第五章 函数应用 单元测试-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第五章 函数应用 单元测试 一、单选题 1．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（    ） A．11分钟 B．12分钟 C．15分钟 D．20分钟 2．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x），若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b＝0，a，b∈R有且仅有5个不同实数根，则实数a的取值范围是（    ） A．（，0） B．（，） C．（，）∪（，） D．（，） 3．定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，当时，，则在上的零点个数为（    ） A．10 B．15 C．20 D．21 5．已知函数为奇函数，定义域为，当时，，且当时，，则与的图像所有交点的横坐标的绝对值之和为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 6．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数在定义域上单调递增，，，，则函数的一个误差不超过0.05的零点可以为（    ） A．0.6 B．0.68 C．0.7 D．0.72 8．下列区间上，函数有零点的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 ． 10．已知方程的两实根为，，方程的两实根为，，且，则实数的取值范围为 . 11．已知，若函数恰有2个零点，则m的取值范围是 ． 12．已知函数，若有4个零点分别为，，，，且满足，则的取值范围为 ． 四、解答题 13．已知函数． (1)判断函数的零点的个数并说明理由； (2)求函数零点所在的一个区间，使； 14．已知函数为偶函数，函数为奇函数，且满足． (1)求函数，的解析式； (2)若函数，且方程恰有三个解，求实数k的取值范围． 15．已知是定义在上的奇函数． (1)求的值，指出的单调性（单调性无需证明）； (2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域； (3)若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围． 16．已知函数． (1)用定义证明在定义域上是减函数； (2)若函数在上有零点，求实数a的取值范围． 参考答案 1．C 【分析】先利用待定系数法求出和时，关于的函数关系式，再求出时，的值，然后结合函数图象即可得出答案． 【详解】当时，设， 将点代入得：，解得， 则此时， 当时，设， 将点代入得：， 则此时， 综上，， 当时，，解得， 当时，，解得， 则当时，， 所以此次消毒的有效时间是（分钟）， 故选：C． 2．A 【分析】作出函数的图象，令，根据图象得出方程的解的情况，得出的范围，从而得出的范围． 【详解】作出的函数图象如图所示： 令，显然，当时，方程只有一解， 当时，方程有四个解， 当时，方程有两解， 当或时，方程无解． 关于的方程，，有且仅有5个不同实数根， 关于的方程，有两解，且一解为，另一解， ， 的两解分别为，， ，解得． 故选：． 【点睛】本题考查了函数零点的个数与函数图象的关系，二次函数的性质，属于中档题． 3．D 【分析】由题可得函数的周期为2，函数与的图象在区间上有4个交点，利用数形结合即得. 【详解】因为定义在R上的函数满足， 所以，即是周期为2的函数， 由，可得， 因为在区间上函数恰有4个不同的零点， 所以函数与的图象在区间上有4个交点， 作出函数与的大致图象， 由图象可知，解得， 即实数m的取值范围为. 故选：D. 4．D 【分析】根据条件，得到函数的周期为，再根据条件得出时，，从而得出，再利用周期性及图像即可求出结果. 【详解】因为，令，得到， 所以，从而有，又函数是定义在上的奇函数， 所以，即，所以函数的周期为， 令，则，又当时，， 所以，得到， 故，又，所以在上的图像如图， 又当时，由，得到，当，由，得到，即， 又，所以， ，， 又由，得到，即， 所以， 再结合图像知，在上的零点个数为21个， 故选：D. 5．D 【分析】也是奇函数，考虑时交点的横坐标，根据函数定义确定的性质，作出简图，并确定变化趋势，作出的图象，可得交点及交点横坐标，再结合奇函数性质可得结论． 【详解】∵当时，，∴在上是增函数， 且当时，，，又由可得（）， ∴在区间上也是增函数， 且当时，，， 则.当时，作出，的部分图像，如图所示. 由图可知，当时，与的图像只有2个交点，横坐标分别为1，2，又与为定义域上的奇函数，∴当时，与的图像只有2个交点，横坐标分别为，，则与的图像所有交点的横坐标的绝对值之和为6． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象交点问题，解题方法是作出函数的图象，由图象观察得出交点的性质，两个函数都是奇函数，只要作出的部分即可得，而在时，的图象是关键．利用函数式的定义得出函数是分段函数，在上的一段是前面一段上函数值的2倍，这样作出图象后可得结论． 6．B 【分析】利用零点存在定理可得出结论. 【详解】函数在上单调递增， 因为，，，则， 所以函数的零点所在区间是， 故选：. 7．BCD 【分析】由函数的零点判断定理得出结果即可. 【详解】因为，，，所以函数的零点所在的区间为，而，所以函数的一个误差不超过0.05的零点可以为0.68或0.7或0.72. 故选：BCD. 8．AD 【分析】根据零点存在定理结合函数单调性分析即可. 【详解】由题意得且，解得且， 则该函数的定义域为， 当时，时，；当时，， 又因为函数图象在连续不间断，且在上均单调递增， 则在上单调递增， 则在上存在唯一零点，使得； 当时，因为，且时，， 又因为函数图象在连续不间断，且在上均单调递增， 则在上单调递增， 则在上存在唯一零点，使得； 综上，AD正确，BC错误. 故选：AD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是灵活运用零点存在定理和函数单调性相关结论，同时需要有一定的极限思想，最后即可得到函数零点所在区间. 9． 【详解】 分情况进行讨论： 当时，，当时在递减，递增，取得最小值；当时在时取得最小值2，故，解得，又因为此时，所以。 当时，易得成立 当时，当时所以在递减，递增，取得最小值；当时在处取得最小值，故，解得，又因为，所以. 当时，，时所以在递减，递增，取得最小值，；当时在处取得最小值，故，解得 又，故。 所以实数的取值范围为。 10． 【解析】把问题转化为函数与，两个函数的交点问题，画出图像，观察即可得出结果. 【详解】由方程的两实根为，， ，则， 转化为两个函数的交点问题， 由方程的两实根为，， 转化为两个函数的交点问题， 画出函数的图像，如图所示： 又，观察图像可得：. 则实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有实根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 11． 【分析】根据一元二次方程的实数根，结合对数函数的性质、零点的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】令，得或．当时，在上有2个零点，则在上无解，从而，故符合题意； 当时，在上有且仅有1个零点，则在上有1个解，从而，故符合题意． 综上，m的取值范围是． 故答案为： 12． 【分析】根据对数函数可计算规则可计算出时两个零点的乘积，根据韦达定理可以解出时两个零点的乘积，根据零点个数可确定m与a的关系，最后根据即可求出的取值范围. 【详解】不妨假设 时，； 当时，，因为有4个零点，所以，此时，，且根据韦达定理可知 ，故 综上所述：的取值范围为. 故答案为： 13．(1)一个，理由见解析； (2) 【分析】（1）先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理即可判断零点个数； （2）由（1）知函数零点所在的一个区间为，因，故得函数零点所在的一个区间为，又因，故得函数零点所在的一个区间为，满足，故得结果. 【详解】（1）因的定义域为，且函数在上单调递增， 故函数在上至多有一个零点. 又，由零点存在定理可知，函数在上必有一个零点. 故函数在上只有一个零点. （2）由（1）知函数在上必有一个零点.，且， 又，故函数零点所在的一个区间为， 又，故函数零点所在的一个区间为， 而，即函数零点所在的一个区间为. 14．(1)， (2) 【分析】（1）由及函数奇偶性得到，联立方程组求解即可； （2）由（1）得到的解析式，画出其图象，求出方程的两个解，数形结合即可得到实数k的取值范围． 【详解】（1）因为是偶函数，是奇函数，且，① 所以，， 所以，即，② 由①②解得， ①②解得； （2）由（1）得， 所以， 所以，， 作出的图象，如图所示： 因为方程恰有三个解， 即方程恰有三个解， 所以恰有三个解， 解得或， 又因为，结合图形可得： 或，解得或． 所以实数k的取值范围为． 15．(1)，在上单调递增， (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求参数的值，根据复合函数的单调性判断的单调性； （2）根据函数平移的性质求得参数的值，再求函数的值域； （3）根据函数单调性结合题意将问题转化为关于的方程有两个不相等的正实根，然后利用一元二次方程根的分布求解即可. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以，即， 所以，即， 所以，整理得，得， 所以， 所以在上单调递增； （2）由（1）得， ， 因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以函数的值域为； （3）由（1）得， 令，则在上递增， 因为函数在上的值域为， 所以，所以， 因为， 所以关于的方程有两个不相等的正实根， 所以，解得， 即t的取值范围为． 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性、函数图象平移的综合问题，第（3）问解题的关键就是利用转化的数学思想将问题转化为一元二次方程有两个不相等的正实根，然后利用根的分布求解. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先求函数的定义域，再根据减函数的定义证明即可； （2）由（1）知，函数在定义域为上的减函数，从而为减函数，故只需满足，解不等式组即可求得a的取值范围． 【详解】（1）证明：根据题意，函数， 则有，解可得，即函数的定义域为， 设，则 ， ， 因为，所以 ， ， 所以， 故，即 则函数在定义域上是减函数； （2）根据题意，由（1）的结论，函数在定义域为上的减函数， 则为减函数， 若函数在上有零点， 则， 解可得：， 故a的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$