第五章 二次函数 单元巩固测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元巩固卷，通过基础辨析、图像分析及实际应用（如自动浇花装置、通信保障），全面覆盖概念、性质与应用，适配暑假复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次函数概念（第1题）、图像性质（第2、3题）|基础辨析，结合生活实例| |填空题|6/18|平移（第13题）、实际应用（第14题）|聚焦易错点，联系实际情境| |解答题|8/72|图像信息（17题）、最值应用（20题）、跨学科情境（22、23题）|分层设计，综合考查模型意识与创新应用|

第五章 二次函数 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 【答案】C 【分析】根据各选项的实际数量关系列出y与x的函数关系式，再结合二次函数的定义判断，二次函数定义为形如 (a，b，c为常数，且)的函数是二次函数． 【详解】解：对选项A，∵设铅笔单价为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故A不符合题意； 对选项B，∵设路程为定值，可得，即，∴y是x的反比例函数，不是二次函数，故B不符合题意； 对选项C，∵正方体棱长为x，表面积为y，正方体有6个大小相等的正方形面，每个面面积为，∴，符合二次函数定义，故C符合题意； 对选项D，∵设速度为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故D不符合题意． 2．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 3．如图，二次函数的图象经过，对称轴是直线，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴求与 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键； 由抛物线的开口方向判断的正负，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴计算与的关系；再由与轴的交点个数判断根的判别式，进而对所得结论进行判断. 【详解】解：A.抛物线开口向上，，抛物线交轴的负半轴，故，则，故 A 选项不正确，不符合题意； B. 抛物线对称轴是直线，则，则，故，则 B 选项不正确，不符合题意； C. 二次函数的图象经过，对称轴是直线，则另一个交点坐标为，则当时，，故 C 选项正确，符合题意； D.当时，则，由于，代入后得，故 D 错误，不符合题意. 4．抛物线与坐标轴的交点个数为（    ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】先求出时，的值，再求出时，的值，由此即可得出交点个数． 【详解】解：对于抛物线， 当时，，即与轴的交点为，有1个， 当时，， 解得，即与轴的交点为，有1个， 综上，此抛物线与坐标轴的交点个数为2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 5．已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴，得到，，，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为得到，根据当时，，当时，，即可判断④；讨论抛物线与直线的交点情况即可判断⑤． 【详解】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，即， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵方程可化为， ∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线， ∴该直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 6．下面表格中的数据是二次函数的几组对应值．根据表中的数据我们可以判断：当时，自变量x的取值范围是（     ） x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … A． B．或 C． D．﹣ 【答案】B 【分析】本题先根据表格中的对应值，得到二次函数的对称轴，与x轴的交点坐标，判断开口方向，再结合二次函数的图像性质确定时自变量的取值范围． 【详解】解：由表格数据可知，和时值相等，均为， 二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，二次函数与轴的交点为和， 顶点纵坐标，且抛物线与x轴有两个交点， 抛物线开口向上， 根据开口向上的二次函数图像性质，可得当时，自变量的取值范围是或． 7．如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线和三角形面积，令得一元二次方程，求解可得点A，B的坐标，进一步由三角形面积公式可得结论． 【详解】解：对于 令，得 解得，，， ∴，， ∴    ∴． 故选：C． 8．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键． 由二次函数的图象可得：，，，可得一次函数的图象经过一、二、三象限，的图象在二，四象限，从而可得答案． 【详解】解：由二次函数的图象可得：，， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限， 的图象在二，四象限， ∴A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选：B． 9．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 10．当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】D 【分析】先对函数配方得到开口方向和对称轴，再根据对称轴与给定的的取值范围的位置关系分类讨论，即可求出的值． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处函数最小值为． 当时，函数的最小值为1， 分两种情况讨论： ①如图1，当时，即时， 最小值在处取得， ∴，即，解得或， ∵， ∴． ②如图2，当时， 最小值在处取得， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上，的值为或． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 12．对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 13．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．根据平移的规律：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位， 得到：，即， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 14．如图，一辆宽为的货车要通过跨度为、拱高为的单行抛物线形隧道从正中通过，抛物线满足表达式，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键．根据题意，先将代入，求得，然后结合车顶离隧道的顶部至少要有的距离，即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离， ∴货车的限高应是， 故答案为：． 15．若直线与二次函数的图象交于、两点，且线段，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理；根据题意，联立直线与二次函数解析式，设的横坐标为，则，进而根据勾股定理，，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意， 消去得， 设的横坐标为，则 ∴ 即 解得：， 故答案为：． 16．已知二次函数的图像与一次函数图像中的每一条都至多有一个公共点，则的最大值是__________． 【答案】5 【分析】由二次函数的图像与一次函数图像中的每一条都至多有一个公共点，根据判别式得，，进而可得，根据二次函数的性质求解即可 【详解】二次函数一次函数图像中至多有一个公共点， 由二次函数一次函数图像中至多有一个公共点， 即 解得或 ， 则的最大值是5 故答案为：5 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，根据二次函数的性质求自变量范围，掌握二次函数的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，； （2）解：观察图象可知：不等式的解集为； （3）解：由图象可知，时，方程有且只有一个实数根． 18．如图是某个二次函数的图象． (1)求该二次函数关系式； (2)补全函数图象； (3)若抛物线上点到轴的距离不大于2，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用顶点式求二次函数解析式即可； （2）根据解析式画出图像即可； （3）求出当时，的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数解析式为， ∵抛物线过点，代入得： ， ∴； （2）略； （3）解：当时， ； 当时， ； ∵抛物线开口向下，顶点坐标， 即当时，的最大值为4， ∴抛物线上点到轴的距离不大于2时，． 19．将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位． (1)用配方法将写成的形式； (2)求平移后的解析式； (3)求平移后抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标； (4)对于平移后的抛物线，当取何值时，随着的增大而减小？ 【答案】(1) (2) (3)对称轴为直线，与轴交点坐标为 (4)当时，随着的增大而减小 【分析】（1）利用配方法将原一般式抛物线化为顶点式即可； （2）根据抛物线平移“左加右减．上加下减”的规律得到平移后的解析式； （3）利用二次函数性质求解对称轴与y轴交点坐标； （4）根据开口方向和对称轴判断y随x变化的取值范围． 【详解】（1）解： （2）解：根据抛物线平移规律可知平移后的解析式为： ； （3）解：平移后的抛物线顶点式为， 可得对称轴为直线， 令，代入得， 因此平移后抛物线与轴的交点坐标为； （4）解：平移后抛物线中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 因此当时，随着的增大而减小． 20．国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为． (1)求y与x的函数表达式； (2)若改造后观花道的面积为，求x的值； (3)若要求，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值． 【答案】(1) (2)x的值为1 (3)改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为 【分析】（1）利用长方形的面积计算公式得出y与x的函数关系式； （2）将代入函数解析式求出x的值； （3）利用配方法将函数配成顶点式，然后根据函数的增减性得出最值． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：由题意可得：， 则， 即， 解得：，， 经检验得：不合题意，舍去， 答：x的值为1； （3）解： ， 当时，y随x的增大而减小， 故当时，y最大，， 即改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为． 21．已知关于x的二次函数． (1)若该函数图象经过． ①求a的值； ②设抛物线与x轴正半轴交于点B，交y轴于点C，点P是直线上的动点，求的最小值． (2)在时，该函数的最大值与最小值之差为8，求a的值． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】(1)①将点代入即可求解a；②由抛物线的解析式求出点C的坐标，对称轴和点B的坐标，利用勾股定理求出最小值即可； (2)根据抛物线的对称轴为直线，分三种情况进行求解：当时，当时，当时，分时和时两种情况求解a即可． 【详解】（1）解：①将点代入，得 ，解得； ②由①得， 令，则，故点C的坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 令，则， 解得，， 故点B的坐标为， 设与x轴的另一个交点为， 则， ， 的最小值为； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，当时，， 当时，， ， 解得； 当时，当时，， 当时，， ， 解得； 综上，或． 【点睛】本题考查了抛物线解析式的求法，二次函数的最值，抛物线与x轴交点的相关知识，求出抛物线解析式是解答关键． 22．问题背景：某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为y（单位：m），水平距离为x（单位：m），建立如图1所示的平面直角坐标系． 信息1：通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为t（单位：s）时的多组数据，其中几组数据如下： 时间 0 0.10 0.20 0.30 水平距离 0 0.10 0.20 0.30 竖直线高度 0.80 0.75 0.60 0.35 信息2：小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离x与时间t的关系为（v为水滴离开出水点时的速度，单位） 根据以上信息，解决下列问题： (1)v的值是______； (2)水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过多长时间？ (3)将如图2所示的一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），水喷出后运动路径的形状不变，要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为____________． 【答案】(1)1； (2)； (3)． 【分析】（1）依据题意，由水平距离x与时间t的关系为，结合表格中的数据求解即可； （2）依据题意，利用待定系数法求出对应的抛物线解析式，再求出时，x的值，然后根据时间距离速度，即可得到答案； （3）设平移后的抛物线解析式为，由题意得，当时，，当时，，分别求出的值，最后下结论即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：设抛物线解析式为， 由表格得， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时， 解得或（舍去）， ∴水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过； （3）解：设平移后的抛物线解析式为， ∵一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且， ∴当水落在花盆最左边时，，此时，解得； 当水落在花盆最右边时，时，，解得； ∴要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为． 23．【问题背景】为落实2026年深圳峰会“开放创新，绿色发展”的办会理念，会议通信保障中心发现，现场设备分为两类：媒体设备（记者用于直播、传输视频，占总设备数的 ，每台需带宽2单位）和普通设备（占 ，每台需带宽1单位）．每个通信基站带宽容量为600单位．会议通信保障中心的目标是在保障期的任意时刻，现场总带宽需求不超过基站总容量． 【模型构建】在会议开始前40分钟启动通信保障，现场总设备数y（台）与保障时间x（分钟）满足： ． 【模型应用】 (1)第______分钟，现场总设备数达到1400台． (2)请求出第 分钟时的现场总带宽需求 的表达式． (3)为满足带宽需求，至少需要部署多少个基站？请说明理由． (4)通信中心考虑优化方案：媒体设备区必须保证 带宽供应，普通设备区可接受“弹性保障”（当带宽不足时，可降速至0.5单位/台）．若普通设备区降速策略生效的阈值为：当 （总带宽容量）时启动．请通过计算说明采用此策略后，所需基站数能否减少． 【答案】(1) (2) (3)解：至少需要部署4个基站，理由如下： ， ∵，函数图象开口向下，对称轴为， ∴当时，p随x增大而增大， 当时p取得最大值： ， 单个基站带宽容量为单位，所需基站总数为，基站数量为正整数，向上取整得到至少需要部署4个基站； (4)解：假设部署3个基站，总带宽容量为单位： 弹性策略启动阈值为，即当原始总带宽需求时，普通设备单台带宽降为单位， 此时调整后的总带宽需求为： ， 当时y取得最大值， 代入得调整后最大带宽需求，满足验证阈值触发区间； 令原始， 即， 解得， 对应x的取值范围约为，该区间内调整后的带宽需求始终小于，所有时刻带宽需求均可被3个基站覆盖， ∴采用该策略后，所需基站数可以从4减少到3，能够实现基站数减少． 【分析】（1）将给定的总设备数代入已知的设备数和时间的关系式，得到一元二次方程，求解后结合x的取值范围舍去超出定义域的解，得到符合要求的时间； （2）根据两类设备的占比和单台带宽需求，先推导出总带宽p和总设备数y的函数关系式，再将y关于x的表达式代入，展开整理得到p关于x的最终表达式，标注对应的x的取值范围； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴位置，找到p的最大值，用最大总带宽除以单个基站的容量，向上取整得到最少需要部署的基站数量； （4）先假设部署比原方案少1个的基站，计算该配置下的总容量和弹性策略触发阈值，推导弹性策略生效后的总带宽需求表达式，计算调整后的最大带宽需求，验证其是否小于该配置的总容量，确认所有时刻的带宽需求都可以被覆盖，即可判断基站数是否可以减少． 【详解】（1）解：将代入总设备数关系式： 整理得： 解得， ∵， ∴； （2）解：∵媒体设备占总设备数，单台带宽2单位，普通设备占总设备数，单台带宽1单位， ∴， 代入， ； （3）解：略； （4）解：略． 24．如图1，已知直线与x轴、y轴分别交于B，C两点，抛物线经过点B，C交x轴于另一点A，点P为x轴上方抛物线上一动点（不与点C重合），设点P横坐标为m． (1)填空：B（___，___），C（___，___），抛物线的解析式为______； (2)过点P作轴，交直线于点M，当时，求点P的横坐标； (3)过点P作x轴的平行线交直线于点Q，线段的长记为d，求d关于m的函数． 【答案】(1)3，0，0，3， (2)点P的横坐标为：1或2或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合，涉及求点的坐标与函数解析式等知识点，综合运用“数形结合”的思想是解题的关键． （1）分别令横纵坐标为0，并结合一次函数的解析式即可求得点B与点C的坐标；利用待定系数法即可求得二次函数的解析式． （2）先表示出点P与点M的纵坐标，然后用点P与点M的纵坐标之差的绝对值等于2建立二次方程并求解，最后再结合m的取值范围即可确定点P的横坐标． （3）先根据平行于x轴的纵坐标相等建立方程，然后求得点Q的横坐标，然后用点P与点Q横坐标之差的绝对值表示出线段PQ，再结合m的取值范围分段写出d关于m的函数． 【详解】（1）解：在直线中，令，得；令，得,即， 故，将两点的坐标代入中得： 解得： ∴抛物线的解析式为 故答案为：3，0，0，3，． （2）设点P的横坐标为m，则，即：， ∴或 解方程得，或； 解方程得， 因点P位于x轴的上方，故，解得：， 因，故不合题意舍去． 故点P的横坐标为：1或2或． （3）解：如图， ∵点P的横坐标为m，且点P在抛物线上， ∴点P的纵坐标为， ∵直线轴， ∴点Q的纵坐标也为， 设点Q的横坐标为a，因点Q在直线上， ∴，解得：， 即点Q的横坐标为， ∴， ∵点P与点C不重合，则，又， ∴当时，， 当时，， 故d关于m的函数为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 二次函数 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 2．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 3．如图，二次函数的图象经过，对称轴是直线，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．抛物线与坐标轴的交点个数为（    ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 5．已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．下面表格中的数据是二次函数的几组对应值．根据表中的数据我们可以判断：当时，自变量x的取值范围是（     ） x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … A． B．或 C． D．﹣ 7．如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 8．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 9．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 10．当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 12．对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 13．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标是______． 14．如图，一辆宽为的货车要通过跨度为、拱高为的单行抛物线形隧道从正中通过，抛物线满足表达式，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是__________． 15．若直线与二次函数的图象交于、两点，且线段，则________． 16．已知二次函数的图像与一次函数图像中的每一条都至多有一个公共点，则的最大值是__________． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 【答案】(1)， 18．如图是某个二次函数的图象． (1)求该二次函数关系式； (2)补全函数图象； (3)若抛物线上点到轴的距离不大于2，请根据图象直接写出的取值范围． 19．将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位． (1)用配方法将写成的形式； (2)求平移后的解析式； (3)求平移后抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标； (4)对于平移后的抛物线，当取何值时，随着的增大而减小？ 20．国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为． (1)求y与x的函数表达式； (2)若改造后观花道的面积为，求x的值； (3)若要求，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值． 21．已知关于x的二次函数． (1)若该函数图象经过． ①求a的值； ②设抛物线与x轴正半轴交于点B，交y轴于点C，点P是直线上的动点，求的最小值． (2)在时，该函数的最大值与最小值之差为8，求a的值． 22．问题背景：某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为y（单位：m），水平距离为x（单位：m），建立如图1所示的平面直角坐标系． 信息1：通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为t（单位：s）时的多组数据，其中几组数据如下： 时间 0 0.10 0.20 0.30 水平距离 0 0.10 0.20 0.30 竖直线高度 0.80 0.75 0.60 0.35 信息2：小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离x与时间t的关系为（v为水滴离开出水点时的速度，单位） 根据以上信息，解决下列问题： (1)v的值是______； (2)水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过多长时间？ (3)将如图2所示的一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），水喷出后运动路径的形状不变，要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为____________． 23．【问题背景】为落实2026年深圳峰会“开放创新，绿色发展”的办会理念，会议通信保障中心发现，现场设备分为两类：媒体设备（记者用于直播、传输视频，占总设备数的 ，每台需带宽2单位）和普通设备（占 ，每台需带宽1单位）．每个通信基站带宽容量为600单位．会议通信保障中心的目标是在保障期的任意时刻，现场总带宽需求不超过基站总容量． 【模型构建】在会议开始前40分钟启动通信保障，现场总设备数y（台）与保障时间x（分钟）满足： ． 【模型应用】 (1)第______分钟，现场总设备数达到1400台． (2)请求出第 分钟时的现场总带宽需求 的表达式． (3)为满足带宽需求，至少需要部署多少个基站？请说明理由． (4)通信中心考虑优化方案：媒体设备区必须保证 带宽供应，普通设备区可接受“弹性保障”（当带宽不足时，可降速至0.5单位/台）．若普通设备区降速策略生效的阈值为：当 （总带宽容量）时启动．请通过计算说明采用此策略后，所需基站数能否减少． 24．如图1，已知直线与x轴、y轴分别交于B，C两点，抛物线经过点B，C交x轴于另一点A，点P为x轴上方抛物线上一动点（不与点C重合），设点P横坐标为m． (1)填空：B（___，___），C（___，___），抛物线的解析式为______； (2)过点P作轴，交直线于点M，当时，求点P的横坐标； (3)过点P作x轴的平行线交直线于点Q，线段的长记为d，求d关于m的函数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $