第2章 2.3 第1课时 一元二次不等式的解法-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“一元二次不等式的解法”核心知识点，从根与系数关系推导引入，通过定义、零点概念建立二次函数、一元二次方程与不等式的联系，再结合例题与变式训练形成完整学习支架。 资料以情境推导培养逻辑推理，用分类讨论和图象法提升数学运算，例题与练习梯度设计贴合教学。课中助教师高效授课，课后学生可通过练习回顾强化，弥补知识盲点，发展数学思维与应用意识。

2．3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　一元二次不等式的解法 课程标准 素养解读 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 2．掌握图象法解一元二次不等式 3．会对含参数的一元二次不等式分类讨论 通过求一元二次方程的解集及根与系数关系的应用，提升逻辑推理和数学运算素养 [情境引入] 利用恒等式的变形，推导一元二次方程根与系数的关系如下 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，两根为x1，x2， 令ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)＝ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2， ∴即 [知识梳理] [知识点一]　一元二次不等式　 1．一般地，我们把只含有　一个　未知数，并且未知数的最高次数是　2　的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式是　ax2＋bx＋c>0　或　ax2＋bx＋c<0　(其中a，b，c均为常数，a≠0)． 1.不等式x2＋>0是一元二次不等式吗？ 提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式． 2．一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？ 提示：不可以，若a＝0，就不是二次不等式了． [知识点二]　二次函数的零点　 　一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，我们把使　ax2＋bx＋c＝0　的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点是点吗？ 提示：不是，二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点是方程ax2＋bx＋c＝0的根． [知识点三]　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系　 1．对应关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 　{x|x<x1，或x>x2}　 　　 　R　 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 　{x|x1<x<x2}　 　∅　 　∅　 2.本质：一元二次方程、一元二次不等式是—元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式． 3．应用：①解一元二次不等式；②已知一元二次不等式的解集求参数． 4.当Δ＝0时，不等式ax2＋bx＋c≥0(a>0)与ax2＋bx＋c≤0(a>0)的解集分别是什么？ 提示：R，. [预习自测] 1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集是(　　) A．{x|x<－1} B．{x|x>} C．{x|－1<x<} D．{x|x<－1，或x>} 答案：D 2．下面四个不等式中解集为R的是(　　) A．－x2＋x＋1≥0　　 B．x2－2x＋5＞0 C．x2＋6x＋10＞0 D．2x2－3x＋4＜0 答案：C 3．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象与x轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是　________　. 答案：{x|x>3，或x<－1} 　　　一元二次不等式的解法 [例1] 解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2＋4x＋1>0； (4)－x2＋6x－10>0. [思路点拨]　先求对应方程的解，再依据二次函数的图象写出不等式的解集． [解]　(1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝， 作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示． 由图可得原不等式的解集为. (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝， 作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为 ， (3)∵Δ＝0，∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示． 由图可得原不等式的解集为. (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0， ∵Δ＝－4<0， ∴方程x2－6x＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅. 一元二次不等式的两种解法 (1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(或≥0)或ax2＋bx＋c<0(或≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步： ①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解； ②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象； ③由图象得出不等式的解集． 对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”． [变式训练] 1．解下列不等式： (1)x2－x－6>0； (2)25x2－10x＋1>0； (3)－2x2＋x＋1<0. 解：(1)方程x2－x－6＝0的两根为x1＝－2，x2＝3，结合二次函数y＝x2－x－6的图象知x2－x－6>0的解集为{x|x>3，或x<－2}． (2)方程25x2－10x＋1＝0的两相等实根，x1＝x2＝. 结合二次函数y＝25x2－10x＋1的图象知25x2－10x＋1>0的解集为. (3)方法一：方程－2x2＋x＋1＝0的解为x1＝－，x2＝1，函数y＝－2x2＋x＋1的图象是开口向下的抛物线，与x轴的交点为和(1,0)，如图， 观察图象知不等式的解集为. 方法二：在不等式两边同乘－1，可得2x2－x－1>0，方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－，x2＝1；画出函数y＝2x2－x－1的图象如图所示． 观察图象，可得原不等式的解集为. 　　含参数的一元二次不等式的解法 [例2] 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. [思路点拨]　分a＝0和a≠0两种情况讨论． [解]　①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1. ②当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，解得x<或x>1. ③当a>0时，原不等式化为(x－1)<0. 若a＝1，即＝1时，不等式无解； 若a>1，即<1时，解得<x<1； 若0<a<1，即>1时，解得1<x<. 综上可知，当a<0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为. 含参数的一元二次不等式的解法 [变式训练] 2．解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a<0. 解：方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a<－1时，原不等式解集为{x|a<x<－1}； 当a＝－1时，原不等式解集为∅； 当a>－1时，原不等式解集为{x|－1<x<a}． 　 　　三个“二次”关系的应用 [例3] (1)(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－2或x≥1}，则(　　) A．b＞0且c＜0 B．4a＋2b＋c＝0 C．不等式bx＋c＞0的解集为{x|x＞2} D．不等式cx2－bx＋a＜0的解集为 (2)若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是{x|－<x<}，则a＋b＝　________　. [思路点拨]　设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝. [解析]　(1)依题意可得方程ax2＋bx＋c＝0的根为x＝－2或x＝1，且a＞0， 所以即b＝a，c＝－2a. 对于A，由a＞0可得b＝a＞0，c＝－2a＜0，故A正确；对于B，易知4a＋2b＋c＝4a＞0，故B错误；对于C，不等式bx＋c＞0，即ax－2a＞0，可得x＞2，所以不等式bx＋c＞0的解集为{x|x＞2}，故C正确；对于D，不等式cx2－bx＋a＜0，即－2ax2－ax＋a＜0，即2x2＋x－1＞0，所以(2x－1)(x＋1)＞0，解得x＞或x＜－1，即不等式cx2－bx＋a＜0的解集为，故D错误． (2)由已知得， ax2＋bx＋2＝0的解为－，，且a<0. ∴解得 ∴a＋b＝－14. [答案]　(1)AC　(2)－14 一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 (1)求解方法： 由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集． (2)求解步骤： 第一步：审结论——明确解题方向 如要解cx2＋bx＋a<0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值． 第二步：审条件——挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c. 第三步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a<0的解集． [变式训练] 3．若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}，求关于x的不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解集． 解：∵ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}， ∴a<0且－3和4是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根， ∴，解得. ∴不等式bx2＋2ax－c－3b<0 可化为－ax2＋2ax＋15a<0， 即x2－2x－15<0， ∴－3<x<5， ∴所求不等式的解集为{x|－3<x<5}. 1．集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x2－5x－6≤0}，则(∁RA)∪B＝(　　) A．{x|x＜－2或x＞2}　　 B．{x|2＜x≤6} C．{x|x＜－2或x≥－1} D．{x|2≤x≤3} 答案：C 2．(多选)关于x的不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集不可能是(　　) A.　 B．R C. D．∅ 答案：BCD 3．已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是　________　. 答案：{a|1≤a≤2} 4．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个实根，则实数m的取值范围是　________　. 答案：m≤1或m≥9 5．解关于x的不等式ax2＋(2a－1)x－2＜0. 解：原不等式即为(ax－1)(x＋2)＜0. ①当a＝0时，－x－2＜0，解得x＞－2，故不等式的解集为{x|x＞－2}； ②当a＞0时，＞－2，解原不等式可得－2＜x＜，此时原不等式的解集为； ③当－＜a＜0时，＜－2，解原不等式可得x＜或x＞－2，此时，原不等式的解集为； ④当a＝－时，原不等式即为－(x＋2)2＜0，解得x≠－2，此时，原不等式的解集为{x|x≠－2}； ⑤当a＜－时，＞－2，解原不等式可得x＜－2或x＞，此时，原不等式的解集为. 综上所述，当a＜－时，原不等式的解集为； 当a＝－时，原不等式的解集为{x|x≠－2}； 当－＜a＜0时，原不等式的解集为； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＞－2}； 当a＞0时，原不等式的解集为. 1．不等式x2－3x＋2＜0的解集为(　　) A．{x|x＜－2，或x＞－1} B．{x|－2＜x＜－1} C．{x|x＜1，或x＞2} D．{x|1＜x＜2} 答案：D 2．已知集合M＝{x|－1＜x＜1}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝(　　) A．{x|－1＜x＜1} B. C．{x|－1≤x＜2} D．∅ 答案：A 3．若一元二次方程ax2－2x－4＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|a＞0}　　　　　 B．{a|a＞2} C．{a|a＞1} D．{a|a＞－1} 答案：A 4．设x∈R，使得不等式x2－2x－8＜0成立的一个充分不必要条件是(　　) A．－2＜x＜4 B．x＞－2 C．2≤x≤3 D．x＜4 答案：C 5．(多选)关于x的方程mx2－4x－m＋5＝0，以下说法正确的是(　　) A．当m＝0时，方程只有一个实数根 B．当m＝1时，方程有两个相等的实数根 C．当m＝－1时，方程没有实数根 D．当m＝2时，方程有两个不相等的实数根 解析：AB　[当m＝0时，方程化为－4x＋5＝0，解得x＝，此时方程只有一个实数根，A正确；当m＝1时，方程化为x2－4x＋4＝0，因为Δ＝(－4)2－4×1×4＝0，所以此时方程有两个相等的实数根，B正确；当m＝－1时，方程化为－x2－4x＋6＝0，因为Δ＝(－4)2－4×(－1)×6>0，所以此时方程有两个不相等的实数根，C错误；当m＝2时，方程化为2x2－4x＋3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，所以此时方程无实数根，D错误．故选A、B.] 6．(多选)对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式x2＋ax＋4＞0的解集可能是(　　) A. B．R C．∅ D. 解析：ABD　[对于二次函数y＝x2＋ax＋4，∵Δ＝a2－16，∴当Δ＜0，即－4＜a＜4时，不等式x2＋ax＋4＞0的解集为R；当Δ＝0，即a＝±4时，不等式x2＋ax＋4＞0的解集为；当Δ＞0，即a＜－4或a＞4时，不等式x2＋ax＋4＞0的解集为.] 7．不等式(x＋2)≤0的解集为　________　. 解析：或x2－9＝0，即或x＝±3，即x≤－3或x＝3. 答案：{x|x≤－3，或x＝3} 8．不等式ax2－bx＋c>0的解集是，对于系数a，b，c，有下列结论： ①a>0；②b>0；③c>0；④a＋b＋c>0；⑤a－b＋c>0. 其中正确结论的序号是　________　. 解析：由ax2－bx＋c>0的解集为知a<0，∵＝－×2＝－1<0，∴c>0. 又＝－＋2>0，∴b<0. ∵－1∉，∴a＋b＋c≤0， 又1∈∴a－b＋c>0，故③⑤正确． 答案：③⑤ 9．在解方程x2＋px＋q＝0时，甲同学看错了p，解得方程的根为x1＝1，x2＝－3；乙同学看错了q，解得方程的根为x1＝4，x2＝－2，则方程中的p＝　________　，q＝　________　. 解析：甲同学看错了p，但没有看错q，乙同学看错了q，但没有看错p，所以根据根与系数的关系，得q＝(－3)×1＝－3，p＝－(－2＋4)＝－2. 答案：－2　－3 10．解下列不等式： (1)x2－5x－6＞0； (2)－x2＋7x＞6； (3)(2－x)(x＋3)＜0； (4)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)． 解：(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6. 结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞6}． (2)原不等式可化为x2－7x＋6＜0. 解方程x2－7x＋6＝0，得x1＝1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知， 原不等式的解集为{x|1＜x＜6}． (3)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0. 方程(x－2)(x＋3)＝0两根为2和－3. 结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x＜－3或x＞2}． (4)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2. ∴原不等式等价于9x2－12x＋4＞0. 解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝. 结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为. 11．已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集． 解：由题意得即 ∴不等式bx2＋ax＋1＞0. 就是2x2－3x＋1＞0. 由于2x2－3x＋1＞0⇔(2x－1)(x－1)＞0⇔x＜或x＞1. ∴bx2＋ax＋1＞0的解集为∪(1，＋∞)． 12．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么使不等式4[x]2－36[x]＋45<0成立的x的取值范围是(　　) A. B．{x|2≤x≤8} C．{x|2≤x<8} D．{x|2≤x≤7} 解析：C　[由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x<8.故选C.] 13．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0. 解：原不等式可化为(x－a)(x－a2)＞0. 当a＜0时，a＜a2，解集为{x|x＜a或x＞a2}； 当a＝0时，a2＝a，解集为{x|x≠0}； 当0＜a＜1时，a2＜a，解集为{x|x＜a2或x＞a}； 当a＝1时，a2＝a，解集为{x|x≠1}； 当a＞1时，a＜a2，解集为{x|x＜a或x＞a2}． 综上所述，当a＜0或a＞1时， 解集为{x|x＜a，或x＞a2}； 当0＜a＜1时，解集为{x|x＜a2或x＞a}； 当a＝0时，解集为{x|x≠0}； 当a＝1时，解集为{x|x≠1}． 学科网（北京）股份有限公司 $