2.3一元二次方程的根与系数的关系 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 该同步练习以韦达定理为核心，通过7个知识点分层设计，从概念推导到综合应用，梯度清晰，适配新授课知识巩固与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|韦达定理内容及直接应用（知识点02、03）|以选择填空（如第5-8题）巩固系数识别与公式直接应用，培养运算能力| |能力应用|对称代数式、参数求解及成立条件（知识点04、05、06）|通过解答题（如第13-16题）强化代数式变形与参数讨论，发展推理意识| |综合拓展|定理推导、构造新方程及实际应用（知识点01、07、课时训练）|结合探究题（如第1题）和实际情境（如矩形周长问题），提升模型意识与创新思维|

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第二章 一元二次方程 3 一元二次方程的根与系数的关系 ▌课时目标 1. 能结合求根公式推导韦达定理，理解其推理逻辑，明确定理适用的前提条件，体会代数推理的严谨性。 2. 熟记一元二次方程根与系数的关系，能准确识别方程各项系数，直接求出给定方程的两根之和与两根之积。 3. 能运用韦达定理解决求对称代数式的值、已知一根求另一根及参数、构造简单一元二次方程等问题，简化运算过程，提升解题效率。 ▌课时目录 知识点01：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的发现与推导 知识点02：韦达定理的内容 知识点03：利用韦达定理求两根之和与两根之积 知识点04：利用韦达定理求与两根有关的代数式的值 知识点05：已知一根求另一根及参数的值 知识点06：韦达定理成立的条件 知识点07：韦达定理在构造新方程中的应用 ▌知识点01：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的发现与推导 对于一元二次方程一般形式（），当判别式时，由求根公式可得两根。 计算两根之和：； 计算两根之积：。 该关系由法国数学家韦达最早系统研究，故称韦达定理。 1．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）小若在学完2．3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】类比一元二次方程根与系数的探究方法，将三次方程因式分解为含根的乘积形式，对比常数项系数求解． 【详解】解：∵，，是一元三次方程的三个根， ∴， 展开右边得． ∵等式为恒等式，两边常数项对应相等， ∴， 整理得． 2．（24-25九年级上·河南许昌·阶段检测）阅读下列材料，完成相应任务． 十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”． (1)若一元二次方程的两个实数根为，，则_____，_____． (2)已知关于的方程有两个实数根． ①求的取值范围． ②若此方程的两根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】本题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识点，熟知、是一元二次方程的两根时，是解题的关键． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可； （2）①由一元二次方程根的判别式得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；②根据一元二次方程根与系数的关系用m表示出和，然后得到关于m的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个实数根为、， ∴． 故答案为：． （2）解：①∵关于x的方程有两个实数根， ∴，解得：； ②∵关于x的方程的两根分别为α，β， ∴， ∵， ∴，即，解得， 由①知， ∴． 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，解决问题． 弗朗索瓦·韦达被誉为“代数学之父”，他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系，这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”，也被称为“根与系数的关系”． 素材1 材料1：关于的一元二次方程（），如果，设方程的两个实数根为，，则与根系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：因为， 所以，， 则． (1)先判断一元二次方程是否存在实数根；若存在，则设实数根为，，求的值；若不存在，请说明理由． (2)已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． (3)已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，满足，求的值． 【答案】(1)解：该一元二次方程不存在实数根，理由如下： 由题意得，， ∴该一元二次方程不存在实数根； (2) (3) 【分析】（1）利用判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得到，由方程的解的定义得到，，则可推出，，可推出，据此代入求值即可； （3）由根与系数的关系得到，则可得到方程，解方程求出k的值，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ，， ∴，， ∴ ； （3）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根为，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或； ∵原方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴． 4．（2025·海南·一模）综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 材料1：一元二次方程的根与系数的关系最早由法国数学家韦达（1540-1603年）发现，习惯上称为“韦达定理”．韦达定理更一般地揭示了一元二次方程的根与系数的关系． 材料2：关于x的一元二次方程的两个实数根、和系数a、b、c有如下关系：，． 材料3：已知一元二次方程的两个实数根分别为p、q，求的值． 解：、是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为、，则________，________； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为p、q，求的值； (3)提升：已知实数m、n满足，，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． （1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，，最后代入求值即可； （3）由题意可将m、n可以看作方程的两个根，即得出，，再根据，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． （2）解：∵一元二次方程的两根分别为p、q， ∴，， ∴ ； （3）解：由题意可将m、n可以看作方程的两个根， ∴，， ∴． ▌知识点02：韦达定理的内容 在一元二次方程（，）中，若方程有两个实数根，则两根之和，两根之积。 文字表述为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的商的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的商。使用时需注意系数连同符号代入，例如方程2x2＋3x－5＝0中，a＝2，b＝3，c＝－5，则，。 5．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程 ，若方程的两个实数根为 ，，则 ，． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个实数根． ∴ ，． 6．（25-26八年级下·山东威海·期末）下列方程的两个实数根的和为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据判别式判断方程是否有两个实数根，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：A． ，，该方程有实根，，不符合题意； B． ，，该方程有实根，且，不符合题意； C． ，，该方程有实根，且，符合题意； D． ，，该方程无实根，不符合题意 7．（25-26八年级下·广西南宁·期末）已知方程的两个根是和，则________． 【答案】 【详解】解：∵方程的两个根是和， ∴根据一元二次方程根与系数的关系得到． 8．（25-26八年级下·云南昆明·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出和的值，再代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． ▌知识点03：利用韦达定理求两根之和与两根之积 解题步骤： 1. 将方程化为一般形式，准确识别各项系数（含符号）； 2. 计算判别式Δ，确认Δ≥0； 3. 代入公式直接计算两根和与两根积，无需解出方程的根。 例如：求方程3x2－6x＋1＝0的两根和与两根积，先确认Δ＝(－6)2－4×3×1＝24≥0，故，。 9．（25-26八年级下·山东日照·期末）已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程，则，． 先利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两根， ∴，． ∴ ． 10．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C．8 D．2 【答案】A 【分析】利用一元二次方程求根公式得到两根，计算出两根之和与两根之积，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， 则 ，， 故 ． 11．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 12．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． ▌知识点04：利用韦达定理求与两根有关的代数式的值 仅适用于关于的对称代数式（交换位置后式子不变），可通过韦达定理转化为用a、b、c表示的式子，无需单独求根。常用变形： 1. 倒数和： 2. 平方和： 3. 差的平方： 例如：已知方程x2－4x＋2＝0的两根为，求的值。 由韦达定理得，，故。 13．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ，． ． 14．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 【答案】 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵，分别是关于x的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得，， ． 16．（25-26八年级下·北京石景山·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）根据的范围确定的最小整数值，再将所求代数式变形为，由一元二次方程根与系数的关系可得与的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：由（1）可知且取满足条件的最小整数， ∴， ，即， ，， ． ▌知识点05：已知一根求另一根及参数的值 已知方程的一个根时，可结合韦达定理快速求出另一根及方程中的未知参数，无需代入根求解。 方法：设另一根为，根据两根之和与两根积的公式列出关于和参数的方程组求解，求出参数后需验证二次项系数不为0且Δ≥0。 例如：已知方程x2＋mx－8＝0的一个根为2，求m的值和另一根。 设另一根为，则，由2＝－8得＝－4，代入第一式得2＋(－4)＝－m，解得m＝2，此时方程二次项系数a＝1≠0，Δ＝4＋32＝36≥0，符合题意。 17．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】设方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴该方程的另一个根为． 18．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原方程的另一个实数根为，由根与系数的关系可得，据此可得答案． 【详解】解：设原方程的另一个实数根为， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个实数根为． 19．（25-26八年级下·福建福州·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据“倍根方程”的定义，设出方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系建立等式，化简即可求出的值． 【详解】解：设方程的两个根分别为和，且．根据一元二次方程根与系数的关系可得： 由①得：，即． 将代入②得： 化简得：． 两边同乘（）得：． 20．（25-26八年级下·浙江温州·期末）已知关于x的方程 (1)当方程的一个根为2时，求c的值． (2)若方程的两根之积为3，求方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将方程的根代入原方程即可求解； （2）根据根与系数的关系，即可求出c，再利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：将方程的根代入原方程：，解得； （2）设方程的两根为，，若方程的两根之积为3， 则，解得， 即：， 解得，． ▌知识点06：韦达定理成立的条件 韦达定理仅在同时满足以下两个条件时适用： 方程是一元二次方程，即二次项系数，若a＝0则方程退化为一元一次方程，不存在两个根； 方程有实数根，即判别式，若Δ＜0方程在实数范围内无实根，因此不能使用韦达定理。 例如方程x2＋x＋2＝0的Δ＝1－8＝－7＜0，初中阶段认为该方程无实根，故不讨论其根与系数的关系。 21．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（     ） ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程一定有解； ③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数； ④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断③；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断④． 【详解】解：①若方程的两个根为和1，则， ∴， ∴，即，故①正确； ② ， ∴将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数解， ∴由根与系数的关系可知，原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，故③正确； ④若，则都是关于的一元二次方程的实数根， ∵关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根， ∴是可以存在这种情况的，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个． 22．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】(1)证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)的值为 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【详解】（1）略 （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 23．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个实数根，得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）先根据根与系数的关系用表示和，再代入已知等式得到关于的方程，结合（1）中的范围筛选出符合条件的值即可； 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 即， 展开整理得， 解得； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ， 代入得， 整理得， 解得， ，， 不符合题意，舍去， ． 24．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）已知关于的方程． (1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解； (2)当该方程是一元二次方程时， ①求证：该方程有两个不相等的实数根； ②已知和是该方程的两个根，求出的值．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)①证明：由题可得，，，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根； ②． 【分析】（1）根据一元一次方程可知，求出m的值，代入求解即可； （2）①根据根的判别式证明即可； ②根据根与系数的关系得到，，根据完全平方公式得到，可知的值． 【详解】（1）解：当，即时，该方程是一元一次方程， 把代入，得， 解得， ∴该方程的解为； （2）①略； ②解：∵和是该方程的两个解， ∴，， ∴， 所以． ▌知识点07：韦达定理在构造新方程中的应用 若已知两个数的和为S、积为P，则以这两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）为，该结论由韦达定理逆推可得。 例如：已知两个数的和为5，积为6，则以这两个数为根的方程为。 仅要求掌握二次项系数为1的构造，若二次项系数不为1，可先将方程化为二次项系数为1的形式再构造。 25．（25-26九年级上·福建泉州·期中）有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．请你完成下面两个问题： (1)已知实数m、n满足、，求的值． (2)已知实数a、b、c满足，且，求c的最大值． 【答案】(1)或2 (2)3 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，不等式，根的判别式等知识，灵活应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 当m、n不相等时，由题意可知m，n是方程的两个实数根，再由根与系数的关系可得和的值，即可解答；当m、n相等时，直接将代入计算即可； 由题意可知a，b是方程的两个实数根，再由根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：当m、n不相等时， 实数m、n满足、， ，n是方程的两个实数根， ，， ； 当m、n相等时， ； 综上所述，的值为或2； （2）解：，， ， ， ，b是关于x的方程的两个根，且，， ， ， ， ， ， ， 的最大值是 26．（25-26九年级上·山东济南·期末）【阅读材料】 材料1：一元二次方程的两个根有如下的关系： 材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决． 下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数满足，且，则可将看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数满足，则可以将看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，则___________，___________； (2)已知实数满足，且，求的值； (3)已知实数满足，且，求的最大值． 【答案】(1)2， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程的根与系数的关系即可得结论； （2）可以看作是方程的两根，利用根与系数的关系即可求解； （3）将看作是方程的两实数根，利用判别式的意义即可求解． 【详解】（1）解：由一元二次方程的根与系数的关系可得，，． 故答案为：2，． （2）解：∵，实数满足，， ∴可看作方程的两根， ∴， ∴原式 ∴原式的值为． （3）解：∵， ∴将看作是方程的两实数根； ∴，且， ∴， ∴， 解得， ∴的最大值为1． 27．（25-26八年级下·安徽池州·期末）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (2)已知不相等的两个实数、满足，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为2 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系与完全平方公式的变形求解； （2）利用二次根式的被开方数的非负性得到，根据两个一元二次方程的二次项系数，一次项系数以及常数项都相等判断出是一元二次方程的两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系求解； （3）根据材料3构造一元二次方程，再根据判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根分别为、， ∴由根与系数的关系可知：， ； （2）解：，，， ， ∵， ∴实数、可看作是方程的两个不相等的实数根 由根与系数的关系可知：， ． （3）解：∵实数、、满足、， ， ∴实数、可看作是方程的两个实数根 ， ， 解得：， 的最大值为2． 28．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】C 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系，从第一个方程得到两根和与两根积，再对第二个方程利用根与系数的关系得到的表达式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵一元二次方程的两根为，， ∴两根之积满足， ∴． 4．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 二、填空题 5．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据根与系数关系得到，再利用整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ 6．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 【答案】 3 【分析】利用根与系数的关系得到菱形两条对角线的乘积，结合菱形面积公式计算结果即可． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由根与系数的关系得：， ∵菱形的两条对角线的长是该方程的两根， ∴菱形两条对角线的乘积为， ∵菱形的面积等于对角线乘积的， ∴菱形的面积为． 7．（25-26八年级下·北京·期末）若2是关于x的一元二次方程的一个根，则一元二次方程的根为_____ ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，利用换元法将新方程转化为与原方程形式相同的方程，结合原方程的根与系数的关系求出换元后变量的根，再回代得到新方程的根． 【详解】解：令，则方程可化为，与原一元二次方程形式相同， 是原方程的一个根， 是方程的一个根， 设方程的另一个根为，由根与系数的关系得： ， 代入得， 解得， ， ， 当时，， 当时，， 所求方程的根为． 8．（25-26八年级下·四川成都·期末）定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”．若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有______个． 【答案】2 【分析】根据“的倒立数对”的定义得到，再将，，代入分式得到新的分式，求解即可． 【详解】解：是“的倒立数对”， ， ， ，， ，， ，， ， ， 分式的值为整数， 的整数值为，， ， ∴，是关于的方程的实数根， 方程有实数根的条件是判别式， 解得或，即的整数值有，，共个． 三、解答题 9．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 【答案】(1)不是邻根方程，计算如下： ， ， 解得：， ， ∴一元二次方程不是邻根方程； (2)或0 (3)或 【分析】（1）解方程，根据题意即可判断； （2）解方程，根据题意列方程即可解答； （3）设方程的根为，根据根与系数的关系得到关于的方程，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 或， ∵方程（m是常数）是“邻根方程”， 或， 或0； （3）解：设方程的根为，且， 则，， 将代入得， 化简得， ，， ， ，即， 即， 解得． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： (1)“快乐方程”的“快乐数”为______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． (3)对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 【答案】(1) (2)， (3)所有可能的快乐数为和 【分析】（1）根据“快乐数”的定义求解； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）首先表示出 ，得到，然后利用根与系数的关系得到，，表示出 ，得到，根据题意求出或4，进而求解即可． 【详解】（1）解：方程的“快乐数”为 ； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又∵方程是“快乐方程”，且m为整数， ∴方程的根为整数， ∴为完全平方数， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， ∴， ∴其“快乐数”数是； （3）解：根据题意得， ， ∴， ∵方程的两根为，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵是“快乐方程”， ∴，是整数， ∴是整数， ∵n为正整数， ∴n为完全平方数， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴或4， ∴ 或． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第二章一元二次方程 3一元二次方程的根与系数的关系 课时目标 能结合求根公式推导韦达定理，理解其推理逻辑，明确定理适用的前提条件，体会代 数推理的严谨性。 2. 熟记一元二次方程根与系数的关系，能准确识别方程各项系数，直接求出给定方程的 两根之和与两根之积。 3. 能运用韦达定理解决求对称代数式的值、已知一根求另一根及参数、构造简单一元 次方程等问题，简化运算过程，提升解题效率。 课时目录 知识点01：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理)的发现与推导 知识点02：韦达定理的内容 知识点03：利用韦达定理求两根之和与两根之积 知识点04：利用韦达定理求与两根有关的代数式的值 知识点05：已知一根求另一根及参数的值 1/14 知识点06：韦达定理成立的条件 知识点07：韦达定理在构造新方程中的应用 【知识点01：一元二次方程根与系数的送系（韦达定理）的发现与推导 对于一元二次方程一般形式ar2+bx+c=0(a≠0)，当判别式△=b-4ac≥0时，由求根 公式可得两根 0=女酒 2a x+5=-b+瓜+b-瓜-2bb 计算两根之和： 2a 2a 2a a (仁b+(-b-Ab-&_4ac-9 计算两根之积： 2a 4a2 4a2 该关系由法国数学家韦达最早系统研究，故称韦达定理。 .(25-26八年级下·浙江舟山期末)小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方 程进行了新的探究，如图所示.如果，。，云是一元三次方程 x3+bx2+cx+d=0(a≠0) 的三个根， 请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系. 一元二次方程根与系数的探究 因为，七是方程的根，根据方程根的定义 ax2+bx+c=a(x-x)(x-x2) 得到 展开右边得到 x2+bx+c=ax2-a(x+x2)x+axx2 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 bx=-a(x+x2)x,c=ax x2 对比后得 2/14 b 整理后得到x+x2子a,X万。 则5 用系数可以表示为() b b A.d B.-a D.-a 2.(2425九年级上河南许昌阶段检测)阅读下列材料，完成相应任务 十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别 b 式△≥0时，关于x的一元二次方程ar+bx+c=0(a≠0)的两个根x,x2有如下关系：+=-a a, 3=C ”.此关系通常被称为“韦达定理” (四若一元二次方程+2x-1= 的两个实数根为，。，则+5 x x2= ②已知关于*的方程+(2m-小x+m2-0 两个实数根， ①求m的取值范围. ②若此方程的两根分别为a,P,且pB+a+B=9,求m的值. 3.(25-26八年级下·浙江绍兴期末)根据以下素材，解决问题。 弗朗索瓦韦达被誉为“代数学之父”，他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关 系，这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”，也被称为“根与系数的关系”， 材料1：关于x的一元二次方程axr2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，设 素材 6 1 方程的两个实数根为x,x,则与根系数a,b,c,有如下关系：x+= =c a· 材料2：已知一元二次方程x2+2x-4=0的两个实数根分别为m,n,求 素材 m2n+mn2的值. 2 2-4ac=22-4×1×(-4)=20 解：因为 3/14 所以m+n=-2,mn=-4」 m2n+mn2=mn(m+n)=（-2)×(-4)=8 则 (0元判断一元二次方程2+1=0是否存在实数根：若存在，则设实数根为”，，求 +的值： 若不存在，请说明理由。 ②已知一元二次方程2+2026x-4=0的两个实数根为m,n,求2m+2025m-62m+20271-2) 的值. (3)已知关于x的一元二次方程 x2-(2k+1)x+k2= 有两个实数根为，一，满足=方+，求人的 值. 4.(2025海南·一模)综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务. 材料1：一元二次方程的根与系数的关系最早由法国数学家韦达(1540-1603年)发现，习惯上称为 “韦达定理”.韦达定理更一般地揭示了一元二次方程的根与系数的关系， x2+bx+c=0(a≠0) 材料2：关于x的一元二次方程 的两个实数根、和系数a、b、c有如下关系： +3=- =e a, a· 材料3：已知一元二次方程x+4x-3=0的两个实数根分别为p、q,求(P+(9+)的值. 解：P、9是一元二次方程x2+4x-3=0的两个实数根， .p+9=-4pg=-3 则(p+109+1)=p9+p+q+1=-6 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 0应用：一元=次方程2+4-10的丙个实数根为、5，则5+ x x2= 园关北：卫元淡方发2+-1=0的两个实数相为职、，求P产+行 的值： 11 (3)提升：已知实数m、n满足2m2+4m-1=0,2m2+4n-1=0且m≠n,求m+%的值. 4/14 知识点02：韦达定理的内容 在一元二次方程ax+br+c=0(a≠0，△≥0)中，若方程有两个实数根x,,则两根之 0,两根之积5 和考+5 b a。 文字表述为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的商的相反数，两个根的积等于常 数项与二次项系数的商。使用时需注意系数连同符号代入，例如方程2x2十3x一5=0中， 3 =2,b=3,0=-5,则+名= 2」 xX2=- 2。 5（25-26八年级下安徽宜城期末)已知m,”是一元二次方程-5x-1=0 的两个实数根，下列结 论中正确的是() A.m+n=-1 B.mn=1 C.mn=-5 D m+n=5 6.(25-26八年级下山东威海期末)下列方程的两个实数根的和为-4的是() A.x2+2x-4=0 B.x2-4x+4=0 C.x2+4x-5=0 D.x2+4x+5=0 7.(25-26八年级下广西南宁字期末)已知方程-4+1=0的两个根是和，则+玉 8(25-26八年级下云南昆明期末)已知m,(m≠”)是一元二次方程产-x-2026=0的两个实数根， 则代数式m+n+mn的值为. 知识点03：利用韦达定理求两根之和与两根之积 解题步骤： 将方程化为一般形式ar2+bx+c=0,准确识别各项系数（含符号）； 计算判别式△，确认△≥0： 代入公式直接计算两根和与两根积，无需解出方程的根。 例如：求方程3x2-6r+1=0的两根和与两根积，先确认△=(-6)2一4×3×1=24≥0，故 5/14 x+x=2.x= 9 (25-26八年级下山东日照期末)已知、是一元二次方程3x+2x-6=0的两根，则 x+1)(x2+1) 的值是() A骨 c. 4 B. 3 D.3 10,(25-26八年级下安微马校山期未)已知一元二次方程-3x-5=0的两根为，。，则 XX2-X1-x2 的值为() A.-8 B.-2 C.8 D.2 11.(25-26八年级下·浙江绍兴期末)已知a,b是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根，则 a2-3b-5+ab 的值是() A.3 B.4 C.5 D.15 12.(25-26八年级下福建泉州期末)已知，元是方程-3x-8=0角 Xx2+x1+x2= 的两个根，则 知识点04：利用韦达定理求与两根有送的代数式的值 仅适用于关于，x的对称代数式（交换x位置后式子不变），可通过韦达定理转化为用 a、b、c表示的式子，无需单独求根。常用变形： 11-x+x2 倒数和：2xx 平方和：+=(G+}-2x 差的平方：(（：-=(G+x》-4x 例如：已知方程x2-4十2=0的两根为，x,求+号的值。 6/14 由韦达定理得+名=4，x=2,故+号=4-2×2=12。 13.(2526八年级下浙江宁波期未)设，元是一元二次方程3r+2x-1=0的两个根，则代数式 1,1 的值为() A.2 B.2 n 14,(2526八年级下陕西西安期未)已知5，分别是关于x的方程2-+3=0 两个根，且满足 上+=4，则k的值为一 15.(2526八年级下黑龙江哈尔滨期末)设，是关于x的一元二次方程-X-20=0 两个实数根， 则+心的值为 x2-5x-(m-1)=0 16.(25-26八年级下·北京石景山期末)已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的 实数根。 (1)求m的取值范围： ②记此方程的两个根为，.当”取满足条件的最小整数时，求+ 2的值. 知识点05：已知一根求另一根及参数的值 已知方程的一个根时，可结合韦达定理快速求出另一根及方程中的未知参数，无需代入根 求解。 方法：设另一根为，根据两根之和与两根积的公式列出关于，和参数的方程组求解，求 出参数后需验证二次项系数不为0且△≥0。 例如：己知方程x2十x一8=0的一个根为2，求m的值和另一根。 7/14 2+x3=-m 设另一根为为，则2x,=8，由2x=一8得=一4，代入第一式得2十（一4=一m, 解得=2，此时方程二次项系数a=1≠0，△=4十32=36≥0，符合题意。 17.(25-26八年级下·浙江杭州期末)已知关于x的一元二次方程2x2+mx-8=0的一个根是4，那么它 的另一个根是（) A.-2 B.-1 C.1 D.2 18.(25-26八年级下江苏苏州期末)若关于x的一元二次方程x2+mx-3=0的一个实数根为1，则另一 实数根为() A.-4 B.-3 C.2 D.3 19.(25-26八年级下·福建福州期末)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中 一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于”的方程心+2x+9=0 倍 根方程，则P9的值为() 7 8 A.8 B.9 C.2 D.4 20.(25-26八年级下浙江温州期末)已知关于x的方程x2-4x+c=0 (1)当方程的一个根为2时，求C的值. (2)若方程的两根之积为3，求方程的根. 知识点06：韦达定理成立的条性 韦达定理仅在同时满足以下两个条件时适用： 方程是一元二次方程，即二次项系数a≠0，若a=0则方程退化为一元一次方程，不存在 两个根： 方程有实数根，即判别式△=b2-4ac≥0，若△<0方程在实数范围内无实根，因此不能使 用韦达定理。 例如方程x2+x十2=0的△=1一8=一7<0，初中阶段认为该方程无实根，故不讨论其根与 8/14 系数的关系。 21.(25-26八年级下浙江宁波期末)对于一元二次方程ax+br+c=0,下列说法正确的个数为() ①若方程的两个根为-2和1，则2b+c=0: ②若a+b+c=0,则方程一定有解： ③若ab-bc=0,且c <-1,则方程的两实数解一定互为相反数： ④若am2+bm+c=an2+bn+c=0,则m=n A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 22.(25-26八年级下·安徽宣城期末)已知关于x的一元二次方程 2+(m-3)x+m-5=0 (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根： ②若方程有两个实数根，5，且5+名+2=3 ,求m值 23.(25-26八年级下北京期未)已知关于x的一元二次方程+(2k-)x+-1=0 的两个实数根分别 为，5 (1)求k的取值范围： 2若，满足 +x2=3-xx ,求实数k的值. m+1)x2-2mx+m-1=0 24.(25-26八年级下浙江丽水期末)已知关于x的方程 (1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解； (2)当该方程是一元二次方程时， ①求证：该方程有两个不相等的实数根： x1-X2 ②已知x和x是该方程的两个根，求出2的值. (用含m的代数式表示) 知识点07：韦达定理在构造新方程中的应用 若已知两个数的和为8、积为P,则以这两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）为 9/14 x2-Sx+P=0,该结论由韦达定理逆推可得。 例如：己知两个数的和为5，积为6，则以这两个数为根的方程为x2-5x+6=0。 仅要求掌握二次项系数为1的构造，若二次项系数不为1，可先将方程化为二次项系数为1 的形式再构造。 25.(25-26九年级上·福建泉州期中)有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关， 但是我们能够通过构 造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.请你完成下面两个问题： n m (1)已知实数mn满足3m2-m-2=03m2-m-2=0,求m+m的值. ②)己知实数a、b、c满足2a+2b=c-7,ab=4 -c,且c<7,求c的最大值. 26.(25-26九年级上山东济南期末)【阅读材料】 材料1：一元二次方程ar+br+c=0(a≠0，-4ac≥0 的两个根有如下的关系： b X1+X2=-一，x1·x2=一 a a 材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元 二次方程的有关知识将其解决. 下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数m、n满足m2-m-1=0、n2-n-1=0,且m≠n,则可 将m、n看作是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根. 方法2：利用根与系数的关系逆向构造.例如，如果实数ab满足a+b=3ab=2，则可以将a、b看 作是方程x2-3x+2=0的两实数根。 根据上述材料解决下面问题： )尼知一元二次方程5-10x+1= 0的两根、5，则 1+x2= X1·X2= ”+m ②)已知实数m、n满足3m2-m-2=0,3n2-n-2=0:且m≠n’求mn的值： 10/14 16 3)已知实数a、61满足a+b=1-5,b-57,且1<5：求，的最大值. 27.(25-26八年级下·安徽池州期末)请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦：韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程 +x+c=0（a0:公-4ac之0》的两根写飞有如下的关系：与+巧=合，与名 a i 材料2：如果实数m、n满足m-m-1=0、n-n-1=0,且m≠n,则可利用根的定义构造一元二次 方程x2-x-1=0,将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数m、n满足m+n=-P、mn=9,则可利用韦达定理构造一元二次方程 x2+px+q=0 则此方程一定有m、”两个实数根。 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程x2-x-1013=0的两根分别为a、b,求a+b的值. 2已知不相等的两个实数P、9满足VD+4p-6+G+4g-6=0,求P2-g+5p+9的值. 3)已知实数a、b、c满足a+b+2c=0、ab-c2-c+2=0,求c的最大值. 28。(25.26八年级下广东深圳期末)已知关于x的一元二次方程+r+C=0有两个实数根，5， 若满足片--1 则此类方程叫做“差根方程”，根据“差根方程”的定义，解决下列问题： ()下列是“差根方程”的是一；（填写序号） ①x2-x=0;②x2-4x-5=0 (2)已知关于x的方程x2+2ax=0是“差根方程”，求a的值. 6)已知△1BC是直角三角形，斜边8C的长为万，若M8C的两边4B、AC的长是一个二次项系数 为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”， 11/14 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下·浙江丽水期末)已知矩形的两条邻边长是方程x2-10x+24=0的两个根，则矩形的 周长是() A.10 B.12 C.20 D.24 2。（2526八年级下浙江杭州翔末)已知.是一元=次方程-5-8=0的两个根，则+- 的值为() A.13 B.-13 C.3 D.-3 3。(25-26八年级下浙江杭州期末)已知一元二次方程-4r-5=0 x=m x2=n 两根为 ,一元二次 方程2+号+1=0的两根为5=月 1 5 =n,则值是() 1 1 A.1 B.5 C.5 D.5 4.(25-26九年级上·安徽芜湖阶段检测)已知m,n是方程x2+2025x+7=0的两个根，则 (m2+2024m+6j0m2+2026m+8)=←) A.2017 B.2018 C.2019 D.2020 二、填空题 5.(25-26八年级下陕西西安期末)已知，5是一元二次方程-5r-9=0 的两个不相等的实数根，则 2x+2x2-xx2 的值为 6.(25-26九年级上·四川南充阶段检测)菱形的两条对角线的长是方程x2-7x+6=0的两根，则菱形的 面积是 7,（25-26八年级下北京期末)若2是关于x的一元二次方程r+4ar-2=0(a≠0) 的一个根，则一元 12/14 二次方程(x-1少+4a(x-1)-2=0的根为 8.(25-26八年级下四川成都期末)定义：我们将能使方程x+y 程+=k成立的数对（飞）称为“k的倒立数 11 对”.例如：当x=2,y=2时，2+2=1成立，则(2,2)是“1的倒立数对”.若(m,n)是“1的倒立 2(a-b)b-c) 数对”，且a=b+m,b=c+n,当分式(a-c 的值为整数时，符合条件的m+n的整数值有 _个. 三、解答题 9.(25-26八年级下河北衡水·期末)如果关于x的一元二次方程 x2+bx+c=0(a≠0) 有两个实数根，且 其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程x+x=0的两 个根是=0需=1 则方程+x=0 “邻根方程”. (1)通过计算，判断方程x2-x-6=0是否是“邻根方程”； 2-(m+1)x+m=0 (2)已知关于x的方程 (m是常数)是“邻根方程”，求m的值： 3)若关于x的方程x+br+C=0(b,c是常数)是“邻根方程”，且C=b+2,求b的值. 10.(25-26八年级下江苏苏州期中)定义：若关于x的一元二次方程m+br+c=0(a≠0) 的两根均为 整数，则称该方程为“快乐方程”。对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为F(a,6c)=4如c- 4a· 现探究以下问题： (1)快乐方程”x2-2x-3=0的“快乐数”为一 x2-(2m-1)x+m2-2m-3=0 (2)若关于x的一元二次方程 (m为整数，且1<m<6)是“快乐方程”， 求的值，并求该方程的“快乐数” 13114 6)对于“快乐方程”+bx+c=0(hc为整数)，若其“快乐数”F(,6c)=-”(n为正整数)， 且方程的两根，。满足片-≤4 ,求该方程的“快乐数”所有可能的值. 14/14