二次函数y=a(x-h)²+k 的图像和性质讲义2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数顶点式y=a(x-h)²+k的图像和性质，从复习y=ax²入手，逐步探究参数a（开口方向与大小）、h（左右平移）、k（上下平移）的作用，系统梳理平移规律、顶点坐标、对称轴、最值及增减性，结合五点绘图法和例题实现知识应用。 该资料以图像对比和参数探究为支架，通过“正U负∩”等口诀培养几何直观（数学眼光），平移规律推导发展推理意识（数学思维），五点绘图法与知识网络辅助构建模型（数学语言）。课中助力教师清晰授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

人教版九年级数学 26.2.1 二次函数 y=a(x-h)²+k 的图像和性质 二次函数y=a(x-h)²+k 的图像和性质讲义 01 SECTION ONE · 复习引入 从 y=ax² 到顶点式的探索 回顾：最简单的二次函数 y=ax² 的顶点在原点(0,0)，对称轴是 y 轴。本节课研究更一般的顶点式 y=a(x-h)²+k，看看三个参数 a、h、k 如何决定抛物线的“模样”。 ◎ 本讲学习目标 ✓ 理解 y=a(x-h)²+k 与 y=ax² 的图像关系 ✓ 掌握“左加右减、上加下减”平移规律 ✓ 能用五点绘图法画出抛物线 ✓ 熟记顶点式的开口方向、对称轴、顶点 ✓ 掌握函数的最值与增减性 ✓ 能由解析式直接读出图像特征 1.1 参数 a 的作用：决定开口方向与大小 在 y=ax² 中，参数 a 决定了抛物线的开口方向和开口大小： ● a > 0：开口向上（U 形），顶点是最低点 ● a < 0：开口向下（∩ 形），顶点是最高点 ● |a| 越大：开口越小（越瘦高） ● |a| 越小：开口越大（越矮胖） 记忆口诀 "正U负∩，大同小异" 正→笑脸(U)；负→哭脸(∩)；|a|大→开口小；|a|小→开口大。 图1 | 不同 a 值下 y=ax² 的图像对比 02 SECTION TWO · 参数探究 参数 h 与 k 的几何意义 2.1 参数 h：控制左右平移 对比 y=x² 与 y=(x-h)²，参数 h 决定抛物线的左右位置： 函数表达式 顶点坐标 对称轴 与 y=x² 的关系 y = x² (0, 0) x = 0 基准抛物线 y = (x-2)² (2, 0) x = 2 向右平移 2 个单位 y = (x+2)² (-2, 0) x = -2 向左平移 2 个单位 ▎ 💡 “左加右减”的理解 y=(x-2)² 中 h=2>0，顶点在原点右边 → 向右平移； y=(x+2)²=(x-(-2))² 中 h=-2<0，顶点在原点左边 → 向左平移。 口诀：括号内，左加右减。 图2 | h 变化时 y=(x-h)² 的图像（顶点沿 x 轴移动） 2.2 参数 k：控制上下平移 在 y=x²+k 中，参数 k 决定抛物线的上下位置： 函数表达式 顶点坐标 与 y=x² 的关系 y = x² + 2 (0, 2) 向上平移 2 个单位 y = x² (0, 0) 基准抛物线 y = x² - 2 (0, -2) 向下平移 2 个单位 图3 | k 变化时 y=x²+k 的图像（顶点沿 y 轴移动） 03 SECTION THREE · 核心规律 顶点式 y=a(x-h)²+k 的图像特征 将 y=ax² 先左右平移 h 个单位，再上下平移 k 个单位，就得到 y=a(x-h)²+k。顶点坐标从 (0,0) 变为 (h,k)，对称轴从 x=0 变为 x=h。 3.1 平移的完整过程 图4 | 平移全过程：y=x² → y=(x-2)² → y=(x-2)²+1 重点 左加右减（改 x），上加下减（改整体） | 左右平移 h 个单位 → 括号内 x 变为 (x-h)：h>0 向右，h<0 向左 | 上下平移 k 个单位 → 末尾加 k：k>0 向上，k<0 向下 | 二次项系数 a 始终不变（形状不变，仅位置改变） 3.2 顶点式图像示例 图5 | y=2(x-2)²+1（a>0，开口向上） 图6 | y=-1.5(x+1)²+3（a<0，开口向下） ▎ ⚠ 易错提醒 y=2(x+1)²-2 中，h = -1（不是 +1），k = -2（不是 2）。 方法：令括号内 x-h=0，解出 x=h 即为顶点横坐标。 x+1 = x-(-1)，所以 h=-1。 04 SECTION FOUR · 性质归纳 顶点式的完整性质表 函数 y=a(x-h)²+k（a≠0）的图像是一条抛物线，其全部性质由三个参数 a、h、k 决定。下表为完整归纳： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 a > 0 向上 ↑ (h, k) x = h x<h时y随x增大而减小 x>h时y随x增大而增大 x=h时 y最小值=k a < 0 向下 ↓ (h, k) x = h x<h时y随x增大而增大 x>h时y随x增大而减小 x=h时 y最大值=k 4.1 关键结论速记 结论 1 顶点坐标直接读 y=a(x-h)²+k 的顶点坐标 = (h, k)。注意：括号里是 x-h，所以 y=2(x+3)²-1 的顶点是 (-3, -1) 结论 2 对称轴就是过顶点的竖线 对称轴方程 = x = h。抛物线关于这条直线左右对称。 结论 3 最值在顶点处取得 a>0 → 最小值 k（顶点最低）；a<0 → 最大值 k（顶点最高）。 结论 4 增减性以对称轴为界 a>0：对称轴左边减、右边增；a<0：对称轴左边增、右边减。 4.2 四种典型图像对比 图7 | 四种典型 y=a(x-h)²+k 图像对比 05 SECTION FIVE · 绘图方法 五点绘图法画抛物线 画 y=a(x-h)²+k 的图像，不需要逐点计算。利用抛物线的对称性，只需确定五个关键点即可画出光滑曲线。 5.1 五点选取策略 以顶点 (h, k) 为中心，在对称轴两侧各取两个对称点： 点的角色 x 坐标 y 坐标 说明 顶点 h k 抛物线的最高或最低点 左1点 h-1 a+k 顶点左侧1个单位 右1点 h+1 a+k 与左1点关于对称轴对称 左2点 h-2 4a+k 顶点左侧2个单位 右2点 h+2 4a+k 与左2点关于对称轴对称 5.2 范例演示 范例 用五点绘图法画 y=2(x+1)²-2 的图像 【步骤01】确定顶点和对称轴 → 顶点(-1, -2)，对称轴 x=-1 【步骤02】选取五个点 → 顶点(-1,-2)，左右各取 x=-2,0 和 x=-3,1 【步骤03】列表计算 → (-2,0)、(0,0) 为与x 轴交点，(-3,6)、(1,6) 为两侧高点 【步骤04】描点、连线，画出光滑抛物线 图8 | y=2(x+1)²-2 的五点绘图法 ▎ 📝 绘图小技巧 ① 先画对称轴（虚线），再标顶点；② 利用对称性只算一侧的点； ③ 与 y 轴交点令 x=0，与x 轴交点令 y=0； ④ 开口大小由 |a| 判断，适当选取 x 的范围使图像美观。 06 SECTION SIX · 例题精讲 典型例题解析 例 1 判断图像特征 【题目】对于抛物线 y=-(x+1)²+3，判断下列说法： ① 抛物线的开口向下 ② 对称轴为直线x=1 ③ 顶点坐标为(-1, 3) ④ x>1 时，y 随x 增大而减小 【解析】a=-1<0 → ①正确；对称轴 x=-1 → ②错误；顶点(-1,3) → ③正确；x>-1时y递减 → ④正确。答案为 ①③④。 例 2 由图像特征求解析式 【题目】已知抛物线顶点为(2, -3)，且过点(3, 1)，求解析式。 【解】设 y=a(x-2)²-3，代入(3,1)得 1=a(3-2)²-3 → a=4 【答】解析式为 y=4(x-2)²-3 例 3 配方：一般式 → 顶点式 【题目】将 y=x²-4x+5 化为顶点式，并说出顶点坐标和对称轴。 【解】y = (x²-4x+4) + 1 = (x-2)²+1 【答】顶点(2, 1)，对称轴 x=2，开口向上，最小值 y=1 6.1 顶点式与一般式的互化 表达式 形式 顶点坐标 对称轴 适用场景 一般式 y=ax²+bx+c (, ) x= 已知三点坐标 顶点式 y=a(x-h)²+k (h, k) x=h 已知顶点/最值 交点式 y=a(x-x₁)(x-x₂) ((x₁+x₂)/2, ...) x= 已知x轴交点 重点 三种表达式本质相同，只是形式不同。顶点式最能直观反映图像特征（顶点、对称轴），是分析和解题的“利器”。配方是连接一般式和顶点式的桥梁。 07 SECTION SEVEN · 总结提升 本讲知识网络 ∑ 本讲核心知识网络 01 y=a(x-h)²+k 由 y=ax² 平移得到，a 不变 02 h 控制左右：x-h 中 h>0 右移，h<0 左移 03 k 控制上下：k>0 上移，k<0 下移 04 顶点(h,k)，对称轴 x=h，直接读出 05 a>0 开口向上有最小值 k；a<0 开口向下有最大值 k 06 增减性以 x=h 为界，左右相反 07 五点绘图法：顶点+左右对称点 08 配方：一般式 ⇄ 顶点式互化 7.1 思维导图：参数与图像的关系 y = a(x - h)² + k 一个式子，三个参数，全部图像信息尽收其中 参数 控制的图像特征 口诀 判断方法 a 开口方向 + 大小 正U负∩，大同小异 看正负和绝对值 h 左右位置（对称轴） 左加右减 括号内 x-h=0 求解 k 上下位置（顶点纵坐标） 上加下减 直接读出常数项 ▎ ✓ 解题三步法 ① 定型：看 a 的符号 → 判断开口方向 ② 定位：读 h 和 k → 确定顶点和对称轴 ③ 判值：结合开口方向和顶点 → 得出最值和增减区间 7.2 易错点汇总 1. h 的符号看错：y=2(x+3)² 的顶点横坐标是 -3，不是 3。 2. 平移方向搞反：“左加右减”指的是括号内 x 的变换方向。 3. 增减区间写反：a>0 时左边减右边增；a<0 时左边增右边减。 4. 最值类型混淆：a>0 只有最小值，a<0 只有最大值。 5. 配方出错：记得提取 a 后再配方，常数项要补偿。 人教版九年级数学 · 二次函数讲义 | 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $