2.3 一元二次方程的根与系数的关系 课时练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过基础辨析、公式变形到综合应用的三层设计，强化运算能力与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直接应用根与系数关系求两根和/积|单选题1、填空题11直接考查x₁x₂、x₁+x₂，强化概念理解| |中档层|公式变形与简单综合|单选题2求x₁²+x₂²、填空题13多项式求值，提升符号运算能力| |综合层|含参数方程与几何应用|解答题17结合判别式与整数根、单选题6菱形周长问题，培养推理与模型意识|

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 课时练习 一、单选题 1．若一元二次方程x2-3x=4的两个实数根分别为x1和x2，则x1x2的值为 A．-3 B．3 C．-4 D．4 2．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（　　） A．5 B．10 C．11 D．13 3．已知m，n是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值等于（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 4．关于x的一元二次方程 的两实数根 ，满足 ，则 的值是（　　） A．8 B．16 C．32 D．16或40 5．设方程 的两根分别是 ，则 的值为（　　） A．3 B． C． D． 6．菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程 的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　） A．16 B．12 C．12或16 D．无法确定 7．设 ， 是方程 的两根，则 的值是（　　） A．0 B．1 C．2000 D．4000000 8．已知关于 的一元二次方程 的一个根是2，则另一个根是（　　） A． B． C．3 D． 9．若m，n为方程 的两根，则多项式 的值为（　　） A．-8 B．-9 C．9 D．10 10．已知关于x的方程x2+kx+2＝0的两个根为x1，x2，且 ，则k的值为（　　） A．0 B．2 C．4 D．8 二、填空题 11．若 是方程 的两个根，则 　 　. 12．已知 ， 是一元二次方程 的两根，则 　 　． 13．实数 ， 是一元二次方程 的两个根，则多项式 的值为　 　. 14．已知一元二次方程 的两根分别为m，n，则 的值为　 　. 15．关于x的方程 有两个实数根 .且 .则 　 　. 16．一元二次方程 的两根为 ，则 　 　 三、解答题 17．已知关于x的一元二次方程 . （1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根. （2）如果方程的两个实数根为 ， ，且k与 都为整数，求k所有可能的值. 18．已知关于x的一元二次方程 . （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根 ， 满足 ，求k的值. 19．已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根. （1）求 的取值范围； （2）是否存在实数 ，使得等式 成立?如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由. 20．已知关于 的方程 有两个实数根 、 . （1）求 的取值范围. （2）若 、 满足等式 ，求 的值. 21．已知关于 的一元二次方程 . （1）求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根 ， ，且 ，求 的值. 22．已知关于x的方程 有两实数根. （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为 、 ，且 ，求实数k的值. 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2-3x=4化为一般式为x2-3x-4=0， ∴ x1x2=. 故答案为：C. 【分析】先把一元二次方程x2-3x=4化为一般式，再根据一元二次方程根与系数的关系： x1x2=，即可得出答案. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2， 所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13. 故答案为：D. 【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，由完全平方公式可得x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后整体代入计算即可求解. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：∵m是一元二次方程 的实数根， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵m、n是一元二次方程 的两个实数根， ∴ ， ∴ ， 故答案为：B． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可。 4．【答案】C 【解析】【解答】解：一元二次方程 或 当 时， 原一元二次方程为 ， ， 当 时，原一元二次方程为 原方程无解，不符合题意，舍去， 故答案为：C. 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可求出两根之积为2，建立关于m的方程，解方程求出m的值；分别将m的值代入方程，可求出方程的两根之和和两根之积；然后将代数式转化为含有两根之和和两根之积的代数式，整体代入求值即可. 5．【答案】A 【解析】【解答】由 可知，其二次项系数 ，一次项系数 ， 由韦达定理： ， 故答案为：A． 【分析】本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可． 6．【答案】A 【解析】【解答】解： ， ， ， ， 当 时，由菱形的对角线的一条对角线 和菱形的两边 ， 不能组成三角形，即不存在菱形，舍去； 当 时，由菱形的对角线的一条对角线 和菱形的两边 ， 能组成三角形，即存在菱形， 菱形的周长为 . 故答案为： . 【分析】先求出方程 的两个根，再根据三角形的三边关系判断出正确的菱形的边AB，即可求出菱形的周长. 7．【答案】D 【解析】【解答】解： ∵ ， 是方程 的两个实数根 ∴ ∴ 故答案为：D. 【分析】先求出，再代入计算求解即可。 8．【答案】A 【解析】【解答】解：关于 的一元二次方程 的一个根是2，设另一个根是 ， ， ， 故答案为：A． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可。 9．【答案】D 【解析】【解答】解：由韦达定理可知： ，则 ， 又m为方程 的根， 则 ， 将 代入得： ， 整理得： ， 故答案为：D. 【分析】利用根与系数的关系得 ，根据方程的解的概念得 ，进而代入即可得出答案. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意知，x1+x2＝﹣k，x1•x2＝2． 则由 得， ，即 ． 解得k＝4． 故答案为：C． 【分析】先求出x1+x2＝﹣k，x1•x2＝2，再求出，最后进行求解即可。 11．【答案】-3 【解析】【解答】解：∵ 是方程 的两个根， ∴ ， 故答案是：-3. 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可知 ，据此求解即可. 12．【答案】1 【解析】【解答】解：∵ ， 是一元二次方程 的两根， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为：1． 【分析】先求出 ， ，再代入求解即可。 13．【答案】-1 【解析】【解答】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ∴ ； 故答案为-1. 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，将原式变形为，然后整体代入计算即可. 14．【答案】 【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根分别为m，n ∴ ， ∴ 故答案为： . 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ， ，将原式变形为，然后整体代入计算即可. 15．【答案】3 【解析】【解答】解：由题意得： ， ， ， 化成整式方程为 ， 解得 或 ， 经检验， 是所列分式方程的增根， 是所列分式方程的根， 故答案为：3. 【分析】根据根与系数的关系可得：α+β=2m，αβ=m2-m，根据可得m2-3m=0，求解可得m的值，最后进行检验即可. 16．【答案】 【解析】【解答】∵ ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， = ， = ． 故答案为 ． 【分析】根据根与系数的关系表示出 和 即可； 17．【答案】（1）证明： ∵△= = ∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根 （2）解：∵ ∴ ∴ =0 ∴ ， 或 ， 当 ， 时， ∵k与 都为整数， ∴k=0或-2 当 ， 时， ∴ ， ∵k与 都为整数， ∴k=1或-1 ∴k所有可能的值为0或-2或1或-1 【解析】【分析】（1）先求出b2-4ac，再判断b2-4ac＞0，利用一元二次方程根的判别式，可求解. （2）先求出方程的两个根，再分情况讨论： 当 ， 时； 当 ， 时，分别求出符合题意的k的值. 18．【答案】（1）证明：∵ ， ∵无论 为何实数， ， ∴ ， ∴无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系得： ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，化简得： ， 解得 ，-2. 【解析】【分析】（1）根据根的判别式即可求证出答案； （2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得k与的 、 的关系式，进一步可以求出答案. 19．【答案】（1）解：依题意得： ， ，解得 . （2）解：依题意得： ， ，即 ， ，解得 ， ， 又 ， 存在满足条件的 . 【解析】【分析】（1）利用已知方程有两个实数根可得到b2-4ac≥0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集. （2）利用一元二次方程根与系数求出x1+x2和x1x2，再去分母将已知等式转化为含有x1+x2和x1x2的等式，然后整体代入，建立关于m的方程，解方程求出m的值，利用m的取值范围，可求出符合题意的m的值. 20．【答案】（1）解：∴ ，解得： 且 （2）解：由（1）可得 ，∴ ∴ ， ∴ 解得： （不合题意舍去）， ∴k的值为-1. 【解析】【分析】（1）利用已知方程有两个实数根，可建立关于k的不等式组，然后求出不等式组的解集. （2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1x2，再整体代入，可建立关于k的方程，解方程求出符合题意的k的值. 21．【答案】（1）证明：依题意可得 故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根. （2）解：由根与系数的关系可得： 由 ，得 ，解得 . 【解析】【分析】（1）求出△的值即可证明；（2），根据根与系数的关系得到 ，代入 ，得到关于m的方程，然后解方程即可. 22．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根， ∴△≥0，即 ≥0， 解得：k≤3， 故k的取值范围为：k≤3. （2）解：由根与系数的关系可得 ， 由 可得 ， 代入x1＋x2和x1x2的值，可得： 解得： ， （舍去）， 经检验， 是原方程的根， 故 . 【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝ ≥0，解之可得.（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍. 1 学科网（北京）股份有限公司 $