26.2.3 用待定系数法求二次函数的解析式 第2课时 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦用待定系数法求二次函数解析式，通过“设、代、解、写”四步通用步骤梳理，结合一般式、顶点式、交点式的对比表格，帮助学生衔接已学二次函数知识，构建从条件分析到方法选择的学习支架。 资料通过分层练习（基础、方法选择、综合提升）和详细参考答案，培养学生抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）与模型意识（数学语言），引导形成“条件决定方法”策略，提升灵活解题能力，适合教师教学与学生自主学习。

26.2.3 用待定系数法求二次函数的解析式（第2课时） 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 教材：人教版九年级上册 一、学习目标 1. 会用待定系数法求二次函数的解析式，掌握"设、代、解、写"四步通用方法。 2. 能够根据已知条件灵活选择一般式、顶点式或交点式求二次函数解析式。 3. 理解三种方法（一般式法、顶点式法、交点式法）的适用条件，形成"条件决定方法"的解题策略。 二、知识梳理 （一）待定系数法的通用步骤 步骤 具体内容 第一步：设 根据已知条件，设出合适的函数表达式（一般式、顶点式或交点式） 第二步：代 将已知点的坐标代入表达式，列出方程（组） 第三步：解 解方程（组），求出待定系数的值 第四步：写 将求出的系数代入，写出函数解析式 （二）三种待定系数法对比 方法名称 表达式形式 适用条件 一般式法 y=ax^{2}+bx+c 已知抛物线上三个点的坐标 （任意两点连线不与y轴平行） 顶点式法 y=a(x-h)^{2}+k 已知顶点坐标(h, k)及另一点 （或已知对称轴、最值及另一点） 交点式法 y=a(x-x_{1})(x-x_{2}) 已知抛物线与x轴的两个交点 （x₁, 0）和（x₂, 0）及另一点 待定系数个数 一般式：3个（a, b, c） 方法选择原则 让待定系数尽可能少，计算尽可能简单！ （三）交点式的推导理解 当抛物线与x轴有交点和时， 和是方程的两根。 根据因式分解： 。 这就是二次函数的交点式（也叫两根式）。 （四）关键提示 注意1：已知顶点坐标或对称轴或最值时，优先选用顶点式法。 注意2：已知抛物线与x轴的两个交点时，优先选用交点式法。 注意3：交点式中，交点(-2, 0)对应的因式为(x+2)，即符号取反。 注意4：顶点式和交点式求出的解析式，最后可以化为一般式。 三、课堂练习 （一）基础练习——一般式法 1. 一个二次函数的图象经过(-1, 10)，(1, 4)，(2, 7)三点，求这个二次函数的解析式。 解： __________________________________________________ 2. 一个二次函数的图象经过(0, 0)，(-1, -1)，(1, 9)三点，求这个二次函数的解析式。 解： __________________________________________________ （二）基础练习——顶点式法 3. 已知一条抛物线的顶点为(1, -4)，且过点(3, 0)，求这条抛物线的解析式。 解： __________________________________________________ 4. 一个二次函数，当x=-1时，y有最大值为-4，当x=1时，y为-8，求抛物线的解析式。 解： __________________________________________________ （三）基础练习——交点式法 5. 一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1，当x=-2与时，y=0，求这个二次函数的解析式。 解： __________________________________________________ （四）方法选择练习 请判断以下各题应选用哪种方法求二次函数解析式，并说明理由。 题号 已知条件 选用方法 1 图象过x轴上的-3和4，并过y轴上-1 2 图象顶点坐标(3, 2)，与x轴交于(-3, 0) 3 函数过点(0, -3)，(2, 0)，(-3, 0) 4 图象过点(-5, 0)，对称轴为x=-2，y有最大值5 （五）综合练习 6. 二次函数的图象顶点为A(-2, -2)，且过点B(0, 2)，则y与x的函数关系式为（ ） A. y=x²+2 B. y=(x-2)²+2 C. y=(x-2)²-2 D. y=(x+2)²-2 你的答案：______ 解题过程： __________________________________________________ 7. 抛物线（a不等于0）经过(1, 2)和(-1, -6)两点，则a+c=______。 你的答案：______ 解题过程： __________________________________________________ 8. 已知二次函数的图象经过点(4, -3)，并且当x=3时有最大值4，则其解析式为______。 你的答案：______ 解题过程： __________________________________________________ （六）综合提升 9. 已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8, 0)、(0, 4)，求这个抛物线的解析式。 练习参考图 解： __________________________________________________ 10. 已知抛物线顶点(1, 16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式。 解： __________________________________________________ 参考答案 （一）基础练习——一般式法 1. 解：设所求的二次函数为。 把点(-1, 10)、(1, 4)、(2, 7)代入可得： a-b+c=10, a+b+c=4, 4a+2b+c=7 解得a=2, b=-3, c=5。 所以二次函数解析式为。 2. 解：设二次函数的解析式为。 把点(0, 0)、(-1, -1)、(1, 9)代入可得： c=0, a-b+c=-1, a+b+c=9 代入c=0，得a-b=-1, a+b=9。解得a=4, b=5, c=0。 所以抛物线的解析式为。 （二）基础练习——顶点式法 3. 解：因为抛物线顶点为(1, -4)， 所以设解析式为。 把点(3, 0)代入得：，即0=4a-4，解得a=1。 所以解析式为，即。 4. 解：当x=-1时y有最大值-4，说明顶点坐标为(-1, -4)。 设解析式为。 把点(1, -8)代入得：，即-8=4a-4，解得a=-1。 所以抛物线的解析式为。 （三）基础练习——交点式法 5. 解：当x=-2与时，y=0，说明抛物线与x轴交于(-2, 0)和(, 0)两点。 设二次函数的解析式为。 把点(0, -1)代入得：，即，即-1=-a，解得a=1。 所以抛物线的解析式为，化为一般式得。 （四）方法选择练习 题号 已知条件 选用方法及理由 1 图象过x轴上的-3和4，并过y轴上-1 交点式法。已知与x轴的交点为(-3,0)和(4,0)，设y=a(x+3)(x-4)，再代入(0,-1)求a。 2 图象顶点坐标(3,2)，与x轴交于(-3,0) 顶点式法。已知顶点(3,2)，设y=a(x-3)²+2，再代入(-3,0)求a。 3 函数过点(0,-3)，(2,0)，(-3,0) 交点式法。已知与x轴的交点为(2,0)和(-3,0)，设y=a(x-2)(x+3)，再代入(0,-3)求a。 4 图象过点(-5,0)，对称轴为x=-2，y有最大值5 顶点式法。由对称轴x=-2且最大值5，得顶点(-2,5)，设y=a(x+2)²+5，再代入(-5,0)求a。 （五）综合练习 6. 答案：D。 解析：顶点为(-2, -2)，设解析式为。把点(0, 2)代入得，解得a=1。所以解析式为。 7. 答案：-2。 解析：把(1, 2)和(-1, -6)代入，得a+b+c=2和a-b+c=-6。两式相加得2a+2c=-4，所以a+c=-2。 8. 答案：。 解析：当x=3时有最大值4，说明顶点坐标为(3, 4)，且a<0。设解析式为。把点(4, -3)代入得，解得a=-7。所以解析式为。 （六）综合提升 9. 解：由抛物线过A(8, 0)及对称轴为x=3，知抛物线一定过点(-2, 0)。 （因为对称轴是线段AB的垂直平分线，A(8,0)到对称轴x=3的距离是5，所以B的横坐标是3-5=-2。） 设解析式为y=a(x+2)(x-8)。 把点(0, 4)代入得4=a(0+2)(0-8)=-16a，解得。 所以解析式为，化为一般式得。 10. 解：顶点为(1, 16)，对称轴为x=1。两交点关于对称轴对称，且距离为8， 所以两交点到对称轴的距离都是4，两交点的横坐标分别为1-4=-3和1+4=5。 即交点坐标为(-3, 0)和(5, 0)。设解析式为y=a(x-5)(x+3)。 把点(1, 16)代入得，解得a=-1。 所以解析式为y=-(x-5)(x+3)，化为一般式得。 学科网（北京）股份有限公司 $