 由余弦定理得， 即，可得， 根据基本不等式，可得，所以， 解得，当且仅当时，等号成立， 可得的面积， 所以当时，的面积取得最大值， 所以面积的最大值为． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点． （1）求证：平面PAB； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，通过证明四边形BENM为平行四边形，可得，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量的坐标，再求出这两个向量的夹角的余弦值，进而可得线面所成角的正弦值． 【小问1详解】 取的中点，连接，， 因为底面是边长为2的正方形，分别为中点， 可得，且， 而，且， 所以，且， 所以四边形BENM为平行四边形， 所以， 而平面PAB，平面PAB， 所以平面； 【小问2详解】 由题意以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 若，则，，，， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， 所以， 所以， 设直线与平面所成角为， 则． 19. 2025年6月底，某厂的废水池已储存废水75吨，以后每月新产生的6吨废水也存入废水池．该厂2025年7月开始对废水处理后进行排放，7月底排放4吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1吨． （1）若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ （2）该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用．该厂从2026年1月开始对废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？ 【答案】（1）2026年9月 （2）2026年的11月 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式得到不等式，解出即可； （2）设从2025年7月起第个月深度净化的废水量为，由已知条件，，当时，数列是首项为5，公比为1.2的等比数列，而从2025年7月起第个月废水存量为：，再结合等比数列的前项和公式求解． 【小问1详解】 设从2025年7月起第个月处理后的废水排放量为， 则数列是首项为4，公差为1的等差数列， 所以， 令，整理得， 解得或， 又因为是正整数，则， 当时，处理后的废水排放量大于新产生的6吨废水，所以不会有废水存积. 故该厂在2026年9月底第一次将废水池中的废水排放完毕； 【小问2详解】 设从2025年7月起第个月深度净化的废水量为吨， 由已知条件，， 当时，数列是首项为5，公比为1.2的等比数列， 则数列的前项和， 而从2025年7月起第个月废水存量为：， 当时，， 当时，， 所以2026年的11月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化． 20. 设． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； （3）若函数的图像恒在函数的图像的上方，求的取值范围． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入，对函数求导判断单调区间即可． （2）根据导函数的几何意义，以及切线方程的性质，求解即可． （3）对原不等式分离参数，再构造新函数，结合新函数的导函数判断函数单调性，求出函数最大值，求出参数范围即可． 【小问1详解】 当时，， 其定义域为，且， 令，即，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 【小问2详解】 因， 故曲线在点处切线的方程为． 设直线与曲线相切于点，且， 则，且，解得． 【小问3详解】 由题意得，化简得． 设，则． 令，即，解得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 函数在处取得极大值，也是上的最大值，可知． 因此a的取值范围为． 21. 已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线l与椭圆相交于不同两点，且直线的斜率之积为1． （1）求椭圆的标准方程； （2）若为直角三角形，求直线的斜率； （3）试问：动直线l是否过定点？若过定点，求出其坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）动直线l恒过定点 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出，即可得解； （2）设直线的方程为，联立方程组，求出点的横坐标，同理求出点的横坐标，从而可求出直线的斜率，再分和两种情况讨论即可得解； （3）由（2）可得点的坐标，利用点斜式可得直线的方程，化简即可得到直线所过定点． 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 则依题意有，解得， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为， 由消去，得， 解得. 因为直线斜率之积为1，所以直线的方程为， 同理可得， 故直线的斜率 当为直角三角形时，只有或， 于是或. 若，由，可得，从而； 若，由，可得，从而. 所以存在，直线的斜率为． 【小问3详解】 由（2）可知，直线l的斜率， 所以直线l的方程为， 即， 所以动直线l恒过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市黄浦区敬业中学高三（上）期中 数学试卷 一、单选题：本题共4小题，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 随着Deepseek的流行，各种大模型层出不穷，现有甲、乙两个大模型，在对甲、乙两个大模型进行深度体验后，6位评委分别对甲、乙进行打分(满分10分)，得到如图所示的统计表格： 评委编号模型名称 1 2 3 4 5 6 甲 8.0 9.2 8.0 8.2 8.6 84 乙 7.8 9.0 8.3 8.4 8.5 8.5 则下列结论正确的是（ ） A. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 C. 甲得分的极差大于乙得分的极差 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 3. 已知函数在闭区间上最大值记为，若实数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 4. 集合共有个三元子集，若将的三个元素之和记为，则（ ） A. 1980 B. 6600 C. 990 D. 3300 二、填空题：本题共12小题，共54分． 5. 不等式的解集为___________． 6. 双曲线的实轴长为___________． 7. 已知，则___________． 8. 若一个圆锥的底面半径为，高为，则它的侧面积为___________． 9. 二项式展开式中的常数项为___________．（用数字作答） 10. 某校高三年级有400名学生，将某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图，如图所示．则此次考试的数学成绩位于区间的人数约为___________． 11. 已知集合，若，则实数的取值范围为___________． 12. 已知，，且，则的最小值为__________. 13. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数中，任取一个数，其为奇数的概率为___________（用最简分数表示） 14. 已知复数满足，则值为______． 15. 定义在上的函数满足：对任意的，且，均有成立，，则不等式的解集为___________． 16. 在平面直角坐标系中，直线l与抛物线、单位圆分别相切于两点，当最小时，p的值等于___________． 三、解答题：本题共5小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 在中，角所对边的边长分别为，且满足． （1）求角的值； （2）若外接圆的直径等于4，求面积的最大值． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点． （1）求证：平面PAB； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 2025年6月底，某厂的废水池已储存废水75吨，以后每月新产生的6吨废水也存入废水池．该厂2025年7月开始对废水处理后进行排放，7月底排放4吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1吨． （1）若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ （2）该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化废水可以再次利用．该厂从2026年1月开始对废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？ 20. 设． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； （3）若函数的图像恒在函数的图像的上方，求的取值范围． 21. 已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线l与椭圆相交于不同两点，且直线的斜率之积为1． （1）求椭圆的标准方程； （2）若为直角三角形，求直线的斜率； （3）试问：动直线l是否过定点？若过定点，求出其坐标；若不过定点，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $