（江苏徐州）2026-2027学年苏科版八年级数学上册第一次阶段检测（测试范围：第1章—三角形）

**基本信息** 聚焦三角形核心知识，通过基础辨析、实践作图及综合探究（如将军饮马问题），检测几何直观、推理能力与空间观念，适配八年级月考阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/24|三角形三边关系、高的识别、全等判定|基础概念辨析，如第2题高的图形识别| |填空|8/32|三角形稳定性、等腰周长、等边高、网格等腰三角形|结合生活情境（如自行车车架稳定性），考查空间观念（第13题网格找点）| |解答题|9/84|全等证明、作图（中线/高线/角平分线）、将军饮马问题|综合实践题（第24题）渗透转化思想，培养推理意识与创新意识|

2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形） 总分：140分 考试时间：90min 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．下列各组线段能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．下面四个图中，线段是的高的是（   ）． A． B． C． D． 3．如图，，点、、、共线，与交于点．若，，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 4．在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，点为的中点，则的长度为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 7．如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 8．如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 9．如图，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是__________． 10．如果等腰三角形的腰长和底边分别为9和4，那么它的周长为________． 11．如图，是等边的高，若，则的长为_________． 12．如图，在与中，，要使，还需要添加一个条件：______． 13．如图，在的正方形网格中，点A，B均在格点处，若点C也在格点处，且是等腰三角形，则满足条件的点C的位置有__________处． 14．如图，的面积为，平分，过点作于点，连接，则的面积为___________． 15．如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，的长为________． 16．如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 三、解答题：本题共9小题，共84分. 17．（8分）如图，点B， E， C， F在同一条直线上， ，，，求证：． 18．（8分）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用直尺或三角板，分别按下列要求作图：（要求：点、、都在格点上） (1)作的边上的中线； (2)作的边上的高线； (3)作射线平分． 19．（8分）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 20．（8分）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（10分）如图，在中，． (1)尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若与的周长差为7．若，则的长为 ． 22．（10分）如图，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点E、F，连接． (1)试说明：； (2)过点D作于点G，于点H，若，，求的面积． 23．（10分）如图，，E，F分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（10分）综合实践：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决数学问题的一种策略．如图，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同侧有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． 小明的作法是：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 【活动一】 如图，为了证明点的位置即为所求，小明经探究发现，在直线l上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图中小明的证明； (2)如图，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【活动二】感悟方法，尝试应用 (4)如图6，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系________； ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图6上标注点的位置，并求出的最小值________． 25．（12分）在四边形中，． (1)若，，点，分别是，上的点，且．试探究线段，，之间的数量关系． 小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：________°； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：________． (2)如图，若，点，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图，若，，点，分别是，延长线上的点，若，求的度数（结果用含的代数式表示）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形） 总分：140分 考试时间：90min 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．下列各组线段能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】只需验证两条较短边的和大于最长边，即可判断三条线段能否组成三角形． 【详解】解：A．∵ ，和等于最长边，不能组成三角形，不符合题意 ； B．∵ ，和小于最长边，不能组成三角形，不符合题意； C．∵ ，和大于最长边，能组成三角形，符合题意 ； D．∵，和小于最长边，不能组成三角形，不符合题意． 2．下面四个图中，线段是的高的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．本题中是从顶点向对边作垂线，垂足为，即． 【详解】解：根据三角形高的定义：线段是的高，则需要满足，垂足落在边（或延长线）上． 选项A、垂足在点处，不在边上，不符合； 选项B、垂足在点处，不在边上，不符合； 选项C、垂足在点处，不在边上，不符合； 选项D、，垂足为，在边上，完全符合三角形高的定义． 3．如图，，点、、、共线，与交于点．若，，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，点、、、共线， ， ， ． 4．在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算求解． 【详解】解：∵在中， ∴直角三角形两锐角和为，即 又∵ ∴ ． 5．如图，在中，，，点为的中点，则的长度为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵在中，，，点为的中点， ∴． 6．如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件识别出直角三角形及对应的斜边和直角边即可判断三角形全等． 【详解】解：∵于点， ∴， ∴和均为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则可判定，依据是． 7．如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合已知条件，等量代换，即可得线段的长． 【详解】解：∵的周长是， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 8．如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】C 【分析】先利用角平分线定义和垂直的性质，通过角角边证明，推出，，再结合已知条件和邻补角通过等量代换求出，然后再通过角角边证明，推出，设根据边长相等列一元一次方程，求出的值即是求出的长度． 【详解】解：过点作的延长线于点，如图所示， ，， ， 平分， ， 在和中，， ． ，． ，， ， 在和中，， ， ． ，设，， ， ， ． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 9．如图，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是__________． 【答案】 三角形具有稳定性 【详解】解：三角形具有稳定性，即当三角形的三条边长确定时，三角形的形状和大小就唯一确定，不会发生改变，自行车的车架由多个三角形组成，利用了三角形具有稳定性这一数学原理，使得车架在受力时不易变形，保证了骑行的安全与稳定． 10．如果等腰三角形的腰长和底边分别为9和4，那么它的周长为________． 【答案】22 【分析】根据等腰三角形的定义可得这个等腰三角形的三边长分别为，再利用三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的腰长和底边分别为9和4， ∴它的周长为． 11．如图，是等边的高，若，则的长为_________． 【答案】2 【分析】根据等边三角形的性质以及三线合一求解． 【详解】解：∵是等边的高， ∴． 12．如图，在与中，，要使，还需要添加一个条件：______． 【答案】或 【详解】解：根据全等三角形判定可知，在两个直角三角形中，有一组斜边相等和一组直角边相等的三角形全等； ∵图中可知，两直角三角形的斜边是公共边， ∴只需要再有一组直角边相等即可， ∴或均可． 13．如图，在的正方形网格中，点A，B均在格点处，若点C也在格点处，且是等腰三角形，则满足条件的点C的位置有__________处． 【答案】8 【详解】解：如图，点，，，，，，，即为所求． ∴满足条件的点C的位置有8处． 14．如图，的面积为，平分，过点作于点，连接，则的面积为___________． 【答案】 【分析】延长交于点，根据角平分线的定义和垂直的定义，利用证明，从而得到，即为的中点，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得的面积等于面积的一半； 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 15．如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，的长为________． 【答案】5 【分析】利用等边三角形内角均为的性质，结合垂直条件，推导图中三个小直角三角形的非直角内角均为和，证明为等边三角形，得到，进而证明三个小直角三角形全等，设的长度为，根据直角三角形的边长关系，将、等线段用含的表达式表示，结合的条件，列关于的方程求解． 【详解】∵是等边三角形， ∴， 又∵，，， ∴， 可得三个小直角三角形中， ∴， 同理可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴，， 设， 则，， 在中，角对的直角边是斜边的一半， ∴， ∴ ， 解得， ∴． 16．如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 【答案】6 【分析】先根据三角形中线的性质求出，即可求解，过点D作于F，过D作于G，然后根据角平分线的性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵的面积是6，是边上的中线， ∴， ∵的面积是18 ∴ 如图所示，过点D作于F，过D作于G， 是的角平分线， ， ， ， ∴． 三、解答题：本题共9小题，共84分. 17．（8分）如图，点B， E， C， F在同一条直线上， ，，，求证：． 【答案】证明：∵点B， E， C， F在同一条直线上， ， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴． 【分析】根据，得到，证明，即可得证. 【详解】略（8分） 18．（8分）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用直尺或三角板，分别按下列要求作图：（要求：点、、都在格点上） (1)作的边上的中线； (2)作的边上的高线； (3)作射线平分． 【答案】(1)中线如图所示： (2)高线如图所示： (3)射线如图所示： 【分析】（1）根据三角形中线的定义画出中线即可； （2）根据三角形的高线定义画出高线即可； （3）作，利用等腰三角形的性质，即可得到的平分线． 【详解】（1）略（2分） （2）略（5分） （3）略（8分） 19．（8分）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 【答案】(1)27 (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而求得c的最大值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为；（4分） （2）解：的三边长为a，b，c， ，，， ∴ ．（8分） 20．（8分）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据证明即可； （2）先得到，继而求出，然后由的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴；（4分） （2）解：∵，且E为的中点   ∴垂直平分． ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．（8分） 21．（10分）如图，在中，． (1)尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若与的周长差为7．若，则的长为 ． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）作线段的垂直平分线，然后连接即可； （2）根据直角三角形斜边上的中线的性质可得，再结合与的周长差为7可得，即可获得答案． 【详解】（1）略（5分） （2）解：∵，为边上的中线， ∴， ∵与的周长差为7， ∴ ， 又∵， ∴．（10分） 22．（10分）如图，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点E、F，连接． (1)试说明：； (2)过点D作于点G，于点H，若，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵是的角平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】(1)根据角平分线得到，由垂直平分线得到，则，即可得到，根据内错角相等两直线平行得到； （2）根据角平分线的性质得到，再结合得到，最后根据面积公式计算面积即可． 【详解】（1）略（5分） （2）解：∵是的角平分线，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴．（10分） 23．（10分）如图，，E，F分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定与性质； （1）连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再根据等腰三角形的性质证明即可； （2）先由（1）得，再证明是等边三角形，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接、， ∵，E是的中点， ∴， ∵F是的中点， ∴；（5分） （2）解：由（1）可知，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴．（10分） 24．（10分）综合实践：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决数学问题的一种策略．如图，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同侧有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． 小明的作法是：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 【活动一】 如图，为了证明点的位置即为所求，小明经探究发现，在直线l上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图中小明的证明； (2)如图，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【活动二】感悟方法，尝试应用 (4)如图6，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系________； ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图6上标注点的位置，并求出的最小值________． 【答案】(1)证明：由轴对称的性质可知，，， ， ， ，， ∴当、、三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求． (2)的周长最小值为， (3) (4)①；②如图：点F即为所求．， 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，则， ，可得即可证明结论； （2）如图，连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是m与的交点时，的周长最小；再利用垂直平分线的性质以及线段的和差即可解答； （3）如图，分别作关于、的对称点、，连接、、，当、、、四点共线时，的周长取最小值，再根据轴对称的性质解答即可． （4）①利用等腰三角形三线合一的性质求解即可；②如图：连接与的交点F即为所求；再利用等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略（2分） （2）解： 如图，连接， ∵是边的垂直平分线， ， 的周长为， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 即当是与的交点时，的周长最小，最小为，（4分） （3）解： 如图，分别作关于、的对称点、，连接、、，当、、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，，，， ， ， ， ， ，， ．（7分） （4）解：①在等边三角形中，是的中线， ，， ； ②如图：点F即为所求． 点为上一点 当点，，三点共线时，的值最小，即的长度 在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ．（10分） 25．（12分）在四边形中，． (1)若，，点，分别是，上的点，且．试探究线段，，之间的数量关系． 小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：________°； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：________． (2)如图，若，点，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图，若，，点，分别是，延长线上的点，若，求的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)结论仍然成立，理由如下： 延长到点，使，连接，如图所示： ， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， 又， ， 结论仍然成立； (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质的应用、角平分线的判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先由“”证明，得到、，进而推导出，再证明，即可得角的度数和线段关系； （2）利用可推导出，沿用（1）的截长补短构造全等的思路，先证明，再证明，判断结论是否成立； （3）采用截长补短法，在上截取，先证明，得到、，再证明，结合角的和差关系推导与的数量关系． 【详解】（1）解：①延长到点，使，连接， ， ， ， 在和中， ， ， 、， ， ， ； ②由①知，、， 在和中， ， ， ， ， ；（4分） （2）略；（8分） （3）解：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， 在和中， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ， ．（12分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026一2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形)总分：140分考试时间：90min 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分 4 6 7 8 C D B C C B D 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分 9.三角形具有稳定性 10.22 11.2 12.BC=DC或AB=AD 13.814.8 15.5 16.6 三、解答题：本题共9小题，共84分 17.(8分) 【答案】证明：·点B,E,C,F在同一条直线上，BE=CF, .'.BE+CE=CF+CE,BC=EF, 又，AB=DF,∠B=∠F, ,△ACB≌DEF(SAS) .∠A=∠D 【分析】根据BE=CF,得到BC=EF,证明△ACB≌DEF,即可得证 【详解】略(8分) 18.(8分) 【答案】(I)中线AD如图所示： B D (2)高线AE如图所示： 1/12 E B (3)射线CF如图所示： G B 【分析】(1)根据三角形中线的定义画出中线AD即可： (2)根据三角形的高线定义画出高线AE即可； (3)作AC=GC,利用等腰三角形的性质，即可得到∠ACB的平分线CF. 【详解】(1)略(2分) (2)略(5分) (3)略(8分) 19.(8分) 【答案】(1)27 (2)-3a+b+c 【分析】(1)根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而求得c的最大值，最后求周长即可； (2)先根据三角形的三边关系确定b+c-a、c-a-b、a-b+C的正负，再化简绝对值，然后再合并同 类项即可解答， 【详解】(1)解：a=9,b=5, ∴9-5<c<9+5,即4<c<14, .c为整数， .当C=13,△ABC周长的最大值为a+b+c=9+5+13=27;(4分) (2)解：△ABC的三边长为a,b,c, .b+c-a>0,c-a-b<0,a-b+c>0, .b+c-a-lc-a-b-la-b+c 2/12 =b+c-a-(a+b-c)-(a-b+c) =b+c-a-a-b+c-a+b-c =-3a+b+c.(8分) 20.(8分) 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】(1)根据AAS证明即可： (2)先得到∠B=∠BAD=∠CAD,继而求出∠B=30°，然后由30°的直角三角形的性质求解即可. 【详解】(I)证明：，∠CAB的平分线AD交BC于点D, .∠CAD=∠EAD」 .DE⊥AB,∠C=90° ∴.∠DEA=∠C=90°， AD=AD △ACD2aAED(AAS),(4分) (2)解：：DE⊥AB,且E为AB的中点 .DE垂直平分AB. .AD=BD. ∴.∠B=∠BAD AD是∠CAB的平分线， .∠CAD=∠BAD. .∠C=90°」 .∠B+∠BAC=90° .3∠CAD=90° .∠CAD=30°， ∴.∠B=30° DE⊥AB, .BD =2DE, :△MCD2△AED(AAS) 3/12 .DE DC, .DB+CD=BC=9. 3DE=9, DE=3.(8分) 21.(10分) 【答案】(1 B (2)12 【分析】(I)作线段BC的垂直平分线，然后连接AD即可； (2)根据直角三角形斜边上的中线的性质可得AD=BD=CD,再结合△ACD与△ABD的周长差为7可得 AC-AB=7,即可获得答案， 【详解】(1)略(5分) (2)解：，∠BAC=90°，AD为BC边上的中线， .AD=BD=CD :△ACD与△ABD的周长差为7， (AC+4D+CD)-(4B+BD+AD) AC+AD+CD-AB-BD-AD =AC-AB =1, 又：AB=5, AC=AB+7=5+7=12.(10分) 22.(10分) 【答案】(I)证明：：AD是△ABC的角平分线， .∴∠BAD=∠CAD ,EF是AD的垂直平分线， ∴EA=ED, ∴.∠EAD=∠EDA, 4/12 ∴.∠BAD=∠CAD=∠EDA, DE∥AC (2)15 【分析】(I)根据角平分线得到∠BAD=∠CAD,由垂直平分线得到EA=ED,则LEAD=∠EDA,即可得 到∠CAD=∠EDA,根据内错角相等两直线平行得到DE∥AC; (2)根据角平分线的性质得到DG=DH=3,再结合EA=ED得到BE+DE=BE+AE=AB=I0,最后 根据面积公式计算面积即可. 【详解】(1)略(5分) (2)解：AD是△ABC的角平分线，DG⊥AB,DH⊥AC,DH=3, ..DG=DH=3. .BE+DE=10.EA=ED .BE+DE=BE+AE=AB=10 1 .Sm=7ABDG=)×10x3=15.(10分) 2 2 23.(10分) 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定与性质： (I)连接BE、DE,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出BE=DE,，再根据等腰三角形的性质 证明即可； (2)先由山行8B=AE=DE=4C=6,再证明。BD是等边三角形，即可得出答案。 【详解】(I)证明：连接BE、DE, A 5/12 :∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点， .BE-DE-AC, 2 F是BD的中点， .EF⊥BD;(5分) (2)解：由(1)可知，BE=AE=DE= 2C=6 ∴.∠EAB=∠EBA,∠EAD=∠EDA, 2∠EAB=∠CEB,2LEAD=LCED, ∠BAD=30°， .∠BED=60°. 又，BE=DE, ∴，△BED是等边三角形， BD=BE=6.(10分) 24.(10分) 【答案】(I)证明：由轴对称的性质可知，B'C=BC,BC'=B'C', B B .AC+BC=AC+B'C=AB'AC'+BC'=AC'+B'C'>AB' .AC+BC<AC'+BC,AC+BCz AB', ∴当A、C、B三点共线时，AC+BC值最小， ∴点C的位置即为所求 (2)△4PC的周长最小值为l1, (3)∠APB=110 (4)① ；②如图：点F即为所求 AB=2BD 6/12 【分析】(I)由轴对称的性质可知B'C=BC,BC'=B'C',则AC+BC=AC+B'C=AB', AC+BC'=AC'+B'C'>AB,可得AC+BC≥AB即可证明结论： (2)如图，连接BP,则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是m与AB的交点时， △APC的周长最小；再利用垂直平分线的性质以及线段的和差即可解答； (3)如图，分别作P关于OM、ON的 点界月，连接、0R、5,当月、月4、B四点共 的对称点、 线时，△PAB的周长取最小值，再根据轴对称的性质解答即可. (4)①利用等腰三角形三线合一的性质求解即可；②如图：连接CE与AD的交点F即为所求；再利用等 边三角形的性质求解即可. 【详解】(1)略(2分) (2)解：如图，连接BP, m (P) B ,m是边BC的垂直平分线， .PB=PC. △APC的周长为PC+AC+AP=PB+AP+5≥AB+5=6+5=11, 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是m与AB的交点时，△APC的周长最小，最小为11，(4分) (3)解：如图，分别作P关于0M、0N的对搭点尸、月造按 OPOP PP PP A B ，当 四点共线时，△PAB的周长取最小值， 7/12 ∠POA=∠POA∠POB=∠P,OBOE=OP=OP 根据对称性可知， .∠POR=2∠MON .∠MON=35° .∠POP=70° ∠AP0=∠BR0=180°，70°-550 2 :∠APO=∠APO∠BPO=∠BPO ∴.∠APB=∠APO+∠BPO=∠APO+∠BP,O=2×55°=110° .(7分) (4)解：①~在等边三角形ABC中，AD是△ABC的中线， ∠BD=BAC=30,ADLBC :AB=2BD: ②如图：点F即为所求。 “点F为AD上一点 .BF+EF=CF+EF≤EC ∴当点E,F,C三点共线时，BF+EF的值最小，即CE的长度 ~在等边三角形ABC中，AD是△ABC的中线，点E为AB边的中点， .CE=AD=4.(10分) 25.(12分) 【答案】(I)①58：②EF=FD+BE (2)结论仍然成立，理由如下： 延长FD到点H,使DH=BE,连接AH,如图2所示： 8/12 H D B E 图2 .HF =DH+FD=BE+FD :∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180° ∠B=∠ADH, 在△ABE和△ADH中， 「AB=AD ∠ADH=∠B DH=BE ∴.△ABE≌△ADH(SAS) .AE=AH，∠BAE=∠HAD ·∠BAD=∠BAE+∠EAD=∠HAD+∠EAD=∠HAE, ∠EF-号aD, ∠EAF=∠HAE 2 ∴.AF是∠HAE的平分线， ∠EAF=∠HAF, 在△AEF和△AHF中， AE=AH ∠EAF=∠HAF AF=AF ,∴△AEF≌△AHF(SAS) .EF=HF, 又：HF=BE+FD, 9/12 .EF BE+FD, .结论仍然成立： (3)∠DAB-360°-2a 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质的应用、角平分线的判定，正确作出辅助线构造全等三角形 是解题的关键。 (I)先由“SAS”证明△ABE≌△ADG,得到AE=AG、∠BAE=∠DAG,进而推导出∠GAF=∠EAF, △AEF≌△AGF(SAS) 再证 即可得角的度数和线段关系： (2)利用∠ABC+∠ADC=180°可推导出∠ADG=∠B,沿用(1)的截长补短构造全等的思路，先证明 △ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,判断结论是否成立： (3)采用截长补短法，在BE上截取BG=DF,先证明△ABG≌△ADF,得到AG=AF、∠BAG=∠DAF, 再证明△AEG≌△AEF,结合角的和差关系推导∠BAD与a的数量关系. 【详解】(I)解：①延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, ∠ADC=90°， .∠ADG=180°-∠ADC=90° ∠B=∠ADG=90°， 在△ABE和△ADG中， AB=AD ∠ABE=∠ADG BE=DG ∴.△ABE≌△ADG(SAS) .AE=AG、∠BAE=∠DAG, ·∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF :∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=116°-58°=58° .∠GAF=58°： ②由①知，AE=AG、∠GAF=∠EAF=58°， 在△AEF和△AGF中， 10/12 AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF .∴△AEF≌△AGF(SAS) ∴EF=GF GF=FD+DG=FD+BE, .EF=FD+BE;(4分) (2)略；(8分) (3)解：如图3，在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG, =E--- D 图3 :∠ABC+∠ADC=180°∠ABC+∠ABE=180° .∠ADC=∠ABE, 又AB=AD, 在△ADG和△ABE中， AD=AB ∠ADG=∠ABE DG=BE .∴△ADG≌△ABE(SAS) ∴.AG=AE,∠DAG=∠BAE, .EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF, 在△AEF和△AGF中， 11/12 「AE=AG EF=GF AF=AF :∴△AEF≌△AGF(SSS) ·∠FAE=∠FAG :∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， ∴.2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360° .2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360°， 即2∠FAE+∠DAB=360°， .'∠FAE=a, .∠DAB=360°-2a.(12分) 12/12………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形） 总分：140分 考试时间：90min 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．下列各组线段能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．下面四个图中，线段是的高的是（   ）． A． B． C． D． 3．如图，，点、、、共线，与交于点．若，，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 4．在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，点为的中点，则的长度为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 7．如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 8．如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 9．如图，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是__________． 10．如果等腰三角形的腰长和底边分别为9和4，那么它的周长为________． 11．如图，是等边的高，若，则的长为_________． 12．如图，在与中，，要使，还需要添加一个条件：______． 13．如图，在的正方形网格中，点A，B均在格点处，若点C也在格点处，且是等腰三角形，则满足条件的点C的位置有__________处． 14．如图，的面积为，平分，过点作于点，连接，则的面积为___________． 15．如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，的长为________． 16．如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 三、解答题：本题共9小题，共84分. 17．（8分）如图，点B， E， C， F在同一条直线上， ，，，求证：． 18．（8分）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用直尺或三角板，分别按下列要求作图：（要求：点、、都在格点上） (1)作的边上的中线； (2)作的边上的高线； (3)作射线平分． 19．（8分）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 20．（8分）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（10分）如图，在中，． (1)尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若与的周长差为7．若，则的长为 ． 22．（10分）如图，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点E、F，连接． (1)试说明：； (2)过点D作于点G，于点H，若，，求的面积． 23．（10分）如图，，E，F分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（10分）综合实践：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决数学问题的一种策略．如图，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同侧有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． 小明的作法是：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 【活动一】 如图，为了证明点的位置即为所求，小明经探究发现，在直线l上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图中小明的证明； (2)如图，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【活动二】感悟方法，尝试应用 (4)如图6，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系________； ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图6上标注点的位置，并求出的最小值________． 25．（12分）在四边形中，． (1)若，，点，分别是，上的点，且．试探究线段，，之间的数量关系． 小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：________°； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：________． (2)如图，若，点，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图，若，，点，分别是，延长线上的点，若，求的度数（结果用含的代数式表示）． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $