第5章 二次函数（暑假单元自测）新九年级数学新教材北师大版

**基本信息** 北师大版初中数学二次函数单元卷，覆盖全章重难点，通过基础题与综合应用题梯度设计，考查抽象能力、运算能力及模型意识，适配暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|抛物线性质、顶点坐标、图像平移|基础巩固，考查几何直观| |填空|6/24|概率与二次函数结合（第11题）、图像性质表格（第12题）|能力提升，体现抽象能力| |解答|8/66|科技实践数据（第18题）、仓库抛物线建模（第22题）、矩形剪裁最值（第23题）|创新应用，强化模型意识与推理能力|

第5章 二次函数 单元自测卷 【新教材，北师大版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（本题3分）抛物线与轴交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 【答案】C 【分析】令抛物线函数值为0，得到对应一元二次方程，通过根的判别式判断方程实数根个数，即可确定抛物线与x轴交点的个数． 【详解】解：当时， ， ∴该方程有2个不相等的实数根， ∴抛物线与x轴交点的个数为2． 2．（本题3分）对于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，的最大值为2 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】的基本特征：对称轴为直线，顶点坐标为；当时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，且在对称轴右侧()，随的增大而减小．解题思路是根据这些性质逐一验证每个选项的正确性． 【详解】解：已知抛物线的解析式为， 对于选项A：根据顶点式性质，抛物线的对称轴为直线，该说法正确； 对于选项B：顶点式对应的顶点坐标为，该说法正确； 对于选项C：， 抛物线开口向下，在时取得最大值．该说法错误； 对于选项D：抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，该说法正确． 综上，说法错误的是选项C． 3．（本题3分）已知点、均在二次函数的图象上，、、、 均为常数，则p、q的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，可将点A、B的坐标分别代入二次函数解析式，求出p、q的表达式，再分析两者的数量关系即可得到答案． 【详解】解：∵点、均在二次函数的图象上， ∴，， ∴，， 根据现有条件无法得到，，， 故选：A． 4．（本题3分）如图，抛物线与轴交于点，把抛物线在轴及共其上方的部分记作将向左平移得到，与轴交于点，若直线与共3个不同的交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查抛物线与轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 首先求出点和点的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时的值以及直线过点时的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：将y＝0代入， 得：， 解得：，， 抛物线与轴交于点、， ，， 抛物线向左平移4个单位长度， ∵， 平移后解析式， 如图， 当直线过点，有2个交点， ， 解得：， 当直线与抛物线相切时，有2个交点， ， 整理得：， 相切， ， 解得：， 若直线与、共有3个不同的交点， ， 故选：A． 5．（本题3分）如图给出了二次函数的图象．对于这个函数有以下五个结论：①；②；③；④；⑤当时，只能等于0．其中结论正确的是（   ） A．①② B．②④ C．③④ D．④⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据二次函数的图象与x轴有两个不同的交点可判断①；根据开口方向和对称轴可判断②和④；根据当时，可判断③；根据对称性可知，当时，，则可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有两个不同的交点， ∴，故①错误； ∵函数图象的开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∴，故④正确； 由函数图象可知，当时，， ∴，故③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴由对称性可知，当时，， ∴当时，等于0或4，故⑤错误， 故选：C． 6．（本题3分）关于抛物线，下列说法正确的是(    ) A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与y轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的相关性质，逐一分析选项即即可求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴，， ∵ ∴抛物线开口向下，故A选项错误 ∵对称轴为直线 ∴对称轴是直线，故B选项错误 ∵当时， ∴抛物线与轴的交点坐标是，故C选项正确 ∵当时， ∴顶点坐标是，故D选项错误 故选：C． 7．（本题3分）已知二次函数的图像上有两点、，则与大小关系是（   ） A． B． C． D．没法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较； 先求出二次函数的对称轴，根据二次函数开口方向判断对称轴左侧的单调性，再结合两点横坐标的大小比较函数值大小． 【详解】解：∵二次函数中，，开口向上， ∴对称轴为直线， ∵点、的横坐标都小于1，即在对称轴左侧， 又∵开口向上的二次函数，在对称轴左侧随的增大而减小， 且， ∴， 故选：B． 8．（本题3分）如图，在中，，的半径为2，点P是线段上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点．，则y与x的函数图象大致是（    ）      A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】作，垂足为，证明，得出，根据题意得，则列出函数表达式，再根据函数解析式判定图象即可． 【详解】 解：如图，作，垂足为， ∴，      ， ， ， ，，， ，， ， ， ∵是的切线， ∴， ， ∴该函数图象是抛物线，故D错误； 当时，，当时，．故C错误； 抛物线的顶点坐标为，故B错误； 综上，只有A符合． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了函数的图象与列函数表达式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质等等，分析题意弄清题目中的函数关系是做出正确判断的根本． 9．（本题3分）若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由的图象可得，，，，从而可判断的大致图象． 【详解】解：∵的图象开口向下， ∴， ∴的图象与轴交于负半轴； ∵的对称轴在轴左边， ∴， ∴， ∵的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴的图象开口向下，对称轴在轴左边， ∵的图象与轴没有交点， ∴， ∴的图象与轴没有交点， 综上所述，可得D选项符合题意． 故选：D． 10．（本题3分）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中： ①；②；③；④点在抛物线上时，关于x的方程的两根为， ，则．其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数与一元二次方程，根据图象和对称轴判断①②，特殊点判断③，对称轴，以及二次函数图象与一元二次方程的关系，判断④即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于负半轴， ∴；故①正确； ∵对称轴为直线， ∴；故②正确； 由图象可知，当时，；故③错误； ∵点在抛物线上，对称轴为直线， ∴点在抛物线上， ∴方程的两根为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵， ∴， ∴；故④错误； 故选B． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）从，，1，3这4个数中，随机抽取两个不同的数，分别记作，，则抛物线的图象的顶点在第一象限的概率为______． 【答案】 【分析】此题考查利用列表法和树状图求概率，掌握概率是所求情况数与总情况数之比，第一象限点的符号，二次函数的顶点坐标是解决问题的关键； 抛物线的顶点为，先列出图表，再根据第一象限内坐标的特点解答，列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：列表如下： 1 3 1 3 由表可知，共有12种等可能的结果， ∵抛物线的图象的顶点在第一象限， ∴符合条件的点有和， ∴抛物线的图象的顶点在第一象限的概率为， 故答案为：． 12．（本题9分）填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线（轴） 向上 直线（轴） 向下 直线 向上 直线 向下 直线 向上 直线 【分析】根据二次函数顶点式的性质，由的符号判断开口方向，由确定对称轴，由，确定顶点坐标，将一般式通过配方化为顶点式后对应求解即可． 【详解】二次函数顶点式为：； 对于抛物线，可变形为，其中，，， 开口向下，对称轴为直线（轴），顶点坐标为； 对于抛物线，可变形为，其中，，， 开口向上，对称轴为直线（轴），顶点坐标为； 对于抛物线，可变形为，其中，，， 开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 对于抛物线，配方得，其中，，， 开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； 对于抛物线，配方得，其中，，， 开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 对于抛物线，配方得，其中，，， 开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 13．（本题3分）如图是抛物线的部分图象，若，则自变量的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．观察图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线与轴一个交点为，从而可判断时对应自变量取值范围． 【详解】解：观察图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线与轴一个交点为， 抛物线与轴另一个交点为， 当时，自变量的范围是． 故答案为：． 14．（本题3分）在平面直角坐标系中，若点，，，则的最小值为__________． 【答案】 54 【分析】利用平面直角坐标系内两点间距离公式表示出和，代入所求式子整理为关于的二次函数，再用配方法求出二次函数的最小值即可． 【详解】解：根据两点间距离公式，得 则 ； ∴， ∴的最小值为54． 15．（本题3分）如图，已知为等边三角形，边长为，，分别为边，上的动点，且满足，连接，，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，二次函数的性质，过点分别作的垂线，垂足分别为，根据等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分别表示出，进而根据二次函数的性质，求得取得最小值，最小值为，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为 设， ∵已知为等边三角形，边长为， ∴， ∴ ∵，则 ∴， ∴ ∴ ∴ 当时，取得最小值，最小值为 ∴的最小值为 故答案为：． 16．（本题3分）已知，是抛物线上的两个点，则b的值为______． 【答案】 【分析】由于点与纵坐标相同，因此这两点关于抛物线的对称轴对称，由此可得抛物线的对称轴，结合二次函数对称轴公式求解b即可． 【详解】解：∵，是抛物线上的两个点， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得． 三、解答题（共66分） 17．（本题6分）求图象为下列抛物线的二次函数的表达式： (1)抛物线的顶点在原点，且抛物线经过点； (2)抛物线的顶点坐标为，且抛物线经过点； (3)抛物线经过三点：，，． 【答案】(1)； (2)（或）； (3)． 【分析】因为抛物线顶点在原点，所以设二次函数表达式为，将点代入即可求解； 因为抛物线顶点坐标为，所以设二次函数表达式为，将点代入即可求解； 设二次函数表达式为，将三点，，代入即可求解． 【详解】（1）解：因为抛物线顶点在原点，所以设二次函数表达式为， 将点代入得， 解得， 所以二次函数表达式为； （2）解：因为抛物线顶点坐标为，所以设二次函数表达式为， 将点代入得， 解得， 所以二次函数表达式为（或）； （3）解：设二次函数表达式为， 将三点，，分别代入得， ， 把代入另外两个方程得， 两式相加解得， 将代入得， 所以方程组的解为， 所以二次函数表达式为． 18．（本题6分）某科技小组在老师的指导下积极开展科技实践活动．他们在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，再在镜片的后面放一个光屏正对着镜片；不断调整光屏与镜片之间的距离，直到光屏上的光斑最小．此时他们测量了镜片与光斑之间的距离，得到如下数据： 老花镜的度数D/度 100 120 200 250 300 镜片与光斑之间的距离f/m 1 0.8 0.5 0.4 0.3 (1)观察表中的数据，你发现了什么？ (2)如果按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为0.7，那么你估计这副老花镜的度数是多少？ 【答案】(1) 解：∴随着老花镜度数的逐渐增大，镜片与光斑之间的距离逐渐减小， 二者之间的大致关系是：，即； ∴由表中的数据可得：老花镜的度数越大，镜片与光斑之间的距离越小，且，满足关系. (2)估计这副老花镜的度数约为143度 【分析】（1）观察表格数据，推导出镜片与光斑的距离逐渐减小，二者之间的大致关系是：，即可作答． （2）依题意，把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：依题意，一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为 ∴ ∴这副老花镜的度数大约143度左右． 19．（本题10分）二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点． (1)求二次函数表达式； (2)如图1，点C、D关于二次函数图象的对称轴对称，作直线． ①若将直线沿y轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求h的取值范围； ②如图2，若抛物线上有一点Q，满足，求Q点坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）①先求出抛物线的对称轴，根据对称轴求出点坐标，然后利用待定系数法求出原直线的解析式，平移后得出新解析式，联立解析式利用根的判别式进行求解即可； ②连接，作，连接交抛物线于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则，证明，得出对应边相等，求出，利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立解析式求出交点坐标，同理利用对称性求出，求出点的另一坐标． 【详解】（1）解：由条件可设二次函数的解析式为， 将代入二次函数解析式可得：， 解得：， ∴； ∴； （2）解：①抛物线的对称轴为直线，点， ∴， 假设原直线的解析式为， 将和代入得， 解得， ∴：， 上移h个长度单位， ：， ． 有交点， ， ， ； ②，，， ， ， ． 如图，连接，作，连接交抛物线于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， 假设直线的解析式为， 将和代入解析式得， ， 解得， ， ， ，， ； 同理对称可知， 同上可求出直线解析式，联立直线解析式和抛物线解析式，求出； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的相结合，二次函数的图象和性质，函数图象交点和一元二次方程的关系，全等三角形的判定和性质，求交点坐标，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 20．（本题10分）如图，四边形OBCD是边长为8的正方形，B，D分别在x，y的正半轴上，二次函数的图像经过点B且其顶点A在边上，连接，作轴于点H，T是直线上方的抛物线上一个动点（T不与O，A重合），过点T作轴于点R，交于点P，交于点Q． (1)直接写出点A的坐标，并求出该二次函数的解析式； (2)求证：的值为常数； (3)是否存在实数使得以，，（为常数，）的值为三边长的三角形为等边三角形？若存在，请说明理由，并求出的值和点T的坐标；若不存在，也请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，二次函数的解析式为； (2)的值为常数； (3)存在时，等边三角形存在，此时点T的坐标为. 【分析】（1）根据正方形性质可求出点B的坐标，因为点A是顶点以及在上，结合对称轴公式可求出点A坐标，进而利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）因为点T，点Q，点R，点H均在二次函数图像、直线以及x轴上，可分别表示出这四个点的坐标，进而利用两点之间的距离公式表示出线段长，并代入式子进行计算即可； （3）在第（2）问的基础上表示出线段的长，并分别根据题干中所乘系数表示出线段长，进而根据等边三角形三边相等列出等式，进行计算即可求解. 【详解】（1）解：∵正方形的边长为8，∴， ∴点B的坐标为， ∵二次函数的解析式为，∴二次函数的图像也经过原点O， ∴二次函数图像的对称轴为直线， ∵点A是二次函数图像的顶点，且在上， ∴点A的坐标为， 将点A和点B分别代入可得， ，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）∵点T是直线上方的抛物线上一个动点， 设点T的坐标为， ∵轴，∴点R的坐标为， ∵直线过原点，∴设直线的解析式为， 将点A 代入，可得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点Q在直线上， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵轴， ∴点H的坐标为， ∴，， ∴； ∴的值为常数； （3）同（2）可设点T的坐标为， ∴点P的坐标为， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴，， 要使等边三角形存在，则一定存在： ， 化简，可得， 化简，可得， ∴， ∵，消去，解得， 当时，，∴点T的坐标为， ∴存在时，等边三角形存在，此时点T的坐标为. 【点睛】本题考查二次函数与线段综合问题，并结合考查等边三角形的性质，通过点坐标表示出线段长是解决本题的关键. 21．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)作直线，点D是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； (3)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点P是抛物线上一个动点，作以点P为中点的线段，且轴，．设点P的横坐标为m，若线段与抛物线有交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为，点D的坐标为； (3)线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）如图，过作交于，求解直线的解析式为，设，可得，证明，再进一步求解即可． （3）求解，可得顶点坐标为：，设，当顶点在线段上时，可得， 如图，当在上时，可得：，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过作交于， 设直线的解析式为，将代入解析式得， ，解得 ∴直线的解析式为， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，最大，最大值为， ∴， ∴． （3）解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线， ∴， ∴顶点坐标为：， 如图， 设， 当顶点在线段上时， ∴， 解得：，（舍去）， 如图，当在上时， ∴， 解得：， 综上：线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 22．（本题8分）2025年，全国粮食总产量71488万吨，比2024年增加838万吨，增长．某地为了确保增产的粮食颗粒归仓，粮食和物资储备局新建仓库若干个，仓库侧面如图1所示．仓库屋顶的横截面形状为一段抛物线（曲线），它的拱宽为，拱高为；拱形下方为矩形，边为，如图2所示． (1)以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立直角坐标系，求这段抛物线所对应的二次函数表达式； (2)为了加固仓库，现在需要加装三根钢梁，，，如图3所示．经过工程人员测算，当，分别与平行，时效果最好，求此时的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确理解题意是关键． （1）根据题意，设抛物线的解析式为，用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，然后设，则，所以，再列方程求出m的值，可求得G和P的坐标，即可求得答案． 【详解】（1）解：由已知，得，顶点， 所以可设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由已知，得， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， 令， 解得，， 或2， ，， ． 23．（本题8分）综合与实践 问题情境： 某布艺玩具厂生产一批玩具时，剩下一批直角三角形废料，为了废料再利用，需将这些废料剪成矩形布料，综合实践活动小组的同学对布料的一种剪法进行了探究． 剪法：三角形废料如图1所示，，用这块废料剪出一个矩形，其中点D，E，F分别在，，上，使能够剪出的矩形的面积最大． 特例探究： 博学小组：如图1所示，．设，矩形的面积为y（单位：）． 剪裁并得出以下数据： x/cm … 1 2 3 4 … … 4 6 6 4 … 数据分析： 小组同学根据表中数据，建立平面直角坐标系，画图分析（如图2），得出了一些结论…… 问题解决： (1)博学小组剪布料问题中，当______cm时，能够使剪出的矩形的面积最大，y关于x的函数表达式为______（不要求写x的取值范围） (2)选择一块特殊废料如图3所示，，，．当的长为多少时，能够使剪出的矩形的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)2.5， (2)当的长为时，能够使剪出的矩形的面积最大，最大面积是 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，判断出用自变量表示出的长度是解题的关键． (1)根据表格中的数据可得抛物线的对称轴，根据函数图象可得抛物线的开口方向，那么可得当长为多少时，矩形的面积最大，根据，根据等腰直角三角形和矩形的性质得到的长度，即可得出y与x的关系式； (2)设，则，得到用k表示的矩形的面积，进而根据二次函数的性质可得当k的值为多少时，矩形的面积最大，即可得到此时的值． 【详解】（1）解：由题意得y是x的二次函数，二次函数的开口向下， ∵二次函数过，， ∴当时，y最大，当时，能够使剪出的矩形的面积最大， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为2.5，． （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即， 设，，则， ∴， ∴， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，矩形的面积最大，， ∴当的长为时，能够使剪出的矩形的面积最大，最大面积是． 24．（本题8分）如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C, （1）求该二次函数的解析式； （2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积； （3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标. 【答案】（1）y=x2﹣x﹣4；（2）4；（3）四边形APEQ为菱形，E点坐标为（﹣，﹣）．理由详见解析. 【详解】试题分析：（1）将A，B点坐标代入函数y=x2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式；（2）由解析式先求得点D、C坐标，再根据S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC，列式计算即可；（3）注意到P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由A、E对称，则AP=EP，AQ=EQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等的性质可用t表示E点坐标，又E在E函数上，所以代入即可求t，进而E可表示． 试题解析：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）， ∴， 解得：， ∴y=x2﹣x﹣4； （2）过点D作DM⊥y轴于点M， ∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣1）2﹣， ∴点D（1，﹣）、点C（0，﹣4）， 则S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC=×（1+3）×﹣×（﹣4）×1﹣×3×4=4； （3）四边形APEQ为菱形，E点坐标为（﹣，﹣）．理由如下 如图2，E点关于PQ与A点对称，过点Q作，QF⊥AP于F， ∵AP=AQ=t，AP=EP，AQ=EQ ∴AP=AQ=QE=EP， ∴四边形AQEP为菱形， ∵FQ∥OC， ∴， ∴ ∴AF=t，FQ=t ∴Q（3﹣t，﹣t）， ∵EQ=AP=t， ∴E（3﹣t﹣t，﹣t）， ∵E在二次函数y=x2﹣x﹣4上， ∴﹣t=（3﹣t）2﹣（3﹣t）﹣4， ∴t=，或t=0（与A重合，舍去）， ∴E（﹣，﹣）． 考点：二次函数综合题． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第5章 二次函数单元自测卷 【新教材，北师大版】 (考试时间：90分钟试卷满分：120分) 考前须知： 1.本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2.本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第【卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。) 1.(本题3分)抛物线y=x2-4x+3与x轴交点的个数为() A.0 B.1 C.2 D.以上都不对 2.(本题3分)对于抛物线y=- 引x-3+2,下列说法错识的是（) A.对称轴是直线X=3 B.顶点坐标是3,2 C.当x=-3时，y的最大值为2 D.当x>3时，y随x的增大而减小 3.(本题3分)已知点Am+1,p、Bn+1,q均在二次函数y=x-mx-n的图象上，m、n、p、q 均为常数，则p、q的数量关系为飞) A.p+q=2 B.p=2q C.p-q=3 D.q=V2p 4.（本题3分)如图，抛物线y=-x2+14X-45与x轴交于点A,B,把抛物线在x轴及共其上方的部分记 作C1将C1向左平移得到C2,C2与x轴交于点B,D,若直线y=-x+m与C1,C2共3个不同的交点，则m的 取值范围是() D B A A.5<m<29 29 B.1<m< 4 4 c.5<m<45 D.1<m<45 1/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(本题3分)如图给出了二次函数y=ax+bx+c的图象.对于这个函数有以下五个结论：① b2-4ac<0:②ab>0:③a+b+c=0;④4a+b=0;⑤当y=2时，x只能等于0.其中结论正确的是 () 23 A.①② B.②④ C.③④ D.④⑤ 6.(本题3分)关于抛物线y=-x2+6x+7,下列说法正确的是() A.开口向上 B.对称轴是直线x=-3 C.与y轴的交点坐标是(0,7） D.顶点坐标是(3,2) 7.(本题3分)已知二次函数y=x2-2x+c的图像上有两点A-3,y1、B-2,y2,则y1与y2大小关系是 () A.y1<y2 B.Y1-y2 C.y1=y2 D.没法确定 8.(本题3分)如图，在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=4,OB=3,⊙O的半径为2，点P是线段 AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ,Q为切点.AP=x,PQ=y,则y与x的函数图象大致是 () B 12 A.O 5 x B.Ol C O 5 X D.Ol 5 x 9.(本题3分)若二次函数y=ax+bx+C的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数y=cx+bx+a的 图象可能为() 219 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 10.(本题3分)已知二次函数y=ax+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=-1,部分图象如图所示， 下列结论中：①c<0;②2a=b;③a+b+c<0;④点1,3在抛物线上时，关于x的方程 ax2+bx+c-3=0的两根为X1,X2x1<x2,则X1+3x2=-1.其中正确结论的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（共24分） 11.(本题3分)从-4，-2,1,3这4个数中，随机抽取两个不同的数，分别记作h,k,则抛物线 y=ax-h+ka≠0的图象的顶点在第一象限的概率为 319 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -4 -2 3 4 -2,-4 1,-4 13,-4 -2 -4,-2 1,-2 3,-2 1 -4,1 -2,1 3,1 3 -4,3 -2,3 1,3 12.(本题9分)填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y y-2x号 y=-1.5x+4 y=x2-2x+1 y=-x2-4x+9 y写-2x+2 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y 向下 直线x=0(y轴) 0,0 y2x. 向上 直线x=0(y轴) o- y=-1.5x+4 向下 直线X=-4 -4,01 y=x2-2x+1 向上 直线x=1 1,0 y=-x2-4x+9 向下 直线X=-2 -2,13 419 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 r2*2 向上 直线x=3 3,-1 13.(本题3分)如图是抛物线y=x-hP-9的部分图象，若y≤0，则自变量x的取值范围是 14.(本题3分)在平面直角坐标系中，若点A0,4,Bm,0,Cm+3,0,则AB+2AC的最小值为 15.(本题3分)如图，已知△ABC为等边三角形，边长为2，D,E分别为边AC,BC上的动点，且满 DE 足AD=CE,连接BD,DE,则BD的最小值为 B 16.(本题3分)已知-3，ml,1,m是抛物线y=-x2+bx+3上的两个点，则b的值为 三、解答题（共66分） 17.(本题6分)求图象为下列抛物线的二次函数的表达式： (1)抛物线的顶点在原点，且抛物线经过点3，-27： (②)抛物线的顶点坐标为1，~2，且抛物线经过点2,3： 3)抛物线经过三点：-1,2，(0,1,2，-7. 18.(本题6分)某科技小组在老师的指导下积极开展科技实践活动.他们在课余时间找了几副度数不同 的老花镜，让镜片正对着太阳光，再在镜片的后面放一个光屏正对着镜片；不断调整光屏与镜片之间的距 离，直到光屏上的光斑最小.此时他们测量了镜片与光斑之间的距离，得到如下数据： 519 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25 老花镜的度数D/度 100 120 200 300 镜片与光斑之间的距离m 1 0.8 0.5 0.4 0.3 (1)观察表中的数据，你发现了什么？ (2)如果按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为0.7，那么你估计这副老花镜的度数是多少？ 19.(本题10分)二次函数的图象与x轴交于A-3,0和B1,0两点，交y轴于点C0,3. 图1 图2 )求二次函数表达式： (2)如图1，点C、D关于二次函数图象的对称轴对称，作直线BD ①若将直线BD沿y轴向上平移h(h>0)个单位长度，当它与抛物线有交点时，求h的取值范围： ②如图2，若抛物线上有一点Q,满足∠QBA=∠DBC,求Q点坐标 20.(本题10分)如图，四边形OBCD是边长为8的正方形，B,D分别在x,y的正半轴上，二次函数 y=ax+bx(a<0)的图像经过点B且其顶点A在CD边上，连接OA,作AH⊥X轴于点H,T是直线OA 上方的抛物线上一个动点(T不与O,A重合)，过点T作TR⊥x轴于点R,交CD于点P,交OA于点 0 D D (1)直接写出点A的坐标，并求出该二次函数的解析式： 619 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 TQ ②)求证：·RI的值为常数： 3)是否存在实数入使得以V2PT,TQ, 仔-AQR(a为数.02子的位为边长的二角形为边 7 三角形？若存在，请说明理由，并求出入的值和点T的坐标：若不存在，也请说明理由. 21.(本题10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c经过A-1,0,B3,0,C0,3三 点 E\D B B x 备用图 (1)求抛物线的解析式： DE ②)作直线BC,点D是直线BC上方抛物线上的一动点，连接OD与直线BC交于点B,求OE的最大值及 此时点D的坐标； (3)将抛物线y=-x+bx+C先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y,点P是抛物线 y=-x2+bx+c上一个动点，作以点P为中点的线段MN,且MN‖x轴，MN=2.设点P的横坐标为 m,若线段MN与抛物线y有交点，求m的取值范围. 22.(本题8分)2025年，全国粮食总产量71488万吨，比2024年增加838万吨，增长1.2%.某地为了 确保增产的粮食颗粒归仓，粮食和物资储备局新建仓库若干个，仓库侧面如图1所示.仓库屋项的横截面 形状为一段抛物线（曲线AEB),它的拱宽AB为16m,拱高EF为4m;拱形下方为矩形ABCD,边BC 为4m,如图2所示. E D 0 图1 图2 图3 719 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)以DC所在直线为x轴，以EF所在直线为y轴建立直角坐标系，求这段抛物线所对应的二次函数表达式； (2)为了加固仓库，现在需要加装三根钢梁BD,GH,PQ,如图3所示.经过工程人员测算，当GH, PQ分别与BC平行，GH=PQ=6m时效果最好，求此时GP的长. 23.(本题8分)综合与实践 问题情境： 某布艺玩具厂生产一批玩具时，剩下一批直角三角形废料，为了废料再利用，需将这些废料剪成矩形布料， 综合实践活动小组的同学对布料的一种剪法进行了探究. 剪法：三角形废料△ABC如图1所示，∠C=90°，用这块废料剪出一个矩形CDEF,其中点D,E,F 分别在AC,AB,BC上，使能够剪出的矩形CDEF的面积最大， 特例探究： 博学小组：如图1所示，AC=BC=5cm.设DE=xcm,矩形CDEF的面积为y(单位：cm). 图1 剪裁并得出以下数据： x/cm 1 2 3 4 y/cm2 4 6 6 4 数据分析： 小组同学根据表中数据，建立平面直角坐标系，画图分析（如图2），得出了一些结论… 个y/cm2 6 5 O1234567x/cm 图2 问题解决： (I)博学小组剪布料问题中，当DE=cm时，能够使剪出的矩形CDEF的面积最大，y关于x的函数 8/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 表达式为 (不要求写x的取值范围) (2)选择一块特殊废料如图3所示，AC=4cm,BC=3cm,∠C=90°.当AE的长为多少时，能够使剪 出的矩形CDEF的面积最大，最大面积是多少？ D F B 图3 4 24.(本题8分)如图1（注：与图2完全相同），二次函数y-3xbx+c的图象与x轴交于A(3,0), B(-1,0)两点，与y轴交于点C, (1)求该二次函数的解析式： (2)设该抛物线的顶点为D,求△ACD的面积： (3)若点P,Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动，其中一点到达端 点时，另一点也随之停止运动，当P,Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物 线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标 y C 图1 图2 919