2.4 一元二次方程的应用- 同步练习 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习围绕一元二次方程应用，通过基础题、易错题、拔高题三级分层，构建从单一情境列方程到动态几何综合应用的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|矩形面积、利润增长率等单一情境|以选择填空为主，强化列方程技能，对应基础考点| |提升层|含靠墙矩形留门等易错题|突出实际情境干扰因素，培养审题能力与数据意识| |拔高层|动点面积、动态几何综合问题|结合图形运动构建方程模型，发展推理能力与创新意识|

2.4 一元二次方程的应用 一、选择题： 1.某中学准备建一个面积为的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短设游泳池的长为，则可列方程为  (    ) A. B. C. D. 2.某商场一月份的利润为万元，三月份的利润为万元若利润月平均增长率为，则依题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 3.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花如图，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地的面积为，求原正方形空地的边长设原正方形的空地的边长为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 4.在一次九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手次．若设参加此会的学生为名，根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 5.化学老师教会了若干名同学“高锰酸钾制取氧气”的实验操作，这些同学回到班上后每个人又教会了同样多名同学，这样恰好全班名同学都会做这个实验了，若设化学老师教会了名同学，依题意可列方程(    ) A. B. C. D. 6.某钢铁厂四月份的产量是万吨，第二季度的产量是万吨，若该厂五、六月份平均每月的产量的增长率均为，则下面所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 7.我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问不加运费文能买多少株椽？设不加运费文能买株椽，则符合题意的方程是  (    ) A. B. C. D. 8.某校有一块正方形的空地需要美化，设计图如图所示，要在空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个相同大小的四分之一圆形的水池，其余部分种植花草若喷泉和水池的半径相同，喷泉边缘到空地边界的距离为，种植花草的区域的面积为，设水池半径为，可列出方程(    ) A. B. C. D. 9.某食品厂生产一种饮料，平均每天售出箱，每箱盈利元为了减少库存，食品厂决定降价销售，若每箱每降价元，则每天可多销售箱，若要保证每天盈利元，设每箱降价元，则根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 10.（拔高题）如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点，的运动时间为  (    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.某服装店销售某种品牌的童装，进价为元件，原售价为元件，每天可以出售件，经市场调查发现，售价每下降元，一天可以多售出件如果每天要获得元的利润，并使顾客获得较多的优惠，那么这种童装每件应降价多少元设每件降价元，此时： 售价为          元，则利润为          元 销售量增加          件，则销售量为          件 根据“要获得元的利润”，列方程得           解列出的方程，得           根据“使顾客获得较多的优惠”推出的值为           因此，这种童装每件应降价          元，即每件的售价为          元 12.已知一个两位数，它的十位数字比个位数字小，个位数字的平方恰好等于这个两位数，则这个两位数是          ． 13.一块矩形绿地的面积为，并且长比宽多，如果设长为，根据题意可列出方程          ． 14.有一块长、宽的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个底面积为的无盖的长方体盒子，根据题意可列方程为          ． 15.我国是世界上第一个成功研发和推广杂交水稻的国家某农业基地现有杂交水稻种植面积公顷，计划逐年增加杂交水稻种植面积，两年后将杂交水稻种植面积增加到公顷，设该农业基地这两年杂交水稻种植面积的年平均增长率为，则可列方程为          ． 16.毕业典礼后，九年级班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张毕业纪念卡，全班送贺卡共张，则九年级班的人数为          ． 17.（易错题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙墙长的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门由其他材料制成，则的长为          ． 18.（拔高题）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达终点后，，两点同时停止运动． 当秒时，线段的长为          ；当          秒时，的面积是． 三、解答题： 19.如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽． 20.九章算术是我国古代数学的经典著作，其“勾股”中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈问户高、广各几何”译文：已知有一扇矩形门的高比宽多尺寸尺寸，门的对角线长为丈丈尺，那么门的高和宽各是多少请解答这个问题． 21.如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时点到墙底端的距离为米 如果梯子的顶端沿墙竖直下滑米，那么点将向外移动多少米 梯子的顶端从处沿墙竖直下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗为什么 22.骑车出行须戴头盔．某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同． 求销售量的月增长率； 若进价为每个元，当售价为每个元时，月销售量为个，售价每上涨元，月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，且尽可能让顾客得到实惠，则每个头盔的实际售价应定为多少元？ 23.（拔高题）如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿边向点运动，且速度为，点从点开始沿，方向运动，且速度为点，同时出发，设出发的时间为．出发后，求的长 当点在边上运动时，出发几秒，为等腰三角形 当点在边上运动时，求能使为等腰三角形的运动时间． 2.4 一元二次方程的应用参考答案 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   解：在中，，，， ． 当运动时间为时，，，， 依题意得：，即， 整理得：， 解得：， 点，的运动时间为． 故选：． 11. 【小题】【小题】 【小题】【小题】或【小题】【小题】  12. 或 13.  14.  15.   16.  17.  18. 【小题】【小题】或 19. 解：设道路的宽为，  根据题意，得  整理得  解得不合题意，舍去，  答：道路的宽为．  20. 门的高是尺，宽是尺  21. 【小题】米【小题】有可能相等理由略 22. 【小题】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意，得，  解得，不合题意，舍去  答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小题】设该品牌头盔的实际售价为元，  依题意，得，  整理，得，解得，，尽可能让顾客得到实惠，舍去，取  答：该品牌头盔的实际售价应定为元．  23. 【小题】解：当时，，． ，． 在中，由勾股定理可得， 即的长为． 【小题】由题意可知，． ，． 当为等腰三角形时， ，， 即，解得， 出发，为等腰三角形． 【小题】在中，由勾股定理可求得． 当点在边上运动时，， ． 为等腰三角形，有，和三种情况： 当时，如图，过点作于点，则在中，求得在中，由勾股定理可得，即，解得，舍去 当时，则，解得 当时，．，，，，即，解得综上可知，当运动时间为或或时，为等腰三角形．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $