第2章 全章综合训练 导学案 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程全章综合训练，涵盖概念辨析、解法选择、根的判别式、韦达定理、实际应用等核心知识点，通过梳理知识网络构建从基础概念到综合应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 资料以分层训练与问题探究为特色，通过典型辨析题、多解法对比、实际问题建模等设计，培养学生的抽象能力、运算能力和模型意识，习题融合中考真题与创新题型，助力学生提升数学思维与解决复杂问题的能力。

2026－2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第二章 一元二次方程 全章综合训练 ▌课时目标 1. 能系统梳理一元二次方程的概念、解法、根的判别式、韦达定理等核心知识，形成完整的知识网络，准确辨析易混概念与易错点。 2. 能根据方程特征灵活选择最优解法，综合运用根的判别式、韦达定理解决含参方程、代数式求值、几何综合等较复杂问题，提升运算能力与推理能力。 3. 能运用一元二次方程模型解决多类型实际应用问题，并能应对规律探索、新定义等开放性综合题，体会方程思想在跨章节问题中的核心作用。 ▌课时目录 知识点01：一元二次方程概念与形式的综合辨析 知识点02：一元二次方程四种解法的综合选择与灵活运用 知识点03：根的判别式与根的情况的综合应用 知识点04：韦达定理与代数式求值的综合应用 知识点05：一元二次方程在实际问题中的综合应用（含多类型问题） 知识点06：含参数的一元二次方程的解法与讨论 知识点07：一元二次方程规律探索与新定义问题 ▌知识点01：一元二次方程概念与形式的综合辨析 综合辨析需关注三个层面： 1. 定义三要素：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2，三者缺一不可。 2. 一般形式中，必须强调这一隐含条件，当题目说“关于x的方程”时，需分类讨论a＝0（退化为一次方程）和两种情况。 3. 各项系数的符号：系数包括符号，如方程中，a＝2，b＝−3，c＝−1，而非b＝3、c＝1。 典型辨析题：已知是关于x的一元二次方程，求m的值。 解：由且，得且故。 1．（25-26八年级下·广西南宁·期末）若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】将代入原方程求出的值，再计算即可得到结果. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 解得， ∴． 2．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果. 【详解】解：∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ， 又∵ ， ∴ ， 则， 把代入得 ， ∴ ，. 3．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）一元二次方程的一次项系数是_________． 【答案】1 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可确定一次项系数． 【详解】解：在一元二次方程中， ∵一次项为， ∴一次项系数是1． 4．（25-26八年级下·山东济南·期末）一元二次方程的一个根为，则m的值为_______． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， 解得． ▌知识点02：一元二次方程四种解法的综合选择与灵活运用 四种解法的优先级与适用场景： 1. 直接开平方法：适用于型，速度最快，如(2x−1)2＝9。 2. 因式分解法：适用于能通过提公因式、公式法、十字相乘法分解为 型的方程，如x2−5x＋6＝0、(x−1)(x＋2)＝x−1（需先移项再分解）。 3. 公式法：适用于所有一元二次方程，是通法，当其他方法不易求解时使用，如2x2−4x−1＝0。 4. 配方法：一般不作为首选解法，但在推导求根公式、求代数式最值时有特殊优势。综合选择原则：先观察方程结构，优先尝试直接开平方或因式分解，若不易分解再用公式法；含参方程通常用公式法。 典型题：解方程3(x−2)2＝12（直接开平方最简）；解方程x2−4x＝5（移项后因式分解或配方法）；解方程2x2−5x＋1＝0（公式法）。 5．（25-26八年级下·山东泰安·期末）用适当的方法求解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】根据因式分解法解方程即可； 根据公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ，； （2）解：， ，，， ， ， ，． 6．（25-26八年级下·北京·期末）选择合适的方法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项得， 配方得， 整理得， 开方得， 解得； （2）解：， 整理为一般式得， 因式分解得， 可得或， 解得． 7．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，． 8．（24-25九年级上·福建漳州·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得：； （2）解：， ， ， ， 或， 解得：． ▌知识点03：根的判别式与根的情况的综合应用 判别式的综合应用包括三个层次： 1. 不解方程判断根的情况：计算Δ的符号即可。 2. 已知根的情况求参数的取值范围：由Δ>0（两不等实根）、Δ＝0（两相等实根）、Δ<0（无实根）列出关于参数的不等式（或等式），注意同时考虑二次项系数不为0。 3. 证明方程总有实数根：证明Δ≥0恒成立。 典型综合题：已知关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围。 解：由题意得且，解得 且。 注意：当题目说“有两个实数根”，包含相等情况（Δ≥0）；若说“有两个不等实数根”，则Δ＞0。 9．（2026·浙江·中考真题）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 10．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算各一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断方程是否有实数根． 【详解】解：A选项：方程，，无实数根； B选项：方程，，有实数根； C选项：方程，，无实数根； D选项：方程，，无实数根． 11．（25-26八年级下·山东·期末）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数． 【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 12．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 【答案】(1)0或1 (2) ①令整理得： 因为 即， 所以有两个不相等的根， 即代数式总有两个不相等的等根值 ②的值为，另一个等根值为2 【分析】（1）根据“等根值”的定义，将问题转化为对应的一元二次方程，解方程即可； （2）①由题得到关于的一元二次方程，计算根的判别式，如果判别式恒大于0，那么方程总有两个不相等的实数根，即代数式总有两个不相等的等根值； ②将已知的等根值代入对应的方程求解的值，再将代回方程，再解方程求出另一个根即可． 【详解】（1）由题可得， 整理得， ， 解得，； （2）①略； ②由题意得 解得： 将代入 得 即： 解得：， 所以，该代数式的另一个等根值为2． ▌知识点04：韦达定理与代数式求值的综合应用 韦达定理的综合应用包括： 1. 直接求两根之和与积； 2. 求对称代数式的值（如、、等），需熟练掌握常见变形公式； 3. 已知一根求另一根及参数； 4. 构造以两数和为S、积为P的新方程。 综合题中常将韦达定理与根的判别式结合：先由判别式确定参数范围，再用韦达定理求代数式的值。 典型题：已知方程的两根为一个直角三角形的两直角边，且斜边长为，求k的值。 解：设两根为，由韦达定理得，，由勾股定理得，即，解得或；当时，，无实根，舍去，故。 13．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）已知关于的一元二次方程的两个根为3和，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知两根代入原方程，得到关于和的方程组，解出的值后再计算即可． 【详解】解：已知关于的一元二次方程的两个根为和， 将和分别代入方程，得， ，得， 解得， 将代入，得， 解得， 因此． 14．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）设、是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系，以及完全平方公式变形计算即可. 【详解】解：、是方程的两个根， ，， ∴. 15．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 16．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则______； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 【答案】(1)， (2)①证明：∵关于的一元二次方程为 ， ∴，，， ∴根的判别式， 展开化简得， 配方得， ∵无论为任何实数，总有 ， ∴， 即， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②或 【分析】（1）直接根据题干给出的根与系数关系代入计算即可； （2）①通过计算根的判别式，证明判别式恒大于0即可得证；②先根据根与系数关系得到两根和与两根积关于的表达式，代入已知等式求解关于的一元二次方程即可得到的值.． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，可得，， 根据根与系数的关系得 ，； （2）①略 ②根据根与系数的关系，得 ， ∵， 代入得 ， 化简得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得或． ▌知识点05：一元二次方程在实际问题中的综合应用（含多类型问题） 综合应用题常融合多种问题类型，需在审题时准确识别等量关系： 1. 增长率问题：，注意n为增长次数； 2. 利润问题：总利润＝单件利润×销售量，销售量常为售价的函数； 3. 面积问题：注意平移变换和不规则图形的分割，靠墙问题需检验墙长限制； 4. 动态几何问题：抓住不变量（如某边长度不变）或等量关系（如面积不变、线段相等），设时间为t或线段长为x列方程； 5. 方案设计问题：需检验每种方案的几何约束或经济约束。 典型综合题：某商店购进一批单价为20元的日用品，若按单价30元销售，每月可卖出400件；若单价每提高1元，销量就减少20件。 （1）若要实现月利润4320元，应如何定价？ （2）若要使月利润不低于4320元，定价范围是多少？ （3）若考虑到库存压力，销量不得低于240件，定价范围又是多少？ 解：（1）设提价x元，则(30＋x−20)(400−20x)＝4320，解得x＝2或x＝8，定价为32元或38元； （2）由(30＋x−20)(400−20x)≥4320得2≤x≤8，即定价32~38元； （3）由400−20x≥240得x≤8，综合得2≤x≤8，定价仍为32~38元。 17．（25-26八年级下·浙江台州·期末）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所设的长表示出宽，再结合长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：∵设长方形的长为步，宽比长小步， ∴宽为步， ∵长方形面积为平方步，且长方形面积长宽， ∴可得方程． 18．（2026·广东肇庆·三模）某公司专门生产高端智能测量装备，2023年研发投入资金1000万元，随着公司规模的扩大，研发投入逐年增长，到2025年研发投入资金1210万元． (1)求该公司研发投入资金的年平均增长率． (2)若该公司计划2026年生产A、B两款高端智能测量装备共3000台，其中A款装备每台定价5万元，B款每台定价3.5万元．市场调研表明，A款装备的数量不多于B款装备数量的2倍．当生产A款装备多少台时，公司的销售总收入最大？最大收入是多少万元？ 【答案】(1)该公司研发投入资金的年平均增长率为 (2)当生产A款装备2000台时，公司的销售总收入最大，最大收入是13500万元 【分析】（1）设该公司研发投入资金的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解； （2）设生产A款装备a台，则生产B款装备台，根据题意列出一元一次不等式求出，设销售总收入为W万元，表示出，然后利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设该公司研发投入资金的年平均增长率为x， 依题意得，， 解得（负值已舍去）， 答：该公司研发投入资金的年平均增长率为； （2）解：设生产A款装备a台，则生产B款装备台， 根据题意，得， 解得． 设销售总收入为W万元，则， ， 随a的增大而增大． ， 当时W值最大，（万元）． 答：当生产A款装备2000台时，公司的销售总收入最大，最大收入是13500万元． 19．（2026·河北邯郸·模拟预测）项目主题：设计包装盒． 素材：如图1，矩形纸板中，，． 步骤1：将图1中阴影部分裁剪掉，其中左侧的阴影部分为两个小正方形． 步骤2：将图1中裁剪后的纸板沿虚线恰好可折叠成如图2所示的有盖长方体包装盒． 解决问题： (1)的长为_________； (2)若折叠成的包装盒底面积为，求包装盒的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合矩形与长方体的关系求解即可； （2）设长方体的高为，表示出长方体的长与宽，再根据包装盒底面积为，求解x的值，再由体积公式求解即可． 【详解】（1）解：根据矩形与长方体的关系可知，矩形纸板对应两个“长高”， 即； （2）解：设长方体的高为，则长方体的宽为，长为， ∵包装盒底面积为， ∴，即， 解得（大于的长度，不满足题意，舍）， ∴长方体的高为，宽为，长为， 故包装盒的体积为． 20．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图， 在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为t秒．    (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出t的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中， 的面积能否为 ？若能，求出t的值，若不能，请说明理由； 【答案】(1)t值为2； (2)t的值为2； 【分析】本题主要考查了勾股定理和一元二次方程的解法，解决此题的关键是正确计算； 先根据矩形的性质得到直角，再根据勾股定理列出一元二次方程，解方程即可； 【详解】（1）解：令的长度能为， 由题意可得：，，， 根据勾股定理可得：， 解得：（舍去负值）， 故的长度能为，此时t值为2； （2）解：令的面积能为 ， 由题可知：，，，， ∵, ∴， 解得：（不合题意舍去）， ∴的面积能为 ，t的值为2； ▌知识点06：含参数的一元二次方程的解法与讨论 含参方程需从三个维度讨论： 1. 参数在二次项位置时：需讨论a＝0（退化为一次方程）和（一元二次方程）两种情况，分别求解。 2. 参数在常数项或一次项位置时：通常用公式法或因式分解法求解，注意根据判别式讨论根的情况。 3. 解含参方程后需检验解的合理性：如解为分式形式时，需确保分母不为0。 典型题：解关于x的方程（a为常数）。 解：当a＝0时，方程化为−x＋1＝0，解得x＝1；当时，用因式分解法得(ax−1)(x−1)＝0，解得。综上：当a＝0时，解为x＝1；当时，解为。 21．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 (1)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； (3)若是它的互补对，求的值． 【答案】(1)， ∵ ∴ ， 所以不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． (2) (3)或 【分析】（1）列式计算得出方程的判别式，再进行分析，即可作答． （2）结合对称根方程以及对称中心值的定义进行列式计算，即可作答． （3）分别整理得出，，再结合这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，得，最后解得或，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：设的对称中心值为，该方程的根记为， 根据韦达定理得到， ∵该方程又是对称根方程，且对称中心值为， ∴， ∴， ∴． （3）解：设的对称中心值为，该方程的根记为， ∴，， ∴ ∴对称中心值， 设的对称中心值为，该方程的根记为 ∴， ∴ ∴对称中心值， ∵这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值 ∴， ∴或 ∴或． 22．（25-26九年级上·山西朔州·期中）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 换根法 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 任务： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_____． (2)已知关于的一元二次方程有两个均不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．（要求：把所求方程化为一般形式） (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，请直接写出关于的一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，整体换元法，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法． （1）设所求方程的根为，则，所以，代入原方程即可得； （2）设所求方程的根为，则，于是，代入方程整理即可得； （3）由题意可得，分别解答即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入方程，得：， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则，于是， 把代入方程，得， 去分母，得， 若，有， 那么方程有一个根为0，不合题意， ， 故所求方程为； （3）解：根据题意可得， 或， 解得或， 所以关于的一元二次方程的两根为或． 23．（25-26八年级下·山东济南·期末）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（_）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程_，解得原方程的一个正根为_； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根． 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 【答案】(1)；； (2)1或3 (3)6 【分析】（1）与题干思路一致，画出图形更容易得解； （2）先因式分解变形得，再根据题干条件分析，，进而分类讨论求解即可； （3）先画出图形，根据小正方形的面积为4，得到①，根据大正方形的面积可得新的方程：，则②，解方程即可． 【详解】（1）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个正根为； （2）解：∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，， 解得：，， 当时，， ∴， 解得， ∴方程的一个正根为1； 当时，， ∴，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3； （3）解：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， ∵小正方形的面积为4，， ∴，①， ∵， ∴根据大正方形的面积可得新的方程：， ∴②， ②①得， 解得， 将代入①得， 解得． 24．（25-26九年级上·福建泉州·期末）综合实践： 探究主题 一元二次方程根的判别式拓展探究 探究情境 在学习一元二次方程根的判别式时，小明同学通过几道习题的解答，他说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法并提出了一个猜想：“若一元二次方程的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．”请你结合所学知识，对小明的猜想进行探究． 实例验证 （1）解满足以下条件的一元二次方程，验证小明的猜想： ①当，时，例如，此方程的解是________； ②当，时，例如，此方程的解是________； 这两个实例可以验证小明的猜想________（填“正确”或“错误”）． 严谨证明 （2）小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 拓展延伸 （3）已知关于x的一元二次方程，其中m为整数，满足二次项系数和常数项异号，求m的值及方程的解． 【答案】（1）①；②；正确； （2）解：小明的猜想正确， 证明：一元二次方程的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负）， ∴， 又∵ ∴。故这个方程一定有两个不相等的实数根. （3）时，；时， 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，根的判别式等知识； （1）根据因式分解法解方程，即可求解； （2）根据题意计算，即可得证； （3）根据一元二次方程的定义，以及m为整数，满足二次项系数和常数项异号，得出的值，进而解方程，即可求解． 【详解】解：（1）①当，时，例如， ∴， ∴或， ∴此方程的解是； ②当，时， 例如， ∴ ∴ ∴或， ∴此方程的解是； 这两个实例可以验证小明的猜想正确； 故答案为：；；正确． （2）略 （3）依题意，且 解得，， 又∵m为整数， ∴或 当时，方程为，即 ∵， ∴ 解得： 当时，方程为 即 解得： ▌知识点07：一元二次方程规律探索与新定义问题 此类题目考查学生阅读理解能力和迁移应用能力： 1. 规律探索题：通过观察数列或图形的变化规律，归纳出一元二次方程的系数规律或根的规律。 例如：观察方程的根为；的根为；的根为，猜想第n个方程为，根为。 2. 新定义问题：题目给出一种新的运算或概念（如“友好方程”“倍根方程”等），要求学生理解定义并据此列方程求解。 例如：定义“倍根方程”为“一个根是另一个根的2倍的方程”，若是倍根方程，且一个根为1，求b、c的值。 解：另一根为2或，当另一根为2时，由韦达定理得1＋2＝−b，1×2＝c，得b＝−3，c＝2； 当另一根为时，1＋＝−b，1×＝c，得b＝，c＝。 25．（2026·河南周口·一模）新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 【答案】， 【分析】本题属于新定义运算题目，考查一元二次方程的解法，根据新定义的运算规则将原方程整理为标准一元二次方程，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解： ，且 ， ， 整理得 ， 因式分解得 ， 即 或 ， 解得 ，． 26．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义_（填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 27．（2026·安徽·中考真题）项目式学习 【项目主题】 一类勾股数有序表示的探究 【预备知识】 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为． 设，为正整数，且，因为，所以为勾股数．本项目只研究形如的勾股数． 【规律探究】 分别对，进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下： 勾股数 序号 2 1 1 3 1 2 2 3 4 1 4 2 5 3 6 … … … … 【规律应用】 根据上表规律，请完成下列问题： (1)，对应的勾股数是（_____，_____，_____），序号为_____； (2)勾股数对应的_____，_____； (3)序号为15的勾股数是（_____，_____，_____）． 【项目拓展】 (4)项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明． 【答案】(1)24，10，26，7 (2)6，1 (3)11，60，61 (4)不正确， 理由：当，时，，序号为； 当，时，，序号为； ∵，， ∴序号从10增加到11时，的值减小， ∴他的猜想不正确． 【分析】（1）根据表格中的规律求解即可； （2）根据题干中勾股数的定义可得，，，把、两式相加并结合已知条件则求出m的值，然后把m的值代入求解即可； （3）根据表格中的规律发现：每一个m对应的勾股数组数为组，从得出m值从2取到k时，勾股数的总组数为组，然后根据题意得出，求出k的值，即可求解； （4）举反例说明即可． 【详解】（1）解∶当，时，，，， ∴，对应的勾股数是，序号为7； （2）解：根据题意，得，，， ∴，即， 又， ∴， 把代入，得， 解得， ∴勾股数对应的，； （3）解：由表格知，当时，符合题意的勾股数有组； 当时，符合题意的勾股数有组； 当时，符合题意的勾股数有组； …… 当（的整数）时，符合题意的勾股数有组； 此时一共有组勾股数， 当时，解得或（舍去）， ∴序号为15时，，， ∴，，， 序号为15的勾股数是； （4）略 28．（2026·安徽·二模）综合与实践：钢管堆砌与图形规律探究 【项目主题】某校数学实践小组在参观钢结构加工厂时，发现钢管常按一定规律堆砌存放．为了优化仓库空间使用，提高效率，他们决定对钢管的堆砌规律展开数学研究． 【项目准备】1．观察现象 钢管的横截面堆砌成如下形状（图示，2，3，4的情形），其中上方的数字表示该位置钢管的总数量； 2．规律猜想 小组初步猜想：第n个图的钢管总数S可以按“行”来观察，并尝试用算式表达． 【项目分析】1．统一符号：设第n个图的钢管总数为 2．任务分解： 任务一：按“行”的方式写出和的算式，归纳的表达式． 任务二：换一种分割方式（如按“列”或“斜线”），重新表达． 任务三：建立第n个图钢管总数的通用公式，并用于计算较大n时的数量． 【项目实施】问题一：按行分割的规律归纳 1．请补全下表： 图形 算式 _①_ _②_ 2．根据规律，写出第n个图的算式（不化简）：_③． 问题二：换一种眼光看图形 请你对的图形进行另一种方式的分割（如按“列”或“斜线”），并在下表中写出你发现的算式表达： 图形 算式 _④_ _⑤_ 问题三：建立通用公式【提示：】 将你在问题一中得到的第n个图的算式化简，写出关于n的代数表达式：_⑥； 根据以上信息，完成下面内容： (1)将上方空白内容补充完整： ①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________；⑥__________； (2)若某堆钢管的，求n的值． 【答案】(1)①；②；③；④；⑤；⑥ (2)8 【分析】（1）根据题意求出，时S的值，可得到规律即可解答； （2）根据，列出方程，即可解答． 【详解】（1）解：问题一： 图形 算式 _ _ 第n个图的算式（不化简）：； 问题二： 图形 算式 _ _ 问题三∶ 关于n的代数表达式： ； （2）解：根据题意得：， 解得（舍），， 即n的值为8． ▌全章训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·北京平谷·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将已知根代入方程求出的可能取值，再结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到的正确值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴． 2．（25-26八年级·全国·暑假作业）若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 【答案】C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，， ∵三角形边长为正数， ∴舍去负根，得第三边长为， ∵，符合三角形三边关系， ∴三角形周长为． 4．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了．该工厂今年年初开展了技术革新，计划今年的利润比去年增长，设该工厂按计划完成任务后今年和去年这两年平均增长的百分数为．则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设前年该工厂的利润为单位，分别用两种方式表示今年的利润，根据相等关系列出方程即可． 【详解】设前年该工厂的利润为单位， ∵去年利润比前年减少，今年计划比去年增长， ∴今年计划完成后的利润为 ； ∵两年平均增长的百分数为，即从前年到今年经过两年平均增长，年均增长率为， ∴今年的利润也可表示为 ； 由于两种方式表示的今年利润相等，因此可得方程． 5．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程 的两个根， ∴，． 整理所求代数式得：， ∴原式． 6．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）方程经过配方可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可完成配方． 【详解】解：∵， 移项得， 方程两边同时加，得， 整理得． 7．（25-26八年级下·广东广州·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此列不等式求解参数范围即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 8．（25-26八年级下·福建福州·期末）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用根的判别式判断根的情况，结合根的定义变形验证每个说法即可． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式， ① 若，则，代入得，因此方程一定有两个不相等的实数根，①正确； ② 若，则，因为，可得即，因此，所以，方程没有实数根，②正确； ③ 若且是方程的根，代入方程得，提取公因式得，因为，所以，即，③正确； ④ 若是原方程的根，代入得，两边同除以（，）得，整理得，因此是方程的一个根，④正确． 综上，①②③④都正确，共4个正确说法． 二、填空题 9．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解：方程， 整理得， 因式分解得， 则或， 解得，． 10．（25-26八年级下·山东威海·期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．方程有两个不相等的实数根，说明该方程为一元二次方程，因此二次项系数不为，且根的判别式大于，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根 该方程为一元二次方程，且根的判别式 可得 解不等式， 移项得，， 系数化为得，， 综上可得：的取值范围是且． 11．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据从人中选出2人的不同组合总数等于45种建立等式，再整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：设该班级参加的学生有人，从人中选2名志愿者的不同组合数为， 根据题意列方程得： 两边同乘2得： 移项化为一般形式得： 12．（25-26八年级下·福建福州·期末）小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，，若，则的值为______． 【答案】 【分析】首先根据勾股定理求出，然后得到，然后根据求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·山东烟台·期末）在实数范围内，存在两个不相等的x的值，使得代数式与的值相等，则k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的情况求参数取值范围，根据题意得到关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式大于求解即可． 【详解】解：由题意得方程，整理得， 根据题意可得方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 14．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和，且，则______． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程的判别式求出的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，利用完全平方公式变形，结合已知条件得到关于的方程，检验根后求解即可． 【详解】∵关于的一元二次方程的两个不相等实数根是和， ∴，即， ∴根据根与系数的关系得：，， ∵，且 ∴，即， ∵， ∴． 15．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 【答案】 【分析】将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，由题意得到空白部分的总面积占矩形地块面积的，设石板小径（阴影部分）的宽度为，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，如图所示： 石板小径的总面积占矩形地块面积的， 空白部分的总面积占矩形地块面积的， 设石板小径（阴影部分）的宽度为，则 ， ， 则， 解得或（，舍去）， 石板小径的宽度为． 16．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）正方形的边长为4，点是对角线、的交点，、分别是、上的点，且，连接交于点，连接，交于点，连接，下列结论中：①；②；③当平分时，；④当平分时，点在上运动，过点作，的最小值为．正确的是__________． 【答案】①②④ 【分析】①由正方形的性质得，证得，得，进而得可知结论①正确；②如图1，设交于点M，连接，取的中点N，连接，设，首先，证得，得，再证得是等腰直角三角形，得，进而得，可得，然后，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”及等腰三角形的判定与性质，得，，可得，，，证得，进而得，由，及四边形的内角和为可知结论②正确；③如图2，过E作于I，由平分，，，得，，再由，得，设，则，由勾股定理，得，即，解得或(负值舍去)，进而可得的值，可判断结论③错误；④如图3，由是的角平分线，作D关于的对称点，再由，可知在上，过点作于，可得，，，当时，即点Q与点J重合时，值最小，最小值为的长， 再证得，得，，最后，由勾股定理可求得(负值舍去)，进而可求得的最小值为，可知结论④正确． 【详解】解：在正方形中， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即，结论①正确； 如图1，设交于点M，连接，取的中点N，连接， 设， 在正方形中，点是对角线、的交点， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵N为的中点，是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在四边形中，，， ∴，结论②正确； 如图2，过E作于I， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即，解得或(负值舍去)， ∴， ∴，结论③不正确； 如图3，由是的角平分线，作D关于的对称点， ∵， ∴在上，过点作于， ∴，，， 当时，即点Q与点J重合时，值最小，最小值为的长， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，，即，解得(负值舍去)， ∴的最小值为，结论④正确． 综上，结论正确的是①②④． 三、解答题 17．（25-26八年级下·浙江金华·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据因式分解法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得， ， 或， 解得：，． （2）解：中，，， ， 则， 解得：，． 18．（25-26九年级上·北京西城·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值． 【答案】(1) 证明： ． ∵， ∴． ∴方程总有两个实数根． (2)或3 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算得出，即可得证； （2）先利用因式分解法方程可得，，再结合题意分析即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得，． ∵m是正整数，方程的两个实数根都是整数， ∴或3． 19．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 【答案】(1)和 (2)代数式没有镜像值， 理由：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， ， 计算根的判别式， 方程没有实数根， 代数式没有镜像值． (3)正整数的值为 【分析】（1）根据定义列一元二次方程求解即可得到镜像值； （2）根据定义列一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实根，即可得到结论； （3）根据定义整理方程，推导出两个镜像值差的表达式，结合差为整数，a为正整数的条件求解即可． 【详解】（1）解：设代数式的镜像值为，根据定义得， 整理得， 解得， 即代数式的镜像值是和． （2）略 （3）解：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， 为正整数，代数式有两个镜像值， ，方程是一元二次方程，且， 方程的两个根为， 则两个根差的绝对值为， 两个镜像值的差为整数，是正整数， 是正整数， 为正整数， ， 即， 满足条件的整数平方只有，即， 得，符合要求 正整数的值为． 20．（25-26八年级上·海南三亚·期末）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 【答案】(1) (2) (3)11，12 (4)可以 【分析】本题围绕三角形中的动点问题，结合等腰三角形性质与一元一次方程应用展开．需分情况讨论点Q的位置（段、段），利用线段长度关系、等腰三角形的边相等条件建立方程求解；对于周长平分问题，需分析各段路径下线段和的关系来判断是否存在满足条件的． 【详解】（1）点从向运动，速度为，运动时间为，则． 已知，由，可得． （2）点从向运动，速度为，， 故在上时，运动时间满足． 当是等腰三角形时，，则两腰为与 由，，令， 即， 解得． 验证：，符合在上的条件． （3）当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图1，则． ∵， ∴． 又∵ 在中，， ∴． ∴． ∴． ． 已知点的速度为，故． 当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图2，则． ． ∴． 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． （4）周长为，若平分周长，则每部分为． 若在上，（）： ，，则， 令，得，但，不符合在上的条件． 若在上（）： ，． 周长被分成和， 即，与． 令，得（符合）； 验证：时，，，和为； ，，，和为，确实平分． 【点睛】本题核心是利用动点的速度与时间表示线段长度，结合等腰三角形的边相等性质建立方程，同时注意分类讨论点的位置（段、段）及等腰三角形的底边情况．周长平分问题需明确周长的组成与分割方式，通过方程求解并验证范围合理性． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第二章一元二次方程全章综合训练 课时目标 1. 能系统杭理一元二次方程的概念、解法、根的判别式、韦达定理等核心知识，形成完 整的知识网络，准确辨析易混概念与易错点。 2. 能根据方程特征灵活选择最优解法，综合运用根的判别式、韦达定理解决含参方程、 代数式求值、几何综合等较复杂问题，提升运算能力与推理能力。 3. 能运用一元二次方程模型解决多类型实际应用问题，并能应对规律探索、新定义等开 放性综合题，体会方程思想在跨章节问题中的核心作用。 课时目录 知识点01：一元二次方程概念与形式的综合辨析 知识点02：一元二次方程四种解法的综合选择与灵活运用 知识点03：根的判别式与根的情况的综合应用 知识点04：韦达定理与代数式求值的综合应用 知识点05：一元二次方程在实际问题中的综合应用（含多类型问题) 知识点06：含参数的一元二次方程的解法与讨论 1/19 知识点07：一元二次方程规律探索与新定义问题 知识点01：一元二次方程概念与形式的综合辨逝 综合辨析需关注三个层面： 定义三要素：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2，三者缺一不可。 一般形式ax2+br+c=0中，必须强调a≠0这一隐含条件，当题目说“关于x的方程 ax2+bx+c=0”时，需分类讨论a=0(退化为一次方程)和a≠0两种情况。 各项系数的符号：系数包括符号，如方程2x2-3x-1=0中，a=2,b=-3,c=-1,而非b =3、c=1。 典型辨析题：已知(m-2)x3-3x-1=0是关于x的一元二次方程，求m的值。 解：由m2-3=2且m-2≠0，得m2=5且m≠2故m=±V5。 1.(25-26八年级下广西南宁期末)若x=1是方程x2-x-a=0的一个根，则1-a的值为() A.2 B.-1 C.1 D.0 2.(25-26八年级下安徽安庆期末)若实数4， b(a≠b)、 满是0-2a-2=0,6-2b-2=0,则（) A.a+b=2,a2+2b>0 B.a+b=2,a2+2b<0 C.a+b=-2,a2+2b>0 D.a+b=-2,a2+2b<0 3.(25-26八年级下湖南长沙期末)一元二次方程x2+x-2=0的一次项系数是」 4.(25-26八年级下山东济南期末)一元二次方程x2+mx-6=0的一个根为-2，则的值为 【知识点02：一元二次方程四种解法的综合选择与灵活运用 四种解法的优先级与适用场景： 2/19 直接开平方法：适用于(x+m=n(n≥0)型，速度最快，如(2x-1=9。 因式分解法：适用于能通过提公因式、公式法、十字相乘法分解为(r+b)(cx+d)=0型的 方程，如x2-5x十6=0、(x-1)x十2)=x-1(需先移项再分解)。 公式法：适用于所有一元二次方程，是通法，当其他方法不易求解时使用，如2x2-4x-1= 0。 配方法：一般不作为首选解法，但在推导求根公式、求代数式最值时有特殊优势。综合选 择原则：先观察方程结构，优先尝试直接开平方或因式分解，若不易分解再用公式法：含 参方程通常用公式法。 典型题：解方程3(x-2)2=12（直接开平方最简)；解方程x2-4x=5(移项后因式分解或配 方法)；解方程2x2-5x十1=0（公式法）。 5.(25-26八年级下·山东泰安·期末)用适当的方法求解下列方程： 03x(x-1)=2x-2 (32x+x-2=0 6.(25-26八年级下·北京期末)选择合适的方法解下列方程 0P-4-3=0 (②-6=5x 7.(25-26九年级上·四川南充阶段检测)用适当的方法解方程： (①)(x+3=2x+6 (②r-4+2=0 8.(2425九年级上·福建漳州期中)用适当的方法解下列一元二次方程： ①2x(x+7)=3(x+7） (2x+8(x+1)=-12 知识点03：根的判别式与根的情况的综合应里 3/19 判别式△=b}-4ac的综合应用包括三个层次： 不解方程判断根的情况：计算△的符号即可。 已知根的情况求参数的取值范围：由△>0（两不等实根）、△=0（两相等实根）、△<0 (无实根)列出关于参数的不等式（或等式），注意同时考虑二次项系数不为0。 证明方程总有实数根：证明△≥0恒成立。 典型综合题：已知关于x的方程(k-)r-2+k+2=0有两个实数根，求k的取值范围。 解：由题意得k-1≠0且△=(-2-4-1k+2)=4-4(+-2)=8-4≥0，解得 k≤2且k≠1。 注意：当题目说“有两个实数根”，包含相等情况（△≥0）：若说“有两个不等实数 根”，则△>0。 9.(2026浙江·中考真题)关于x的一元二次方程x2+bx-1=0的实数根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 10.(25-26九年级上福建莆田·阶段检测)下列方程中，有实数根的是() A.x2-x+1=0B.x2+x-1=0 C.x2-2x+3=0D.x2+4=0 11.(25-26八年级下·山东期末)已知一次函数y=+b(k≠0)的图象不过第三象限，则方程 bx2-2x+k=0 的根的个数为() A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 12.(2526八年级下山东潍坊期末)关于的代数式+bx+(a≠0），若存在实数”，使得 an2+bn+c=n2 则称为这个代数式的等根值. (1)代数式3x2-2x的等根值为 (2)已知关于x的代数式2x2+a-k-3. 4/19 ①求证：无论k取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知x=-1是此代数式的一个等根值，求k的值和这个代数式的另一个等根值， 知识点04：韦达定理与代数式求值的综合应里 韦达定理的综合应用包括： 直接求两根之和与积： 11 一十一 求对称代数式的值（如了+、、-等），需熟练学握常见变形公式： 己知一根求另一根及参数； 构造以两数和为S、积为P的新方程x2-Sx+P=0。 综合题中常将韦达定理与根的判别式结合：先由判别式确定参数范围，再用韦达定理求代 数式的值。 2-(k+1)x+二k2+1=0 典型题：已知方程 4 的两根为一个直角三角形的两直角边，且斜边长 为V5,求k的值。 1 k2+1 解：设两根为，由韦达定理得+=k+1, ,由勾股定理得 +=(=5,▣+-小-5 解得k=2或k=-6；当k=6时， =k+-442+1=-8<0 无实根，舍去，故k=2。 13.(25-26八年级下重庆沙坪坝期末)已知关于x的一元二次方程x2+2mx-n=0的两个根为3和-1， 则n-m的值为 14.(2526八年级下安徽合肥期末)设、无是方程+2x-1=0的两个根，则+灯的值为 15.(25-26八年级下安徽蚌埠期末)若关于x的一元二次方程 x2-2(k+1)x+k2+2=0 有两个不相等的 实数根 (I)求k的取值范围： 5/19 ②已知方程的两个实数根分别为“，B,且a+B+)=13,求人的值 16.(25-26八年级下·安徽毫州期末)若关于x的一元二次方程 x2+bx+c=0(a≠0) 的两根为，则 +%=。4华-后这武足一元=次方程报与系数的关系 )-元二次方程2-5x-1=0 的两根为本，则+3 ,X2= 2)已知关于x的一元二次方程2-(2k+1)x+k2-2=0. ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； x+x2=2xx2+5 ②若方程的两个实数根为 ，满 ,求k的值 知识点05：一元二次方程在实际问题中的综合应用（含多类型问题） 综合应用题常融合多种问题类型，需在审题时准确识别等量关系： 增长率问题：al+)”=b,注意为增长次数： 利润问题：总利润=单件利润×销售量，销售量常为售价的函数； 面积问题：注意平移变换和不规则图形的分割，靠墙问题需检验墙长限制： 动态几何问题：抓住不变量（如某边长度不变）或等量关系（如面积不变、线段相等）， 设时间为t或线段长为x列方程； 方案设计问题：需检验每种方案的几何约束或经济约束。 典型综合题：某商店购进一批单价为20元的日用品，若按单价30元销售，每月可卖出400 件；若单价每提高1元，销量就减少20件。 （1)若要实现月利润4320元，应如何定价？ (2)若要使月利润不低于4320元，定价范围是多少？ (3)若考虑到库存压力，销量不得低于240件，定价范围又是多少？ 解：(1)设提价x元，则(30+x-20)(400-20x)=4320,解得x=2或x=8,定价为32元或 38元： (2)由(30+x-20)(400-20x)24320得2≤x≤8，即定价32-38元： （3)由400-20x≥240得x≤8，综合得2s≤8，定价仍为32~38元。 6/19 17.(25-26八年级下·浙江台州期末)南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题： 直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积 为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为x步，则可 列方程() A.x(x-12)=864 B.x(x+12)=864 C.(x+12)(x-12)=864 xx-12-864 D.2 18.(2026广东肇庆·三模)某公司专门生产高端智能测量装备，2023年研发投入资金1000万元，随着公 司规模的扩大，研发投入逐年增长，到2025年研发投入资金1210万元. ()求该公司研发投入资金的年平均增长率. (2)若该公司计划2026年生产A、B两款高端智能测量装备共3000台，其中A款装备每台定价5万元， B款每台定价3.5万元.市场调研表明，A款装备的数量不多于B款装备数量的2倍.当生产A款装 备多少台时，公司的销售总收入最大？最大收入是多少万元？ 19.(2026·河北邯郸模拟预测)项目主题：设计包装盒。 素材：如图1，矩形纸板ABCD中，AB=32cm,BC=14cm 步骤1：将图1中阴影部分裁剪掉，其中左侧的阴影部分为两个小正方形. 步骤2：将图1中裁剪后的纸板沿虚线恰好可折叠成如图2所示的有盖长方体包装盒. 分 B 图1 图2 解决问题： (I)AE的长为 cm: (2)若折叠成的包装盒底面积为180cm,求包装盒的体积. 20.(25-26九年级上：江苏宿迁阶段检测)如图，在矩形ABCD中，AB=3Cm,BC=4cm,点P从点A 出发沿AB以lcm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当 其中一点到达终点运动即停止.设运动时间为t秒. 7/19 D (1)在运动过程中， P吧的长度能否为 7cm?若能，求出t的值，若不能，请说明理由： △PDO 6cm2 (2)在运动过程中， 的面积能否为 ？若能，求出t的值，若不能，请说明理由； 知识点06：含参数的一元二次方程的解法与讨论 含参方程需从三个维度讨论： 参数在二次项位置时：需讨论a=0(退化为一次方程)和a≠0（一元二次方程）两种情 况，分别求解。 参数在常数项或一次项位置时：通常用公式法或因式分解法求解，注意根据判别式讨论根 的情况。 解含参方程后需检验解的合理性：如解为分式形式时，需确保分母不为0。 典型题：解关于x的方程r-(a+)x+1=0(a为常数)。 解：当a=0时，方程化为-x+1=0,解得x=1;当a≠0时，用因式分解法得(ax-1)x-1) 1 ,x2=1 =0,解得 a 。综上：当a=0时，解为x=1;当a≠0时，解为 =1 21.(25-26八年级下浙江绍兴期末)我们把一元二次方程r+x+c=0(a≠0 的两根记为，，若 方程的两根满足+，=2水 则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为《：对于两个对 称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对. 已知关于*的方程-(2m+4)x+4m=0 (I)求证：不论m取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (②)若该方程是对称根方程，且对称中心值为5，求m的值： 3)若x2-10x+21=0是它的互补对，求m的值. 8/19 22.(25-26九年级上山西朔州期中)阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务. 换根法 问题：已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍. 部：设所求方程的根为，则)=2x.把-方代入已知方程，符号)+兮-1=0 y 化简，得广+2-4=0 2+2y-4=0 故所求方程为 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”. 任务： (1)已知方程x2-3x一2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程 为一 ax2+bx+c=0(a≠0) (②)已知关于x的一元二次方程 有两个均不等于零的实数根，求一个一元二次方程， 使它的根分别是已知方程根的倒数.（要求：把所求方程化为一般形式） 3)已知关于x的一元二次方程 x2+bx+c=0(a≠0) 的两个实数根分别为3，-2，请直接写出关于'的 一元二次方程(0+1)+b(0+1)+c=0。 的两根， 23.(25-26八年级下·山东济南期末)阅读材料，并解决问题. 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法.以解方程 x2+2x-35=0为例：将原方程整理可得： x(x+2)=35 ,可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所 示的图形，此时大正方形的面积是+x+2 ,同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积 9/19 x+x+2)2=4x(x+2)+22=4×35+4=144 的和.所以 由此得原方程的一个正根为x=5」 +2 x+2 x+2 x+2 图1 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程2x2+3x-2=0,请将其解答过程补充完整： 3 第一步：将原方程变形为x+2-1=0,即x（)-1 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形： 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程_，解得原方程的一个正根为一： 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如x2+ax=b(a>0,b>0)的一元二次方程可以构造图2来解.己知图2是由四 个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根. 图2 【思维提升】 3)小明用此方法解关于*的方程*3x-)=24 其中3x-n>x,他以3x-”和作为矩形的两邻边构 造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为. 24.(25-26九年级上福建泉州期末)综合实践： 探 究 一元二次方程根的判别式拓展探究 主 10119 题 在学习一元二次方程根的判别式时，小明同学通过几道习题的解答，他说自己发现 探 了判断一类方程有无实数根的一种简易方法并提出了一个猜想：“若一元二次方程 究 ax2+bx+c=0(a≠0) 的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负），那么 情 境 这个方程一定有两个不相等的实数根.”请你结合所学知识，对小明的猜想进行探 究 实 (1)解满足以下条件的一元二次方程，验证小明的猜想： 例 ①当a>0,c<0时，例如x2+x-2=0,此方程的解是 验 ②当a<0,C>0时，例如-x2-2x+3=0,此方程的解是 证 这两个实例可以验证小明的猜想一（填“正确”或“错误”）， 严 谨 (2)小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例. 证 明 拓 m-1)x2+2mx+(m+2)=0 展 (3)已知关于x的一元二次方程 其中为整数，满足 延 二次项系数和常数项异号，求的值及方程的解。 伸 ■ 知识点07：一元二次方程规律探索与新定义问题 此类题目考查学生阅读理解能力和迁移应用能力： 规律探索题：通过观察数列或图形的变化规律，归纳出一元二次方程的系数规律或根的规 律。 例如：观察方程x2-2x-3=0的根为=3x=-l,x2-4x-5=0的根为=5，x=-1: x2-6r-7=0的根为x=7,=-1,猜想第1个方程为x-2r-(2n+)=0,根为 x=2n+1,x3=-1。 新定义问题：题目给出一种新的运算或概念（如“友好方程”“倍根方程”等），要求学 11/19 生理解定义并据此列方程求解。 例如：定义“倍根方程”为“一个根是另一个根的2倍的方程”，若x+r+c=0是倍根 方程，且一个根为1，求b、c的值。 1 解：另一根为2或2，当另一根为2时，由韦达定理得1十2=-b,1×2=c,得b=-3,c =2: 1 1 1 31 当另一根为2时，1+2=-b,1×2=c,得b=2,c=2。 25.(2026河南周口·一模)新定义定义新运算：a※b=a2-2ab,例如：2※3=2-2×2×3=-8，则方 程x※1=0的解为 26.(25-26八年级下·浙江绍兴期末)定义：如果关于x的一元二次方程ar2+bx+c=0(a,b,c均为 常数，≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”. (1)下列方程中，按上述定义-（填序号）是“邻根方程”· ①x2+x=0;②x2-2x+1=0:③x2+3x+2=0. 2)若(x-2)x+n)=0是“邻根方程”，求n的值. (3)若一元二次方程ax+br+c=0(a,b,c均为常数，a≠0)为“邻根方程”，求出a,b,C应 满足的数量关系 27.(2026安徽中考真题)项目式学习 【项目主题】 一类勾股数有序表示的探究 【预备知识】 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足a2+b2=c2的正整数a,b,c是勾 a,b,c） 股数，记为 设m,n为正整数，且m>n,因为m-m)+(2m=(m+n心，所以(m-n,2mn,m+m)为勾 12119 股数.本项目只研究形如 m2-n,2m,m+）的勾股数。 【规律探究】 分别对m,n进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下： m （m2-n2,2mn,m2+n2） 勾股数 序号 2 1 (3,4,5) 1 1 (8,6,10) 2 3 2 (5,12,13) 3 (15,8,17) 1 4 4 (12,16,20) 2 5 (7,24,25) 【规律应用】 根据上表规律，请完成下列问题： )m=5,n=1对应的勾股数是（一，一—），序号为一： 35,12,37) (2)勾股数 对应的m= n= 3)序号为15的勾股数是(-， 【项目拓展】 4)项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中m+n的值随着序号的 增大而增大.他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，m2+n的值也会随着序号的增大而增大. 请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明。 28.(2026安徽·二模)综合与实践：钢管堆砌与图形规律探究 【项目主题】某校数学实践小组在参观钢结构加工厂时，发现钢管常按一定规律堆砌存放.为了优化 仓库空间使用，提高效率，他们决定对钢管的堆砌规律展开数学研究. 13/19 【项目准备】1.观察现象 钢管的横截面堆砌成如下形状（图示n=1,2,3,4的情形），其中上方的数字表示该位置钢管的总 数量： 30 n=1 1=3 2.规律猜想 小组初步猜想：第个图的钢管总数S可以按“行”来观察，并尝试用算式表达. 【项目分折】1，统一符号：设第以个图的钢管总数为5 2.任务分解： 任务一按“行”的方式写出”=3和1=4 的算式，归纳“的表达式 任务二：换一种分割方式（如按“列”或“斜线”），重新表达 任务三：建立第n个图钢管总数的通用公式，并用于计算较大n时的数量， 【项目实施】问题一：按行分割的规律归纳 1.请补全下表： 图形 n=1 n=2 n=3 1n=4 算式 S=1+2 S=2+3+4 S=① S=② S= 2.根据规律，写出第n个图的算式（不化简）： ③ 问题二：换一种眼光看图形 请你对=3的图形进行另一种方式的分割（如按“列”或“斜线”），并在下表中写出你发现的算式 表达： 图形 n=1 n=2 n=3 n=4 算式 S=2+1 S=3×2+2+1 S=_④ S=⑤ 问题三：建立通用公式【提示：1+2+3++n=n+, 2 14119 S 将你在问题一中得到的第n个图的算式化简，写出°“关于的代数表达式： 根据以上信息，完成下面内容： (1)将上方空白内容补充完整： ① ② ③ ④ -⑤ -⑥ n=108 (2)若某堆钢管的 求n的值. 图 n=l n=2 n=3 n=4 形 算 S=3+4+5+6 S=4+5+6+7+8 S=1+2 S=2+3+4 式 图 n=1 n=2 n=3 n=4 形 算 S=4×3+3+2+1 S=5×4+4+3+2+1 S=2+1 S=3×2+2+1 式 全章训练 一、选择题 1.（25-26八年级下北京平谷期末)若关于*的一元二次方程m-3)r+3x+m-9=0 的一个根是x=0 则m的值是() A.±3 B.3 C.-3 D.0 2.(25-26八年级全国暑假作业)若Pr-3x+p-P=0 是关于x的一元二次方程，则() A.p≠1 B.p≠0且p≠1C.p≠0 D.p为一切实数 3.(25-26八年级下山东烟台期末)已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程x2-10x-24=0的 解，则这个三角形的周长是() A.26 B.16 C.28 D.16或26 4.(25-26八年级下·安徽淮北期末)某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了10%」 该工厂今年年初开展了技术革新，计划今年的利润比去年增长30%，设该工厂按计划完成任务后今年 15/19 和去年这两年平均增长的百分数为x.则下列方程正确的是() (1-10%)1+30%)=2x B.（0-10%)0+30%)=2x2 c.(（1-10%+30%)=(1+x)月 D.(1-10%)1+30%)=(1+x2 5.(25-26八年级下-江苏宿迁期末)若，是方程+2x-5= 的两个根，则2-5+2 的值为 () A.-9 B.-1 C.1 D.0 6.(25-26八年级下·浙江宁波期末)方程x+6x-7=0经过配方可变形为() A.x+3)=16B.(-3=16 C.(x+62=16 D.(x-62=16 7.(25-26八年级下广东广州期末)关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是() A.m≥9 B.m<9 C.m=9 D.m<6 8.(25-26八年级下·福建福州期末)关于x的一元二次方程x2+mx+n=0,下列说法：①若m-2n=1, 则方程一定有两个不相等的实数根；②若m-2n<0,则方程没有实数根；③若n≠0且n是方程 1 x2+mx+n=0的一个根，则m+n=-1:④若x=1化≠0)是方程x2+mx+n=0的一个根，则x=i是方 程x2+mx+1=0的一个根.其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 9.(25-26八年级下·安徽滁州期末)方程x2=4x的根是 10.(25-26八年级下山东威海期末)关于x的方程2-6x+3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范 围是 11.(25-26八年级下·安徽合肥·期末)某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极 16119 参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能.如果设该班级参加活动的学生有x人，根据题意 列方程并化为一般形式： 12.(25-26八年级下·福建福州期末)小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程 +8ax=9a(a>0)的过程如下：将方程配方得+4a=(6a+(4a,以3a和4a为两直角边作 △MBC(如图)，再在斜边1B及其延长线上截取BD=BE=BC,发现方程的解 X=AD x2=-AE 若x=D=2,则的值为一 t, 3a Aa A D B 13.(25-26八年级下山东烟台期末)在实数范围内，存在两个不相等的x的值，使得代数式x-1与 2x一k的值相等，则k的取值范围是 14.(25-26八年级下·浙江杭州期末)已知关于x的一元二次方程x2+bx+1=0有两个不相等的实数根m 和n,且m2+n2=6,则b=一 15.(25-26八年级下安徽滁州期末)如图，一块长16m、宽10m的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石 3 板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的10，则石板小径的宽度为 m 16m 16.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期末)正方形ABCD的边长为4，点O是对角线AC、BD的交点，E、 F分别是CD、BC上的点，且AE=DF,连接DF交AC于点H,连接EH,AE交DF于点G,连 接OG,下列结论中：①AE⊥DF;②∠AEC+∠GOC=180°；③当AE平分∠DAC时，CE=CF:④ 17119 当1E平分D1C时，点P在1E上运动，过点'作 P,PQ⊥ADDP+PQ 22 的最小值为 .正确的是_ 三、解答题 17.(25-26八年级下浙江金华期末)解方程： 1)x(x+2)=(x+2) ar-3x+1=0 18。(25-26九年级上北京西城期未)己知关于x的一元二次方程mr-(3m-3r+2m-3=0(m≠0)】 (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值. 19.(25-26八年级下浙江绍兴期末)对于关于x的代数式ax2+br+c,若存在实数m,使得当x=m时， 代数式的值等于-m,则称m为这个代数式的“镜像值”.例如：对于代数式x,当x=0时，代数式 的值等于0；当x=-1时，代数式的值等于1，我们就称0和-1都是这个代数式的“镜像值”， (1)代数式x2-x-1的镜像值是： (②)判断代数式x-3x+3是否有镜像值.若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由： 5 ③)关于x的代数式ar-(2+)r-4,若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整 数a的值. 20.(25-26八年级上·海南三亚期末)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=16cm,BC=12cm, AC=20cm,P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B的方向运动，且速度为 1cm/s,点Q从点B开始沿B→C→A的方向运动，且速度为2cm/s,P,Q两点同时出发，当P运 18119 动到点B时，两点停止运动，设运动的时间为秒. C C P 备用图 (I)BP=cm(用含t的代数式表示)； (2)点Q在边BC上运动时.当△PQB是等腰三角形时，求出此时t的值 3)点O在边CA上运动时，当△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形时，求出此时t的值. 4)点Q在运动过程中，通过计算说明PQ能否把△ABC的周长平分？ 19119