2026-2027学年苏科版数学八年级上册第一次月考压轴专练

**基本信息** 聚焦初中几何核心难点，以压轴题形式整合三角形全等、动态几何与新定义问题，分层设计提升推理与创新能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|等边三角形动态最小值、网格等腰三角形存在性|结合几何直观，考察空间观念与分类讨论能力| |填空题|10/20|直角三角形性质、垂直平分线应用、四边形面积转化|立足基础，渗透转化思想与符号意识| |解答题|10/88|全等三角形探究、新定义“等角分割线”、动点路径问题|突出推理能力，设计分层探究任务，培养创新意识与应用能力|

2026-2027学年第一学期数学第一次月考压轴专练 一．选择题（每题2分，共12分） 1.（2分）如图所示，在等边三角形ABC中，D为AC中点，点P，Q分别为AB，AD上的点，BP＝AQ＝4，QD＝2，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（　　） A．4 B．12 C．6 D．8 2.（2分）如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（2分）如图，△ABC≌△AMN，点M在BC上，连接CN，下列结论： ①AM平分∠BMN ②∠CMN＝∠BAM ③∠MAC＝∠MNC 其中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4.（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝46°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF．将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC的度数（　　） A．90° B．92° C．95° D．98° 5.（2分）如图，已知点B、C、D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于点F，AD交CE于点H、交BE于点G．①BE＝AD；②∠AGB＝60°；③△FHC是等边三角形；④连接CG，则GC平分∠BGD，以上结论正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 6.（2分）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 2． 填空题（每题2分，共20分） 7．（2分）0.36的平方根是　 　 ，﹣0.125的立方根是　 　 ． 8．（2分）在实数中是无理数的有 　 　 个． 9．（2分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝2，则AB＝　 　 ． 10．（2分）如图，△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．则△AEG的周长为　 　 ． 11．（2分）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的序号是 　 　 ． 12．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，直线m，n分别是AB、AC的垂直平分线，m，n交于点P，连接CP．若∠1＝21°，则∠B的度数为 　 　 ． 13．（2分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD．若这个四边形的面积为16，求BC+CD的值是　 　 ． 14.（2分）如图，△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，等边三角形DEF的三个顶点分别落在AC，AB，BC上，若CD＝5，BE＝8，则AB的长为 　 　 ． 15．（2分）在△ABC中，∠A＝30°，AB＝2．若对于BC的每一个值，对应的△ABC的形状、大小都唯一确定，则BC长的取值范围是 　 　 ． 16．（2分）如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，共88分） 17．（12分）[问题提出] 学习了三角形全等的判定方法，我们继续对“两个等腰三角形满足一边和一边上的中线对应相等”的情形进行研究． [初步思考] 我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，然后，对中线进行分类，可分为“底边上的中线、腰上的中线”两种情况进行探究． [深入探究] 第一种情况：当AM、DN分别为边BC、EF上的中线时， （1）如图①，在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF， ①若AB＝DE，AM＝DN，求证：△ABC≌△DEF． ②若BC＝EF，AM＝DN，求证：△ABC≌△DEF． 请在①和②中任选一个证明． 第二种情况：当CM、FN分别为边AB、DE上的中线时， （2） 如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＝a，CM＝m，用直尺和圆规画出△ABC． （3）如图③，在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，BC＝EF，CM＝FN， 求证：△ABC≌△DEF． 18．（12分）小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行证明． 已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC中点． 求证：△ABC是等腰三角形． 小明的证法：如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为点E、F． ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°． ∵①　 　 ，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF． ∵D为BC中点， ∴BD＝CD． 在Rt△BED和Rt△CFD中，∠BED＝∠CFD＝90°， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）． ∴②　 　 ． ∴AB＝AC． ∴△ABC是等腰三角形． 请把小明的证法补充完整，并用不同的方法完成证明． 19.（10分）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是△ABC的中线，求AD的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长AD到E，使得DE＝AD；②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB﹣BE＜AE＜AB+BE，从而得到AD的取值范围是　 　 ； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，∠CAD＝∠CDA，下列四个选项中：正确选项的序号是　 　 ． ①∠CAE＝∠DAE；②AB＝2AE；③AE＝AD；④∠DAE＝∠DAB． 【问题拓展】 （3）如图3，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是AC的中点，求证：； （4）如图4，在（3）的条件下，若∠AOB＝90°，延长EO交BD于点F，OF＝3，OE＝5，则△AOC的面积是 　 　 ． 20.（10分）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上． （1）如图1，如果BD＝BC，求证：BD是△ABC的“等角分割线”； （2）如图2，如果BD⊥AC，且BD是△ABC的“等角分割线”，求∠C的度数； （3）BD是△ABC的“等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F．如果DF＝DC，那么∠BAC的度数为 　 　 ． 21.（12分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）当t＝　 　 时，点P回到C点； （2）问t为何值时，BP平分∠ABC？请说明理由； （3）当t＝　 　 时，△BCP为等腰三角形． 22.（10分）提出问题：已知一个三角形的一个内角为40°，其中两条边长为1个、2个单位长度．你能作出所有满足条件且互不全等的三角形吗？（单位长度见图1，以下简称“单位”，作图可直接用圆规截取相应长度） （1）分析问题：若先画出一个40°的角，则相对这个角，边有两种位置：对边或邻边．将1单位、2单位按对边或邻边如下分类，请将分类补全： ①两边都是40°的邻边； ②1单位是40°的邻边，2单位是40°的对边； ③　 　 （2）解决问题： 如图2，满足情形②的三角形已经画出，请选用以图3图形作出其他情形的三角形，若无法作出，请结合图形简要说明理由． （注：图3中各角均是40°，模仿图2标出已知角度和边长，并保留作图痕迹，下同） （3）类比应用： 已知一个三角形的一个内角为40°，其中两条边长为3个、4个单位．请选用如图4备用图，作出所有满足条件且互不全等的三角形． 23.（10分）如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程； （3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由． 24.（12分）已知线段AC，以AC为斜边作Rt△ABC和Rt△ADC，连接BD，M、N分别是线段AC、BD的中点，连接MN、MB． （1）如图1，Rt△ABC和Rt△ADC在线段AC的两侧． ①求证：MN⊥BD； ②若∠BAC＝45°，∠DAC＝28°；请求出∠BMN的度数； （2）如图2，Rt△ABC和Rt△ADC在线段AC的同侧，若∠BAC＝α，∠DAC＝β（α＞β），则∠BMN的度数为　 　 （用含α、β的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期数学第一次月考压轴专练 一．选择题（每题2分，共12分） 1.（2分）如图所示，在等边三角形ABC中，D为AC中点，点P，Q分别为AB，AD上的点，BP＝AQ＝4，QD＝2，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（　　） A．4 B．12 C．6 D．8 【答案】D 【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′，如图所示，由两点之间线段最短可知，此时PE+QE的值最小，最小值为PQ′，由等边三角形的判定与性质求出边长即可得到答案． 【解答】解：由条件可知BA＝BC， ∵D为AC中点，AQ＝4，QD＝2， ∴AD＝DC＝AQ+QD＝6，则AB＝AC＝2AD＝12， 作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′，如图所示： 由两点之间线段最短可知，此时PE+QE的值最小，最小值为PQ′， ∴QD＝DQ′＝2，则AQ′＝AQ+QD+DQ′＝8， ∴CQ′＝AC﹣AQ′＝4， ∴AP＝AB﹣BP＝12﹣4＝8，即AP＝AQ′＝8， 在等边△ABC中，∠A＝60°，AP＝AQ′，则△APQ′为等边三角形， ∴PQ′＝AP＝8， 故选：D． 【点评】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 2（3分）如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分别画出以A点和B点为顶点的等腰三角形，再画出C为顶点的等腰三角形即可． 【解答】解：以AB为腰的等腰三角形有两个，以AB为底的等腰三角形有一个，如图： 所以符合条件的点C的个数为3个， 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键． 3.（2分）如图，△ABC≌△AMN，点M在BC上，连接CN，下列结论： ①AM平分∠BMN ②∠CMN＝∠BAM ③∠MAC＝∠MNC 其中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质及角的和差求解即可． 【解答】解：∵△ABC≌△AMN， ∴AB＝AM，∠ABC＝∠AMN， ∴∠ABM＝∠AMB， ∴∠AMB＝∠AMN， ∴AM平分∠BMN， 故①正确，符合题意； ∵△ABC≌△AMN， ∴∠ABC＝∠AMN， ∵∠AMC＝∠AMN+∠NMC＝∠ABC+∠BAM， ∴∠CMN＝∠BAM， 故②正确，符合题意； ∵△ABC≌△AMN， ∴∠BAC＝∠MAN，AB＝AM，AC＝AN，∠ACB＝∠ANM， ∴∠BAM＝∠CAN，∠ACN＝∠ANC，∠ABM＝∠AMB， ∴∠ACN＝∠ANC＝∠ABM＝∠AMB， ∵∠AMB＝∠MAC+∠ACB，∠ANC＝∠ANM+∠MNC， ∴∠MAC＝∠MNC 故③正确，符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 4.（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝46°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF．将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC的度数（　　） A．90° B．92° C．95° D．98° 【答案】B 【分析】仔细分析题意，可连接BO，CO，根据角平分线性质和中垂线性质不难得到∠OAB＝∠OBA；然后结合三角形内角和定理以及等边对等角可得∠ABC的度数；接下来根据全等三角形的判定易得△ABO≌△ACO，进而结合全等三角形的性质可得∠OCB的度数；最后根据折叠变换的性质得出EO＝EC，由等边对等角以及三角形内角和定理的知识即可求出∠OEC的度数． 【解答】解：连接BO，CO， ∵∠BAC＝46°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O， ∴∠OAB＝∠OAC＝23°， ∵OD是AB的垂直平分线， ∴OA＝OB， ∵OA＝OB，∠OAB＝23°， ∴∠OAB＝∠ABO＝23°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵△ABC中，∠BAC＝46°，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB＝67°， ∵∠ABC＝67°，∠ABO＝23°，∠ABC＝∠ABO+∠OBC， ∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝67°﹣23°＝44°， ∵AB＝AC，∠OAB＝∠OAC，AO＝AO， ∴△ABO≌△ACO（SAS）， ∴BO＝CO， ∴∠OBC＝∠OCB＝44°， ∵点C沿EF折叠后与点O重合， ∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO， ∵EO＝EC， ∴∠EOC＝∠OCE＝44°， ∴∠OEC＝180°﹣∠EOC﹣∠OCE＝180°﹣2×44°＝92°， 故选：B． 【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 5.（2分）如图，已知点B、C、D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于点F，AD交CE于点H、交BE于点G．①BE＝AD；②∠AGB＝60°；③△FHC是等边三角形；④连接CG，则GC平分∠BGD，以上结论正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由点B、C、D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，得BC＝AC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝∠ACE＝60°，则∠BCE＝∠ACD＝120°，即可证明△BCE≌△ACD，得BE＝AD，∠CBE＝∠CAD，可判断①正确；推导出∠AGB＝∠ACB＝60°，可判断②正确；再证明△BCF≌△ACH，得CF＝CH，而∠FCH＝60°，则△FHC是等边三角形，可判断③正确；作CI⊥BE于点I，CL⊥AD于点H，则BE•CIAD•CL，所以CI＝CL，即可证明GC平分∠BGD，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵点B、C、D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴BC＝AC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠ECD＝60°， ∴∠BCE＝∠ACD＝60°+60°＝120°， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝AD，∠CBE＝∠CAD， 故①正确； ∴∠AGB＝∠AFB﹣∠CAD＝∠AFB﹣∠CBE＝∠ACB＝60°， 故②正确； 在△BCF和△ACH中， ， ∴△BCF≌△ACH（ASA）， ∴CF＝CH， ∵∠FCH＝60°， ∴△FHC是等边三角形， 故③正确； 作CI⊥BE于点I，CL⊥AD于点H， ∵S△BCE＝S△ACD， ∴BE•CIAD•CL， ∴CI＝CL， ∴点C在∠BGD的平分线上， ∴GC平分∠BGD， 故④正确， 故选：D． 【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△BCE≌△ACD及△BCF≌△ACH是解题的关键． 6（2分）如图，已知点B、C、D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于点F，AD交CE于点H、交BE于点G．①BE＝AD；②∠AGB＝60°；③△FHC是等边三角形；④连接CG，则GC平分∠BGD，以上结论正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由点B、C、D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，得BC＝AC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝∠ACE＝60°，则∠BCE＝∠ACD＝120°，即可证明△BCE≌△ACD，得BE＝AD，∠CBE＝∠CAD，可判断①正确；推导出∠AGB＝∠ACB＝60°，可判断②正确；再证明△BCF≌△ACH，得CF＝CH，而∠FCH＝60°，则△FHC是等边三角形，可判断③正确；作CI⊥BE于点I，CL⊥AD于点H，则BE•CIAD•CL，所以CI＝CL，即可证明GC平分∠BGD，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵点B、C、D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴BC＝AC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠ECD＝60°， ∴∠BCE＝∠ACD＝60°+60°＝120°， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝AD，∠CBE＝∠CAD， 故①正确； ∴∠AGB＝∠AFB﹣∠CAD＝∠AFB﹣∠CBE＝∠ACB＝60°， 故②正确； 在△BCF和△ACH中， ， ∴△BCF≌△ACH（ASA）， ∴CF＝CH， ∵∠FCH＝60°， ∴△FHC是等边三角形， 故③正确； 作CI⊥BE于点I，CL⊥AD于点H， ∵S△BCE＝S△ACD， ∴BE•CIAD•CL， ∴CI＝CL， ∴点C在∠BGD的平分线上， ∴GC平分∠BGD， 故④正确， 故选：D． 【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△BCE≌△ACD及△BCF≌△ACH是解题的关键． 二、填空题（每题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7．（2分）0.36的平方根是　±0.6　 ，﹣0.125的立方根是　﹣0.5　 ． 【答案】±0.6；﹣0.5． 【分析】根据平方根和立方根的定义进行作答即可． 【解答】解：∵（±0.6）2＝0.36， ∴0.36的平方根是±0.6， ∵（﹣0.5）3＝﹣0.125， ∴﹣0.125的平方根是﹣0.5． 故答案为：±0.6；﹣0.5． 【点评】本题主要考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 8．（2分）在实数中是无理数的有 　3　 个． 【答案】3． 【分析】整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【解答】解：是分数，0，5是整数，它们均为有理数； ，，π都是无限不循环小数，它们均为无理数； 综上，无理数的个数为3个， 故答案为：3． 【点评】本题考查无理数的识别，算术平方根和立方根，熟练掌握相关定义是解题的关键． 9．（2分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝2，则AB＝　8　 ． 【答案】8． 【分析】由30°角所对的直角边等于斜边的一半，则有AB＝2BC，由CD是高，可求得∠BCD＝30°，则BC＝2BD，从而可求AB． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝2BC，∠B＝60°， ∵CD是高， ∴∠BDC＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°， ∴BC＝2BD， ∵BD＝2， ∴BC＝4， ∴AB＝8． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查含30度角的直角三角形，解答的关键是熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半． 10．（2分）如图，△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．则△AEG的周长为　7　 ． 【答案】7 【分析】由题意知，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得，BE＝AE，AG＝GC，又C△AEG＝AE+AG+EG，BC＝8，所以，代入即可得出． 【解答】解：如图． ∵DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线， ∴BE＝AE，AG＝GC， ∴BE+GC＝AE+AG， ∴C△AEG＝AE+AG+EG， ＝BE+GC+EG， ＝BC， 又∵BC＝7， ∴C△AEG＝7． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等． 11.（2分）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的序号是 　①③④　 ． 【答案】①③④ 【分析】①利用等边对等角，即可证得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解； ②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断； ③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形； ④首先证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP． 【解答】解：①如图1，连接OB， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠BAD∠BAC120°＝60°， ∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30° ∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正确； ②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∵点O是线段AD上一点， ∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确； ③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°， ∴∠APC+∠DCP＝150°， ∵∠APO+∠DCO＝30°， ∴∠OPC+∠OCP＝120°， ∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°， ∵OP＝OC， ∴△OPC是等边三角形；故③正确； ④如图2，在AC上截取AE＝PA，连接PB， ∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°， ∴△APE是等边三角形， ∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA， ∴∠APO+∠OPE＝60°， ∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°， ∴∠APO＝∠CPE， ∵OP＝CP， 在△OPA和△CPE中， ， ∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO＝CE， ∴AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP；故④正确； 本题正确的结论有：①③④， 故答案为①③④． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 12.（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，直线m，n分别是AB、AC的垂直平分线，m，n交于点P，连接CP．若∠1＝21°，则∠B的度数为 　67°　 ． 【答案】67°． 【分析】连接PA，PB，PC，设直线m交AC于点D，设∠PAC＝α，根据线段垂直平分线的性质得PA＝PB，PA＝PC，则PA＝PB＝PC，∠PAC＝∠PCA＝α，进而得PA是线段BC的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质得∠PAB＝∠PAC＝α，则∠BAC＝2α，然后根据∠PDA＝21°+α，∠PDA+∠BAC＝90°得α＝23°，则∠BAC＝46°，由此即可得出∠ABC的度数． 【解答】解：连接PA，PB，PC，设直线m交AC于点D，如图所示： 设∠PAC＝α， ∵直线m，n分别是AB、AC的垂直平分线，m，n交于点P， ∴PA＝PB，PA＝PC， ∴PA＝PB＝PC，∠PAC＝∠PCA＝α， ∴PA是线段BC的垂直平分线， ∵AB＝AC， ∴∠PAB＝∠PAC＝α， ∴∠BAC＝∠PAB+∠PAC＝2α， ∵∠1＝21°， ∴∠PDA＝∠1+∠PCA＝21°+α， ∵∠PDA+∠BAC＝90°， ∴21°+α+2α＝90°， 解得：α＝23°， ∴∠BAC＝2α＝46°， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC）（180°﹣46°）＝67°， ∴∠ABC的度数为67°． 故答案为：67°． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． 13．（2分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD．若这个四边形的面积为16，求BC+CD的值是　8　 ． 【答案】8 【分析】连接BD．设AB＝AD＝a，BC＝x，CD＝y．根据勾股定理和四边形的面积，得到关于a，x，y的方程组，再进一步运用消元法，得到关于x，y的方程即可． 【解答】解：连接BD． 设AB＝AD＝a，BC＝x，CD＝y． 根据勾股定理，得 BD2＝a2+a2＝x2+y2， 2a2＝x2+y2①， 又， 2a2＝64﹣2xy②， ①﹣②，得 （x+y）2＝64， 所以x+y＝8． 即BC+CD＝8． 方法2：延长CB至E使BE＝CD，连接AE，AC， ∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠ABC+∠D＝180°， ∵∠ABE+∠ABC＝180°， ∴∠D＝∠ABE， ∵AB＝AD， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴AE＝AC，∠CAD＝∠EAB， ∴∠EAC＝90°， ∴△AEC是等腰三角形， ∵四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积＝△ABC的面积+△AEB的面积＝△ACE的面积， ∴AE×AC＝16， ∴AE＝4， ∴EC＝8， ∵CD+BC＝BE+BC＝EC， ∴CD+BC＝8． 【点评】此题综合运用了勾股定理和直角三角形的面积公式，能够巧妙对方程组进行变形． 14.（2分）如图，△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，等边三角形DEF的三个顶点分别落在AC，AB，BC上，若CD＝5，BE＝8，则AB的长为 　14　 ． 【答案】14． 【分析】过点D作DH⊥AB于点H，证明△DHE和△DCF全等得HE＝CD＝5，则HB＝13，AB＝13+AH，在Rt△ADH中，根据∠A＝60°，DE∠ADH＝30°，则AD＝2AH，AC＝5+2AH，然后再根据AB＝2AC得AH＝1，由此可得AB的长． 【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，如图所示： 则∠DHE＝∠C＝90°， 在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠A＝60°，AB＝2AC， ∴∠2+∠ADE＝120°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∴∠1+∠ADE＝120°， ∴∠2＝∠1， 在△DHE和△FCD中， ， ∴△DHE≌△FCD（AAS）， ∴HE＝CD＝5， ∴HB＝HE+BE＝5+8＝13， ∴AB＝BH+AH＝13+AH， 在Rt△ADH中，∠A＝60°， ∴∠ADH＝30°， ∴AD＝2AH， ∴AC＝CD+AD＝5+2AH， ∵AB＝2AC， ∴13+AH＝2（5+2AH）， ∴AH＝1， ∴AB＝13+AH＝14． 故答案为：14． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解含30度角的直角三角形，等边三角形的性质是解决问题的关键． 15.（2分）在△ABC中，∠A＝30°，AB＝2．若对于BC的每一个值，对应的△ABC的形状、大小都唯一确定，则BC长的取值范围是 BC＝1或BC≥2　 ． 【答案】BC＝1或BC≥2． 【分析】由全等三角形的判定，即可解决问题． 【解答】解：当BC⊥AC时，由“HL”判定△ABC的形状、大小都唯一确定， ∵∠A＝30°， ∴BCAB2＝1； 以B为圆心，大于或等于AB的长为半径画弧，与射线BC只有一个交点（A除外），此时△ABC的形状、大小都唯一确定， ∴BC≥2， ∴BC长的取值范围是BC＝1或BC≥2． 故答案为：BC＝1或BC≥2． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形得到判定方法． 16．（2分）如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为 　16　 ． 【答案】16． 【分析】首先作AE⊥BC于E，作DF⊥CB交CB的延长线于F，根据等腰三角形三线合一的性质，求出BE的长，证明△ABE≌△BDF（AAS），得出FD＝EB，由三角形面积公式即可求出△BCD面积． 【解答】解：作AE⊥BC于E，作DF⊥CB交CB的延长线于F， ∵AB＝AC，BC＝8， ∴BEBC＝4， ∵∠ABD＝90°，DF⊥CB， ∴∠ABC+∠DBF＝∠BDF+∠DBF， ∴∠ABC＝∠BDF， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠BFD＝90°， 在△ABE和△BDF中， ， ∴△ABE≌△BDF（AAS）， ∴DF＝BE＝4， ∴△BCD的面积BC•DF8×4＝16． 故答案为：16． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，解决本题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 17．（12分）[问题提出] 学习了三角形全等的判定方法，我们继续对“两个等腰三角形满足一边和一边上的中线对应相等”的情形进行研究． [初步思考] 我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，然后，对中线进行分类，可分为“底边上的中线、腰上的中线”两种情况进行探究． [深入探究] 第一种情况：当AM、DN分别为边BC、EF上的中线时， （1）如图①，在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF， ①若AB＝DE，AM＝DN，求证：△ABC≌△DEF． ②若BC＝EF，AM＝DN，求证：△ABC≌△DEF． 请在①和②中任选一个证明． 第二种情况：当CM、FN分别为边AB、DE上的中线时， （2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＝a，CM＝m，用直尺和圆规画出△ABC． （3）如图③，在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，BC＝EF，CM＝FN， 求证：△ABC≌△DEF． 【答案】（1）①证明过程见解答（答案不唯一，②证明过程见解答）； （2）作法见解答； （3）证明过程见解答． 【分析】（1）①由AM⊥BC，DN⊥EF，得∠AMB＝∠DNE＝90°，可证明Rt△ABM≌Rt△DEN，得BM＝EN，∠B＝∠E，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△DEF； ②由AB＝AC，DE＝DF，AM、DN分别为边BC、EF上的中线，得∠AMB＝∠DNE＝90°，可证明△ABM≌△DEN，得AB＝DE，∠B＝∠E，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△DEF； （2）先以线段m、a、a为边作△ACM，再将AM延长到点B，使AB＝a，连接BC，即得到所求△ABC； （3）作CG⊥AB于点G，FH⊥DE于点H，设AM＝BM＝a，则AB＝AC＝2a，根据勾股定理推导出AB2＝（2a）2＝4CM2﹣2BC2，同理DE2＝4FN2﹣2EF2，由CM＝FN，BC＝EF，得4CM2﹣2BC2＝4FN2﹣2EF2，所以AB＝DE，即可根据全等三角形的判定定理“SSS”证明△ABC≌△DEF． 【解答】解：（1）①若AB＝DE，AM＝DN，求证：△ABC≌△DEF． 证明：如图①，∵AM、DN分别为边BC、EF上的中线 ∴BM＝CM，EN＝FN， ∵AB＝AC，DE＝DF， ∴AM⊥BC，DN⊥EF， ∴∠AMB＝∠DNE＝90°， 在Rt△ABM和Rt△DEN中， ， ∴Rt△ABM≌Rt△DEN（HL）， ∴BM＝EN，∠B＝∠E， ∴2BM＝2EN， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 注：答案不唯一， ②若BC＝EF，AM＝DN，求证：△ABC≌△DEF． 证明：如图①，∵AM、DN分别为边BC、EF上的中线 ∴BM＝CMBC，EN＝FNEF， ∵AB＝AC，DE＝DF， ∴AM⊥BC，DN⊥EF， ∴∠AMB＝∠DNE＝90°， ∵BC＝EF， ∴BCEF， ∴BM＝EM， 在△ABM和△DEN中， ， ∴△ABM≌△DEN（SAS）， ∴AB＝DE，∠B＝∠E， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． （2）如图②，作法：1．作线段a的垂直平分线交线段a于点P，得到线段a的中点P， 2．作线段CM＝m， 3．分别以点C、点M为圆心，以a、a为半径作弧，两弧交于点A， 4．作射线AM，并在射线AM上截取AB＝a， 5．连接AC、BC， △ABC就是所求的三角形． （3）如图③，作CG⊥AB于点G，FH⊥DE于点H，则∠AGC＝∠BGC＝∠EHF＝∠EHF＝90°， 设AM＝BM＝a，则AB＝AC＝2a， ∵AC2+BC2＝AG2+CG2+BG2+CG2， ∴（2a）2+BC2＝（a+MG）2+CG2+（a﹣MG）2+CG2＝2a2+2（MG2+CG2）＝2a2+2CM2， ∴2a2＝2CM2﹣BC2， ∴AB2＝（2a）2＝4CM2﹣2BC2， 同理DE2＝4FN2﹣2EF2， ∵CM＝FN，BC＝EF， ∴4CM2﹣2BC2＝4FN2﹣2EF2， ∴AB2＝DE2， ∴AB＝DE， ∵DE＝DF， ∴AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、尺规作图、勾股定理的应用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 18.（12分）小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行证明． 已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC中点． 求证：△ABC是等腰三角形． 小明的证法：如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为点E、F． ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°． ∵①AD平分∠BAC ，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF． ∵D为BC中点， ∴BD＝CD． 在Rt△BED和Rt△CFD中，∠BED＝∠CFD＝90°， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）． ∴②　∠B＝∠C ． ∴AB＝AC． ∴△ABC是等腰三角形． 请把小明的证法补充完整，并用不同的方法完成证明． 【答案】AD平分∠BAC；∠B＝∠C． 【分析】根据题意和全等三角形的判定、等腰三角形的判定可以证明结论成立． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为点E、F． ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°． ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF． ∵D为BC中点， ∴BD＝CD． 在Rt△BED和Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）． ∴∠B＝∠C． ∴AB＝AC． ∴△ABC是等腰三角形． 故答案为：AD平分∠BAC；∠B＝∠C． 法二：延长AD至M，使得AD＝MD，连接CM， 在△ABD与△MCD中， ， ∴△ABD≌△MCD（SAS）， ∴AB＝CM，∠BAD＝∠M， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∴∠M＝∠DAC， ∴AC＝CM， ∴AB＝AC， 即△ABC是等腰三角形． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/29 23:38:45；用户：vkii；邮箱：orFmNt7OIP71DowGVSPiREUJGDtU@weixin.jyeoo.com；学号：42711796 19.（10分）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是△ABC的中线，求AD的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长AD到E，使得DE＝AD；②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB﹣BE＜AE＜AB+BE，从而得到AD的取值范围是　1＜AD＜7　 ； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，∠CAD＝∠CDA，下列四个选项中：正确选项的序号是　②④　 ． ①∠CAE＝∠DAE；②AB＝2AE；③AE＝AD；④∠DAE＝∠DAB． 【问题拓展】 （3）如图3，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是AC的中点，求证：； （4）如图4，在（3）的条件下，若∠AOB＝90°，延长EO交BD于点F，OF＝3，OE＝5，则△AOC的面积是 　15　 ． 【答案】（1）1＜AD＜7； （2）②④； （3）如图3，延长OE至H，使EH＝OE，连接CH， ∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， 又∵OE＝EH，∠AEO＝∠CEH， ∴△AEO≌△CEH（SAS）， ∴AO＝CH，∠A＝∠HCO， ∴AO∥CH， ∴∠AOC+∠HCO＝180°， ∵∠AOB与∠COD互补， ∴∠AOC+∠BOD＝180°， ∴∠BOD＝∠OCH， 又∵CH＝OA＝OB，OC＝OD， ∴△BOD≌△HCO（SAS）， ∴BD＝OH， ∴； （4）15． 【分析】（1）由“SAS”可证△ADC≌△EDB，可得AC＝BE＝6，由三角形的三边关系可求解； （2）由“SAS”可证△AEC≌△HED，可得AC＝DH，∠ACD＝∠HDC，由“SAS”可证△ADB≌△ADH，可得AB＝AH，∠BAD＝∠DAE，即可求解； （3）由“SAS”可证△AEO≌△CEH，可得AO＝CH，∠A＝∠HCO，由“SAS”可证△BOD≌△HCO，可得BD＝OH，可得结论； （4）由全等三角形的性质可得S△AEO＝S△CEH，S△BOD＝S△HCO，∠D＝∠COE，由三角形的面积公式可求解． 【解答】（1）解：在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是△ABC的中线，如图1，延长AD至点E，使ED＝AD． 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC＝BE＝6， ∵AB＝8， ∴8﹣6＜AE＜8+6， ∴2＜2AD＜14， ∴1＜AD＜7， 故答案为：1＜AD＜7； （2）解：如图2，延长AE至H，使EH＝AE，连接DH， ∵AE是中线， ∴DE＝EC， 在△AEC和△HED中， ， ∴△AEC≌△HED（SAS）， ∴AC＝DH，∠ACD＝∠HDC， ∵∠ADB＝∠ADC+∠ACD，∠ADH＝∠ADC+∠CDH， ∴∠ADB＝∠ADH， ∵AD为中线， ∴BD＝CD， ∵AC＝CD， ∴BD＝DC＝AC＝DH， 在△ADB和△ADH中， ， ∴△ADB≌△ADH（SAS）， ∴AB＝AH，∠DAB＝∠DAE， ∴AB＝2AE， ∴正确选项的序号是：②④， 故答案为：②④； （3）证明：如图3，延长OE至H，使EH＝OE，连接CH， ∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， 又∵OE＝EH，∠AEO＝∠CEH， ∴△AEO≌△CEH（SAS）， ∴AO＝CH，∠A＝∠HCO， ∴AO∥CH， ∴∠AOC+∠HCO＝180°， ∵∠AOB与∠COD互补， ∴∠AOC+∠BOD＝180°， ∴∠BOD＝∠OCH， 又∵CH＝OA＝OB，OC＝OD， ∴△BOD≌△HCO（SAS）， ∴BD＝OH， ∴； （4）解：∵△AEO≌△CEH，△BOD≌△HCO， ∴S△AEO＝S△CEH，S△BOD＝S△HCO，∠D＝∠COE， ∴S△AOC＝S△BOD＝S△HCO， ∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠COE+∠DOF＝90°， ∴∠DOF+∠D＝90°， ∴∠OFD＝90°， ∵OF＝3，OE＝5， ∴BD＝2OE＝10， ∴， 故答案为：15． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 20.（10分）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上． （1）如图1，如果BD＝BC，求证：BD是△ABC的“等角分割线”； （2）如图2，如果BD⊥AC，且BD是△ABC的“等角分割线”，求∠C的度数； （3）BD是△ABC的“等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F．如果DF＝DC，那么∠BAC的度数为 　45°或　 ． 【答案】（1）详见解析； （2）67.5°； （3）45°或． 【分析】（1）由等边对等角得到∠ABC＝∠C，∠BDC＝∠C，则∠ABC＝∠BDC，再由三角形的外角性质即可求证； （2）先由等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到∠A＝180°﹣2∠C，再由外角性质得到∠ABD＝2∠C﹣90°，∠DBC＝90°﹣∠C，然后再分类讨论即可； （3）分两种情况讨论，当∠DBC＝∠BAC时，由三线合一得到AE⊥BC，BE＝CE，设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠DBC＝∠BAC＝2x，可得AE垂直平分BC，则∠DBC＝∠FCB＝2x，然后根据外角性质表示出∠DFC＝∠DCF＝4x再由三角形内角和定理得到∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°；当∠ABD＝∠BAC时，设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠ABD＝∠BAC＝2x，则∠FDC＝∠BAC+∠ABD＝4x，由△ABF≌△ACF（SAS），以及等腰三角形性质得到∠DFC＝∠DCF＝2x，在△DFC中由三角形内角和定理建立方程求解． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠C， ∴∠ABC＝∠BDC， ∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠BDC＝∠A+∠ABD， ∴∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABD， ∴∠A＝∠DBC， ∴BD是△ABC的“等角分割线”； （2）解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠A＝180°﹣2∠C， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°，∠BDA＝90°， ∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠BDA＝∠DBC+∠C， ∴∠ABD＝2∠C﹣90°，∠DBC＝90°﹣∠C， ∵BD是△ABC的“等角分割线”， ∴①∠A＝∠ABD，180°﹣2∠C＝2∠C﹣90°， 解得：∠C＝67.5°； ②∠A＝∠DBC，180°﹣2∠C＝90°﹣∠C， 解得：∠C＝90°（舍去）， 综上：∠C＝67.5°； （3）解：记∠BAC的平分线与BC交于点E， ①当∠DBC＝∠BAC时， ∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴AE⊥BC，∠BAE＝∠CAE，BE＝CE（等腰三角形三线合一）， 设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠DBC＝∠BAC＝2x ∵AE⊥BC，BE＝CE， ∴AE垂直平分BC， ∴FB＝FC， ∴∠DBC＝∠FCB＝2x， ∴∠DFC＝∠FBC+∠FCB＝2x+2x＝4x， ∵DF＝DC， ∴∠DFC＝∠DCF＝4x， ∴∠ACE＝∠DCF+∠FCB＝4x+2x＝6x， ∵AE⊥BC， ∴∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°， ∴x+6x+90°＝180°， 解得：， ∴； ②当∠ABD＝∠BAC时， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE（角平分线的定义）， 设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠ABD＝∠BAC＝2x， ∴∠FDC＝∠BAC+∠ABD＝4x， 在△ABF和△ACF中， ， ∴△ABF≌△ACF（SAS）， ∴∠ACF＝∠ABD＝2x， ∵DF＝DC， ∴∠DFC＝∠DCF＝2x， ∵∠FDC+∠DFC+∠DCF＝180°， ∴4x+2x+2x＝180°， 解得：x＝22.5°， ∴∠BAC＝2×22.5°＝45°， 综上：∠BAC的度数为45°或， 故答案为：45°或． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理等知识点． 21.（12分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）当t＝　24　 时，点P回到C点； （2）问t为何值时，BP平分∠ABC？请说明理由； （3）当t＝　6或12或10.8或13　 时，△BCP为等腰三角形． 【答案】（1）24； （2）3； （3）6或12或10.8或13． 【分析】（1）根据勾股定理求出AC，进而求出△ABC的周长，求出t； （2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线的性质得到PC＝PD，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案； （3）分点P在CA上、点P在AB上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm， 则AC8（cm）， ∴CA+CB+AB＝6+8+10＝24， 则当t＝24时，点P回到C点， 故答案为：24； （2）t为3时，BP平分∠ABC， 理由如下：如图1，过点P作PD⊥AB于D， ∵BP平分∠ABC，∠C＝90°，PD⊥AB， ∴PC＝PD， 在Rt△BCP和Rt△BDP中， ， ∴Rt△BCP≌Rt△BDP（HL）， ∴BD＝BC＝6cm， ∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4（cm）， 在Rt△APD中，AP2＝PD2+AD2，即（8﹣CP）2＝PC2+42， 解得：PC＝3， 则t为3时，BP平分∠ABC； （3）当点P在CA上，CP＝CB＝6cm时，t＝6； 当点P在AB上， ①BP＝CB＝6cm时，AP＝4cm， ∴点P运动的距离为：8+4＝12（cm）， 则t＝12； ②CP＝CB＝6cm时，如图2，过点C作CE⊥AB于E， 则PE＝BE， ∵S△ABCAC•BCAB•CE， ∴6×810×CE， 解得：CE＝4.8， ∴PE3.6（cm）， ∴PB＝7.2cm， ∴AC+AP＝18﹣7.2＝10.8（cm）， 则t＝10.8； ③PC＝PB时，∠PBC＝∠PCB， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠PBC＝90°，∠PCA+∠PCB＝90°， ∴∠A＝∠PCA， ∴PA＝PC， ∴PA＝PB＝5cm， ∴AC+AP＝8+5＝13（cm）， 则t＝13， 综上所述，当t＝6或12或10.8或13时，△BCP为等腰三角形， 故答案为：6或12或10.8或13． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理的应用，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/29 23:40:41；用户：vkii；邮箱：orFmNt7OIP71DowGVSPiREUJGDtU@weixin.jyeoo.com；学号：42711796 22.（10分）提出问题：已知一个三角形的一个内角为40°，其中两条边长为1个、2个单位长度．你能作出所有满足条件且互不全等的三角形吗？（单位长度见图1，以下简称“单位”，作图可直接用圆规截取相应长度） （1）分析问题：若先画出一个40°的角，则相对这个角，边有两种位置：对边或邻边．将1单位、2单位按对边或邻边如下分类，请将分类补全： ①两边都是40°的邻边； ②1单位是40°的邻边，2单位是40°的对边； ③　40°的邻边是2单位，对边是1单位；　 （2）解决问题： 如图2，满足情形②的三角形已经画出，请选用以图3图形作出其他情形的三角形，若无法作出，请结合图形简要说明理由． （注：图3中各角均是40°，模仿图2标出已知角度和边长，并保留作图痕迹，下同） （3）类比应用： 已知一个三角形的一个内角为40°，其中两条边长为3个、4个单位．请选用如图4备用图，作出所有满足条件且互不全等的三角形． 【答案】（1）40°的邻边是2单位，对边是1单位； （2）（3）见解析部分． 【分析】（1）利用分类讨论的思想解决问题即可； （2）根据要求作出图形即可； （3）分三种情形分别作出图形，①3，4为40°角的邻边．③3为40°角的邻边，4为40°角的对边．③4为40°角的邻边，3为40°角的对边． 【解答】解：（1）②40°的邻边是2单位，对边是1单位； 故答案为：40°的邻边是2单位，对边是1单位； （2）两边都是40°的邻边，见图3中的左边的图． 40°的邻边是2单位，对边是1单位．这样的三角形不存在． 如图3中，右边的中，OA＝2，以A为圆心1为半径作⊙A，⊙A与角的另一边没有交点，三角形不存在． （3）这样的三角形有4个．如图所示： 【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 23.（10分）如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程； （3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）连接DM、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DMBC，MEBC，从而得到DM＝ME，再根据等腰三角形三线合一的性质证明； （2）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠BMD+∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解； （3）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BME+∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解． 【解答】解：（1）如图，连接DM，ME， ∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点， ∴DMBC，MEBC， ∴DM＝ME 又∵N为DE中点， ∴MN⊥DE； （2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）， ＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）， ＝360°﹣2（180°﹣∠A）， ＝2∠A， ∴∠DME＝180°﹣2∠A； （3）结论（1）成立， 结论（2）不成立， 理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC， ∵DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC， ＝2（180°﹣∠BAC）， ＝360°﹣2∠BAC， ∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC）， ＝2∠BAC﹣180°． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键． 24．（12分）已知线段AC，以AC为斜边作Rt△ABC和Rt△ADC，连接BD，M、N分别是线段AC、BD的中点，连接MN、MB． （1）如图1，Rt△ABC和Rt△ADC在线段AC的两侧． ①求证：MN⊥BD； ②若∠BAC＝45°，∠DAC＝28°；请求出∠BMN的度数； （2）如图2，Rt△ABC和Rt△ADC在线段AC的同侧，若∠BAC＝α，∠DAC＝β（α＞β），则∠BMN的度数为　α﹣β　 （用含α、β的代数式表示）． 【答案】（1）①见解析；②73°； （2）α﹣β． 【分析】（1）①根据直角三角形的性质得到，，根据等腰三角形的三线合一证明即可；②根据直角三角形的性质得到BM＝AM＝MC＝DM，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案． （2）根据直角三角形的性质得到AM＝BM＝MD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【解答】（1）①证明：连接MD， 由条件可知，， ∴BM＝DM， 又∵N是BD的中点， ∴MN⊥BD； ②解：有条件可知BM＝AM＝MC＝DM， 又∵∠BAC＝45°，∠DAC＝28°， ∴∠MBC＝∠MCB＝90°﹣45°＝45°，∠MCD＝∠CDM＝90°﹣28°＝62°， ∴∠BMD＝360°﹣45°×2﹣62°×2＝146°， ∵BM＝DM，MN⊥BD， ∴， ∴． （2）解：连接MD， 由条件可知AM＝BM＝MD， ∴∠MBA＝∠BAC＝α，∠MDA＝∠DAC＝β， ∴∠AMB＝180°﹣2α，∠CMD＝2β， ∴∠BMD＝180°﹣∠AMB﹣∠CMD＝2α﹣2β， ∵BM＝MD，N是BD的中点， ∴． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $