第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习与总结-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

跟踪训练1：(1)不等式+！≥0可转化成不等式 x-3 当且仅当x=是，即x=3时等号成立， 组x+1)(x-3)≥0， ·-m<6,解得m>-6,所以实数m的取值范围是mlm> Lx≠3， -6}. 解得x≤-1或x>3. 例4：设税率调低后“税收总收入”为y元 即原不等式的解集为xx≤-1或x>3, (2)不等式5x+1<3可改写为5x+-3<0,即2x=D<0. y240a1+2%):8-%-号m(2+42s-4m)0< x+1 x+1 x+1 ≤8). 可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0,解得-1<x<1. 依题意，得y≥2400m×8%×78%, 所以原不等式的解集为x-1<x<1}. 例：方法一：设方程两根分别为，西，则：+名=m。, 即-2号(2+42：-40)≥2400mx8%×78%, 8,x12 整理，得x2+42x-88≤0，解得-44≤x≤2. =m-7 8 根据x的实际意义，知x的范围为0<x≤2. 因为两根均大于1，所以x1-1>0,x2-1>0, .x的范围是{x0<x≤2}. r4=(m-1)2-32(m-7)≥0， 跟踪训练4：由题意可得=-2x+这≥25， 故有(x1-1)+(x2-1)>0, 化简得x2-36x-405≥0，解得x≥45或x≤-9， (x1-1)(x2-1)>0, 又.x≥0，.x≥45. (m-1)2-32(m-7)≥0， ·.这辆汽车刹车前的车速至少为45km/h. m-1-2>0, 即8 随堂检测重反馈 巴g2g2+1>0, 1.B原不等式可化为3x+04红-≤0解得-写≤< 11-4x≠0， rm≥25或m≤9， 解得m>17, 所以m≥25.故实数m的取值范围是{mlm: 专故其解年为-写≤<宁}放选区 LmER, 2.{x|2<x<3}由不等式ax2+5x+1≤0的解集为 ≥25}. 方法二：令y=8x2-(m-1)x {-方≤≤-写}可知方程a成+5x+1=0有两根 +m-7,则方程两实根大于 分与号，放a=6,则不等式号<0即曾<0等 1 1,等价于二次函数与x轴公 x-3 共点都在x=1右侧，如右 价于3(x-2)(x-3)<0,不等式3(x-2)(x-3)<0的解集 图，则 ,4=(m-1)2-32(m-7)≥0， 为2<x<3,则不等式-号<0的解失为2<<3. -(m-1) 3.{k1-3<k≤1}(1)当k-1=0,即k=1时，-1<0恒成立， 2x82>1, 符合题意.(2)当k-1≠0时，由题意可知 8-(m-1)+m-7>0, {4=(k-1)2+4(k-1)<0,解得-3<k<1,综上可知-3< 「k-1<0, 解得m≥25，∴.实数m的取值范围是mm≥25}. 跟踪训练2：al-2<a<1}方法一：设两根为x1>1,x2<1, k≤1. 则x1-1>0,x2-1<0, 4.4 设定价为x元，销售总收入为y元，则由题意得y= -1)(-1)<0即-(+)+1<0， L4>0, 4=(a2-1)2-4(a-2)>0, (3000-产学×2u0,整理得y=-2002+ 即0,2+(a2-1)+1<0, 1(a2-)2-4(a-2)>0,解得-2<a<1 130000x,因为要使提价后的销售总收入不低于20万元，所以 方法二：由题意得12+(a2-1)+a-2<0,即a2+a-2<0, y=-20002+1B00x≥2000，解得3≤≤4，所以要使 解得-2<a<1. 提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为4元 例3：当a2-1=0时，a=±1， 若a=1,则原不等式可化为-1<0，显然恒成立； 章末复习与总结 若a=-1,则原不等式可化为2x-1<0不是恒成立，所以a =-1舍去； 1作地得士-00千 当a2-1≠0时，因为(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集 为R, ①当=0时本=0,1x 所以只需-1<0， 4=(a-1)2+4(d2-1)<0,解得-子<a<1: ②当1t<0,即<-1时千<0，+<1- 综上，实数a的取值范围为{-号<a≤} ③当1+>0且≠0，即-1<x<0或x>0时，千>0+ 跟踪训练3：因为x>0,所以不等式x2+mx+9>0可化为-m< >1-x. x+9 例2：ax2+(1-a)x-1>0可得(a+1)(x-1）>0,即x+ t≥2 而当x>0时，x+ 6, 日)x-1)<0. -320— 当-。<1时，即a<-1时，不等式的解集为-日<<1} 第三章函数的概念与性质 当、1 >1时，即-1<a<0,不等式的解集 3.1 函数的概念及其表示 为<<-} 3.1.1函数的概念 当-1=1时，即a=-1时，不等式的解集为空集， 第1课时函数的概念（一） 故当a<-1时，不等式的解朱为{-日<<1} 教材梳理 明要点 当-1<a<0时，不等式的解集为{x1<x<- 11 新知初探 a 知识点 当a=-1时，不等式的解集为空集. 实数集任意一个数x确定唯一确定取值范围A 例3：(1)①若m=0,原不等式可化为-1<0，显然恒成立； 函数值{f(x)IxeA ②若m≠0，则不等式m2-mx-1<0恒成立台 预习自测 「m<0, 1.D函数值只有-1,0,1三个数值，枚值域为-1,0,1}. 解得-4<m<0. △=m2+4m<0. 2.{xlx<4 由4-x>0,解得x<4,所以原函数的定义域为 {xlx<4}. 综上可知，实数m的取值范围是{ml-4<m≤0. (2)令y=mx2-mx-1, 题型探究提技能 例1：(1)B(2)C ①当m=0时，y=-1<0显然恒成立； ②当m>0时，若对于xe{xl1≤x≤3}不等式恒成立， 【解析】(1)对于A项，x2+y2=1可化为y=±√1-x,显 只需当x=1时y<0且x=3时y<0即可， 然对任意x∈A,y值不唯一，故不符合；对于B项，符合函数的 所以{-1<0， 定义；对于C项，2∈A,但在集合B中找不到与之相对应的 1 9m31。解得m≤6，所以0<m<6 数，故不符合；对于D项，-1∈A,但在集合B中找不到与之 相对应的数，故不符合. ③当m<0时，函数y的图象开口向下，对称轴为x=2, (2)由函数定义可知，任意作一条直线x=a,则与函数的图象 至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的 若xe{x1≤x≤3时不等式恒成立， 函数 结合函数图象（图略）知只需当x=1时y<0即可，解得 跟踪训练1：ABDABD均满足函数的定义，C选项，同一个分 mER, 数可以对应多个考试号，不满足对于任意的x,都有唯一的y 所以m<0,符合题意， 与其对应，故C选项错误.故选ABD, 综上所述，实数m的取值范围是{mm<石} 例2：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 (3)令u=m2-mx-1=(x2-x)m-1, 化20.{防解得<0.且≠-2 若对满足Im≤2的一切m的值不等式恒成立，则只需 故原函数的定义域为{xIx<-2或-2<x<0}. 当m=-2时u<0且当m=2时，u<0 (2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 即-2(-)-1<0 解得5<x<+ 4-x≥0即x≤4， 2(x2-x)-1<0, 2 2 1x-1≠0，x≠1， 故原函数的定义域为xlx<1或1<x≤4. 所以实数x的取值范围是{： 2 跟踪训练2：C要使函数y=— 有意义，应满足x+1>0, /x+1 4:(1)设每件的售价为：元，依题意得(85×02）≥ >-1,函数y=一的定义域为xx>-1} 25×8, Vx+1 整理得t2-65t+1000≤0，解得25≤t≤40. 3.(0f)=+2)=2号 11 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件的售价最高为 40元 又：g(x)=x2+2,g(2)=2+2=6. (2)依题意得，当x>25时，不等式ax≥25×8+50+- (2 (2)g(3)=32+2=11,[g(3)]=f(11)=1+7=12 6 1 600)+5有解， 跟踪训练3：(1)f(3)=2-3=-1,8(3)=-32+2=-7. 1 等价于当x>25时，a≥150+兰+1 +6+5有解 2mg2]2-822--2+2=4 随堂检测重反馈 1.B图①不满足定义域M=xI0≤x≤2}：图③不满足集合N ={y0≤y≤2}；图④不满足函数的定义，如x=1时对应两个 当且仅当0云，即=30时等号成立，此时0+ 6 ,5 不同的y值；②符合函数定义，定义域为M,值域也恰为N,故 只有一个表示集合M到集合N的函数关系，选B. =10.2,所以a≥10.2. 2.C函数的对应关系中，可以多个不同的自变量对应同一个 故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能 函数值.故选C. 使改革后的销售收入不低于原收人与总投入之和，此时该商品 每件售价为30元 38f)…3)g=g-2 -321047 章末复习与总结 知识体系构建 不等关系与不等式的概念 等式性质 和不等式 等式性质 性质 不等式的基本性质 比较实数的大小（比较法） 一基本不等式的变式与拓展 若a+b=S(定值)，则当a=b 元 基本不等式 最值定理 时，ab取得最大值S2 b≤些 (a>0,b>0) 求最值的常用方法 若ab=P(定值)，则当a=b时】 方程 (a>0,b>0) Q+b取得最小值2，P 等式 求实际应用问题的最值 基本不等 比较实数的大小 式的应用 证明不等式 一元二次不等式的概念 二次函数与 一元二次方 三个“二次”（一元二次方程的根、一元二次函数 程 不等式 的零点、一元二次不等式的解集)之间的关系 一元二次不 利用三个“二次” 不合参数的一元二次不等式的解法 等式的解法 之间的关系 含参数的一元二次不等式的解法 核心考点培优 考点一 比较大小 [方法总结1] 例1设xeR且：≠-1，试比较+女与1-x的大小[方法总结可 比较大小的常用方法 1.作差法：①作差；@变 形；国定号；④结论.其 中关键是变形，常采用 配方、因式分解、有理 化等方法把差式变成积 式或者完全平方式.当两 个式子都为正数时，有 考点二解不等式 时也可以先平方再 例2解关于x的不等式：a2+(1-m)x-1>0(a<0). 作差； 2.作商法：①作商；②变 形；③判断商与/的大 求出方程(ax+1)(x-1)=0的根，分类讨论 小；④结论； 比较大小，然后结合二次函数图象可得结论 3.特值法：若是选择题、 填空题可以用特值法比 D[方法总结2] 较大小；若是解答题， 可先用特值探究思路， 再用作差或作商法判断 注意：用作商法时要注 意商式中分子与分母的 正负，否则极易得出相 反的结论。 048 [方法总结2] 考点三不等式恒成立问题 一元二次不等式可结 例 3.已知不等式mx2-mc-1<0.“己知”没有说明是一元二次不等 合二次函数图象求 式，故需讨论二次项系数是否为零 解，一是注意开口方 (1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围； 向，二是分清含参数 (2)若x∈x1≤x≤3}时不等式恒成立，求实数m的取值范围； 两根的大小 (3)若满足Im|≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取 值范围.上令u=mx2-x-1=(x2-x)m-1可看作是关于m的一次函数 [方法总结3] ●[方法总结3] 不等式恒成立求参数 范围的方法 1数形结合法：利用不 等式与函数的关系将 恒成立问题通过函数 图象直观化； 2分离参数法： 3.变更主元法：根据实 考点四不等式的实际应用 际情况的需要确定合 适的主元，一般知道 例4北京张家口022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会， 某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次 取值范围的变量看作 评估.该商品原来每件的售价为25元，年销售量为8万件 主元 (1)据市场调查，价格每提高1元，年销售量将相应减少2000件，要 使销售的总收入不低于原收入，问该商品每件的售价最高为多 [方法总结4] 少元？ 基本不等式通常用来 (2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决 求最值，一般用Q+b 定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高售价 ≥2ab(a>0,b>0) 解“定积求和，和最 到x元公司拟投人6(：-600)万元作为技改费用，投人50万元 小”问题，用b≤ (地解定和求 作为固定宣传费用，投入万元作为活动宣传费用.试问：当该商 品改革后的销售量α至少达到多少万件时，才可能使改革后的销 积，积最大”问题. 售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件的售价为 定要注意适用的范围 和条件：“一正、二 多少元？ >[方法总结4] 定、三相等”特别是 利用拆项、添项、配 凑、分离变量、减少 变元等，构造定值条 件的方法和对等号能 否成立的验证. 素养等级测评 请同学们认真完成考案（二）》