上海市市南中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

2025学年第一学期期中考试 高三年级 数学试卷 2025年11月 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分.考试时间120分钟 2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非 选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分 1.已知全集U={0,1,3},集合A={0,3},则A= 2.己知等差数列{a,}的首项4=-3，公差d=2,则该数列的前6项和为 3. 若复数：满足， =i(i是虚数单位)，则：= 1+i 4.已知sina= 3 则c0s2a=】 5. a=0,1)万=(-1,2)，那么6在ā方向上的数量投影为 6.已知(x+)的展开式中，常数项是20，则a= 7.若短轴长为2，离心率=二的椭圆的两焦点为F,F,过F作直线交椭圆于A,B两点， 则△ABF的周长为 8已知f=x,g= fx),x≥0 -fx),x<0 则不等式g(x)≤2-x的解是 9.设ab>0,a+方L,则b+a的最小值为 10.一个口袋内有4个不同的红球和6个不同的白球，若取一个红球记2分， 取一个白球记1分，从中任取5个球，则总分不少于7分的取法有 种 11.已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，BC=CD,存在点A 满足∠BAC=16.5°，∠DAC=37°，则∠BCA= 精确到0.1度) 1 12.已知A={31∈C‖21-2i=1, 集合B={32|22=x(2+2)+y(2-2),x∈[0，，y∈[0，}，（其中i为虚数单位）， 若E={z|z=21+22,21∈A,2∈B},F={2∈C‖zFa,a>0}, 且满足E⌒F≠中，则实数a的取值范围是 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，每题有且只有一个正确答案）第13、14题每题 4分，第15、16题每题5分. 13.已知a、b、c∈R,b>c,则以下不等式一定成立的是() (A)a+b2>a+c (B)a+b>a+c (C)ab2>ac2 （D)ab>ac 14.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是() A.y=x B.y=x3 C.y=2* D.y=Inx 15.已知正方体ABCD-AB,C,D,边长为2，E,F分别是棱BC,CC D 的中点，动点P在正方形BCCB,(包括边界)内运动，则PA1∥平 面AEF的一个充分非必要条件是() A.P为C B.P为BC的中点 C.P的轨迹长度为√2 D.P为BB的中点 16对于数列{a},若存在M>0,使对任意正整数n,都有 a -a as-a,++ami-an <M, 则称{a}具有性质P.给出以下两个命题 ①若数列{a},{色}都具有性质P，则数列{a.+b}也具有性质P; ②若数列{a},{色}都具有性质P,则数列{a·b,}也具有性质P; 则下列判断正确的是() A.①为真命题，②为假命题 B.①为假命题，②为真命题 C.①与②均为真命题 D.①与②均为假命题 2 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须写出必要的步骤。 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 如图所示，已知圆柱的底面直径AB与母线AD长度相等，点E在底面的圆周上，点F在 线段DE上 (1)求证：AF⊥BE; D (2)若点E是AB的中点，求直线DE与平面ABD所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) A飞B 18.(本题满分14分)本题有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知函数fx)=sin x+ w>0 (1)若w=1,当x∈0，π]时，求fx)的值域： (2)若fx)的最小正周期是n,fx)在[n,d(a>n)上有且仅有三个零点，求实数a 的取值范围， 19.(本题满分14分)本题有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满 分6分 现有甲、乙两个社团的小组。下图是两组 甲队」|乙队 组员身高的茎叶图（单位：厘米），身高的百 159 775541603556788 位数和十位数作为茎”排在中间、个位数 85432217 为叶”分列在两侧。 318 1)分别求甲组队员和乙组队员身高的第60百分位数： 2)从甲、乙两组各选取一名组员，求选出的两人身高均在170厘米以上的概率； 3)为使两组人数相同，现从甲组中调派一名组员到乙组。问是否存在甲组的一名组员，将 他调派至乙组后，两组的平均身高都变大？ 3 20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3 小题8分 已知双曲线C:-y=1的右焦点为F (1)求双曲线的渐近线方程； (②已知P3,0),点O在双曲线C上且PQ不与坐标轴垂直.若△POF为直角三角形， 14 求△PQF的面积： (③)过点F的动直线交双曲线C于M,N两点，过点M,N分别作宜线x-的垂线，重 足分别为A与B(不同于A点)，连接AN,BM,这两条直线相交于点Q.问点Q是否为定 点，若是，请求出点Q的坐标；若不是，请说明理由。 21.(本题满分18分)本题有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小 题8分 若定义在R上的函数y=∫(x)和y=8(x)的导函数分别为(x)和g(x),且存在实数 k,对任意实数x,使f'(x)≥kg'(x)成立，则称函数y=f(x)是函数y=g(x)的“k~ 控制函数”，其中为控制系数！ (1)求证：函数y=2x是函数y=c0sx的“2~控制函数”； (2)若存在实数b∈[-2，-1]，使得函数y=e+bx是函数y=x的“k~控制函数”， 求控制系数k的取值范围； (3)若p(x)=loga（2”+1+x,其中a>0且a≠1，函数y=q(x)为定义在R上的偶函 数，函数y=p(x)是函数y=q(x)的“k~控制函数”，当k=-1时，求证：“a= 的充要条件是“y=p(x)+q(x)为常值函数”. 4