26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 同步练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 同步练聚焦二次函数图象与性质，通过基础巩固、综合应用、探究创新三层设计，实现从概念理解到问题解决的能力进阶，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|顶点坐标、平移规律、对称轴计算|单选1、5及填空7、12，直接考查概念辨析与基本运算，强化符号意识| |中档|图象与系数关系、最值讨论、方程关联|单选2、6及填空8、10，结合图像分析多结论正误，发展几何直观与推理能力| |拔高|动态范围最值、新定义探究|解答15、17，通过分类讨论与“亲密线”创新情境，培养创新意识与应用能力|

26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 同步练 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上学期 一、单选题 1．已知二次函数，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．函数的最大值为 C．当时，y随x的增大而减小 D．若，则 2．抛物线的部分图象如图所示，其顶点的坐标为，抛物线与轴的一个交点在和之间，有以下结论： ①； ②； ③； ④关于的一元二次方程有两个相等的实数根． 其中，正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知二次函数，当自变量x满足时，函数y的最小值为2，则a的值为（   ） A．0或2 B．1或3 C．任意实数 D．2或4 4．函数和在同一坐标系中的图象大致是（　　） A．B． C．D． 5．将抛物线＝（x+1）2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线解析式为（　　） A． B．y＝ C．y＝ D． 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，它的对称轴为x＝﹣1，与x轴一个交点为A（﹣4，0），则下列结论中错误的是（　　） A．ac＜0 B．2a+b＝0 C．a+b+c＞0 D．方程ax2+bx+c＝0的另一个解是x＝2 二、填空题 7．将二次函数化成的形式，则的和为______． 8．在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． （1）此二次函数的对称轴为直线______； （2）已知点和在此函数的图象上，若，则t的取值范围是______． 9．已知二次函数，当时，的最大值为3，则的值为_____． 10．如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为______． 11．如图所示，二次函数的图像与一次函数的图像交于，两点，当时，自变量的取值范围是__________． 12．将抛物线先向右平移2个单位长度再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点为_____． 13．如图，抛物线的对称轴是直线．有下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点为，则关于的方程无实数根．其中正确结论是________．（只需填写序号） 三、解答题 14．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … … … … (1)求这个二次函数的表达式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)若图象与轴交点坐标为、、与轴的交点坐标为．求三角形的面积． (4)当时，直接写出的取值范围． 15．已知二次函数（a为常数且）． (1)当点在该函数图象上时，求a的值． (2)当和时（），函数值相等，求m，n之间的关系式． (3)若时，当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求t的值． 16．如图，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最值； (3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小，求的取值范围． 17．在平面直角坐标系中，平移抛物线的图象，若其顶点始终都在直线（，均为常数）上，则称直线为抛物线的“型亲密线”． (1)当抛物线满足时， ①若此时抛物线的图象恰好经过原点，求顶点的坐标； ②求该抛物线的“型亲密线”的表达式； (2)将抛物线进行平移，得到抛物线，设抛物线与轴交点的纵坐标为，顶点的横坐标为，当时，有最小值1，若此时抛物线有“型亲密线”，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C C A C B 1．D 本题考查二次函数的图象和性质，先将二次函数一般式化为顶点式，得出开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，即可得出正确答案． 解：， 顶点坐标为，函数图象开口向上，对称轴为直线，函数的最小值为， 当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 若，则， 综上可知，选项D结论正确，选项A，B，C结论错误， 故选：D． 2．C 本题考查的是二次函数图象与系数的关系，图象开口方向判断出，由对称轴得出，抛物线与轴的交点判断，然后利用二次函数的性质依次判断即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 解：由图象得：抛物线开口向下，对称轴为，与y轴交于正半轴， ∴，， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，即， ， ∵抛物线与轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间， ∴时，， ， 即，故②正确； 当时，，故③正确； ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线与直线有唯一一个交点， 即方程有两个相等的实数根，故④正确； 综上，②③④正确． 故选：C． 3．C 先对二次函数配方，得到开口方向、对称轴和顶点坐标，再结合给定的x范围判断对称轴位置，然后根据二次函数的性质求最值即可求得a． 解：∵ ， ∴ 二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∵ 自变量x满足 ∴恒成立，即对称轴一定在给定区间内， ∴ 二次函数在处取得最小值，最小值恒为，符合题意 ∴为任意实数． 4．A 利用二次函数和一次函数图象的性质逐项判断即可． A．图象中二次函数，一次函数，故A符合题意． B．图象中二次函数，一次函数，故B不符合题意． C．图象中二次函数，一次函数，故C不符合题意． D．图象中二次函数，一次函数，故D不符合题意． 故选：A． 本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关键． 5．C 求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标间，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． ∵抛物线y＝（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0）， ∴向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的顶点坐标是（2，﹣2） ∴所得抛物线解析式是y＝（x﹣2）2﹣2． 故选：C． 6．B 根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 解：A、由图象可知：a＜0，c＞0， ∴ac＜0，故A正确； B、由对称轴可知：＝-1， ∴b-2a＝0，故B错误； C、∵对称轴为x＝﹣1，图象过点A（﹣4，0）， ∴图象与x轴另一个交点（2，0）， ∵图象开口向下， ∴当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故C正确； D、∵对称轴为x＝﹣1，图象过点A（﹣4，0）， ∴图象与x轴另一个交点（2，0）， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x＝﹣4或x＝2，故D正确； 故选：B． 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用． 7．0 本题考查了二次函数一般式化为顶点式，通过配方法将二次函数化为顶点形式，确定h和k的值，然后求和． 解：． 所以， 因此． 故答案为0． 8． 3 本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）令，可求出函数与x轴交点的横坐标，由二次函数的对称性可求出对称轴； （2）因为抛物线开口向上，所以抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，若，则，据此解答即可． （1）∵二次函数， 令，即， ， ∴函数经过和是对称点， ∴对称轴为直线， 故答案为：． （2）∵二次函数， ∴二次项系数为， ∴函数图象开口向上， 又∵和在此函数的图象上，对称轴为直线， ∴， ∴， 故答案为：． 9．或或 本题考查二次函数的最值问题，二次函数的图象与性质，先求出抛物线的对称轴为直线，分三种情况：当，即时，当，即时，当，即时，结合二次函数的性质，进行求解即可． 解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向下， 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， ， 整理得：， 解得：； 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， 解得：(舍去)，(舍去)； 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， 整理得：， 解得：，； 综上分析可知：a的值为或或； 故答案为：2或或． 10．， 本题考查了二次函数与一次函数，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出方程的解是解此题的关键．根据，两点的横坐标和函数的图象得出方程的解即可． 解：∵抛物线与直线相交于点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 11． 本题考查了二次函数与一次函数，不等式组，因式分解，掌握知识点是解题的关键． 先分别求出二次函数与一次函数的解析式，再令，当时，求出，继而当时，即，推断出，求解即可． 解：将，分别代入得 ， 解得， ∴二次函数， 将代入得 ， 解得， ∴一次函数， 令，当时， ， 即， 解得， ∵当时， 即， ， ∴， 即或（无解） 解得． 故答案为：． 12． 本题考查了二次函数的平移变换规律及顶点坐标的求解方法，先通过配方法将原抛物线化为顶点式，得到顶点坐标，再根据平移规律“左加右减，上加下减”确定新顶点坐标． 解：将抛物线化为顶点式：， 因此原顶点坐标为， 将原抛物线顶点式向右平移2个单位，横坐标加2，得5；向下平移1个单位，纵坐标减1，得5， ∴新抛物线顶点为． 故答案为： 13．①②③④ 由图象可知a与c的正负，再根据对称轴可得b的正负，由此可判断①；根据不等式的性质判断②；根据抛物线上的点到对称轴的距离即可判断③；根据二次函数的最值可得最小值，由此可判断④． 解：由图象可知，图象开口向上，且与y轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴为， ∴， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故结论②正确； ∵，， 此时表示点和到对称轴的距离， 当时， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∵抛物线开口向上， ∴，故结论③正确； ∵抛物线的顶点坐标为，抛物线开口向上 则y的最小值为m， ∴， ∴， ∴， ∴ 而方程变形为 ∴关于的方程无实数根，故结论④正确． ∴正确的结论是①②③④． 14．(1) (2)见解析 (3) (4) （1）先通过表格找到顶点，设顶点式，再代入已知点求出系数，得到函数表达式； （2）根据顶点、与坐标轴的交点等关键点，画出抛物线图象； （3）先确定三角形三个顶点的坐标，再用三角形面积公式计算面积； （4）先找到区间内的顶点，再计算区间端点的函数值，比较后确定的取值范围． （1）解：根据题意可知，二次函数的顶点为， 设二次函数的解析式为， 将代入，解得 ， 故二次函数的解析式为，即． （2）解：如图为二次函数的图象． （3）解：点，，如图所示． 据图可知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 则，， 故． （4）解：二次函数的解析式为， 当，有最小值， 当，， 当，， 故的取值范围为． 15．(1) (2) (3)或 （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用纵坐标相同的两个点关于对称轴对称即可求解； （3）分情况讨论对称轴的位置，利用最大值比最小值大2，建立方程，其中当时，要再细分为两个端点离对称轴的距离的大小进一步讨论，最后该两种情况都不成立，综合所有情况即可求解． （1）解：把，代入中， 得： ∴． （2）解：∵对称轴为直线， ∴ ． （3）解：当时，， 图象开口向上，对称轴为直线，顶点， ①当时，最大值最小值 解得：． ②当，即时，最大值最小值 解得：． ③当，即时，最小值为顶点纵坐标， 要使最大值最小值， ∴最大值， 令， 解得：， 当时，即时， 函数在时取最大值， ∵都不在的范围内， ∴该情况不成立， 当时，即时， 函数在时取最大值， 令， ∴ ∵， ∴都不在这个范围内， 故该情况不成立， 综上所述：或． 16．(1) (2)当时，二次函数的最大值为，最小值为 (3) （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据抛物线的解析式可得抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，取最大值为，进而根据，得出函数值的最值，即可求解； （3）根据题意得出的表达式，根据线段的长度随的增大而减小，结合一次函数的性质，即可求解． （1）解：将点，点代入， 得，解得，                      ∴二次函数的解析式为． （2）解：， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取最大值为．           ∵， ∴当时，．         当时，．        ∴当时，二次函数的最大值为，最小值为． （3）解：，         当时，即，，的长度随增大而增大，不符合题意．        当时，即，，的长度随的增大而减小， ∴的取值范围为． 17．(1)①；② (2)的值为或 （1）①先结合抛物线，，得出，再结合抛物线的图象恰好经过原点，求出，即可作答． ②把整理成顶点式，又因为直线为抛物线的“型亲密线”，故设，则，即可作答． （2）先结合抛物线有“型亲密线”，得出二次函数可表示为，令，则，此时是关于的二次函数，且开口方向向上，对称轴为直线，运用二次函数的性质以及分类讨论思想进行分析，即可作答． （1）解： ①∵抛物线的图象恰好经过原点 ∴将代入得：， 解得：， ， ∴其顶点坐标为； ②， 其顶点坐标为， ∵直线为抛物线的“型亲密线” ∴设，则， 该二次函数“型亲密线”为； （2）解：二次函数有“型亲密线” 二次函数平移后的顶点在直线上， ∵设抛物线与轴交点的纵坐标为，顶点的横坐标为， ∴当时，则 则二次函数可表示为 令，则， 此时是关于的二次函数，且开口方向向上，对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， 当时，有最小值1 ①若，即， 当时，为最小值1， 即 解得，不满足，故舍去； ②若，即， 当时，为最小值1， 即 解得； ③若，即， 当时，为最小值1， 即 解得，（不满足，故舍去） 综上，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $