第三章 图形的相似 单元巩固测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册.

**基本信息** 第三章图形的相似单元巩固测试卷，通过基础、中档、提升三层设计，覆盖从概念理解到综合应用的知识路径，适配暑假巩固需求，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|成比例线段、相似条件、位似基础|单选1-5题直接考查概念，填空11-13题强化基本计算| |中档|相似性质应用、位似坐标、实际测量|解答19-21题结合图形推理与生活情境，如标杆测量问题| |提升|分类讨论、动态几何、综合证明|单选9题直角梯形相似分类，解答24题结合平行四边形与相似综合证明|

第三章 图形的相似 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 2．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：A、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； B、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； C、，能判断与相似； D、，不是对应角相等，不能判断与相似． 3．若两个相似矩形的周长比是，则这两个相似矩形的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似多边形的性质，利用相似多边形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵两个相似矩形的周长比是， ∴它们的相似比为， 又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方， ∴这两个相似矩形的面积比是， 故选：D． 4．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，且， ∴，， ∴． 6．如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，可得，再根据“相似三角形的面积之比是相似比的平方”，即可求解． 【详解】解：， ， ， ，即， ． 7．如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 8．在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查以原点为位似中心的位似变换的坐标规律，在平面直角坐标系中，若位似变换以原点为位似中心，相似比为，则位似图形对应点的坐标等于原坐标乘或，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵已知点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段， ∴相似比，的坐标为或， ∴的坐标为或． 9．如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到，由于未指定对应顶点，需分两种情况讨论相似三角形的对应边比例关系，列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 若与相似，分两种情况： ①当时， ∴，即，解得； ②当时， ∴，即，解得； 综上所述，的长为4或9 ． 10．如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、中位线、平行四边形的性质，根据平行四边形对角线互相平分，可知点为的中点，根据可得，可证点为的中点，从而可证是的中位线，根据中位线定理可知． 【详解】解：是的对角线， ， 为的中点， ， ， ， 即为的中点， 是的中位线， ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知的三边之比为．在中，．当_______时，． 【答案】 【分析】本题考查了三角形相似的判定定理，结合已知条件，利用三条边对应成比例，解题过程注意对应边． 【详解】解：当时，．理由如下： ∵， ∴可设（）， ∴，，， ∴， ∴，符合题意 故答案为： ． 12．如图，已知，，，______． 【答案】6 【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴． 13．如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 【答案】10 【分析】由题意得，，可得与的相似比为，则与的周长比为，进而可得答案． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长为5， ∴的周长是10． 14．如图，在中，，，是的中点，是上一点，已知，，，则______． 【答案】 【分析】根据已知条件可求，，然后证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵是的中点，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴． 15．如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长为______． 【答案】8 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，进而得到，则，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴，， ∴， ∵， ∴的周长：的周长， ∵的周长为4， ∴的周长为8， 故答案为：8． 16．如图，，添加一个条件：_____，使．（写一个即可） 【答案】（或或） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等）是解题的关键． 先由推出，再分别添加一组对应角相等或对应边成比例，利用相似三角形的判定定理证明． 【详解】解：情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：（或或）． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）根据，设，，，再代入等式进行计算即可得； （）根据比例中项的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； （2）解：∵线段是线段的比例中项， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值已舍去）． 18．如图，点在的边上，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明： ； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键． （1）根据两角对应相等证明； （2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ，， ， ， ． 19．如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【答案】(1)小星和小红对，小亮错 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错； （2）证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 20．如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯和之间时，自己右边的影子的长为，左边的影子的长为，又知小亮的身高为，两盏路灯之间的距离为，点A、M、E、N、C在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？ 【答案】路灯高米 【分析】本题考查相似三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题求解． 首先根据已知条件求证出∽，∽，然后根据相似三角形的性质求得两个相似三角形的相似比，进而求出路灯的高度． 【详解】解：设，则，再设路灯的高为， ，，， ∽，∽， ，， 即，， 则， 解得：， 故， 解得： 答：路灯高米． 21．如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． (1)若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ (2)要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 【答案】(1)不相似 (2) 【分析】本题考查相似图形的判定，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键． （1）根据相似图形的定义，结合已知条件求得外框外边缘所围成的长与宽的比以及矩形中长宽的比，进而比较作答即可． （2）用含x、y的式子表示矩形的边长，根据相似多边形的性质（对应边成比例），结合，得；代入边长表达式化简求解得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，． ∴，． ∵， ∴石子路外边缘的矩形与矩形小花园不相似． （2）解：同（1）可知，，． 当矩形矩形时，， 即． ∴． 22．如图，在中，点、分别在边、上，，，且． (1)求线段的长； (2)当时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明，得到，然后代入求值即可； （2）先证明，然后判定，得到，求得，作，垂足为点，在中，通过求得，最后通过求得答案． 【详解】（1）解： 在和中，， ， ， ， ∴， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ∵，，， ∴， ∴． 如图1，作，垂足为点， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，解直角三角形的相关计算，平行线分线段成比例，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)写出点的坐标为______； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查位似图形及位似变换 （1）分别延长、、，它们的交点为点，再写出点坐标； （2）把、点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点并连线即可； （3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解即可． 解题的关键是掌握：当相似的两个图形的对应顶点的连线相交于一点时，就说这两个图形位似，此时的相似比称为位似比，交点称为位似中心；在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或；如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 【详解】（1）解：如图，分别延长、、，它们的交点为点， ∵与是关于点为位似中心的位似图形， 则点为所作，点坐标为； 故答案为：； （2）如图，，， 把、点的横纵坐标都乘以得：、， 连接、，， 则即为所作； （3）∵的内部一点M的坐标为， 由（1）知：与是关于原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴点在中的对应点的坐标为． 故答案为：． 24．如图，中，，点D，E分别在边，的延长线上，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数、等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求证； （2）过点C作于点F，由题意易得，设，则根据勾股定理可得：，然后可得，进而根据（1）中结论可进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：过点C作于点F，如图所示： ∵， ∴， 设，则根据勾股定理可得：， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：（负根舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 第三章 图形的相似 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 2．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：A、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； B、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； C、，能判断与相似； D、，不是对应角相等，不能判断与相似． 3．若两个相似矩形的周长比是，则这两个相似矩形的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似多边形的性质，利用相似多边形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵两个相似矩形的周长比是， ∴它们的相似比为， 又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方， ∴这两个相似矩形的面积比是， 故选：D． 4．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，且， ∴，， ∴． 6．如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，可得，再根据“相似三角形的面积之比是相似比的平方”，即可求解． 【详解】解：， ， ， ，即， ． 7．如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 8．在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查以原点为位似中心的位似变换的坐标规律，在平面直角坐标系中，若位似变换以原点为位似中心，相似比为，则位似图形对应点的坐标等于原坐标乘或，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵已知点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段， ∴相似比，的坐标为或， ∴的坐标为或． 9．如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到，由于未指定对应顶点，需分两种情况讨论相似三角形的对应边比例关系，列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 若与相似，分两种情况： ①当时， ∴，即，解得； ②当时， ∴，即，解得； 综上所述，的长为4或9 ． 10．如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、中位线、平行四边形的性质，根据平行四边形对角线互相平分，可知点为的中点，根据可得，可证点为的中点，从而可证是的中位线，根据中位线定理可知． 【详解】解：是的对角线， ， 为的中点， ， ， ， 即为的中点， 是的中位线， ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知的三边之比为．在中，．当_______时，． 【答案】 【分析】本题考查了三角形相似的判定定理，结合已知条件，利用三条边对应成比例，解题过程注意对应边． 【详解】解：当时，．理由如下： ∵， ∴可设（）， ∴，，， ∴， ∴，符合题意 故答案为： ． 12．如图，已知，，，______． 【答案】6 【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴． 13．如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 【答案】10 【分析】由题意得，，可得与的相似比为，则与的周长比为，进而可得答案． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长为5， ∴的周长是10． 14．如图，在中，，，是的中点，是上一点，已知，，，则______． 【答案】 【分析】根据已知条件可求，，然后证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵是的中点，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴． 15．如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长为______． 【答案】8 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，进而得到，则，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴，， ∴， ∵， ∴的周长：的周长， ∵的周长为4， ∴的周长为8， 故答案为：8． 16．如图，，添加一个条件：_____，使．（写一个即可） 【答案】（或或） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等）是解题的关键． 先由推出，再分别添加一组对应角相等或对应边成比例，利用相似三角形的判定定理证明． 【详解】解：情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：（或或）． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）根据，设，，，再代入等式进行计算即可得； （）根据比例中项的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； （2）解：∵线段是线段的比例中项， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值已舍去）． 18．如图，点在的边上，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明： ； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键． （1）根据两角对应相等证明； （2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ，， ， ， ． 19．如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【答案】(1)小星和小红对，小亮错 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错； （2）证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 20．如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯和之间时，自己右边的影子的长为，左边的影子的长为，又知小亮的身高为，两盏路灯之间的距离为，点A、M、E、N、C在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？ 【答案】路灯高米 【分析】本题考查相似三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题求解． 首先根据已知条件求证出∽，∽，然后根据相似三角形的性质求得两个相似三角形的相似比，进而求出路灯的高度． 【详解】解：设，则，再设路灯的高为， ，，， ∽，∽， ，， 即，， 则， 解得：， 故， 解得： 答：路灯高米． 21．如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． (1)若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ (2)要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 【答案】(1)不相似 (2) 【分析】本题考查相似图形的判定，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键． （1）根据相似图形的定义，结合已知条件求得外框外边缘所围成的长与宽的比以及矩形中长宽的比，进而比较作答即可． （2）用含x、y的式子表示矩形的边长，根据相似多边形的性质（对应边成比例），结合，得；代入边长表达式化简求解得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，． ∴，． ∵， ∴石子路外边缘的矩形与矩形小花园不相似． （2）解：同（1）可知，，． 当矩形矩形时，， 即． ∴． 22．如图，在中，点、分别在边、上，，，且． (1)求线段的长； (2)当时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明，得到，然后代入求值即可； （2）先证明，然后判定，得到，求得，作，垂足为点，在中，通过求得，最后通过求得答案． 【详解】（1）解： 在和中，， ， ， ， ∴， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ∵，，， ∴， ∴． 如图1，作，垂足为点， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，解直角三角形的相关计算，平行线分线段成比例，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)写出点的坐标为______； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查位似图形及位似变换 （1）分别延长、、，它们的交点为点，再写出点坐标； （2）把、点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点并连线即可； （3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解即可． 解题的关键是掌握：当相似的两个图形的对应顶点的连线相交于一点时，就说这两个图形位似，此时的相似比称为位似比，交点称为位似中心；在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或；如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 【详解】（1）解：如图，分别延长、、，它们的交点为点， ∵与是关于点为位似中心的位似图形， 则点为所作，点坐标为； 故答案为：； （2）如图，，， 把、点的横纵坐标都乘以得：、， 连接、，， 则即为所作； （3）∵的内部一点M的坐标为， 由（1）知：与是关于原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴点在中的对应点的坐标为． 故答案为：． 24．如图，中，，点D，E分别在边，的延长线上，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数、等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求证； （2）过点C作于点F，由题意易得，设，则根据勾股定理可得：，然后可得，进而根据（1）中结论可进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：过点C作于点F，如图所示： ∵， ∴， 设，则根据勾股定理可得：， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：（负根舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 图形的相似 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 2．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 3．若两个相似矩形的周长比是，则这两个相似矩形的面积比是（   ） A． B． C． D． 4．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 7．如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 8．在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 9．如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 10．如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知的三边之比为．在中，．当_______时，． 12．如图，已知，，，______． 13．如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 14．如图，在中，，，是的中点，是上一点，已知，，，则______． 15．如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长为______． 16．如图，，添加一个条件：_____，使．（写一个即可） 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 18．如图，点在的边上，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 19．如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 20．如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯和之间时，自己右边的影子的长为，左边的影子的长为，又知小亮的身高为，两盏路灯之间的距离为，点A、M、E、N、C在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？ 21．如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． (1)若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ (2)要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 22．如图，在中，点、分别在边、上，，，且． (1)求线段的长； (2)当时，求的面积． 23．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)写出点的坐标为______； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 24．如图，中，，点D，E分别在边，的延长线上，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $