3.1.2椭圆的简单几何性质第1课时同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础+提升”分层设计，以椭圆几何性质为核心，从概念理解到综合应用梯度进阶，强化数学推理与几何直观，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练习|椭圆基本性质（焦点、轴长、离心率）、简单应用（焦点三角形、对称点）|以选择、填空为主，如短轴长与焦距辨析题巩固概念，离心率计算培养运算能力| |能力提升练|离心率取值范围、综合几何性质（光学性质、斜椭圆）、实际情境（圆柱截面）|含多选与解答题，如椭圆光学性质题发展空间观念，圆柱截面情境题体现模型观念|

3.1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 基础练习 题型一　椭圆的简单几何性质及其应用 1.(2026天津咸水沽第二中学月考)已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点是(3,0),且短轴长为8,则椭圆的长轴长为(　　) A.12　　B.10　　C.8　　D.6 2.(2026浙江温州期中)椭圆+=1与椭圆+=1(0<k<9)的(　　) A.长轴长相等　　B.短轴长相等 C.离心率相等　　D.焦距相等 3.(2026江苏连云港期中)已知椭圆x2+=1的左顶点为A,动点M与点A间的距离是它与坐标原点O间距离的倍,则M与椭圆上的点间距离的最大值为(　　) A.2+　　B.　　C.1+2　　D. 4.(2026广东珠海模拟)已知P1(1,1),P2(0,1),P3,P4四点中恰有三点在椭圆+=1(a>b>0)上,则a=(　　) A.8　　B.6　　 C.4　　D.2 题型二　椭圆的离心率 5.(多选题)(2026河北邢台期中)已知椭圆C:x2+=1的离心率为,则k的值可以为(　　) A.　　B.　　C.2　　D. 6.(2026陕西西安交通大学附属中学期中)下面四个椭圆中,最接近于圆的椭圆是(　　) A.+=1　　B.+=1　　 C.+=1　　D.+=1 7.(2025辽宁鞍山一中期中)已知F1,F2分别为椭圆E:+=1(a>b>0)的两个焦点,P是椭圆E上的点,PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则椭圆E的离心率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 8.(2025广东中山一中段考)如图所示,有一个装有半杯水的圆柱形水杯,将其倾斜使杯底与水平桌面成30°角,此时杯内水面呈椭圆形,则此椭圆的离心率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 9.(2026重庆复旦中学教育集团期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,P是椭圆C上一点(不在坐标轴上),Q是∠F1PF2的平分线与x轴的交点,若|QF2|=4|OQ|,其中O是坐标原点,则椭圆离心率的取值范围是　　　　.  10.(2026广东广州期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆在第一象限内的点,PF1的延长线交椭圆于另一点Q,满足=2,且PF2⊥F1F2,则椭圆的离心率e=　　　　.  11.(2026黑龙江哈尔滨开学考试)如图,A,B都是椭圆C:+=1(a>b>0)的顶点,C上一点P满足OP∥AB,过点P向x轴引垂线,垂足恰为焦点F. (1)求C的离心率; (2)若△PAB的面积比△POA的面积大,求C的方程. 题型三　椭圆的简单几何性质的综合运用 12.(多选题)(2026山西卓越大联考期中)若焦点在x轴上的椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上的动点,则(　　) A.m的取值范围为(-∞,4) B.当椭圆的焦距为2时,离心率为 C.当m=2且P不在x轴上时,△PF1F2的周长为2+4 D.若椭圆上存在点P使得△PF1F2为等边三角形,则m= 13.(多选题)(2025湖北武汉汉阳一中、江夏一中联考)设椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,坐标原点为O.若椭圆C上存在一点P,使得|OP|=,则下列说法正确的有(　　) A.cos∠F1PF2=　　 B.·=5　　 C.△F1PF2的面积为2　　 D.△F1PF2的内切圆半径为-1 14.(2026四川内江期中)已知p:实数m使得椭圆+=1的离心率e∈. (1)求实数m的取值范围; (2)若q:t≤m≤t+9,p是q的充分不必要条件,求实数t的取值范围. 15.(2026河北沧州联考)阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积,当垂直地缩小一个圆时,我们会得到一个椭圆,椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的面积为6π,两个焦点分别为F1,F2,直线y=kx(k≠0)与椭圆C交于A,B两点,若四边形AF1BF2的周长为12,则椭圆C的短半轴长为(　　) A.2　　B.3　　C.4　　D.6 能力提升练 题型一　求椭圆的离心率的值或取值范围 1.(2026江苏扬州大学附属中学期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.(2026四川绵阳东辰高级中学月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,以F2为圆心,F1F2为半径的圆与椭圆C交于M,N两点,若|OM|=|MF1|,则椭圆C的离心率为(　　) A.-1　　B.2-　　C.-1　　D.2- 3.(2026河南驻马店期中)已知点P在以F1,F2分别为左、右焦点的椭圆C:+=1(a>b>0)上,椭圆内存在一点Q在PF2的延长线上,且满足QF1⊥QP,若sin∠F1PQ=,则该椭圆离心率的取值范围是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.(2026四川绵阳中学月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆C上存在一点M使得△MF1F2的内切圆半径为,则椭圆C的离心率的取值范围是　　　　.  题型二　椭圆几何性质的综合运用 5.(2025江苏扬州高邮期中)椭圆具有如下光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线过椭圆的另一个焦点.如图,已知椭圆C:+=1,O为坐标原点,l是椭圆C在点P(-2,)处的切线,过左焦点F1作l的垂线,垂足为M,则|OM|=(　　) A.2　　B.4　　C.4　　D.8 6.(2026云南昭通期中)如图,曲线C的形状是一个斜椭圆,其方程为x2+y2-xy=6,P(m,n)是曲线C上的任意一点,O为坐标原点,则下列说法错误的是(　　) A.曲线C关于直线y=x对称　　B.m+n的最大值为2 C.该椭圆的离心率为　　 D.n的最大值为2 7.(2026北京东直门中学期中)如图1,在圆柱中过AC作与轴截面ABCD垂直的一个平面,所得截面图形为椭圆,将圆柱侧面沿母线AB展开,该椭圆曲线在展开图(如图2)中恰好为函数y=2sin x在一个周期内的图象,则该截面椭圆的离心率为(　　) 　　 A.　　B.　　C.　　D. 答案 3.1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 基础练习 1.B　由题意得c=3,2b=8,所以b=4,从而a==5, 所以该椭圆的长轴长为10. 2.D　椭圆+=1的长轴长是10,短轴长是6,焦距是8,离心率是. 椭圆+=1(0<k<9)的长轴长是2,短轴长是2,焦距是8,离心率是. 由0<k<9知,两椭圆的焦距相等,其他都不相等. 3.D　由题意得A(-1,0),设M(x,y), 由题知|MA|=|MO|,即|MA|2=2|MO|2,所以(x+1)2+y2=2x2+2y2,整理得(x-1)2+y2=2,所以动点M在圆心为(1,0),半径r=的圆上,记E(1,0). 由题意可知,M与椭圆上的点间的距离d最大时,该点要在圆E外,设这个点为B, 则dmax=|EB|+r,所以当|EB|最大时,d最大, 设B(x0,y0),则+=1,|EB|2=+=+3-3=-2-2x0+4=-2+, 所以当x0=-时,|EB|最大,为, 所以dmax=+=. 4.D　由于椭圆关于y轴对称,且P3,P4关于y轴对称,故P3,P4必然同时在或同时不在椭圆上.由于四点中恰有三点在椭圆上,故P3,P4都在椭圆上. 若P1(1,1)在椭圆上,则+=1. 因为P3,P4都在椭圆上,所以+=1. 两个等式矛盾,故P1(1,1)不在椭圆上. 因此P2(0,1),P3,P4三个点在椭圆上,故=1,+=1,解得a2=4,b2=1,所以a=2. 5.AC　易错点:焦点位置未确定,需要进行分类讨论. 若0<k<1,则=⇒k=; 若k>1,则=⇒k=2. 综上,k=或k=2. 6.B　椭圆的离心率e反映了椭圆的扁平程度:e越大,椭圆越扁平,e越小,椭圆越接近于圆. A,B,C,D中椭圆的离心率依次为=,=,=,=, 可得0<<<<<1,所以B中的椭圆符合题意. 7.C　由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,又因为|PF1|=2|PF2|,所以|PF1|=a,|PF2|=a, 又PF1⊥PF2,|F1F2|=2c,所以结合勾股定理可得+=(2c)2,所以=,所以椭圆E的离心率为. 8.C　设水杯底面圆的半径为r,椭圆的长半轴长为a,r,a>0.由题意可得椭圆的短半轴长b=r, 由倾斜后杯底与水平桌面成30°角,可得cos 30°==,即=(关键点), 所以椭圆的离心率e===. 9.答案　 解析　若Q,F2在O的同侧, ∵|QF2|=4|OQ|, ∴|QF2|=c,|QF1|=c, ∵PQ平分∠F1PF2, ∴===, 则|PF1|=|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=|PF2|=2a, ∴|PF2|=, 由P是椭圆上一点(不在坐标轴上),知a-c<<a+c,得>,即e>,又0<e<1, ∴椭圆离心率的取值范围是; 若Q,F2在O的异侧,∵|QF2|=4|OQ|,∴|QF2|=c,|QF1|=c,∵PQ平分∠F1PF2,∴===, 则|PF2|=2|PF1|,∴|PF1|+|PF2|=|PF2|=2a,∴|PF2|=,由P是椭圆上一点(不在坐标轴上),知a-c<<a+c,得>,即e>,又0<e<1, ∴椭圆离心率的取值范围是. 综上,椭圆离心率的取值范围是. 10.答案　 解析　设椭圆C:+=1(a>b>0)的半焦距为c,由P为椭圆在第一象限内的点,且PF2⊥F1F2,可得则P,又F1(-c,0),所以==,则Q, 又点Q在椭圆C:+=1上, 所以+=1,整理得a2=5c2, 所以椭圆C的离心率e===. 11.解析　(1)由题意知O(0,0),A(a,0),B(0,b),F(-c,0),P, 又AB∥OP,故kAB=kOP,即=, 即b=c,所以a==c, 故离心率e==. (2)由AB∥OP可得△PAB的面积与△OAB的面积相等,即△PAB的面积为ab=×c×c=, 又△POA的面积为a×=b2=c2,且△PAB的面积比△POA的面积大, 所以-=,即c2==+1, 因此a2=2+2,b2=+1, 故C的方程为+=1. 12.BCD　对于选项A,因为椭圆+=1的焦点在x轴上, 所以解得1<m<4,所以m的取值范围为(1,4),故A错误; 对于选项B,若椭圆的焦距为2,即c=, 可得c2=a2-b2=8-2m=2,解得m=3, 则a==2,所以离心率为=,故B正确; 对于选项C,若m=2,则a==,c==2, 所以△PF1F2的周长为2a+2c=2+4,故C正确; 对于选项D,若△PF1F2为等边三角形,则a=2c,即a2=4c2,可得7-m=4(8-2m),解得m=,故D正确. 13.ACD　由题意得a=2,|F1F2|=2c=2×=4,则F1(-2,0),F2(2,0), 根据椭圆的对称性,不妨设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则 所以因此P(,1). 设|PF1|=m,|PF2|=n,∠F1PF2=θ, 则m==,n==, 因此mn=×==5. 由椭圆的定义得m+n=2a=4, 在△F1PF2中,由余弦定理得,|F1F2|2=m2+n2-2mncos θ, (焦点三角形中,与∠F1PF2有关的问题常利用椭圆的定义结合余弦定理求解) 即42=(m+n)2-2mn-2mncos θ=(4)2-2×5-2×5cos θ,解得cos θ=,因此A正确; ·=mncos θ=5×=3,因此B错误; △F1PF2的面积为mnsin θ=×5×=2,因此C正确; 设△F1PF2的内切圆半径为r,由等面积法可得=(m+n+|F1F2|)r=2, (与内切圆有关的问题常用等面积法来解决) 即×(4+4)r=2,解得r=-1,因此D正确. 14.解析　(1)当0<m<2时,e2=1-=1-,∵<e<,∴<e2<, ∴<<,∴<m<1, 又0<m<2,∴<m<1; 当m>2时,e2=1-=1-, ∵<e<,∴<e2<,∴<<,解得4<m<8,又m>2,∴4<m<8. 综上所述,实数m的取值范围是m<m<1或4<m<8. (2)∵q:t≤m≤t+9,p是q的充分不必要条件, ∴m<m<1或4<m<8⫋[t,t+9], ∴解得-1≤t≤,即实数t的取值范围为t-1≤t≤. 15.A　依题意得πab=6π,即ab=6, 由椭圆的对称性,及直线y=kx(k≠0)过原点,得线段AB,F1F2互相平分,因此四边形AF1BF2为平行四边形, 由四边形AF1BF2的周长为12,结合椭圆的定义得2(|AF1|+|AF2|)=4a=12,解得a=3, 所以椭圆C的短半轴长b=2. 能力提升练 1.A　解法一:设P(m,n)(n≠0),则Q(-m,n),易知A(-a,0),所以kAP·kAQ=·==(*).因为点P在椭圆C上,所以+=1,得n2=(a2-m2),代入(*)式,得=,结合b2=a2-c2,得3a2=4c2,所以e==. 解法二:设椭圆C的右顶点为B,则直线BP与直线AQ关于y轴对称,所以kAQ=-kBP,所以kAP·kBP=-kAP·kAQ=-=e2-1,所以e=. 2.B　由题意得,|F1F2|=|MF2|=2c,由椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=2a,故|MF1|=|OM|=2a-2c.不妨设M在N上方,如图. ∵|F1F2|=|MF2|,|OM|=|MF1|, ∴∠F2MF1=∠F2F1M=∠MF1O=∠MOF1, ∴△MF1O∽△F2MF1, ∴=,即=, 整理得c2-4ac+2a2=0,故e2-4e+2=0,解得e=2±, 由0<e<1得e=2-,即椭圆C的离心率为2-. 3.B　因为QF1⊥QP,sin∠F1PQ=,所以不妨设|PF1|=5x,|QF1|=3x,x>0,则|QP|=4x. 由椭圆定义可知|PF2|=2a-5x,则|QF2|=9x-2a, 由勾股定理可知|QF1|2+|QF2|2=,即9x2+(9x-2a)2=4c2,化简可得45x2-18ax+2b2=0. 因为点Q在PF2的延长线上,且在椭圆内部,所以9x-2a>0,|QF1|+|QF2|=12x-2a<2a,所以<x<. 令f(x)=45x2-18ax+2b2,易知f(x)在上单调递增, 所以解得<<,又离心率e=,所以e∈. 4.答案　 解析　设M(xM,yM)(yM≠0),则△MF1F2的面积为|F1F2|·|yM|. 因为△MF1F2的内切圆半径为, 且|MF1|+|MF2|=2a, 所以△MF1F2的面积还可表示为·(2a+2c)·,所以×2c·|yM|=(2a+2c)·,则|yM|=. 又因为|yM|≤b,所以≤b, 两边平方得≤b2,又b2=a2-c2,所以≤a2-c2, 整理得13c2+8ac-5a2≤0,两边同时除以a2,得13e2+8e-5≤0, 解得-1≤e≤,又0<e<1,故0<e≤,即椭圆C的离心率的取值范围是. 5.C　由椭圆C:+=1,得a2=16,则a=4.如图, 延长F1M,F2P交于点N, 由题意可知∠F1PM=∠NPM,又因为PM⊥F1N,所以M为F1N的中点,且|PF1|=|PN|,所以|F2N|=|PN|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=2a=8,又因为O为F1F2的中点,所以OM为△F1NF2的中位线,则|OM|=|F2N|=×8=4. 6.C　对于方程x2+y2-xy=6,用x代替y,同时用y代替x,方程不变,故曲线C关于直线y=x对称,同理可以得到曲线C关于直线y=-x对称,因此A中说法正确. (得出曲线的对称性是解决此问题的关键) 由题意知m2+n2-mn=6,又m2+n2≥,mn≤,所以m2+n2-mn=6≥,则m+n≤2,当且仅当m=n=时取等号,因此B中说法正确. 联立解得x=y=±,则椭圆C长轴的两个端点的坐标分别为(,)和(-,-),所以椭圆的长轴长2a=4⇒a=2;同理,联立可得椭圆C短轴的两个端点的坐标分别为(,-)和(-,),所以椭圆的短轴长2b=4⇒b=2, (曲线与其对称轴的交点是曲线的顶点,结合图形确定是长轴端点还是短轴端点,从而得到a,b的值) 所以半焦距c===2,所以该椭圆的离心率e===,因此C中说法错误. 将m2+n2-mn=6看作关于m的一元二次方程,则m有解等价于Δ=(-n)2-4(n2-6)≥0,解得-2≤n≤2,因此D中说法正确. 7.B　由椭圆曲线在展开图中恰好为函数y=2sin x在一个周期内的图象,可得|AB|=4, 易知函数y=2sin x的最小正周期T==4π, 设圆柱的底面半径为r,则2πr=4π,可得r=2. 设该截面椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,a>0,b>0,则有4a2=4r2+|AB|2=4×12+16,所以a2=16, 又2b=2r=4,所以b=2,所以该截面椭圆的离心率e====. 7 学科网（北京）股份有限公司 $