第八讲一元二次不等式解法导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦一元二次不等式解法，通过回顾二次函数图像与一元二次方程根的关系，搭建“三个二次”的内在联系，引导学生从已知知识自然过渡到不等式求解，形成完整的学习支架。 资料以题型分层设计为亮点，涵盖基础概念、标准解法、参数反求、恒成立及分类讨论等，结合精选习题培养学生的数学思维与模型观念，帮助学生系统掌握解题逻辑，提升分析和解决问题的能力。

第八讲 一元二次不等式解法 【学习目标】根据三个“二次”之间的关系会解一元二次不等式 【学习重点】会解一元二次不等式 【学习难点】会解一元二次不等式的各种题型 题型必掌握 题型一：一元二次不等式基础概念 1.定义：形如（）的不等式叫一元二次不等式； 2.解集：使不等式成立的所有构成的集合； 3.三个二次关系：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者紧密关联，由抛物线开口、判别式、方程两根确定不等式解集。 1．一般地，形如，或，或，或（其中，x为未知数，均为常数，且_____）的不等式叫作___________，使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的_____. 【答案】 一元二次不等式 解集 2（多选）．下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】对于A：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故A正确； 对于B：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故B正确； 对于C：，当时，不含二次项，故不是一元二次不等式，故C错误； 对于D：，当时不是一元二次不等式，故D错误. 故选：AB 题型二：基础一元二次不等式标准解法 步骤：①化二次项系数为正；②解方程求根；③开口向上，大于取两边，小于取中间；无实根时恒成立 、 无解。 3．不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】利用“三个二次”的关系解二次不等式. 【详解】不等式的解集为或.故选：A. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 4．在下列不等式中，解集为空集的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二次不等式的解法，逐一求解即可. 【详解】解：对于选项A，可变为，其解集为R, 对于选项B，，其解集为， 对于选项C，，其解集为， 对于选项D，，其解集为， 故选D. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法，属基础题. 5（多选）．下列不等式解集为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项 A：二次项系数，判别式， 故 解集为，A 正确； 选项 B：二次项系数，判别式， 不等式等价于 ，不等式的解集为， B 错误； 选项 C：二次项系数，判别式， 解集为，C 正确； 选项 D：二次项系数，判别式， 恒大于 0，不等式无解，D 错误. 题型三：由不等式解集反求参数（韦达定理应用） 若解集为，则，是方程两根，满足韦达定理，利用根与系数关系求。 6．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由不等式的解集是可得，，从而不等式可化为. 【详解】关于的不等式的解集为， ，， 可化为， 即 ， 关于的不等式的解集是.故选：D. 7．已知不等式的解集是，则（    ） A．-10 B．-6 C．0 D．2 【答案】A 【解析】由一元二次方程根与系数的关系求得即可得出结果. 【详解】因为不等式的解集是, 所以的两根为，则，即， 所以. 故选：A 【点睛】本题考查由一元二次不等式的解集求解参数，一元二次不等式的解法，属于基础题. 8．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为________． 【答案】－2，3 【分析】直接根据二次不等式的解与方程的关系可得解. 【详解】不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}， 所以方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别－2，3. 故答案为：－2，3. 9．已知方程的两个实数根分别为，，则不等式 的解集为 _______. 【答案】 【解析】由题意得方程的两根为和1，由根与系数的关系可得，，代入即可得解. 【详解】方程的两根为和1，由根与系数的关系可得， ，， 可变为，即，解得. 故答案为：. 题型四：一元二次不等式恒成立问题 1.对全体实数恒成立：； 2.对全体实数恒成立：； 3.必须讨论退化为一次不等式的特殊情况。 10．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，原不等式化为，显然恒成立； 当时，不等式对一切恒成立，则有 且，即， 解得， 综上可得，. 11（多选）．下列四个不等式中，解集为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由一元二次不等式的性质，结合各一元二次不等式的判别式、函数开口方向即可判断各选项是否为空集. 【详解】A选项，，所以的解集不可能为空集； B选项，，而开口向上，所以解集为空集； C选项，的解集为，所以不为空集； D选项，当且仅当 a = 2时等号成立，而开口向下，所以为空集； 故选：BD 12（多选）．对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】若不等式对于所有实数恒成立，则，即， 的充分不必要条件可以是的子集，故A、C正确. 题型五：不等式有解、无解（空集）判定 1.解集为空集：无解； 2.存在实数使不等式成立（有解）：结合判别式、函数最值分析； 13．一元二次不等式的解集为的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式解集，结合对应二次函数的性质列不等式组，即可得答案. 【详解】由的解集为空，结合对应二次函数性质有. 故选：B 14（多选）．关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合二次函数的性质即可判断． 【详解】对于A，若，解集为，故A正确； 对于B，当时，，解集为，故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则， 显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误； 对于D，若不等式的解集是， 则且方程的两根为， 所以，解得， 所以当时，不等式的解集是，故D正确． 题型六：含参一元二次不等式分类讨论 ①二次项系数是否为 0（一次 、 二次）；②二次项正负（开口方向）；③判别式有无根、两根大小比较。 15（多选）．对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A 、B正确， C、D错误. 16．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 17．已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 【答案】(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 巩固提升： 1．已知且，则“关于的方程有解”是“关于的不等式有解”的（   ） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】只需举反例推翻充分性和必要性即可得出结论. 【详解】若且，则方程有解， 但此时不等式的无解，故充分性不成立， 对于必要性，当且时， 关于的不等式的解为全体实数， 但是关于的方程无实数解，故必要性也不成立. 所以“关于的方程有解”是“关于的不等式有解”的既非充分又非必要条件. 故选：D 2．关于的一元二次不等式与的解集分别为，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式性质，若对应二次函数的开口不同即便对应系数，解集也是不同，而解集相同，若解析为空，则对应系数可以各不相同，据此即可得解. 【详解】由，若异号， 则一元二次不等式与的解集不同， 则“”不是“”的充分条件， 反之当， 如和， 此时不成立， 则“”不是“”的必要条件， 故“”是“”既不充分也不必要条件， 故选：D 3．若实数，，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得a，b，c大小不等，且b在a，c之间，取a=0可排除两个选项，将用表示出即可得解. 【详解】因实数，，满足，则a，b，c大小不等，且b在a，c之间， 取a=0，则，即选项A，C都不正确， 而，即选项D不正确，选项B正确. 故选：B 4．已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集确定，结合韦达定理得到与的关系，逐一判断各选项的正误. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，且方程的两根为. 对于A：二次函数开口向下，故，A正确； 对于B：根据韦达定理：，，结合得，， 将代入不等式，得， 两边同除以得，因式分解为，解得，B正确； 对于C：，由得，即，C正确； 对于D：由得，得， 因，故， 由基本不等式得， 等号成立条件为，即，与矛盾，等号无法取到， 故该式最小值不为，D错误. 5（多选）．已知函数，且的解集为，则（    ） A．函数图象的对称轴为直线 B．且 C．若，则不等式的解集为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于，根据不等式的解集，可得的两根，进而求出对称轴；对于，根据不等式解的结构及韦达定理可判断的范围；对于，求出的值，直接解不等式即可；对于，利用，化简表达式，再利用基本不等式求解即可. 【详解】易知方程的根为和，且， 对称轴为直线，正确； 由韦达定理得，， 则，错误； 若，则， 所以方程可化为， 即恒成立，故不等式的解集为，正确； 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为，正确， 故选： 6．设函数若不等式的解集是，求不等式的解集. 【答案】或 【分析】根据原不等式的解集，利用韦达定理求得的值，由此求得所要求解不等式的具体表达式，进而求得不等式的解集. 【详解】解：因为不等式的解集是，所以 是方程的解， 由韦达定理得：， 故不等式为， 解不等式得其解集为或. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系，考查韦达定理，属于基础题. 7．已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 【分析】(1)等价转化为 和 是方程 的两个实根，从而求解a，b的值； (2)对a作分类讨论，分，；对于二次不等式，要先判断二次项系数 a 的正负，它决定了抛物线的开口方向；再继续对二次方程的2个根作比较大小讨论. 【详解】（1）因为不等式的解集为，所以， 且 和 是方程 的两个实根， 可得，， 解得 ，； （2）当 ，不等式为 ，即 ① 当 时，不等式化为 ，解得 ，解集为 ； ② 当 时，若 ，则 ，不等式解集为； 若 ，则 ，不等式为 ，解集为； 若 ，则 ，不等式解集为 ； ③ 当 时，不等式化为 解得或，解集为 . 综上， 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为 . 8．已知不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】 【详解】根据已知解集可知， 原不等式可化为， 方程的两个根为、， ，． ，，，． 因而不等式可化为． 由，可得 是方程的两个根． 又，． 故不等式的解集为． 9．（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）分别按照和讨论求出实数的取值范围； （2）原不等式可化为，利用基本不等式求解，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）①当，即时， 不等式转化为， 此不等式无解，解集为，满足题设； ②当，即时， ， 解得； 综上：实数的取值范围为. （2）因为，所以， 解得，即， 因为，所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以，故实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八讲 一元二次不等式解法 【学习目标】根据三个“二次”之间的关系会解一元二次不等式 【学习重点】会解一元二次不等式 【学习难点】会解一元二次不等式的各种题型 题型必掌握 题型一：一元二次不等式基础概念 1.定义：形如（）的不等式叫一元二次不等式； 2.解集：使不等式成立的所有构成的集合； 3.三个二次关系：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者紧密关联，由抛物线开口、判别式、方程两根确定不等式解集。 1．一般地，形如，或，或，或（其中，x为未知数，均为常数，且_____）的不等式叫作___________，使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的_____. 2（多选）．下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 题型二：基础一元二次不等式标准解法 步骤：①化二次项系数为正；②解方程求根；③开口向上，大于取两边，小于取中间；无实根时恒成立 、 无解。 3．不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 4．在下列不等式中，解集为空集的是 A． B． C． D． 5（多选）．下列不等式解集为的有（    ） A． B． C． D． 题型三：由不等式解集反求参数（韦达定理应用） 若解集为，则，是方程两根，满足韦达定理，利用根与系数关系求。 6．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 7．已知不等式的解集是，则（    ） A．-10 B．-6 C．0 D．2 8．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为________． 9．已知方程的两个实数根分别为，，则不等式 的解集为 _______. 题型四：一元二次不等式恒成立问题 1.对全体实数恒成立：； 2.对全体实数恒成立：； 3.必须讨论退化为一次不等式的特殊情况。 10．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11（多选）．下列四个不等式中，解集为的是（    ） A． B． C． D． 12（多选）．对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 题型五：不等式有解、无解（空集）判定 1.解集为空集：无解； 2.存在实数使不等式成立（有解）：结合判别式、函数最值分析； 13．一元二次不等式的解集为的充要条件是（    ） A． B． C． D． 14（多选）．关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 题型六：含参一元二次不等式分类讨论 ①二次项系数是否为 0（一次 、 二次）；②二次项正负（开口方向）；③判别式有无根、两根大小比较。 15（多选）．对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 16．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 17．已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 巩固提升： 1．已知且，则“关于的方程有解”是“关于的不等式有解”的（   ） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件 2．关于的一元二次不等式与的解集分别为，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．若实数，，满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 5（多选）．已知函数，且的解集为，则（    ） A．函数图象的对称轴为直线 B．且 C．若，则不等式的解集为 D．的最大值为 6．设函数若不等式的解集是，求不等式的解集. 7．已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 8．已知不等式的解集为，求不等式的解集． 9．（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $