单元集训卷04　函数-2027年高考数学一轮复习单元集训专题

**基本信息** 聚焦函数概念、性质及应用，通过基础辨析与综合题型，培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，构建从具体到抽象的知识网络。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数概念与性质|选择1-2,4,7,填空12-13|定义域、值域、奇偶性、单调性基础辨析与应用|从函数定义到性质推导，形成概念-性质-应用逻辑链| |基本初等函数|选择6,9|幂函数、指数函数图像与性质综合|结合具体函数深化性质理解，体现特殊到一般思想| |函数应用|选择3,5,填空14,解答17-18|零点问题、图像识别、不等式恒成立|以图像和零点为载体，强化数学建模与直观想象| |抽象函数|选择8,解答19|性质推导与不等式证明|从具体函数到抽象函数，提升逻辑推理与迁移能力|

单元集训卷04　函数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则为（   ） A． B． C．2 D．3 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 5．函数的大致图象为（   ） A．B．C． D． 6．函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．6 7．已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 10．下列说法正确的是（   ） A．函数与是相同的函数 B．函数的最小值为6 C．若，则 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 11．已知奇函数的定义域为，其导函数为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若函数在区间上的值域为，则的最大值为_____． 13．已知函数，则满足的实数的取值范围是___________． 14．若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．计算： (1). (2). 16．已知函数，函数图象与的图象关于对称． (1)若函数是奇函数，求实数的值 (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 17．已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 18．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若在上有且仅有4个不同的零点，求实数的取值范围． 19．已知函数满足任意的实数，，都有，且当时，. (1)求的值，并证明：是奇函数； (2)判断在上的单调性并证明； (3)若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷04　函数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】， . 所以 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数定义域结合根号下非负的条件即可求解. 【详解】由题意：，解得；又且，即， 所以函数的定义域为． 3．已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得的零点为，再由对数函数性质判断即可. 【详解】令的值即的零点． 而，即，， 而，所以， 所以函数的零点就是，． 要比较与的大小，等价于比较2与的大小，等价于比较与大小， 显然，，． 4．已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】由奇偶性结合单调性求得函数解析式，然后解不等式. 【详解】因为是偶函数， 所以，即，所以， 因为，，所以，因此在上是减函数， 所以， 由，得，所以， 所以时，，解得， 即的解集为. 5．函数的大致图象为（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】，函数的定义域为，关于原点对称， 由，所以为奇函数，排除A； 又，排除C和D. 6．函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．6 【答案】B 【分析】先利用对数函数的性质，找到的定点，再利用“1的代换”构造可应用基本不等式的形式，最后运用基本不等式的性质求解即可. 【详解】因为 ，令 （即 ）， 则，所以定点 的坐标为 ， 因为点 在直线 上， 所以， 所以， 所以， 当且仅当 （即 ）时取等号，则的最小值为8. 故选：B. 7．已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合指对数函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】由函数在上都单调递增， 得函数在上单调递增， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以的取值范围是. 8．若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】D 【分析】根据条件结合赋值法计算可得，即可得该函数周期，再利用，则可计算出的值，即可得解. 【详解】因为是奇函数，所以. 由，令，得，故， 由，令，得， 所以，即， 所以，故以4为周期， 由，则，， ，， ，， ，， 所以 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】由题意，结合幂函数的概念，可求得，代入函数解析式，根据幂函数的图像性质，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由幂函数定义可知，系数，解得或， 又因为，所以，故A正确； 对于B选项，当时，，其定义域为， 且满足，所以函数是偶函数，故B错误； 对于C选项，由可知，，， 所以，故C错误； 对于D选项，函数的值域为，故D正确. 10．下列说法正确的是（   ） A．函数与是相同的函数 B．函数的最小值为6 C．若，则 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A，由基本不等式即可求解B，根据配凑法求解析式判断C，由抽象函数定义域的性质即可求解D. 【详解】由，解得，所以的定义域为， 由，解得，所以的定义域为， 又， 故函数与是相同的函数，故A正确； ， 当且仅当时取等号，方程无解，等号不成立，故B错误； 因为，所以，故C正确； 由，得，所以的定义域为，故D正确． 11．已知奇函数的定义域为，其导函数为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】设，求得为奇函数，且，得到是周期为4的周期函数，由，求得，结合，可判定A正确；由，求得，可判定B错误；求得，令，求得，再由，结合，可判定C正确；由，得到，得到，结合，可判定D正确. 【详解】由题意，设，可得函数的定义域为， 则，所以函数为奇函数， 又由，可得，即， 又由，则有，即， 可得，所以是周期为4的周期函数， 对于A中，由，可得， 又由，即，所以，所以A正确； 对于B中，由，可得， 即，所以B不正确； 对于C中，由，可得， 令，可得，解得， 又由，可得，所以是周期为4的周期函数， 可得，所以C正确； 对于D中，由，则由，， 则有，即， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若函数在区间上的值域为，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】函数，当时，取得最小值，， ，解得或， 已知函数在区间上的值域为，则 区间必包含，且区间端点值不超过， 取最大值时，取最小值，取最大值，此时． 13．已知函数，则满足的实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】构造函数，分析其奇偶性和单调性，再解不等式即可. 【详解】令，定义域为， ，所以为奇函数. 因为，在上递增，易知函数在上为增函数， 因为，， 所以原不等式可转化为， 即， 由单调性可得，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 14．若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为_____. 【答案】 【分析】结合函数周期性和解析式可作出与在上的图象，根据图象交点个数可得所求函数零点个数. 【详解】，是周期为的周期函数； 当时，；当时，；， 又，，， 可作出与在上的图象如下图所示， 由图可知：与在上有个交点， 函数在区间内的零点个数为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．计算： (1). (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据指数幂的运算和指数幂与根式的转化计算即可． （2）利用对数的运算性质和换底公式计算即可. 【详解】（1） （2） . 16．已知函数，函数图象与的图象关于对称． (1)若函数是奇函数，求实数的值 (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据给定条件，求出函数，再利用奇函数的定义求解. （2）由（1）的信息，利用对数函数单调性，结合二次函数性质求解. 【详解】（1）函数，由函数图象与的图象关于对称，得， 由为奇函数，得， 则 ，整理得，而，解得， 此时函数定义域为，且，符合题意， 所以实数的值为2. （2）由（1）知， 依题意，不等式 在上恒成立，则 ，即， ，不等式 恒成立， 因此在恒成立， 当时，， ，当且仅当时取等号， 于是，解得，所以的取值范围为. 17．已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2）将对数型方程转化为只有一个正根，就结合判别式的符号分类讨论后可得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，因为， 所以，即， 解得，所以所求解集为； （2）因为， 由，得只有一个正根， 若，满足题意； 当时， 若，解是， 此时方程仅有一个实根为，满足题意； 若，即，此时方程的两根之积为，所以方程两根只能异号， 所以，可得，此时方程只有一个正根，满足题意； 综上，或， 所以实数的取值范围是：. 18．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若在上有且仅有4个不同的零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，则，根据函数为偶函数求出上的函数解析式即可； （2）令，则只需要即可，易得为偶函数，则只需求出函数在上的最大值即可； （3）易得为偶函数，则函数在上有且仅有2个不同的零点，分离参数可得，构造函数，利用双勾函数的性质作出函数的图象即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，所以， 令，则，则， 所以； （2）对任意，不等式恒成立， 等价于对任意，不等式恒成立， 令，则只需要即可， 因为， 所以函数为偶函数， 则要求函数在上的最大值，只需求出函数在上的最大值即可， 当时，， 则， 所以； （3）因为， 所以函数为偶函数， 又，在上有且仅有4个不同的零点， 所以函数在上有且仅有2个不同的零点， 当时，， 令，分离参数可得， 令， 则函数与有两个不同的交点， 由双勾函数的性质可得，函数在上递减，在上递增， 所以， 又当时，，， 如图，做出函数的大致图象， 由图可知，，解得， 所以. 19．已知函数满足任意的实数，，都有，且当时，. (1)求的值，并证明：是奇函数； (2)判断在上的单调性并证明； (3)若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）用特值法可求出的值，再利用奇函数的概念即可证明； （2）利用定义法证明函数的单调性即可； （3）题设不等式恒成立可化简为对任意的恒成立，再利用换元法求出函数的单调性和最值，利用二次函数的图象的单调性结合定义域即可求解. 【详解】（1）因为函数满足任意的实数，，都有， 令，则，所以. 令，则， 所以，所以是奇函数. （2）在上单调递增. 证明：设，且，所以， 又，所以，所以，所以，即，所以在上单调递增. （3）关于的不等式对任意的恒成立，即关于的不等式对任意的恒成立， 由（2）可知在上单调递增， 令，，所以，， 令，， 当，即时，在上单调递增， 所以，解得， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意； 当，即时，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，不符合题意. 综上，的取值范围是. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $