30.2三角形的内切圆 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形的内切圆与内心概念及尺规作图，通过复习“点在圆上（外接圆）”自然过渡到“直线与圆相切（内切圆）”，搭建新旧知识衔接的学习支架，引导学生逐步深入。 其亮点在于以“三角形铁皮截圆”问题驱动探究，结合中考真题强化应用，课堂小结对比外接圆与内切圆结构化梳理。通过几何直观发展数学眼光，以推理能力培养数学思维，助力学生提升应用意识，教师可高效开展教学。

人教版数学九年级上册 第三十章 直线与圆的位置关系 30.2 三角形的内切圆 学习目标 1 2 了解三角形的内心、内切圆的概念；能用尺规作图：作三角形的内切圆. 应用内切圆的知识解决问题，发展应用意识. 目录 1 4 2 3 巩固练习 典例分析 复习引入 合作探究 5 6 当堂检测 课堂小结 7 布置作业 1 复习引入 点在圆上 直线与圆相切 三角形的三个顶点在圆上 三角形的三条边与圆相切 ？ 三角形的外接圆 分析：假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的圆心到三角形三边的距离都等于 .如何确定这个圆的圆心和半径呢? 2 合作探究 半径 思考 如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且所截的圆与三角形的三条边都相切? 因为三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到 的距离相等，所以只需作出 ， ，它们的 即这个圆的圆心， 即这个圆的半径. 三条边 三角形 两个内角的平分线 交点 圆心到任意一边的距离 作法：(1)如图，分别作∠B，∠C的平分线BM，CN，设它们 相交于点I.那么点I到AB，BC，CA的距离都相等； 2 合作探究 思考 用直尺和圆规作出与△ABC的三条边都相切的圆. (2)过点I作BC的垂线，垂足为D.； (3)以点I为圆心，ID为半径作圆， 则⊙I与△ABC的三条边都相切， ⊙I即所求作的圆. 2 合作探究 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形. 直线与圆相切 三角形的三条边与圆相切 三角形的内切圆 如图， 是△ABC的内切圆， 点I 是△ABC的 . △ABC是⊙I的 . ⊙I 内心 外切三角形 3 典例分析 例 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE的长. x x 9-x 9-x 13-x 13-x 解：设AF=x，则AE=x. 则BD=BF=AB-AF=9-x， CD=CE=AC-AE=13-x. 由BD+CD=BC，可得 (9-x)+(13-x)=14. 解得x=4. 因此AF=4，BD=5，CE=9. 中考演练(2022湖南益阳) 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（　） A．I到AB，AC边的距离相等 B．CI平分∠ACB C．I是△ABC的内心 D．I到A，B，C三点的距离相等 3 典例分析 D 中考演练(2023山东聊城) 如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为（    ）    A．15° B．17.5° C．20° D．25° 3 典例分析 C 中考演练(2022黑龙江绥化) 已知：△ABC． (1)尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)如果△ABC的周长为14 cm，内切圆的半径为1.3 cm，求△ABC的面积． 3 典例分析 解：(1)如图所示，O为所求作点， 3 典例分析 解：(2)如图所示，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC， ∵内切圆的半径为1.3 cm， ∴OD=OF=OE=1.3， ∵三角形ABC的周长为14， ∴AB+BC+AC=14， 则S△ABC=S△AOB+S△COB+S△AOC=AB⋅OD+BC⋅OE+AC⋅OF =×1.3×(AB+BC+AC)=×1.3×14=9.1. 解：设AE=AH=x，BE=BF=y，CF=CG=m，DG=DH=n， ∴AB+DC=AE+BE+CG+DG=x+y+m+n， AD+BC=AH+DH+BF+CF=x+n+y+m， ∴AB+DC=AD+BC. 4 巩固练习 1. 如图，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E，F，G，H. 求证:AB+DC=AD+BC. x x y y m m n n 解：∵点O是△ABC的内心， ∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB. ∵∠ABC=50°，∠ACB=75°， ∴∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=37.5°， ∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=117.5°. 4 巩固练习 2. 如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心. 求∠BOC的度数. 解：设△ABC的内心为O.连接OA，OB，OC. 过点O分别作AB，BC，CA的垂线，垂足分别为D，E，F. ∴OD=OE=OF=r. ∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△COA =AB×OD+BC×OE+CA×OF =(AB+BC+CA)×r=lr. 4 巩固练习 3. △ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l.求△ABC的面积.(提示:设△ABC的内心为O.连接OA，OB，OC.) 4 巩固练习 4.将三角形ABC按下列方式折叠得到线段AD，其中满足三角形ABC的内心一定在AD上的是（     ） A． B． C． D． A 4 巩固练习 5.如图所示，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=8 cm，BC=6 cm，则其内心O和外心M之间的距离是（    ） A．10 cm B．5 cm C． cm D．2 cm C 5 当堂检测 1.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（    ） A． B． C． D． B 5 当堂检测 2.如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF=55°，则∠A的度数是________． 70° 解：连接OD、OF，如图， ∵∠DEF=55°，∴∠DOF=2∠DEF=110°， ∵⊙O是△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC 分别相切于点D、E、F， ∴OD⊥AB，OF⊥AC， ∴∠ADO=∠AFO=90°， ∴∠A+∠DOF=180°， ∴∠A=180°−110°=70°． 5 当堂检测 3.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，⊙O是△ABC的内切圆，与三 边分别相切于点D，E，F．若BD=1，则弧EF的长为______，（结果保留π） 解：连接OD，OE，OF， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°，OD=OE=OF. ∵∠B=90°， ∴四边形DBEO为正方形，∠C=90°−∠A=60°， ∴OE=DB=1，∠EOF=360°−∠OEC−∠OFC−∠C=120° ∴弧EF的长==． 6 课堂小结 点在圆上 直线与圆相切 三角形的三个顶点在圆上 三角形的三条边与圆相切 三角形的内切圆 三角形的外接圆 6 课堂小结 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 切线的性质 切线的判定 切线长定理 三角形的内切圆 7 布置作业 A B 习题30.2：第1，2，3题. 习题30.2：第4题. $