（江苏常州）2026-2027学年苏科版八年级数学上册第一次阶段检测（测试范围：第1章、第2章—三角形、实数的初步认识）

**基本信息** 聚焦三角形与实数核心内容，通过汽车支撑杆稳定性（三角形性质）、河岸距离测量（全等应用）及动点旋转探究（动态几何），考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配八年级月考学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/16|无理数识别、三角形构成、全等判定|结合图形辨析，强化几何直观| |填空|10/20|平方根、等腰三角形周长、数轴化简|联系生活实际，体现应用意识| |解答题|8/64|实数计算、三角形作图与证明、动点综合|分层设计（如26题多问），发展推理能力与创新意识|

2026一2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形）、第2章（实数的初步认识） 总分：100分考试时间：90min 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 4 6 7 e B C D D A D 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分. 9.±3 10.三角形的稳定性 11.1 12.6 13.2 14.AC=BD(答案不唯一) 15.29 16.-c17.33 18.2或12 三、解答题：本题共8小题，共64分， 19.(8分) 【答案】(1)11 (2)2 【详解】(1)解：原式 =4-(-4)+3=4+4+3= 1；4分) =V6-2+4-√6=2 (2)解：原式 8分) 20.(8分) 【答案】(1) -政=青 4 (2) x=4 【分析】(1)先移项化简方程，再根据平方根的定义开平方求解x; (2)先化简方程，再根据立方根的定义开立方求解x; 【详解】(1)解：9x2-16=0. 9x2=16 16 9 1/10 .x= 3, 即x 3或s、4 4 .(4分) (2)解：3-1)°=81 :x-y=27 x-1=3, 解得x=4.(8分) 21.(6分) 【答案】证明：：AE⊥BD,CF⊥BD, .∠AEB=∠CFD=90° 又：AB=CD,AE=CF, .∴RtA AEB≌Rt△CFD(HL) ∴.∠ABE=∠CDF,. .AB∥CD t△AEB≌RtACFD(HL 【分析】根据题意证明 ,得到∠ABE=2CDF, 即可得证. 【详解】略(6分) 22.(8分) 【答案】(I)如图，CD即为所求。 ① (2)如图，BE即为所求， 2/10 ② 【分析】(1)根据网格特征，找出AB中点D,连接CD即可： (2)根据网格特征，在AC上找出格点E,连接BE,使BE⊥AC即可； 【详解】(1)解：略(4分) (2)解：略(8分) 23.(8分) 1 1 25 【答案】（①x=3,y=2,m= 9 ②v3 【分析】(1)一个正数的两个不同的平方根的和为0，可求出x的值，把x的值代入2x-1或4x+3,得 到”的一个方根。时求出”的盖：白5c而<而3<而<4，得到2+2-=3，求出的值 即 ,得到 (2)将(1)中y的值代入1+4y,求其平方根即可. 【详解】(1)解：由题意得，2x-1+4x+3=0, 1 解得x=- 3 2x-1=-2x2-1=- 1 3 3’ :√5<√10<163<V10<4 ，即 :√10 的整数部分是3， .2y+2=3 3/10 1 解得y=2, 1 1 综上，x= 3, 3,2 :(4分) 1 1 (2)解：把y=2代入，1+4y=1+4× =3」 2 3的平方根是5 (8分) 24.(8分) 【答案】(I)证明：~CD平分∠ACE,DM⊥BE,DN⊥AC, DN=DM,∠AND=∠BMD=9O°， 在RtADN和RtoBDM中， I∠AND=∠BMD=90° ∠DAN=∠DBM DN-DM ,'.△BDM≌△ADN(AAS) (2)2 【分析】(I)根据角平分线的性质可得DM=DN,根据AAS可证△BDM≌△ADN: (2)由题意可证：RtADCN≌RtADCM,可得CM=CN,由 AC=AN+CN=BM+CM=BC+CM+CM=BC+2CM,可得CM的长. 【详解】(1)略；(4分) (2)解：在RtADCN和RtADCM中， DC=DC DN=DM, .RtADCN≌RtADCM(HL) ..CM=CN. RtAADN≌RtABDM, .BM=AN, .AC=AN+CN=BM+CM=BC+CM+CM=BC+2CM=7, 3+2CM=7, 4/10 CM=2.(8分) 25.(8分) 【答案】()见解析： QMW=DE,证明见解析. 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是作 辅助线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质求解， (I)连接DM,EM,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知△DEM为等腰三角形，再根 据等腰三角形三线合一定理可证结论成立； (2)根据三角形内角和定理可知，当∠A=45°时，∠DME=90°，根据等腰直角三角形的性质可知 NV-DE. 【详解】(1)证明：如下图所示，连接DM,EM, CD,BE分别是AB,AC边上的高， .∠CDB=90°，∠BEC=90°， :M是BC的中点， DM =IBC,EM=BC, 1 2 .DM=EM, ∴△DEM为等腰三角形， 点N为DE中点， MN⊥DE: D (4分) (2解，MN=DE 证明：∠A=45° ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-45°=135° 5/10 由（可知.DM-Bc=BM,ME=sC=Mc, .∠MDB=∠MBD,∠MEC=∠MCE 在△BMD中，∠BMD=180°-∠MBD-∠BDM=180°-2∠ABC, 同理可证：∠CME=180°-2∠ACB, .∠DME=180°-（∠DMB+∠CME) =180°-(180°-2∠ABC+180°-2∠ACB) =180°-(360°-135°×2) =180°-90° =90°， △EMD为直角三角形， 点N为DE的中点， :MN=,DE.(8分) 2 26.(10分) 【答案】(1)45 (2)2 3 (3)2 (4)0<BP<1或2<BP≤4 【分析】(1)根据等边对等角即可求解； (2)当PO⊥AC时，P∥AC,由此即可求出∠BDP=∠BPD=45°，进而得出BD=BP=2: (3)当点O落在边AC上时，过点O作H⊥BC,垂足为H,证明△BPD≌△HQP(AAS),即可得出 BD=PH=2 HO=HC=BP=1 ,进而求出 ,再根据三角形的面积公式计算即可： (4)先证明点2在过点E垂直于AC的直线上，再分∠EQC=90°和∠EC2=90°两种情况求出分界点时 BP的长，根据点的运动规律确定BP长的取值范围. 6/10 【详解】(1)解：：在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4, ∠A=∠4CB=180°-90 =45°.(2分) (2)解：当P⊥AC时，即∠PNC=90°，如图2， D W B P C 图2 由旋转可知： ∠DPQ=90° DP∥AC, ∠BDP=∠A=45°，∠BPD=∠C=45, ∠BDP=∠BPD=45°， ∴BD=BP, AB=BC=4,点D为边AB的中点. .BD 24B=2. .BP=BD=2;(4分) (3)解：当点落在边AC上时，过点作H1BC,垂足为H,如图3-1： A D h H C 图3-1 7/10 ∠PH0=∠B=90°、 由旋转可知： ∠DPQ=90°，DP=P9, .∠QPH+∠BPD=90° 又：∠BDP+∠BPD=90° .∠BDP=∠QPH .△BPD≌△HQP(AAS). :BP=OH,BD=PH=2, :∠C=45°，∠QHC=90°， .∠C=∠H0C=45°， .HO=HC=BP, BC=BP+PH+HC,4=2BP+2, .HO=HC=BP=1. .PC=PH+HC=2+1=3, .S.o-PCxx 2.(7分) (4)解：在AB上取K,使BK=BP, A D B P E 图4-1 ∴.∠BKP=∠BPK=45° 8/10 .∠DKP=180°-∠BKP=135° BE-TBC=2,BD=14B-2 1 2 .DK=PE, 由(3)得：∠BDP=∠QPE, DP=OP .△KDP≌aEOP(SAS), ∠DKP=∠PEQ=135 ∴.∠QEC=180°-∠PE0=45°， ∠ACB=45°， .∠ERC=90°， ∴点Q在过E点垂直于AC的直线上， 当∠EQC=90°时，如图4-2，即O在AC上，与点R重合，过点Q作QH1BC,垂足为H, K O(R) B P E H C 图4-2 由(3)可得，QH=BP=1, ∴.当0<BP<1时，∠EQC>90°. 当∠EC0=90°时，如图4-3， 9/10 D 0 B P(E) 图4-3 ∠QEC=∠EQC=45° ..OC=EC=2, :QC⊥BC,同理(3)可得：BP=QC=2, :即点P与点E重合时，∠ECQ=90°，△ECQ是直角三角形， 当2<BP<4时，∠EC0>90°： 综上所述，当△ECQ是钝角三角形时，BP长的取值范围为0<BP<1或2<BP≤4，(10分) 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用K字形全等构造全等三角形 转换线段关系解题的关键。 10/10………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形）、第2章（实数的初步认识） 总分：100分 考试时间：90min 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列四个数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组线段能构成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．4，5，10 C．4，5，6 D．3，8，5 3．下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，边上的高是（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 5．如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（、、三点共线），过点作，使得点、、在同一直线上，得到，测得的长就是、两点之间的距离，这里判定的依据是（     ） A． B． C． D． 6．如图，正方形的面积为5，顶点在数轴上，表示的数为．以点为圆心，为半径画弧，与数轴相交于点，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，于点，于点，与相交于点，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．9的平方根是______． 10．如图，汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 11．若，则__________． 12．如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为________． 13．若n为正整数，且满足，则________． 14．如图，，添加一个条件_________，使．（不添加字母和辅助线） 15．已知等腰三角形一边长是，另一边长是，则它的周长是______． 16．如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为________． 17．如图，已知的周长是22，和的平分线交于点O，于D，且，的面积是________． 18．如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当_________秒时，与全等（不考虑、重合的情况）． 三、解答题：本题共8小题，共64分. 19．（8分）计算： (1) (2) 20．（8分）求下列各式中的值． (1)； (2)． 21．（6分）如图，于E，于F，，．求证：． 22．（8分）图①、图②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画的中线． (2)在图②中画的高． 23．（8分）已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求，，的值． (2)求的平方根． 24．（8分）已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，平分，，于M，于N． (1)求证：； (2)若，，则的长 ． 25．（8分）如图，已知锐角中，，分别是，边上的高，，分别是线段，的中点． (1)求证：； (2)若，探究与的数量关系并加以证明． 26．（10分）如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，沿边向终点运动．将线段绕点顺时针旋转得到线段．     (1) ； (2)当时，求的长； (3)当点落在边上时，求的面积； (4)取边的中点，连结、．当是钝角三角形时，直接写出长的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形）、第2章（实数的初步认识） 总分：100分 考试时间：90min 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列四个数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组线段能构成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．4，5，10 C．4，5，6 D．3，8，5 3．下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，边上的高是（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 5．如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（、、三点共线），过点作，使得点、、在同一直线上，得到，测得的长就是、两点之间的距离，这里判定的依据是（     ） A． B． C． D． 6．如图，正方形的面积为5，顶点在数轴上，表示的数为．以点为圆心，为半径画弧，与数轴相交于点，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，于点，于点，与相交于点，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．9的平方根是______． 10．如图，汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 11．若，则__________． 12．如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为________． 13．若n为正整数，且满足，则________． 14．如图，，添加一个条件_________，使．（不添加字母和辅助线） 15．已知等腰三角形一边长是，另一边长是，则它的周长是______． 16．如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为________． 17．如图，已知的周长是22，和的平分线交于点O，于D，且，的面积是________． 18．如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当_________秒时，与全等（不考虑、重合的情况）． 三、解答题：本题共8小题，共64分. 19．（8分）计算： (1) (2) 20．（8分）求下列各式中的值． (1)； (2)． 21．（6分）如图，于E，于F，，．求证：． 22．（8分）图①、图②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画的中线． (2)在图②中画的高． 23．（8分）已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求，，的值． (2)求的平方根． 24．（8分）已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，平分，，于M，于N． (1)求证：； (2)若，，则的长 ． 25．（8分）如图，已知锐角中，，分别是，边上的高，，分别是线段，的中点． (1)求证：； (2)若，探究与的数量关系并加以证明． 26．（10分）如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，沿边向终点运动．将线段绕点顺时针旋转得到线段．     (1) ； (2)当时，求的长； (3)当点落在边上时，求的面积； (4)取边的中点，连结、．当是钝角三角形时，直接写出长的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形）、第2章（实数的初步认识） 总分：100分 考试时间：90min 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列四个数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A，是分数，属于有理数，不符合要求； 选项B，开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数，符合要求； 选项C，是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合要求； 选项D，是有限小数，属于有理数，不符合要求． 2．下列各组线段能构成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．4，5，10 C．4，5，6 D．3，8，5 【答案】C 【详解】解：A．∵，∴不能构成三角形； B．∵，∴不能构成三角形； C．∵，∴能构成三角形； D．∵，∴不能构成三角形． 3．下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．表示的算术平方根，结果为非负数，，∴A错误； B．对任意实数，都有，，∴B错误； C．，C计算正确； D．表示的平方根，，∴D错误． 4．如图，在中，边上的高是（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【分析】三角形的高是从三角形的一个顶点到对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，根据定义判断即可． 【详解】解：由三角形的高的定义可知，边上的高是线段． 5．如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（、、三点共线），过点作，使得点、、在同一直线上，得到，测得的长就是、两点之间的距离，这里判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂线的定义得到，利用对顶角的性质得到，根据“”的判定方法证明． 【详解】解：， ， ， 由题可得，， ． 6．如图，正方形的面积为5，顶点在数轴上，表示的数为．以点为圆心，为半径画弧，与数轴相交于点，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根的性质可得，再根据数轴上两点间的距离，即可求解． 【详解】解：正方形的面积为5， , 由作图可知，在数轴上，表示的数为， 点E所表示的数为． 7．如图，在中，于点，于点，与相交于点，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直的定义可知，根据同角的余角相等可得，证明，根据全等三角形的性质可证，根据角之间的关系即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ，， ， 在和中，， ， ， ， ． 8．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，利用证明，得出，，再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明，最后由求解． 【详解】解：连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．9的平方根是______． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，寻找平方后等于9的数，即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 9的平方根是． 10．如图，汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 【答案】三角形的稳定性 【详解】解：当汽车前机盖打开时，支撑杆、车身与机盖之间形成了一个三角形，这是利用了三角形的稳定性． 11．若，则__________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，分别求出a和b的值，代入即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ． 12．如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的对应边相等，得出，，然后根据已知线段的长度求出结果即可． 【详解】解：∵， ，， ∵， ， ∵， ，即． 13．若n为正整数，且满足，则________． 【答案】2 【分析】估算的取值范围，确定介于两个连续正整数之间，即可求解． 【详解】解：， ，即， 又，且为正整数， ． 14．如图，，添加一个条件_________，使．（不添加字母和辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理，利用，添加即可． 【详解】解：∵在和中，，（公共边）， ∴添加，利用可使． 15．已知等腰三角形一边长是，另一边长是，则它的周长是______． 【答案】29 【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论腰长，再结合三角形三边关系验证能否构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论：当腰长为时，三边长为，，， ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，故此种情况不成立； 当腰长为时，三边长为，，，满足三角形任意两边之和大于第三边，此时周长为； 综上所述，周长为． 16．如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为________． 【答案】 【分析】首先由数轴得到，，然后化简求解即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴，， ∴ ． 17．如图，已知的周长是22，和的平分线交于点O，于D，且，的面积是________． 【答案】33 【分析】过点作于点，作于点，连接，先得出，，再得出，然后根据的面积等于求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，连接， ∵和的平分线交于点，且，，，， ∴，， ∵的周长是22， ∴， ∴的面积等于 ． 18．如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当_________秒时，与全等（不考虑、重合的情况）． 【答案】2或12 【分析】分两种情况讨论：点Q在上，点P在上；Q与A重合，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图，点Q在上，点P在上， 由题意得，，， ∵，， ，， ∵，， ， ， ， 当时，则， ∴，解得：． ②如图，当Q与A重合时， 由题意得，，， ， ∴， 当，则，即，解得：． 综上所述：当秒或12秒时，与全等． 三、解答题：本题共8小题，共64分. 19．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1)11 (2)2 【详解】（1）解：原式 ；（4分） （2）解：原式．（8分） 20．（8分）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】 （1）先移项化简方程，再根据平方根的定义开平方求解x； （2）先化简方程，再根据立方根的定义开立方求解x； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 即或．（4分） （2）解：∵， ∴， ∴， 解得．（8分） 21．（6分）如图，于E，于F，，．求证：． 【答案】证明：，， ， 又，， ， ， ． 【分析】根据题意证明，得到，即可得证． 【详解】略（6分） 22．（8分）图①、图②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画的中线． (2)在图②中画的高． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，即为所求． 【分析】（1）根据网格特征，找出中点，连接即可； （2）根据网格特征，在上找出格点，连接，使即可； 【详解】（1）解：略（4分） （2）解：略（8分） 23．（8分）已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求，，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）一个正数的两个不同的平方根的和为0，可求出的值，把的值代入或，得到的一个平方根，可求出的值；由即，得到，求出的值； （2）将（1）中的值代入，求其平方根即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ， ； ，即， 的整数部分是3， ， 解得， 综上，，，；（4分） （2）解：把代入，， 3的平方根是．（8分） 24．（8分）已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，平分，，于M，于N． (1)求证：； (2)若，，则的长 ． 【答案】(1)证明：平分，，， ，， 在和中， ， ； (2)2 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，根据可证； （2）由题意可证：，可得，由，可得的长． 【详解】（1）略；（4分） （2）解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， ．（8分） 25．（8分）如图，已知锐角中，，分别是，边上的高，，分别是线段，的中点． (1)求证：； (2)若，探究与的数量关系并加以证明． 【答案】(1)见解析； (2) ，证明见解析． 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是作辅助线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质求解． （1）连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知为等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一定理可证结论成立； （2）根据三角形内角和定理可知，当时，，根据等腰直角三角形的性质可知． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接，， ，分别是，边上的高， ，， 是的中点， ，， ， 为等腰三角形， 点为中点， ； （4分） （2）解：， 证明：， ， 由（1）可知，，， ，， 在中，， 同理可证：， ， 为直角三角形， 点为的 中点， .（8分） 26．（10分）如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，沿边向终点运动．将线段绕点顺时针旋转得到线段．     (1) ； (2)当时，求的长； (3)当点落在边上时，求的面积； (4)取边的中点，连结、．当是钝角三角形时，直接写出长的取值范围． 【答案】(1) (2)2 (3) (4)或 【分析】（1）根据等边对等角即可求解； （2）当时，，由此即可求出，进而得出； （3）当点落在边上时，过点作，垂足为，证明，即可得出，进而求出，再根据三角形的面积公式计算即可； （4）先证明点在过点垂直于的直线上，再分和两种情况求出分界点时的长，根据点的运动规律确定长的取值范围． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴．（2分） （2）解：当时，即，如图2， 由旋转可知：， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为边的中点． ∴， ∴；（4分） （3）解：当点落在边上时，过点作，垂足为，如图； ∴， 由旋转可知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴．（7分） （4）解：在上取，使， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（3）得：， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在过点垂直于的直线上， 当时，如图，即在上，与点重合，过点作，垂足为， 由（3）可得，， ∴当时，； 当时，如图， ∴ ∴， ∵，同理（3）可得：， ∴即点与点重合时，，是直角三角形， ∴当时，； 综上所述，当是钝角三角形时，长的取值范围为或．（10分） 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用字形全等构造全等三角形转换线段关系解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $