河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主测试卷（9）导数及其应用

**基本信息** 聚焦导数及其应用，以概念生成-原理推导-综合应用为逻辑脉络，覆盖单调性、极值、恒成立等核心考法，强化数学思维与逻辑推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与计算|单选1-4、多选10、填空12-13|导数计算、切线方程、单调区间判断|从导数定义到基本运算，构建工具性知识基础| |导数应用|单选5-6、多选9、填空14|极值点分析、单调性与参数关系|结合导函数符号研究函数性质，体现数形结合思想| |综合问题|单选7-8、多选11、解答15-19|零点问题、恒成立求参、函数最值|整合分类讨论与转化思想，实现知识迁移与综合应用|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主测试卷（9） 范围：导数及其应用 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．下列区间中，函数单调递增的区间是（     ） A． B． C． D． 2．已知函数，则在上零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知函数，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数恰有一个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 7．，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在定义域上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递增 B．当时，取得极大值 C．当时，取得极小值 D．是在上的最大值 10．下列求导不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知是函数的极大值点，则（    ） A． B． C．有两个零点 D．是奇函数 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知曲线在点处的切线方程为，则________． 13．已知函数，则________. 14．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知函数 ． (1)求； (2)求函数 的单调区间； (3)求函数 在区间上的最大值和最小值． 16．(本小题15分）已知函数，，. (1)若在x=1处取得极值，求a的值； (2)若在上单调递增，求a的取值范围； (3)若在上存在单调递减区间，求a的取值范围. 17．(本小题15分）已知函数，，其中实数且． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．(本小题17分）已知曲线在处的切线与直线平行． (1)求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个零点，求的取值范围． 19．(本小题17分）已知函数． (1)若，求函数的最小值； (2)讨论的单调性； (3)若在上恒成立，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A C B B A B BC ABC 题号 11 答案 ACD 1．A 【详解】∵ 函数的定义域为，对其求导得. 函数单调递增等价于，即. 对选项A，当时，且，∴ ，即，故在上单调递增，A符合要求. 对选项B，当时，但，∴ ，即，故在上单调递减，B不符合要求. 对选项C，当时，但，∴ ，即，故在上单调递减，C不符合要求. 对选项D，当时，时，此时；时，此时，故在上不是单调递增，D不符合要求. 2．C 【详解】令，，，令得，令得，故在上单调递减，在上单调递增， 其中，，． ∴，．∴在内有一个零点，在内有一个零点． ∴在内有两个零点． 3．A 【详解】因为，所以，解得. 4．C 【详解】由可得：. 则曲线在点处的切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，整理得. 5．B 【详解】当时，，所以在上单调递增，无极值点， 当时，，当时，，在上单调递减， 又在上单调递增，且函数图象为一条连续曲线， 所以是函数唯一的极值点； 当时，令，则（舍去）， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且函数图象为一条连续曲线，所以函数有两个极值点，分别为和，不符合题意， 综上，的取值范围为. 6．B 【详解】函数的定义域为，，故为上的奇函数. ，根据基本不等式，得，当且仅当时取等号. 又，因此，且等号不能同时取到， 因此恒成立，所以在上单调递增. 不等式等价变形为，由单调性得，即，解得. 所以不等式的解集为. 7．A 【详解】构建函数，由题意只需在上恒成立， 又，由端点效应，故， 下证时，恒成立，主参换位，以为主元，为参数， 看作，，显然单调递减或不增不减， 故，故只需证即可，令， 则，而， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故，即在上恒成立， ，得证．当时，，由函数图象的连续性， 故，当时，所以在单调递减， 所以时，，与题意矛盾．综上可得，． 8．B 【详解】的定义域为，， 由在定义域上单调递减， 得，恒成立，由，得， 令，，由，得， 时，，单调递增；时，，单调递减， 所以时，取最大值， 所以，解得，即实数的取值范围为． 9．BC 【详解】对于A，由题图可知时，，则单调递减，故A错误； 对于B、C，由题图易知在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，故B、C正确； 对于D，在上的最大值应是与中的较大者，故D错误． 10．ABC 【详解】对于A，，A错误；对于B，，B错误； 对于C，，C错误；对于D，，D正确. 11．ACD 【详解】函数的导数为， 已知是函数的极大值点， 所以，解得或， A：当时， 若或时，，则在，上单调递增， 若时，，则在上单调递减， 显然是函数的极大值点，A正确； B：当时， 若或时，，则在，上单调递增， 若时，，则在上单调递减， 显然是函数的极小值点，B错误； C：令，解得或，显然有2个零点，C正确； D.：， 设，定义域为且 ，所以是奇函数，D正确. 12． 【详解】曲线求导得，由题意知，解得， 则点在直线上，故，解得，． 13． 【详解】由于，，所以. 14． 【详解】由题意可得：分段函数在上单调递增， 所以函数满足每一段单调递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值， 当时，，是增函数，所以系数， 当时，，， 令，则，即：， 在时的最小值为，因此，解得， 分段点时，左段在时，， 右段在时，，又因为单调递增， 所以，，即，综上，实数的取值范围是. 15．【详解】（1）． （2）令，得或，当或 时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 故函数的单调递增区间为 和，单调递减区间为； （3）根据（2），函数在区间上单调递增，在上单调递减， ，，．故函数的最大值为2，最小值为． 16．【详解】（1）因为，所以，则，得， 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，则在处取得极值，故. （2），则， 由题意得，在上恒成立，即在上恒成立. （方法一）整理得在上恒成立，所以， 因为在上单调递减，最大值为，所以， 即的取值范围是. （方法二）因为，，所以函数在上单调递增， 所以， 所以，即，即的取值范围是. （3）由题意得在上有解.（方法一）需在上有解. 因为在上单调递减，所以， 所以，即的取值范围为. （方法二）函数在上单调递增，所以， 在上有解，所以，所以，即的取值范围为. 17．【详解】（1）当时，，， ，∴函数在上单调递增， 又， 的解集为． （2）函数 ，定义域为，， 令，得，又，解得； 令，解得； 函数在上单调递减，在上单调递增． （3）由题意，化简得，此不等式对恒成立． 指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线对称， 要使对恒成立，只需指数函数的图象完全位于直线的上方， 即对恒成立， 对两边取自然对数得，， 因为，所以对恒成立， 令，只需即可， 显然：，令得， 当时，，递增；当时，，递减； 故在处取得最大值，只需，即， 因此的取值范围是． 18．【详解】（1）函数的定义域为，对求导得：， 由直线化为斜截式得：，所以该直线的斜率为2， 因为函数的曲线在处的切线与直线平行，故切线斜率等于2， 即，代入得：，解得； （2），得：， 由于，故， 当，则在上单调递增， 当，则在上单调递减, 所以在上单调递减，在上单调递增； （3）由（2）可知，在处取得极小值，也是定义域内的最小值， 计算得：， 当时，，故， 当时，，由于二次函数增长速度大于对数函数增长速度，故， 则有两个零点，需最小值小于0，即，解得， 即b得取值范围为. 19．【详解】（1）函数的定义域为，求导得 . 当 时，. 当 时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故在 处取最小值，代入得. 因此函数的最小值为. （2）对导数分类讨论： 若，则对任意都有，即，故在上单调递增； 若，时，，单调递减； 时，，单调递增. 综上，当时，在 上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （3）由题意，已知，则有意义需. 不等式 在 恒成立，化简不等式得， 消去同类项整理得，对任意恒成立. 令 . 若，则，故恒成立； 若，则，成立； 若，则 ，当时，，，不满足恒成立. 综上，的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $