（江苏无锡）2026-2027学年苏科版八年级数学上册第一次阶段检测（测试范围：第1章—三角形）

**基本信息** 聚焦三角形核心知识，通过古代工匠测量、技术人员操作等真实情境，设计从基础到创新的梯度试题，适配八年级月考能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|三角形构成、全等判定（ASA/SAS）、尺规作图|第7题以古代全等测距离考SAS，体现文化传承| |填空|8/24|等腰三角形边长、垂直平分线、动态全等（速度问题）|第17题双动点全等分类讨论，考空间观念| |解答|8/66|全等证明、最短路径迁移、新定义“镜像三角形”|25题最短路径迁移考几何直观，26题镜像三角形新定义考推理能力与创新意识|

2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形） 总分：120分 考试时间：100min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．以下列各数为边长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，不能构成三角形； B、，，满足三角形的三边关系，能构成三角形； C、，不满足三角形的三边关系，不能构成三角形； D、，不满足三角形的三边关系，不能构成三角形． 2．在中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知直角和的度数，用减去的度数即可求出的度数． 【详解】∵在中，， ∴． 3．如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】先得出，进而可得，再求出，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质解答． 【详解】解：∵点A，B对应的刻度分别为2，8， ， 在中，，点D为边的中点， ∴． 5．如图，，添加下列条件，能用“”判断 的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、添加可利用证明，故此选项不合题意； B、添加可利用证明，故此选项不合题意； C、添加可利用证明，故此选项符合题意； D、添加不能证明，故此选项不合题意． 6．数学课上老师提出问题：在中，，用尺规作图法在边上确定一点，使．下面是四位同学的作图过程，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作的垂直平分线交于点D，则，再观察各选项即可得出答案． 【详解】解：要使，则作的垂直平分线交于点D即可，观察各选项，只有B选项符合． 7．利用全等三角形测距离是中国古代工匠日常测量的基础方法．如图，A，B两点分别位于池塘的两端，以为边作，在的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等判定条件中的（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形全等的判定定理，解答即可 【详解】解：∵ ∴； 8．如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义，结合图形逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵是边上的中线． ∴，故A正确， ∵是的角平分线， ∴，故B正确， ∵是边上的高， ∴，故C正确， 没有条件判断，故D错误， 故选：D． 9．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分为等腰三角形的底边和为等腰三角形的一条腰两种情况讨论即可． 【详解】解：如图所示： ①为等腰三角形的底边，符合条件的点C有个； ②为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C有个； 故符合条件的点C共有个． 10．如图，中，是中点，点在的延长线上，过点作的垂线与的平分线交于点，与交于点，，垂足是．下列说法正确的是（     ） A． B．是的垂直平分线 C．当时， D． 【答案】D 【分析】过作延长线于，连接，，，根据角平分线的定义证得，证明得到，，再证明得到，，进而可判断选项D正确；假设是的垂直平分线，证明得到，则根据垂直平分线的判定可得点、、共线，这种情况不一定成立，故假设不成立，可判断选项B错误；假设，则，可证明得到，可得，与矛盾，可知选项C错误；现有的条件无法证明，可判断选项A错误，进而可得答案． 【详解】解：如图，过作延长线于，连接，，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵是中点，， ∴是的中垂线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，故选项D正确，符合题意； 对于选项B，假设是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上，即点、、共线， 由图知，这种情况不一定成立，故假设不成立，即选项B错误，不符合题意； 对于选项C，假设，则， ∴， ∵， ∴， ∴在中，这与矛盾，故选项C错误，不符合题意； 对于选项A，现有的条件无法证明，故选项A不符合题意． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．在中，若，则_______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】确定两个角对应的对边，利用大角对大边即可比较边长大小． 【详解】解：在中，根据三角形边角关系：在同一个三角形中，大角对大边． 的对边为，的对边为， 已知， 可得，即． 12．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是____________． 【答案】三角形的稳定性 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：∵用木条固定长方形门框，可得到， ∴这种做法的根据是三角形的稳定性． 13．等腰三角形两边长分别是5cm、10cm，则这个等腰三角形的第三边长为__________． 【答案】 /厘米 【分析】分两种情况讨论，分别以为腰长和为腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合条件的情况，即可得到第三边的长度． 【详解】 该三角形为等腰三角形，两边长分别为和， 分两种情况讨论： 情况一：若为腰长，则第三边长为， ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，因此舍去； 情况二：若为腰长，则第三边长为， ，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， 综上，这个等腰三角形的第三边长为． 14．如图，在中，，，，是线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，则的周长为________． 【答案】14 【分析】先得出，再根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长为． 15．如图，在中，，平分，若，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】如图，过作于点，首先根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过作于点， ∵，平分， ∴， ∴的面积是． 16．如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】利用判定，从而得出对应边相等． 【详解】解：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 17．如图，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为_________时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 【答案】或 【分析】先求出，，的长，以及，再分六种情况：①，②，③，④，⑤，⑥，分别利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， ①当时， ∴，， ∴， 解得， ∴此时点的运动速度为； ②当时， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴此时点的运动速度为； ③当时， ∴，，， ∴，， ∴解得，， ∴， ∴此时点的运动速度为； ④当时， ∴，，， ∴，， 解得，， ∴， ∴此时点的运动速度为； ⑤当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴此时点的运动速度为； ⑥当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴此时点的运动速度为； 综上，当点的运动速度为或时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 18．如图，是等腰三角形，，，是的高线，且．点，分别是，上任意一点，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的对称性，将转化为，则，根据垂线段最短，当时，取得最小值，即的长度，再通过三角形面积公式求出． 【详解】解：连接、，如图， ∵ ，， ∴ 是的垂直平分线， ∴ ， ∴ ． 根据垂线段最短，当、、三点共线，且时，取得最小值，即的长度． ∵ ， ，，， ∴ ， 解得． ∴ 的最小值为． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）如图，点在的边上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】由平行条件可得，再由已知即可证明，由全等的对应边相等即可得证． 【详解】略．（6分） 20．（8分）如图，已知：与相交于点，求证：． 把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （对顶角相等）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；；；在三角形中，大角对大边 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 【详解】证明：在中， ， （在三角形中，大边对大角）， （对顶角相等）， ， ， ， （在三角形中，大角对大边）．（8分） 21．（8分）如图，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点，根据下列条件，利用网格点和三角尺画图： (1)补全． (2)画出边上的中线； (3)画出边上的高线； (4)求的面积____________． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求作三角形； (2)解：如图所示，为边上的中线； (3)解：如图所示，为边上的高线； (4)4 【分析】（1）首先根据对应点和可以确定平移的方向和距离，然后借助网格确定出，平移后的对应点，，进而可确定出； （2）观察网格可知，的长度等于长、宽分别为4和2的长方形的对角线的长度，因此它的长度的一半等于长、宽分别为2和1的长方形的对角线的长度，进而确定出的中点，再连接即可； （3）利用三角尺的直角，过点作边的延长线的垂线，垂足为，连接即为所求； （4）利用“割补法”求解即可． 【详解】（1）略（2分） （2）略（4分） （3）略（6分） （4）解：如图所示， ．（8分） 22．（8分）尺规作图：如图，用尺规在的内部作一点P，使，并且点P到两边的距离相等．（提示：作图要保留作图痕迹，且要用铅笔，不用写作法）． 【答案】如图：点P即为所求． 【分析】如图：连接，用尺规作的垂直平分线，再用尺规作的角平分线，垂直平分线与角平分线的交点即为所求． 【详解】略（8分） 23．（8分）如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点A、D在线段的垂直平分线上， ∴所在直线是线段的垂直平分线． 【分析】（1）根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据直角三角形的性质得出； （2）证明，得出，，说明点A、D在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴；（4分） （2）略（8分） 24．（8分）如图，，，分别是，的中点． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，，、分别是，的中点， ， ∵是中点， ． (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，以及勾股定理，掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，利用中点的性质证明； （2）根据等腰三角形的性质及三角形的外角的性质得到，利用 30 度角的直角三角形的性质得到，进行求解即可． 【详解】（1）略（4分） （2）解：由（1）可得， ，， ∵是的外角，是的外角， ，， ， ， ， 是中点， ， ， ．（8分） 25．（10分）最短路径问题例：如图①，要在街道旁修建一个奶站，向居民区，提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使，到它的距离之和最短？ 解：如图②，只有点关于直线的对称点与点，在同一条直线上时，才能使的值最小，作点关于直线的对称点，然后连接，交直线于点，则就是所求的点． 应用： 如图③，是锐角内部任意一点，在的两边，上各取一点，，组成，使它的周长最小． (1)借助直角三角尺在图③中找出符合条件的点和点，并画出； (2)若，，请结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形这个结论，求周长的最小值． 迁移： (3)如图④是锐角内部一条线段，在的两边，上各取一点，组成四边形，使四边形周长最小． 【答案】(1) (2)周长的最小值为10 (3) 【分析】（1）分别作出点关于和的对称点和，连接与和的交点即为点和点，即为所求； （2）连接、和，根据轴对称的性质得到，，，，可知，即是边长为10的等边三角形，即可求出周长的最小值； （3）如图，作关于的对称点，再作关于的对称点，连接交于C，交于D，四边形即为所求． 【详解】（1）略；（3分） （2）解：如图，连接、和， ∵点和点关于对称， ，， 同理，， ， 又， ． 又， 是边长为10的等边三角形， 则， 即周长的最小值为10；（6分） （3）略．（10分） 26．（10分）定义：在平面内，沿着三角形其中一条短边翻折得到另一个与其全等的三角形，称这两个三角形互为“镜像三角形”，这条短边是镜像三角形的“镜像线”．如图1，与互为镜像三角形，为这对镜像三角形的镜像线． (1)如图2，在和中，，在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使和互为“镜像三角形”的条件有_________（填序号），①，②，③．这对“镜像三角形”的“镜像线”为_________． (2)如图3，和互为“镜像三角形”，是“镜像线”，以点为端点作射线，使，过点作分别交，于点，点，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图4，在（2）的条件下，连接，若，延长交于点，当，且的面积与的面积之和为26，的面积为12时，求线段的长度． 【答案】(1)①②，； (2)．理由如下： 因为和互为“镜像三角形”， 所以． 所以， 因为， 所以， 因为垂足为点， 所以， 在和中， ，，， 所以， 所以． (3) 【分析】（1）分别根据“角边角”和“角角边”证明，再根据新定义解答； （2）先根据“镜像三角形”可知，进而得出，然后根据“角边角”证明，则此题可解； （3）先说明和是等腰直角三角形，再设，，然后根据题意可得，即可求出，接下来由求出，再根据完全平方公式可得，即，则此题可解． 【详解】（1）解：当时， ∵， ∴， ∴和这两个三角形互为“镜像三角形”，镜像线是； 当时， ∵， ∴， ∴和这两个三角形互为“镜像三角形”，镜像线是； 所以能使和互为“镜像三角形”的条件是①②，“镜像线”是；（3分） （2）略（6分） （3）解：由（2）可知，，，， 所以， 所以和是等腰直角三角形． 设，， 因为，， 所以， 所以． 因为，所以， 所以， 所以． 因为， 所以（负值不合题意，故舍去）． 因为， 所以．（10分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形） 总分：120分 考试时间：100min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．以下列各数为边长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．在中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 4．如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，，添加下列条件，能用“”判断 的是（     ） A． B． C． D． 6．数学课上老师提出问题：在中，，用尺规作图法在边上确定一点，使．下面是四位同学的作图过程，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 7．利用全等三角形测距离是中国古代工匠日常测量的基础方法．如图，A，B两点分别位于池塘的两端，以为边作，在的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等判定条件中的（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（     ）个． A． B． C． D． 10．如图，中，是中点，点在的延长线上，过点作的垂线与的平分线交于点，与交于点，，垂足是．下列说法正确的是（     ） A． B．是的垂直平分线 C．当时， D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．在中，若，则_______．（填“”、“”或“”） 12．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是____________． 13．等腰三角形两边长分别是5cm、10cm，则这个等腰三角形的第三边长为__________． 14．如图，在中，，，，是线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，则的周长为________． 15．如图，在中，，平分，若，，则的面积是___________． 16．如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 17．如图，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为_________时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 18．如图，是等腰三角形，，，是的高线，且．点，分别是，上任意一点，连接，，则的最小值为________． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）如图，点在的边上，，，．求证：． 20．（8分）如图，已知：与相交于点，求证：． 把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （对顶角相等）， _____________________， ， ______________________， （___________） 21．（8分）如图，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点，根据下列条件，利用网格点和三角尺画图： (1)补全． (2)画出边上的中线； (3)画出边上的高线； (4)求的面积____________． 22．（8分）尺规作图：如图，用尺规在的内部作一点P，使，并且点P到两边的距离相等．（提示：作图要保留作图痕迹，且要用铅笔，不用写作法）． 23．（8分）如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 24．（8分）如图，，，分别是，的中点． (1)证明：； (2)若，，求的长． 25．（10分）最短路径问题例：如图①，要在街道旁修建一个奶站，向居民区，提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使，到它的距离之和最短？ 解：如图②，只有点关于直线的对称点与点，在同一条直线上时，才能使的值最小，作点关于直线的对称点，然后连接，交直线于点，则就是所求的点． 应用： 如图③，是锐角内部任意一点，在的两边，上各取一点，，组成，使它的周长最小． (1)借助直角三角尺在图③中找出符合条件的点和点，并画出； (2)若，，请结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形这个结论，求周长的最小值． 迁移： (3)如图④是锐角内部一条线段，在的两边，上各取一点，组成四边形，使四边形周长最小． 26．（10分）定义：在平面内，沿着三角形其中一条短边翻折得到另一个与其全等的三角形，称这两个三角形互为“镜像三角形”，这条短边是镜像三角形的“镜像线”．如图1，与互为镜像三角形，为这对镜像三角形的镜像线． (1)如图2，在和中，，在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使和互为“镜像三角形”的条件有_________（填序号），①，②，③．这对“镜像三角形”的“镜像线”为_________． (2)如图3，和互为“镜像三角形”，是“镜像线”，以点为端点作射线，使，过点作分别交，于点，点，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图4，在（2）的条件下，连接，若，延长交于点，当，且的面积与的面积之和为26，的面积为12时，求线段的长度． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形） 总分：120分 考试时间：100min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．以下列各数为边长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．在中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 4．如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，，添加下列条件，能用“”判断 的是（     ） A． B． C． D． 6．数学课上老师提出问题：在中，，用尺规作图法在边上确定一点，使．下面是四位同学的作图过程，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 7．利用全等三角形测距离是中国古代工匠日常测量的基础方法．如图，A，B两点分别位于池塘的两端，以为边作，在的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等判定条件中的（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（     ）个． A． B． C． D． 10．如图，中，是中点，点在的延长线上，过点作的垂线与的平分线交于点，与交于点，，垂足是．下列说法正确的是（     ） A． B．是的垂直平分线 C．当时， D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．在中，若，则_______．（填“”、“”或“”） 12．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是____________． 13．等腰三角形两边长分别是5cm、10cm，则这个等腰三角形的第三边长为__________． 14．如图，在中，，，，是线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，则的周长为________． 15．如图，在中，，平分，若，，则的面积是___________． 16．如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 17．如图，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为_________时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 18．如图，是等腰三角形，，，是的高线，且．点，分别是，上任意一点，连接，，则的最小值为________． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）如图，点在的边上，，，．求证：． 20．（8分）如图，已知：与相交于点，求证：． 把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （对顶角相等）， _____________________， ， ______________________， （___________） 21．（8分）如图，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点，根据下列条件，利用网格点和三角尺画图： (1)补全． (2)画出边上的中线； (3)画出边上的高线； (4)求的面积____________． 22．（8分）尺规作图：如图，用尺规在的内部作一点P，使，并且点P到两边的距离相等．（提示：作图要保留作图痕迹，且要用铅笔，不用写作法）． 23．（8分）如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 24．（8分）如图，，，分别是，的中点． (1)证明：； (2)若，，求的长． 25．（10分）最短路径问题例：如图①，要在街道旁修建一个奶站，向居民区，提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使，到它的距离之和最短？ 解：如图②，只有点关于直线的对称点与点，在同一条直线上时，才能使的值最小，作点关于直线的对称点，然后连接，交直线于点，则就是所求的点． 应用： 如图③，是锐角内部任意一点，在的两边，上各取一点，，组成，使它的周长最小． (1)借助直角三角尺在图③中找出符合条件的点和点，并画出； (2)若，，请结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形这个结论，求周长的最小值． 迁移： (3)如图④是锐角内部一条线段，在的两边，上各取一点，组成四边形，使四边形周长最小． 26．（10分）定义：在平面内，沿着三角形其中一条短边翻折得到另一个与其全等的三角形，称这两个三角形互为“镜像三角形”，这条短边是镜像三角形的“镜像线”．如图1，与互为镜像三角形，为这对镜像三角形的镜像线． (1)如图2，在和中，，在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使和互为“镜像三角形”的条件有_________（填序号），①，②，③．这对“镜像三角形”的“镜像线”为_________． (2)如图3，和互为“镜像三角形”，是“镜像线”，以点为端点作射线，使，过点作分别交，于点，点，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图4，在（2）的条件下，连接，若，延长交于点，当，且的面积与的面积之和为26，的面积为12时，求线段的长度． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形） 总分：120分 考试时间：100min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B C B C B D D B D 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 12. 三角形的稳定性 13. /厘米 14. 14 15. 16. 17. 或 18. 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分） 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】由平行条件可得，再由已知即可证明，由全等的对应边相等即可得证． 【详解】略．（6分） 20．（8分） 【答案】；在三角形中，大边对大角；；；在三角形中，大角对大边 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 【详解】证明：在中， ， （在三角形中，大边对大角）， （对顶角相等）， ， ， ， （在三角形中，大角对大边）．（8分） 21．（8分） 【答案】(1)解：如图所示，即为所求作三角形； (2)解：如图所示，为边上的中线； (3)解：如图所示，为边上的高线； (4)4 【分析】（1）首先根据对应点和可以确定平移的方向和距离，然后借助网格确定出，平移后的对应点，，进而可确定出； （2）观察网格可知，的长度等于长、宽分别为4和2的长方形的对角线的长度，因此它的长度的一半等于长、宽分别为2和1的长方形的对角线的长度，进而确定出的中点，再连接即可； （3）利用三角尺的直角，过点作边的延长线的垂线，垂足为，连接即为所求； （4）利用“割补法”求解即可． 【详解】（1）略（2分） （2）略（4分） （3）略（6分） （4）解：如图所示， ．（8分） 22．（8分） 【答案】如图：点P即为所求． 【分析】如图：连接，用尺规作的垂直平分线，再用尺规作的角平分线，垂直平分线与角平分线的交点即为所求． 【详解】略（8分） 23．（8分） 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点A、D在线段的垂直平分线上， ∴所在直线是线段的垂直平分线． 【分析】（1）根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据直角三角形的性质得出； （2）证明，得出，，说明点A、D在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴；（4分） （2）略（8分） 24．（8分） 【答案】(1) 证明：连接，，、分别是，的中点， ， ∵是中点， ． (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，以及勾股定理，掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，利用中点的性质证明； （2）根据等腰三角形的性质及三角形的外角的性质得到，利用 30 度角的直角三角形的性质得到，进行求解即可． 【详解】（1）略（4分） （2）解：由（1）可得， ，， ∵是的外角，是的外角， ，， ， ， ， 是中点， ， ， ．（8分） 25．（10分） 【答案】(1) (2)周长的最小值为10 (3) 【分析】（1）分别作出点关于和的对称点和，连接与和的交点即为点和点，即为所求； （2）连接、和，根据轴对称的性质得到，，，，可知，即是边长为10的等边三角形，即可求出周长的最小值； （3）如图，作关于的对称点，再作关于的对称点，连接交于C，交于D，四边形即为所求． 【详解】（1）略；（3分） （2）解：如图，连接、和， ∵点和点关于对称， ，， 同理，， ， 又， ． 又， 是边长为10的等边三角形， 则， 即周长的最小值为10；（6分） （3）略．（10分） 26．（10分） 【答案】(1)①②，； (2)．理由如下： 因为和互为“镜像三角形”， 所以． 所以， 因为， 所以， 因为垂足为点， 所以， 在和中， ，，， 所以， 所以． (3) 【分析】（1）分别根据“角边角”和“角角边”证明，再根据新定义解答； （2）先根据“镜像三角形”可知，进而得出，然后根据“角边角”证明，则此题可解； （3）先说明和是等腰直角三角形，再设，，然后根据题意可得，即可求出，接下来由求出，再根据完全平方公式可得，即，则此题可解． 【详解】（1）解：当时， ∵， ∴， ∴和这两个三角形互为“镜像三角形”，镜像线是； 当时， ∵， ∴， ∴和这两个三角形互为“镜像三角形”，镜像线是； 所以能使和互为“镜像三角形”的条件是①②，“镜像线”是；（3分） （2）略（6分） （3）解：由（2）可知，，，， 所以， 所以和是等腰直角三角形． 设，， 因为，， 所以， 所以． 因为，所以， 所以， 所以． 因为， 所以（负值不合题意，故舍去）． 因为， 所以．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $