30.2三角形的内切圆（课件）2026-2027学年人教九年级数学上册

该初中数学课件围绕“三角形的内切圆”展开，涵盖定义、内心性质及尺规作图，通过设计三角形绿地圆形喷泉水池的实际问题导入，以角平分线性质为支架，连接旧知与新知。 其亮点在于用现实情境培养数学眼光，通过切线长定理推理发展数学思维，以符号公式强化数学语言。采用对比表格和分层练习，帮助学生系统掌握，提升教师教学效率与学生探究能力。

第三十章 直线与圆的位置关系 30.2 三角形的内切圆 1.了解三角形的内切圆、内心，发展抽象能力. 2.能用尺规作图：作三角形的内切圆，发展空间观念. 学习目标 2 某市规划局有一块三角形的公共绿地，现在要向全市设计师公开招标，设计一个圆形喷泉水池，要求如下： 很多设计师投了方案，但都被驳回了. 因为他们的圆心位置不对，导致喷泉要么偏向一边，要么离某条人行道太远. 现在，你们就是最终入围的设计师团队，如何帮市政府找到那个“刚刚好”的圆心呢？ ① 水池必须完全建在绿地内部； ② 水池要尽可能大； ③ 水池的边缘要与三条人行道（三角形的三条边）都恰好相切. 课堂导入 A B C 假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的圆心到三角形三边的距离都等于半径. 如何确定这个圆的圆心和半径呢？ · 思考：如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且所截的圆与三角形的三条边都相切？ 因为三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等，所以只需作出三角形两个内角的平分线，它们的交点即这个圆的圆心. 圆心到任意一边的距离即这个圆的半径. 知识点 正多边形的画法 新知讲解 如图 ，分别作 ， 的平分线 ，，设它们相交于点 ，那么点  到 ，， 的距离都相等. 过点  作  的垂线，垂足为 . 以点  为圆心， 为半径作圆，则  与  的三条边都相切.  即所求作的圆. A B C M N I D · 知识点 正多边形的画法 新知讲解 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心.这个三角形叫作圆的外切三角形. 注意 一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆. 知识点 正多边形的画法 新知讲解 三角形内心的性质： (1)三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于三角形内切圆的半径. (2)三角形的内心与三角形三个顶点的连线分别平分三角形的三个内角. 知识点 正多边形的画法 新知讲解 如图，△ABC 的内切圆 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F，且 AB = 9，BC = 14，CA = 13. 求 AF，BD，CE 的长. 例1 解：设 AF = x，则 AE = x. 则 BD = BF = AB AF = 9 x. CD = CE = AC AE = 13 x. 由 BD + CD = BC， 可得 解得 因此 知识点 正多边形的画法 新知讲解 名称 三角形的外心 三角形的内心 形成 三角形的外接圆圆心，即三角形三边垂直平分线的交点. 三角形的内切圆圆心，即三角形三条角平分线的交点. 图形 性质 外心到三角形三个顶点的距离相等， 即 OA=OB=OC. 内心到三角形三条边的距离相等，即 ID=IE=IF. 位置 外心不一定在三角形的内部. 内心一定在三角形的内部. 角度关系 ∠BOC=2∠BAC. ∠BIC=90°+ ​∠A. 思考：你能说出三角形外心、内心的区别吗？ 知识点 正多边形的画法 新知讲解 如图，点  是  的内切圆的圆心，若 ， 则  的度数为（ ） A.  B.  C.  D.  跟踪训练 解析：∵ 点  是  的内切圆的圆心， ∴  分别平分 ， ∴ ，，， ∴ . C 知识点 正多边形的画法 新知讲解 1. 如图，四边形 ABCD 的各边与  分别相切于点 E，F，G，H. 求证：AB+DC=AD+BC. · B F C A D H E G O 证明：∵ 四边形  的各边与  分别相切于点 ， ∴ ， ∴  . 随堂练习 2. 如图，在  中，，，点 O 是  的内心. 求 ∠BOC 的度数. 解：∵ 点  是  的内心， ∴  分别平分 ， ∴ ， ∴  ∵ ， ∴ . 随堂练习 3. △ABC 的内切圆半径为 r，△ABC 的周长为 l. 求△ABC 的面积. （提示：设 △ABC 的内心为 O，连接 OA，OB，OC.） 解：如图所示，设点  是  的内心，连接 ， 过点  分别作 ，垂足分别为 ，则 OD=OE=OF=r， OD⋅ABOFBCOEAC (AB+BC+AC) rl 随堂练习 4. 如图所示，王奶奶有一块三角形的布料，∠ABC=90°，她要裁一个圆片，已知AB=60 cm，BC=80 cm，为了充分地利用这块布料，使剪下来的圆片的直径尽量大些，她应该怎样裁剪？这个圆的直径是多少？ 思路引导：在三角形中截下的最大的圆就是这个三角形的内切圆. 随堂练习 解：方法一（利用三角形面积公式）如图所示，设点  为 ABC 内切圆的圆心，内切圆的半径为r cm，D，E，F 分别为  与边 AC，AB，BC 的切点，连接 OA，OB，OC，OD，OE，OF. ∵ AB=60 cm，BC=80 cm，∠ABC=90°， ∴ 100 (cm). ∵ ， ∴ AB⋅BCABBCAC， 即 ， 解得 r=20， ∴ 2r=2×20=40，故这个圆的直径是40 cm. 随堂练习 方法二（构造正方形，利用切线长定理）如图所示，设点 O 为 △ABC 内切圆的圆心，内切圆的半径为r cm，E，F，D 分别为  与边 AB，BC，AC 的切点，连接 OE，OF， 则 OE=OF=r，OE⊥AB，OF⊥BC. ∴ ∠OEB=∠B=∠OFB90°， ∴ 四边形 OEBF 是矩形. 又 OE=OF=r， ∴ 四边形 OEBF 是正方形， ∴ BE=BF=r. 由切线长定理可知 AE=AD，CD=CF， ∴ ABAE+BCCF=AB+BCAC=2r. 在  中，由勾股定理，得 AC=100 cm， ∴ AB+BCAC=60+80100=40 (cm)，∴ 2r=40 cm. 王奶奶应该剪出这个三角形的内切圆，这个圆的直径是 40 cm. 随堂练习 三角形的内切圆 三角形的内切圆 三角形的内心 尺规作图 定义：三角形三条角平分线的交点. 性质：(1)三角形的内心到三角形三条边的距离相等； (2)三角形的内心与三角形三个顶点的连线分别平分三角形的三个内角. 定义：与三角形各边都相切的圆 步骤： (1)定圆心：作三角形任意两内角的平分线，其交点为圆心； (2)定半径：以圆心到任意一边的距离为半径画圆. 课堂小结 $