第六章 统计 单元测试-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 北师大版高中数学第六章统计单元测试，全面覆盖描述统计核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，结合现实情境考查数据处理与分析能力，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|中位数、分层抽样、方差变换等|结合演讲比赛打分统计图（第6题），考查数据直观分析，体现数学眼光| |多选题|3/18|数据变换的统计量、分层抽样总方差|第11题综合分层抽样两部分数据的方差计算，培养推理能力| |填空题|3/15|分层抽样人数、标准差比较、总方差|第14题计算两班成绩总方差，强化运算能力与数据观念| |解答题|5/77|分位数、频率分布直方图、实际问题方差|以全红婵跳水得分（第16题）、环保竞赛（第18题）为情境，考查模型应用与数据分析，落实数学语言表达|

北师大版高中数学第六章统计单元测试 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．样本数据16，24，14，10，20，12，14的中位数为（   ） A．12 B．14 C．16 D．20 2．样本数据的第三四分位数是（    ） A．21 B．26 C．39 D．64 3．某公司芯片研发、软件开发、人工智能这三个部门的员工人数分别为180，240，360．现采用分层随机抽样的方法从这三个部门的员工中抽取39人，调研员工对工作的满意度，则人工智能部门被抽取的人数为（     ） A．6 B．12 C．18 D．24 4．设一组样本数据的极差为，方差为，若数据的极差为，则数据的方差为（    ） A．0.02 B． C．0.2 D．0.4 5．已知某9个数的平均数为3，方差为2，现加入一个新数据3，此时这10个数的平均数和方差分别记为和，则（    ） A． B． C． D． 6．某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分100分），得到如图所示的统计图，则（    ） A．甲得分的极差大于乙得分的极差 B．甲得分的中位数小于乙得分的中位数 C．甲得分的上四分位数大于乙得分的上四分位数 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 7．设，现有一组数据2，3，4，4，m，n的平均数为4，则这组数据的方差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，甲同学：中位数为22，众数为20；乙同学：中位数为25，平均数为22；丙同学：第40百分位数为22，极差为2；丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8．根据四名同学的统计结果，可以判断出四位同学记录的所有数据一定都不小于20的人数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知一组大小不全相等的数据的平均数为，方差为，标准差为，极差为，若，则下列关于数据的结论正确的是（    ） A．标准差为 B．极差为 C．平均数为 D．方差为 10．已知数据，，，（且）的平均数为，方差为，中位数为，极差为；数据，，，的平均数为，方差为，中位数为，极差为，则（    ） A． B． C． D． 11．[多选]已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据（，2，…，m）的平均数为，方差为；第二部分样本数据（，2，…，n）的平均数为，方差为．设，，则以下说法正确的是（    ） A．设总样本的平均数为，则 B．设总样本的平均数为，则 C．设总样本的方差为，则 D．设总样本的方差为，若，，则 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12．某学校有四个社团，分别为汉服社、话剧社、书法社、摄影社，现按人数之比依次为，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，已知话剧社抽取了人，则摄影社抽取的人数为__________ 13．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0，1，0，2，2，0，3，1，2，4 乙：2，3，1，1，0，2，1，1，0，1 分别计算平均数和标准差，从计算结果看，性能更好的机床是______． 14．甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为76分，方差为96分；乙班的平均成绩为85分，方差为60分．那么甲、乙两班全部90名学生的方差是___________分． 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．某单位为了了解退休职工生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查，满分100分，并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下： 分数 77 79 81 84 88 92 93 人数 1 1 1 3 2 1 1 试回答以下问题： (1)求抽取的10名退休职工问卷得分的分位数： (2)求抽取的10名退休职工问卷得分的平均数和方差． 16．在2024年世界泳联跳水世界杯蒙特利尔站和柏林站女子10米台跳水决赛中，全红婵奉献了高水准的精彩表现，在决赛中的五个动作惊艳了全世界.在这两场决赛中，7名裁判给选手的五个跳水动作打分，两站裁判对全红婵的打分记录如下：（为了方便计算，采取分数四舍五入取整） 组（蒙特利尔站）：80，80，82，78，93. 组（柏林站）：81，80，86，99，86. (1)请写出这10个得分的众数、极差以及，两组各自的平均成绩； (2)请你分别计算两站比赛得分的方差，并根据计算结果分析两站比赛中，哪一站全红婵发挥更稳定？ 17．某学校计划依托人工智能大模型搭建答疑系统，帮助学生解决学习中遇到的问题.该校利用该人工智能大模型完成100份不同模拟试卷的作答，收集作答准确率并整理数据，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值，并计算准确率在内的频数； (2)估计这100份试卷准确率的众数和中位数； (3)若要从这100份试卷中，按比例采用分层随机抽样的方法抽取20份进行深入分析，求应从准确率在，这两组中分别抽取的试卷份数. 18．树人中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前25%的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； (3)若成绩落在的平均成绩是57，方差是7；成绩落在的平均成绩为69，方差是4，求这两组数据的总平均数和方差． 19．为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差 $ 北师大版高中数学第六章统计单元测试 一、单选题 1．样本数据16，24，14，10，20，12，14的中位数为（   ） A．12 B．14 C．16 D．20 【答案】B 【详解】将数据从小到大排序为10，12，14，14，16，20，24，样本容量，故该样本数据的中位数为14． 2．样本数据的第三四分位数是（    ） A．21 B．26 C．39 D．64 【答案】D 【分析】先将样本数据从小到大排序，再依据75%分位数（第三四分位数）的计算规则即可求得结果. 【详解】先对样本数据从小到大排序21，26，39，45，55，64，68，样本容量； ； 因此该组数据的第三四分位数为第6项64. 3．某公司芯片研发、软件开发、人工智能这三个部门的员工人数分别为180，240，360．现采用分层随机抽样的方法从这三个部门的员工中抽取39人，调研员工对工作的满意度，则人工智能部门被抽取的人数为（     ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【分析】根据分层抽样方法求解即可. 【详解】抽样比为， 所以人工智能部门被抽取的人数为. 4．设一组样本数据的极差为，方差为，若数据的极差为，则数据的方差为（    ） A．0.02 B． C．0.2 D．0.4 【答案】D 【分析】通过极差确定，再根据方差的线性变换性质，即可求解. 【详解】设原样本数据的最大值为，最小值为，则， 所以数据的极差为， 所以， 根据方差的线性变换性质可知，数据的方差为. 5．已知某9个数的平均数为3，方差为2，现加入一个新数据3，此时这10个数的平均数和方差分别记为和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】加入等于原平均数的新数据会使平均数保持不变，但由于数据总数增加且新数据不产生新的偏差，从而导致方差减小. 【详解】由题意得原数据的总和为，加入后数据总和变为， 此时这个数的平均数，故AB错误， 又，加入后平方和变为， 此时这个数的方差，故C错误，D正确. 6．某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分100分），得到如图所示的统计图，则（    ） A．甲得分的极差大于乙得分的极差 B．甲得分的中位数小于乙得分的中位数 C．甲得分的上四分位数大于乙得分的上四分位数 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】C 【详解】由图可知，甲同学的得分为， 乙同学的得分为， 将两人的得分从小到大排列： 甲：； 乙：. 对于A，甲得分的极差为，乙得分的极差为， 因为，所以甲得分的极差小于乙得分的极差，故A错误； 对于B，甲得分的中位数为，乙得分的中位数为， 因为，所以甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故B错误； 对于C，因为，所以上四分位数为排序后的第个数据. 所以甲得分的上四分位数为，乙得分的上四分位数为， 因为，所以甲得分的上四分位数大于乙得分的上四分位数，故C正确； 对于D，甲得分的平均数为， 乙得分的平均数为， 给乙得分统一加2，得， 显然比甲的得分更分散，所以甲得分的方差小于乙得分的方差，故D错误. 7．设，现有一组数据2，3，4，4，m，n的平均数为4，则这组数据的方差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由平均数条件得出m与n的关系，将方差表示为关于m的二次函数，结合m的取值范围求二次函数的值域即可. 【详解】由题意，数据共6个，平均数为4，故数据总和为， 因此 ，化简得，即， 即 对称轴为，且： 所以当时，， 又因为时，时， 所以方差的取值范围是. 8．甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，甲同学：中位数为22，众数为20；乙同学：中位数为25，平均数为22；丙同学：第40百分位数为22，极差为2；丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8．根据四名同学的统计结果，可以判断出四位同学记录的所有数据一定都不小于20的人数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】假设5个正整数数据分别为，结合中位数、众数、平均数、百分位数、极差、方差的性质，判断能否小于即可得. 【详解】假设5个正整数数据分别为； 对甲：由题意可得，，故所有的数都不小于，故甲符合； 对乙：若5个正整数数据分别为、、、、， 此时中位数为，平均数为，但存在数据小于，故乙不符； 对丙：，故，即，， 则，则， 则，故，故所有的数都不小于，故丙符合； 对丁： ， 故，整理得， 解得，由为正整数，故， 故所有的数都不小于，故丁符合； 综上所述：四位同学记录的所有数据一定都不小于20的人数为人. 二、多选题 9．已知一组大小不全相等的数据的平均数为，方差为，标准差为，极差为，若，则下列关于数据的结论正确的是（    ） A．标准差为 B．极差为 C．平均数为 D．方差为 【答案】CD 【详解】由题意得，平均数为，方差为，标准差为，极差为， 故AB错误；CD正确. 10．已知数据，，，（且）的平均数为，方差为，中位数为，极差为；数据，，，的平均数为，方差为，中位数为，极差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据均值，方差，中位数，极差的计算公式，注意中位数、极差的计算需先排序，再逐一比较即可． 【详解】对于A，根据题意，所以，故A正确； 对于B，， ， 所以 ，故，故B错误； 对于C，当时，，此时，故C错误； 对于D，因为，可得，故D正确， 故选：AD． 11．[多选]已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据（，2，…，m）的平均数为，方差为；第二部分样本数据（，2，…，n）的平均数为，方差为．设，，则以下说法正确的是（    ） A．设总样本的平均数为，则 B．设总样本的平均数为，则 C．设总样本的方差为，则 D．设总样本的方差为，若，，则 【答案】AD 【分析】对于A，根据分层抽样均值的求法，计算出，再比较即可；对于B，举例说明即可判断；对于C，由分层抽样方差公式计算出，结合实例判断；对于D，计算出即可判断． 【详解】对于A选项，因为， 所以，， 即，A正确； 对于B选项，不妨设第一部分样本数据为1，1，1，1，1，则，， 设第二部分样本数据为，9，则，，所以，B不正确； 对于C选项，不妨设第一部分样本数据为，，0，1，2，则，， 设第二部分样本数据为1，2，3，4，5，则，， 所以总样本的平均数， 所以，C不正确； 对于D选项，若，，则总样本的平均数， 所以，D正确． 三、填空题 12．某学校有四个社团，分别为汉服社、话剧社、书法社、摄影社，现按人数之比依次为，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，已知话剧社抽取了人，则摄影社抽取的人数为__________ 【答案】 【详解】汉服社、话剧社、书法社、摄影社的人数之比依次为，所以，得． 则摄影社抽取的人数为． 13．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0，1，0，2，2，0，3，1，2，4 乙：2，3，1，1，0，2，1，1，0，1 分别计算平均数和标准差，从计算结果看，性能更好的机床是______． 【答案】乙机床. 【详解】因为，； ， . 因为，. 所以性能更好的机床是乙机床. 14．甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为76分，方差为96分；乙班的平均成绩为85分，方差为60分．那么甲、乙两班全部90名学生的方差是___________分． 【答案】 【分析】根据方差公式求解即可. 【详解】设甲班50人的成绩为，则其平均成绩， 设乙班40人的成绩为，则其平均成绩， 则甲乙两班全部90名学生的平均成绩为； 设甲班50人成绩的方差为，所以 则， 设乙班40人成绩的方差为，则， 设甲乙两班全部90人成绩的方差为，则 故答案为：. 四、解答题 15．某单位为了了解退休职工生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查，满分100分，并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下： 分数 77 79 81 84 88 92 93 人数 1 1 1 3 2 1 1 试回答以下问题： (1)求抽取的10名退休职工问卷得分的分位数： (2)求抽取的10名退休职工问卷得分的平均数和方差． 【答案】(1)86分 (2)85分，25 【分析】（1）依题意可得职工问卷得分的分位数为第个与第个数据的平均数，从而计算可得； （2）根据平均数、方差公式计算可得. 【详解】（1）∵， ∴抽取的10名退休职工问卷得分的分位数为第个与第个数据的平均数， 即， 故抽取的10名退休职工问卷得分的分位数为86分. （2）抽取的10名退休职工问卷得分的平均数为分. 抽取的10名退休职工问卷得分的方差 16．在2024年世界泳联跳水世界杯蒙特利尔站和柏林站女子10米台跳水决赛中，全红婵奉献了高水准的精彩表现，在决赛中的五个动作惊艳了全世界.在这两场决赛中，7名裁判给选手的五个跳水动作打分，两站裁判对全红婵的打分记录如下：（为了方便计算，采取分数四舍五入取整） 组（蒙特利尔站）：80，80，82，78，93. 组（柏林站）：81，80，86，99，86. (1)请写出这10个得分的众数、极差以及，两组各自的平均成绩； (2)请你分别计算两站比赛得分的方差，并根据计算结果分析两站比赛中，哪一站全红婵发挥更稳定？ 【答案】(1)众数为80，极差为，A组的平均成绩为，B组的平均成绩为. (2)A组的方差为，B组的方差为，蒙特利尔站全红婵发挥更稳定. 【详解】（1）由题意，这10个分数的众数为80， 极差为， A组的平均成绩为， B组的平均成绩为. （2）A组的方差为， B组的方差为， 因为， 所以蒙特利尔站全红婵发挥更稳定. 17．某学校计划依托人工智能大模型搭建答疑系统，帮助学生解决学习中遇到的问题.该校利用该人工智能大模型完成100份不同模拟试卷的作答，收集作答准确率并整理数据，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值，并计算准确率在内的频数； (2)估计这100份试卷准确率的众数和中位数； (3)若要从这100份试卷中，按比例采用分层随机抽样的方法抽取20份进行深入分析，求应从准确率在，这两组中分别抽取的试卷份数. 【答案】(1)，40 (2)， (3)2份、4份 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得， 则准确率在内的频数为. （2）这100份试卷的众数为最高矩形区间左右端点的平均值为，所以. 中位数为，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 所以，则，解得， 所以估计这100份试卷准确率的中位数为. （3）这100份试卷中，准确率在内的试卷数量为， 在内的试卷数量为. 若要从这100份试卷中，随机抽取20份进行深入分析，则抽样比例为，因此，应从准确率在内抽取份，从准确率在内抽取份. 故应从准确率在，这两组中分别抽取试卷2份、4份. 18．树人中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前25%的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； (3)若成绩落在的平均成绩是57，方差是7；成绩落在的平均成绩为69，方差是4，求这两组数据的总平均数和方差． 【答案】(1)，74 (2)84 (3)65；37 【分析】（1）用频率和为1求参数，再用“组中值×频率”算平均数； （2）求高分分界值时，先定位区间，再用频率列方程求解； （3）两组数据合并时，用加权平均求总均值，用分层方差公式求总方差. 【详解】（1）由题意可得，解得， 平均数为．    （2）分数介于的频率为，的频率为，所以获荣誉证书的最低分数介于， 设最低分数为，则，解得． （3）成绩在的学生人数为，成绩在的学生人数为， 故，． 19．为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 【答案】(1)，； (2)餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1的性质，结合已知参数值求解； （2）利用组中点值与对应频率的乘积和计算两个餐厅满意指数的平均数，并比较大小； （3）先确定两组数据的人数，再根据混合数据的平均数和方差公式分步计算. 【详解】（1）B餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为. 频率分布直方图组距为2，故 所有区间频率和为，即，解得. （2）餐厅满意指数平均数. 餐厅满意指数平均数. 故. （3）B餐厅第三组频率为，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1. 混合数据平均数. 方差. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $