单元集训卷03　函数-2027年高考数学一轮复习单元集训专题

**基本信息** 以函数核心素养为导向，系统整合概念、性质及综合应用，题型分层覆盖高频考点，知识逻辑连贯且突出推理与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数概念与性质|10题|基础概念辨析、奇偶性单调性判断|从函数定义出发，推导奇偶性、单调性等性质，形成概念-性质-应用逻辑链| |函数应用|8题|零点个数、恒成立问题、二分法|结合函数图像与性质，解决零点存在性及参数范围问题，体现几何直观与运算能力| |抽象函数与综合|7题|抽象函数性质、多知识点交汇|通过抽象函数性质推理，整合函数与不等式，培养逻辑思维与数学表达能力|

单元集训卷03　函数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数,则（ ） A． B．1 C． D．2 2．若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 3．已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 4．已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A．-2 B． C． D．2 5．已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（     ） A．函数的值域是 B．函数的函数值不可能为负值 C．若的定义域为，则的定义域为 D．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是 10．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D． 的最小值为 11．已知定义在上的函数满足，且对于任意实数，均有，，则（    ） A． B．为奇函数 C．恒成立 D．在上单调递减 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．求值：__________. 13．若函数的一个正数零点附近的函数值在用二分法逐次计算时，可参考数据如下表:那么方程的一个近似解精确到为________． 14．已知函数在单调递增，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 16．已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围． 17．已知奇函数的定义域为. (1)求实数a，b的值； (2)当时，恒成立，求实数m的取值范围. 18．已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)已知当时，恒有意义． （Ⅰ）求在上的最小值； （Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 19．设，． (1)证明：； (2)令． ①解关于实数a的不等式：； ②若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷03　函数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数,则（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由题设有，而， 故. 2．若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】C 【详解】， ， 为奇函数，， ，， ， ，对于任意的恒成立， ，，故选项C正确. 3．已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【答案】D 【分析】根据分数指数幂的运算规则、函数奇偶性定义、幂函数的单调性与值域，逐一判断各选项正误 【详解】对于A选项：由分数指数幂的运算得，而，二者不相等，故A错误； 对于B选项：由是偶函数得，又幂函数在上单调递增， 且，故，即，B错误； 对于C选项：的定义域为，对任意，有， 故是偶函数，C错误； 对于D选项： 对任意，，因此，值域为，D正确 . 4．已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据函数的周期性和奇偶性即可求解. 【详解】已知是定义在上且周期为的奇函数，所以有， 令，得， 由于是奇函数，有，所以，即，解得， 当时，，由于，所以， 因此，故B正确. 5．已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性以及二次函数的单调性求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以由在上恒成立，可得在上恒成立. 若，即，则在上单调递增，则，得. 若，即，则，化简得，得. 若，即，则在上单调递减，则，得. 综上所述，a的取值范围为. 6．若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，，，四种情况讨论，结合一次函数与对数函数的单调性以及值域即可求解. 【详解】若，则在上单调递减，在上单调递减， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得； 若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，， 的值域不可能为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递增， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得， 综上所述，实数的取值范围为. 7．已知函数的定义域为，，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由可得函数关于点中心对称，再根据在上单调递增，结合对称性可得在上也单调递增，最后转化在一个单调区间上利用单调性比较大小即可. 【详解】解：由，则， 令，则，所以， 因此函数关于点中心对称， 因为在上单调递增，结合又关于点对称， 所以在上也单调递增. 由，则令，所以，即. 因为，在上单调递增， 所以，即. 8．已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助导数确定函数的性质并作出图象，再由函数零点的意义变形，将问题转化为直线与函数图象有4个交点求解. 【详解】当时，在上单调递减，函数值域为， 在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 当时，，求导得，由，得； 由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0 时，，当时，，函数的图象如图： 由，得，则或， 显然方程无解，要函数有4个零点，当且仅当方程有4个解， 即直线与函数的图象有4个交点，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（     ） A．函数的值域是 B．函数的函数值不可能为负值 C．若的定义域为，则的定义域为 D．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】本题围绕函数的核心性质命题，涵盖值域判断、二次函数符号分析、抽象函数定义域求解、复合函数单调性与参数范围，需结合对应知识点逐一验证选项. 【详解】  选项A，当时，函数为常函数，值域为，并非全体实数，故A错误； 选项B，对配方得，平方项非负， 故，函数值恒为正，不可能为负值，故B正确； 选项C，的定义域为，即， 可得，因此的定义域为， 要使有意义，需满足，解得，故C正确； 选项D，内层函数，所以u在R上单调递减. 由复合函数“同增异减”性质得，若在递增，则外层需单调递减，故， 同时需在恒成立，则. 综上所述，可得，故D正确. 10．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D． 的最小值为 【答案】AB 【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义求出判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；取可判断D. 【详解】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，取，则，函数无最小值，所以D错误， 11．已知定义在上的函数满足，且对于任意实数，均有，，则（    ） A． B．为奇函数 C．恒成立 D．在上单调递减 【答案】AC 【分析】利用完全平方公式可计算出，即可得A；结合与可计算出，结合函数性质判断可得B；利用解析式可得C；结合单调性定义举出反例可得D. 【详解】对A：令，，则，， 则，故， 即，故A正确； 对B：， 则，令，定义域为， 且有，故为偶函数， 即为偶函数，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：由，则有，， 即，故在上不单调递减，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．求值：__________. 【答案】 【分析】利用对数的恒等式、换底公式以及对数的运算性质化简可得所求代数式的值. 【详解】原式. 13．若函数的一个正数零点附近的函数值在用二分法逐次计算时，可参考数据如下表:那么方程的一个近似解精确到为________． 【答案】 【分析】通过二分法逐步缩小函数正零点所在的区间，计算区间中点的函数值，直至区间长度小于精度 0.1，进而得到方程的近似解. 【详解】显然是定义域在R上的连续函数，根据函数零点(或方程的解)的二分法近似求法原理， 第1次操作：，有零点的区间长度为； 第2次操作：， 有零点的区间长度为； 第3次操作：， 有零点的区间长度为； 第4次操作：， ，有零点的区间长度为， 此时区间的长度小于精确度；则方程满足要求的近似解. 故答案为： 14．已知函数在单调递增，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】令，分析可知在内单调递增，且在内恒成立，结合二次函数性质运算求解. 【详解】令，原题意等价于函数在单调递增， 可知在内单调递增，且在内恒成立， 则，解得， 所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用代入法可得出的解析式； （2）利用换元法可求出函数的解析式； （3）由得出，结合方程组法可得出函数的解析式. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，令，则， 所以，故； （3）因为①（且），所以②， 联立①②可得. 16．已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围． 【答案】(1)时，在单调递增，在单调递减； 时，在，单调递增，在单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，单调递增，在单调递减 (2) 【分析】（1）对函数求导，利用导数，按的取值范围分情况讨论函数的单调性； （2），令，则问题转化为的图象与直线有两个不同的交点，对函数求导并分析函数单调性，作出大致图象，结合图象求实数a的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为， ， 若，则，，， 在上单调递增，在上单调递减， 若，令，则或， 当，即时，或，， 在，上单调递增，在上单调递减； 当，即时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当，即时，或，， 在，上单调递增，在上单调递减； 综上： 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减． （2）， 令，则问题转化为的图象与直线有两个不同的交点， ，则 ， ， 在上单调递增，在上单调递减， 且时，时，，大致图象如下， 要使的图象与直线有两个不同的交点，则，即， a的取值范围是． 17．已知奇函数的定义域为. (1)求实数a，b的值； (2)当时，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据奇函数定义域关于原点对称，可以求得，再根据根据奇函数定义可知，化简整理，从而问题得到求解； （2）对问题时，恒成立进行转化，转化为当时，恒成立，通过构造函数，再利用函数的单调性求出实数m的取值范围. 【详解】（1）因为函数为定义域为的奇函数， 所以，即， 所以，整理得，解得， 因为函数的定义域为，则，解得. 所以，. （2）由（1）可知， 当时，即恒成立， 可得恒成立，即当时，恒成立， 所以，， 令，，则， 令，，根据对勾函数性质知在区间上单调递增， 所以，所以，则， 则实数m的取值范围为. 18．已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)已知当时，恒有意义． （Ⅰ）求在上的最小值； （Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（1）对数函数的值域为即真数可以取遍所有的正实数，因为的真数结构比较复杂，换元后通过分析真数的取值范围可求解. （2）（Ⅰ）首先根据当时，恒有意义，结合基本不等式求出的取值范围，对二次函数对称轴的位置分类讨论可求得在上的最小值；（Ⅱ）首先根据恒（能）成立问题得到，再求出在上的最小值，根据（Ⅰ）中结果解不等式即可得解. 【详解】（1）因为函数的值域为， 所以真数 需取遍所有的正实数， 令，则，构造函数 ， 所以可将 需取遍所有的正实数问题转化为 在时取遍所有的正实数. 对于 ，图象的开口向上，对称轴方程为， 由 在时取遍所有的正实数知在上的图象与x轴至少有一个交点，所以在上的最小值小于等于0， 所以，且对称轴（否则在上单调递增， ，无法取遍所有的正实数）， 由，解得，所以实数的取值范围是. （2）同（1）中的函数 ， 当时，，恒有意义，即在时恒成立， 当时，恒成立； 当时，将分离参数得， 由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立， 所以 ． （Ⅰ）当对称轴 ，即时，在上单调递增，所以 ， 因为函数是增函数，由复合函数的性质可知当真数取最小值时，取得最小值， 所以在上的最小值为（在时取得）； 当对称轴 ，即时，在上的最小值在顶点处取得， 所以，所以在上的最小值为（在时取得）. 综上，. （Ⅱ）对于任意，存在，使得不等式成立， 即在对应区间上. 因为 ，当时，， 所以，所以在上的最小值为， 所以. 由（Ⅰ）知，当时，在上， ，满足题意； 当时，在上，， 由，解得. 综上，实数的取值范围是． 19．设，． (1)证明：； (2)令． ①解关于实数a的不等式：； ②若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；② 【分析】（1）根据函数解析式，分别计算的表达式，即可证明结论；（2）①先分析单调性及奇偶性定义，利用结论结合函数定义域解不等式； ②令，则在上恒成立，再结合二次函数最值分类讨论求解即可． 【详解】（1）由题意可知 ， 故，即； （2）①由题意得，定义域为 ，为奇函数. 当时，易知单调递增，则在单调递减， 为奇函数，在单调递减， ， 又有为奇函数， 在单调递减，由定义域知 当时，，不等式恒成立； 当时， ， ，解得； 当时， ，此时，与题意矛盾，舍去. 综上： ②当，单调递减，则， ，即 设，则在上恒成立， 当，即时，，解得，； 当，即时，，解得，； 综上，实数的取值范围为． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $