第五章 函数应用 单元测试-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 北师大版高中数学第五章函数应用单元卷，以零点判定、函数模型及实际应用为核心，通过分层设计与真实情境考查数学眼光、思维与语言，适配单元复习综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|零点区间、零点个数、函数模型（火箭燃料）|基础巩固，聚焦概念辨析| |多选题|3/18|零点比较、不等式、函数性质|能力提升，考查逻辑推理| |填空题|3/15|方程解、二分法应用、根的个数|创新应用，结合方法迁移| |解答题|5/77|蓄水池造价、工厂利润、高斯函数|综合实践，体现数学建模（如机器人产量增长问题）|

北师大版高中数学第五章函数应用单元测试 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 2．下列图象表示的函数中有两个零点的是（　　） A． B． C． D． 3．已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．函数在上（   ） A．有三个零点 B．有两个零点 C．有一个零点 D．没有零点 5．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的燃料占比（指火箭燃料质量与火箭总质量的比值）与火箭的最大速度满足关系式为正常数.已知火箭的燃料占比为时，火箭的最大速度为，若使火箭的最大速度为，则此时火箭的燃料占比为（    ） A． B． C． D． 6．已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（    ） A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 7．设，则函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 8．定义是a，b中的较大者．已知函数，．若，且方程有个不同的解，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知函数，，的零点依次为a，b，c，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．在下列四个命题中，正确的是（ ） A．不等式的解集是 B．的最小值为4 C．函数的零点是， D．， 11．已知函数，则（   ） A．的值域为 B．关于的方程有3个实数根 C．当时，关于的方程有4个实数根 D．若函数，则对于，都有 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12．设是方程的解，且，则整数________． 13．在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为，大约有根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测______次就能找出故障地点所在区域（精确到范围内）？ 14．已知，关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为___ ___. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．某工厂要建造一个无盖的长方体蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，设池底长方形的长为米. (1)用含的表达式表示池底长方形的宽以及建造这个蓄水池的总造价（单位：元）； (2)运用基本不等式求当为多少时，总造价最低？最低是多少？ 16．已知为实数，函数，,是函数的零点. (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使，？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 17．某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要增加可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为（万元），其中x是产品售出的数量（单位：百台）． (1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ (3)年产量是多少时，工厂才不亏本？ 18．已知高斯函数（取整函数）表示不超过实数x的最大整数，函数. (1)求的值； (2)求函数的值域； (3)若函数恰有4个零点，求实数m的取值范围． 19．已知函数，． (1)求； (2)设函数，对，，求的取值范围； (3)设函数，是否存在，使得关于的方程有且仅有四个解，，，，且满足．若存在，求；若不存在，请说明理由． $ 北师大版高中数学第五章函数应用单元测试 一、单选题 1．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 2．下列图象表示的函数中有两个零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的零点是函数图像与轴的交点的横坐标，所以函数零点的个数即为函数图像与轴的交点个数. 有两个零点就是函数图象与x轴有两个交点，故答案选D． 3．已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以仅有1个零点. 4．函数在上（   ） A．有三个零点 B．有两个零点 C．有一个零点 D．没有零点 【答案】C 【分析】根据函数零点的定义计算得到结果； 【详解】由于，令得，1， 因此在上仅有一个零点． 5．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的燃料占比（指火箭燃料质量与火箭总质量的比值）与火箭的最大速度满足关系式为正常数.已知火箭的燃料占比为时，火箭的最大速度为，若使火箭的最大速度为，则此时火箭的燃料占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，即， 当火箭的最大速度为时，， 故此时火箭的燃料占比为. 6．已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（    ） A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 【答案】D 【分析】由题意列式，根据指数式和对数式的互化，以及利用对数的运算，即可求得答案. 【详解】设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 由题意可得， 所以，所以． 经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台， 即到年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 7．设，则函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可得 ，把零点个数问题转化为求解函数的图象与直线的交点个数问题. 【详解】令可得 当时，，联立方程可得，解得， 此时仅一个交点； 当时，，联立方程解得， 此时仅一个交点； 当时，，由图象可知仅有一个交点， 综上所述，函数的图象与直线有3个交点. 8．定义是a，b中的较大者．已知函数，．若，且方程有个不同的解，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意，由进行求解． 【详解】因为，由方程有个不同的解， 所以在内有两个零点， 则，得，得， 得． 二、多选题 9．已知函数，，的零点依次为a，b，c，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】把零点问题转化为函数图象交点问题和方程的解的问题，即可作出判断. 【详解】由，， ，的零点a，b，分别为、图象交点的横坐标， 通过上面函数图象可得：， 而，即， 所以，，正确，错误； 故选：ACD 10．在下列四个命题中，正确的是（ ） A．不等式的解集是 B．的最小值为4 C．函数的零点是， D．， 【答案】AD 【详解】A：， 解得，故解集为，A正确； B：由换底公式，得， 故原式， 当且时，可取任意非零实数，无最小值，B错误； C：令，解得或，故函数的零点为与，而非点、，C错误； D：当时， 由单调递减，得； 由单调递增，得. 故恒成立，D正确. 11．已知函数，则（   ） A．的值域为 B．关于的方程有3个实数根 C．当时，关于的方程有4个实数根 D．若函数，则对于，都有 【答案】ABD 【分析】先分析函数的定义域、值域等基本性质，通过换元法处理含的方程根的个数问题，结合函数单调性判断选项D即可. 【详解】函数的定义域为，为偶函数，令且，则. 对选项A： ∵ . ∴ 当时，，故. 当时，，故. ∴ 的值域为，A正确. 对选项B： 令，方程转化为. 解得（舍去），即，故或. ∵ 时，，共个解. 时，，共个解. ∴ 方程共有个实根，B正确. 对选项C： 令，方程转化为，判别式. 当时，，方程有两个不等实根，由韦达定理得，. 若，则方程根为或，时无解，对应3个实根，总解数为3，不符合“4个实根”的结论，故C错误. 对选项D： 当时，，显然在上单调递减. ∵ 时，，且，即. ∴ ，即，D正确. 【点睛】方法归纳：本题考查含绝对值的分式函数性质，处理复合方程问题常用换元法将复杂方程转化为二次方程求解，结合函数值域判断解的个数；单调性比较函数值大小需先判断自变量大小关系. 三、填空题 12．设是方程的解，且，则整数______________． 【答案】2 【分析】结合函数的单调性和零点存在性定理，即可求解. 【详解】令，单调递增，，， 所以零点，即. 13．在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为，大约有根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测______次就能找出故障地点所在区域（精确到范围内）？ 【答案】 【分析】结合二分法即可得到，解不等式即可求出结果. 【详解】如图，工人师傅首先从中点检测，用随身带的话机向两端测试， 不妨设发现段正常，可见故障在段； 再从线段的中点检测，假设发现段正常，可见故障在段； 再从段的中点检测；， 由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过次检测，所剩线路的长度为 m， 则有，即，由于，， 故至多检测次就能找到故障地点所在区域． 14．已知，关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】先作出函数的图象，结合图象可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【详解】作出函数图象如图所示： 令，则可化为， 若有6个根， 结合图象可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则，解得， 故m的取值范围为. 四、解答题 15．某工厂要建造一个无盖的长方体蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，设池底长方形的长为米. (1)用含的表达式表示池底长方形的宽以及建造这个蓄水池的总造价（单位：元）； (2)运用基本不等式求当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1) (2)，最小值为297600 【分析】（1）设底面长为x米，宽为米，由容积为立方米，列出水池的总造价关于的函数关系； （2）借助均值不等式即得解. 【详解】（1）设水池底面一边的长度为x米，则另一边的长度为米. 所以 即； （2）               ，                              当且仅当，即时，等号成立，y有最小值297600. 16．已知为实数，函数，,是函数的零点. (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使，？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由题意可知为函数的一个零点，代入求值，即得答案； （2）假设存在满足题意的b，结合二次函数性质列出不等式组，即可得结论，求得答案. 【详解】（1）由题意知，即为函数的一个零点， 则； （2）假设存在实数，使，， 则，解得， 即存在实数，使，，此时. 17．某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要增加可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为（万元），其中x是产品售出的数量（单位：百台）． (1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ (3)年产量是多少时，工厂才不亏本？ 【答案】(1) (2)475台 (3)产品年产量在11台到4800台时，工厂不亏本 【详解】（1）当时，产品能售出x百台；当时，只能售出5百台，故利润函数为 （2）当时，， 当时，（万元）； 当时，为减函数，所以； ∴生产475台时利润最大． （3）由或得． 因为 ∴产品年产量在11台到4800台时，工厂不亏本． 18．已知高斯函数（取整函数）表示不超过实数x的最大整数，函数. (1)求的值； (2)求函数的值域； (3)若函数恰有4个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据取整函数的定义计算即可； （2）利用取整函数判断，进而代入即可判断； （3）首先判断函数本身的奇偶性，进而将零点问题进行化简，通过讨论不同范围的取值即可求解. 【详解】（1）由题意得，. （2）因为，因此，即，即函数值域为. （3）函数的定义域为，且， 即函数为定义在实数域上的偶函数，则其零点关于原点对称， 因此恰有个零点等价于时，恰有个零点，且不是零点， 时，，即， 当时，设， 故若时，，，此时函数在上单调递增，值域为， 当时，，，此时函数在上单调递增，值域为， 当时，，，此时函数在上单调递增，值域为， 当时，，，此时函数在上单调递增，值域为， 当时，，，此时函数在上单调递增，值域为， ， 若函数恰有4个零点，即方程有2个正根， 所以. 19．已知函数，． (1)求； (2)设函数，对，，求的取值范围； (3)设函数，是否存在，使得关于的方程有且仅有四个解，，，，且满足．若存在，求；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或． (3)存在，． 理由如下： ． 中，显然，时，且单调递减； 时，且单调递减， ， 故关于中心对称， 令，方程可化为①， 方程有且仅有4个解，则方程①有两个不等正根，， 所以，解得， 四个解从小到大排列为，根据的对称性， 不妨设，， 由，可得， 因为，所以，即， 联立，化简得， ，解得： 综上，存在，． 【分析】（1）结合指数的运算化简即可求解； （2）令，可将问题转化为．恒成立，结合二次函数的图像与性质研究即可求解； （3）令，将问题等价于方程有两个不等正根，，利用根与系数关系求解即可. 【详解】（1） ，， ； （2），由（1）得， ． 令，则，． 即，令，对称轴， ①即时，最小值为，故只需或， 得或； ②即时，最小值为，故只需， 综上：或． （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $