26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，核心包括用配方法转化顶点式，确定对称轴、顶点坐标及函数性质。课堂导入通过复习顶点式性质、非顶点式转化填空练习和预习问题，衔接旧知搭建学习支架。 其亮点在于以步骤化配方法（提、配、化）推导一般式顶点坐标公式，结合实例培养推理能力。通过表格归纳a正负对开口方向、增减性等的影响，发展抽象能力。描点与平移画图结合，增强几何直观。学生能夯实基础提升逻辑思维，教师可借助系统流程与实例提高教学效率。

第1课时 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 R·九年级上册数学 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 学习目标 1.会用配方法把二次函数y=ax2+bx+c写成y=a(x-h)2+k的形式. 2.会用配方法或公式法确定抛物线y=ax2+bx+c的顶点、对称轴及最值. 3.会根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象. 复习回顾 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x<h时，y随x增大而减小； 当x>h时，y随x增大而增大. 向上 直线x=h （h，k） x=h时，y最小值=k 当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小. 向下 x=h时，y最大值=k 一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2(a≠0)形状相同，位置不同 二次函数 顶点坐标 对称轴 最值 y=-2x2 (0, 0) 直线x=0 y最大值=0 y=-2x2-5 (0, -5) 直线x=0 y最大值=-5 y=-2(x+2)2 (-2, 0) 直线x=-2 y最大值=0 y=-2(x+2)2-4 (-2, -4) 直线x=-2 y最大值=-4 y=(x-4)2+3 (4, 3) 直线x=4 y最小值=3 y=-x2+2x ? ? ? y=3x2+x-6 ? ? ? 顶点式？ 填空： 课前预习 预习课本P42～43，找到下列问题的答案（5分钟时间） 1.一般式怎么配方成顶点式？ 2.y=ax²+bx+c的图象、性质 （开口方向、对称轴、顶点坐标等） 我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y= x2-6x+21的图象和性质吗? 化成y=a(x-h)2+k的形式. 探索新知 思考：怎样将y= x2-6x+21化成y=a(x-h)2+k的形式? y= x2-6x+21 想一想：配方的方法及步骤是什么？ （1）“提”：提出二次项系数； （2）“配”：括号内配成完全平方； （3）“化”：化成顶点式. 配方后的表达式通常为顶点式。 = (x2-12x)+21 = (x2-12x+62)+21- ×62 = (x-6)2+3 方法一：描点画图 方法二：平移画图 （对称性列表） 对称轴是直线x=6，顶点坐标为(6，3). 当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大； 当x=6时，y取最小值，最小值是3. 的图象和性质: 探 究 你能用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗? 解：配方得y=-2x2-4x+1 =-2(x2+2x)+1 =-2(x2+2x+1)+2+1 =-2(x+1)2+3 =-2(x+1)2+3 由配方结果知，此抛物线开口向下，对称轴是x=-1，顶点坐标是(-1, 3)，顶点是图象的最高点. 画图：先利用对称性列表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y=-2x2-4x+1 … -15 -5 1 3 1 -5 -15 … 开口向下， 对称轴是x=-1， 顶点坐标是(-1, 3). 当x<-1时，y随x增大而增大； 当x>-1时， y随x增大而减小. 描点、连线，画出这个函数的图象. y=-2x2-4x+1 你能用上面的方法将二次函数y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k吗？ y=ax2+bx+c （1）“提” （2）“配” （3）“化” ∴对称轴是 ，顶点坐标为 . 二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标为 ，对称轴为 。 （h，k） 直线x=h 练一练 确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： （1）y=3x2-6x＋7； （2）y=2x2－12x＋8. =3(x2-2x)+7 =3(x2-2x+1)-3+7 =3(x-1)2+4 对称轴是x=1， 顶点坐标为(1，4). =2(x2-6x)+8 =2(x2-6x+9)-18+8 =2(x-3)2-10 对称轴是x=3， 顶点坐标为(3，-10). 对称轴是 ，顶点坐标为 . 要想讨论一般的二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质，应该先配方，得： 可知一般二次函数的图象的对称轴是x=- ， 顶点(- , ). 是最高点还是最低点呢？由谁决定呢？ y O x （a>0） y O x （a<0） 二次函数y=ax2+bx+c的图象： 最小值 最大值 归纳总结 练习 1.先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： （1）y= － 3x2+12x－3； （2）y=4x2－24x+26； 开口向下，对称轴为直线x=2， 顶点为(2, 9). 开口向上，对称轴为直线x=3， 顶点为(3, -10). 【教材P43练习第1题】 y= -3(x-2)2+9 y= 4(x-3)2-10 开口向上，对称轴为直线x=-2， 顶点为(-2, -14). 开口向上，对称轴为直线x=3， 顶点为(2, -3). y= 2(x+2)2-14 2.求下列函数的最大值或最小值： (1) y=3x² + 2x; (2) y=－2x2 + 8x － 8. 【教材P44练习第2题】 = － 2(x － 2)² y最大值= 0 随堂练习 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x，y的部分对应值如下表： 则该二次函数图象的对称轴为( ). A. y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x= x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 D 2.已知二次函数y=-x2+2bx+c，当x>1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是( ). A. b≥-1 B. b≤-1 C. b≥1 D.b≤1 D 3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： ① a，b同号； ② 当x=-1和x=3时，函数值相等； ③ 4a+b=0； ④ 当y=-2时，x的值只能取0； 其中正确的是_______. ② - 4.已知抛物线y=2x2-12x+13. （1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少? （2）当x为何值时，y随x的增大而减小? （3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的表达式. 解：∵y=2x2-12x+13=2(x2-2x+9)-5=2(x-3)2-5， ∴抛物线开口向上，顶点为(3, -5)，对称轴为直线x=3. （1）当x=3时，y有最小值，最小值为-5； （2）当x<3时，y随x的增大而减小； （3）新抛物线的表达式为y=2(x-5)2-3. 5.已知二次函数y=x2-4x-1. （1）将函数y=x2-4x-1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出该函数图象顶点B的坐标； 解：y=x2-4x-1=(x2-4x+4)-4-1=(x-2)2-5， 该函数图象顶点B的坐标为(2, -5). （2）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y=x2-4x-1与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A，求四边形OABC的面积. 解：y=x2-4x-1=(x-2)2-5， ∴B(2, -5)，A(2, 0). 当x=0时，y=-1. ∴C(0, -1). S四边形OABC= (AB+OC)·OA=6. 课堂小结 y=ax2+bx+c(a≠0) (一般式) (顶点式) 公式 对称轴是 ，顶点坐标为 . 配方 课后作业 1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题 3.预习“26.3 二次函数与一元二次方程”相应内容. $