第12讲 幂函数的图像与性质 讲义-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

第12讲 幂函数的图像与性质 1.掌握幂函数严格定义，能够精准分辨幂函数，掌握幂函数的判定标准。 2.熟记五大基础幂函数的定义域、奇偶性、单调性与图像样貌，记住所有幂函数过定点 3.能够根据幂指数正负、大小判断函数图像高低，掌握幂指数大小和图像位置的对应规律。 4.可以借助幂函数单调性比较实数大小，求解幂函数相关不等式，处理幂指数含参数的分类讨论问题，梳理全章节高频易错点 一、幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 二、五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 三、一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列 考点一、幂函数的概念与求值 例1　(1)下列函数中是幂函数的是（    ） ① ；②；③ ；④；⑤ ；⑥ . A．① ③ ⑤ B．① ② ⑤ C．③ ⑤ D．只有⑤ 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义即可逐一判断. 【详解】的系数是而不是1，故①不是幂函数； 是指数函数，故②不是幂函数； 的底数是而不是，故④不是幂函数； 是两个幂函数和的形式，故⑥也不是幂函数； 而和具有幂函数的形式，故③ ⑤是幂函数. 故选：C. (2)已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由题意得，，则，则. （3）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求得，再求函数定义域即可. 【详解】设，因为幂函数的图象经过点 所以，即，解得， 所以，故要使函数有意义，则, 所以函数的定义域为 故选：C 跟踪训练1　(1)“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据幂函数定义及充分必要条件关系可判断. 【详解】若函数为幂函数，则，解得， 所以“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A （2）有下列函数： ①；②； ③；④； ⑤；⑥. 其中是幂函数的有______（只填序号）. 【答案】④⑤ 【分析】直接根据幂函数的定义即可逐一判断. 【详解】①中，的系数为，故不是幂函数； ②中，不是的形式，故不是幂函数； ③中，，系数是，故不是幂函数； ④中，，是幂函数； ⑤中， ，是幂函数； ⑥中，是指数函数，故不是幂函数. 故答案为：④⑤ （3）已知，若是幂函数，且，则______. 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出参数，再利用已知函数值求出幂指数得到完整解析式，最后代入计算得到的值. 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得. （4）已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出幂函数，再由幂函数有意义列出不等式组求解. 【详解】设， 代入点，可得，解得， 所以， 要使有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为. 考点二、幂函数的图象及应用 例2　(1)如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合幂函数在第一象限的单调性和图象的变换趋势，依次判定，即可求解. 【详解】根据幂函数在第一象限的图象，知： 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向上靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右更靠近轴，符合的图象， 所以曲线对应的值依次是. 故选：B. (2)如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为__________.（请用“”连接） 【答案】 【分析】利用幂函数的性质判断的大小即可得解. 【详解】对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 所以. 故答案为：. 跟踪训练2　(1)幂函数及直线，，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数的图像经过的“卦限”是________．    【答案】①⑤ 【分析】分别求出在和上的函数值范围，结合卦限概念即可判断. 【详解】对于函数，当时，， 故其图象在的部分位于直线与之间，即图象经过①卦限； 而当时，， 故其图象在的部分位于直线与之间，即图象经过⑤卦限. 故答案为：①⑤. (2)以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 【答案】BC 【分析】根据幂函数的定义域，定点，图象等分别判断各个选项即可. 【详解】函数不过原点，A选项错误； 而，所有幂函数的图像一定过点，B选项正确； 函数为奇函数，图像经过一、三象限，C选项正确； 当时，，的图像不可能在第四象限，D选项错误. 故选：BC. 考点三、比较幂值的大小 例3(1)设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . (2)已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性判断即可. 【详解】由， 因为幂函数在单调递增， 且，所以， 故答案为：. 跟踪训练3 (1)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， 所以， 又因为，所以. 故选：A.， （2）下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用的正负对幂函数的增减性的影响可分别判定四个选项的正误. 【详解】对于A，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 且为偶函数，所以， 因为，所以，所以，故B正确； 对于C，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 因为所以，故C正确； 对于D，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 且为奇函数，所以， 因为，所以，所以，故D错误. 故选：D. （3）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数，在上单调递增，可得结论. 【详解】因为在上单调递增，又，所以， 又因为在上单调递增，又，所以， 故. 故选：A. 考点四、幂函数单调性的应用 例4 (1)“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由幂函数性质分析充分性和必要性即可得解. 【详解】当时，幂函数单调递增，充分性成立； 幂函数在区间上单调递增，则，必要性成立. 综上，“”是“函数在区间上单调递增”的充要条件. 故选：C. (2)已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 【答案】 【详解】由题可设幂函数，则即， 所以， 所以，即， 所以该函数定义域为，且该函数在上单调递减， 所以若不等式成立， 则，解得，即满足不等式的实数m的解集是. 跟踪训练4 (1)已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设幂函数解析式，再应用过点求参数得出，最后应用单调性列式计算求解. 【详解】设幂函数，代入点得，解得，故， 因为函数为偶函数，所以等价于， 因为函数在上单调递增，所以等价于， 平方化简得，解得解集为； (2)设是幂函数，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，得到函数解析式，结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以． 易知是增函数. 因为，所以，解得． 故答案为：. (3)已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质求解即可. （2）根据原命题为假，则其否定为真即可求解； （3）分类讨论的正负，根据单调性求解即可. 【详解】（1）因为是幂函数，根据幂函数定义，则，系数为1， 所以，即或， 又因为函数在单调递减，所以，所以. 代入得：. （2）因为原命题是假命题，所以其否定为真. 即：. 由（1）可知，，所以， 代入得：， 要小于函数在上的最小值. 易得，在单调递增， 所以最小值在时取到：， 所以. （3）因为，定义域为，函数在和上均单调递减， 当，即时，由可得， 解得，则此时； 当，即时，由可得， 解得，则此时； 当，即时，恒成立， 当时，，无解， 综上：不等式的解集为 考点五、幂函数性质的综合应用 例5 (1)（多选）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为增函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，设幂函数（为实数）， 其图像经过点，，解得， ，其定义域为，不关于原点对称， 则函数不为奇函数，故A错误， 对于B，由幂函数性质得在上为增函数，故B正确； 对于C，D，如图，作出符合题意的图形， 则函数是上凸函数，可得对定义域内任意的， 都有成立，故C正确，D错误. (2)已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据幂函数定义求出，根据函数解析式逐个判断即可. 【详解】因为函数是幂函数， 则， 解得或， 因为对任意，，且，满足， 所以在上单调递增， 时，，在上单调递减，故舍， 所以时，， 对于A，取时，，可能成立； 对于B，取时，，可能成立； 对于C，取时，，可能成立； 对于D，因为，则，则， 由单调性可知，故，与矛盾，一定不成立. （3）已知幂函数. (1)若函数在其定义域上是增函数，且，求实数a的取值范围； (2)若函数是偶函数，证明：，，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）借助幂函数定义与函数单调性计算可得，再利用函数单调性结合其定义域计算即可得解； （2）由幂函数定义与偶函数性质计算可得，则可得解析式，则可利用解析式结合基本不等式计算即可得证. 【详解】（1）由幂函数定义可得，即， 则或，又函数在其定义域上是增函数，则，故， 即，则函数定义域为， 则对，有，解得； （2）由（1）知，或，当时，定义域为，不符； 故，此时，定义域为， 且有，故函数是偶函数，符合； 则对，，要证， 即证，即证， 由，，当且仅当时取等， 则， 则，即， 即，即有，即得证. 跟踪训练5 (1)（多选）已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则或 D．当时，，若，则 【答案】ABD 【分析】代入点可求解，进而根据幂函数的性质即可求解ABC，利用作差法即可求解D. 【详解】因为函数的图象经过点，所以，解得， 所以，故A正确； 的定义域为，对，则，且， 所以函数是偶函数，故B正确； 因为，所以在上单调递增， 由，是偶函数，得，即， 解得，故C错误； 因为当时，，所以，， 又， 所以，故D正确. 故选：ABD. (2)已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【详解】根据幂函数的定义和单调性求的值，分析函数的奇偶性，根据为奇函数可得结果． 【分析】∵函数是幂函数，，解得或， 或， ∵对任意的且，满足， 在上为增函数，则， ，为上单调递增的奇函数， ，， ，故． 故选：B （3）已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明如下： 由（1）知，故， 任取， 则. 因为，则有，，且，. 所以，即. 故在上单调递增； (3) 【分析】（1）由题意设幂函数为，将代入即可求得幂函数的解析式； （2）设，比较与的大小，结合函数单调性即可证明在上的单调性； （3）由（2）知在上单调递增，可解得在上的值域，设，根据题意有，分析二次函数的单调区间即可求其最小值，即的取值范围. 【详解】（1）设幂函数为 ，其图象过点， ，解得， 故幂函数的解析式为； （2）略 （3）由（2）知在上单调递增， 所以，即 令，则不等式有解等价于在上有解， 即，. 令，， 易得在区间上单调递减，在上单调递增， 则有，即. 综上，实数的取值范围是. 一、单选题 1.下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，的定义域为，函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B，的定义域为R，满足，函数为偶函数， 当时，单调递增，符合题意； 对于C，在上单调递减，不符合题意； 对于D，在上单调递减，不符合题意. 2.已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【答案】D 【分析】根据分数指数幂的运算规则、函数奇偶性定义、幂函数的单调性与值域，逐一判断各选项正误 【详解】对于A选项：由分数指数幂的运算得，而，二者不相等，故A错误； 对于B选项：由是偶函数得，又幂函数在上单调递增， 且，故，即，B错误； 对于C选项：的定义域为，对任意，有， 故是偶函数，C错误； 对于D选项： 对任意，，因此，值域为，D正确 . 3.已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 4．已知幂函数为偶函数，且，，，则（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】为幂函数，所以，即， 因式分解得：，解得：或， 为偶函数，所以，， 因为，所以在单调递增，所以，，即得. 5．已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用幂函数性质列式计算求解. 【详解】因为幂函数的图象与x轴无交点， 所以， 所以，即得 6.已知函数，在实数集上满足：对，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目信息可以得到函数在上单调递增，根据分段函数单调递增的条件列不等式即可求解. 【详解】不妨令，即时， 由可知，即， 所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 故，即， 此时函数在上单调递增， 所以若函数在上单调递增，则， 解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 7．若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是（   ） A．为偶函数 B．若，则 C．为增函数 D．函数为偶函数 【答案】BCD 【分析】根据幂函数的定义求解解析式，进而判断出ABC，再根据偶函数的定义即可判断D． 【详解】因为幂函数的图像经过点，所以， 所以， 对于A，因为定义域关于原点不对称，所以不为偶函数，故A错误； 对于BC，因为，所以在单调递增， 所以当，则，故BC正确； 对于D，定义域为，，所以为偶函数，故D正确． 8．已知，是函数的图象上任意两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用幂函数的单调性即可结合选项求解AB，利用作差法即可求解CD. 【详解】令，故在单调递减， 当时，此时，即，故， 当，此时，故，故B错误， 令，则为上的增函数，故，有，故A正确， 由于，，故，C错误，D正确， 故选：AD 三、填空题 9．幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合幂函数在上的单调递减性质筛选出符合条件的. 【详解】 根据幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，其的系数必须为，因此有： ， 整理得一元二次方程，因式分解得，解得或； 幂函数在上单调递减的充要条件是指数，即， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 综上，实数. 10．已知幂函数满足，且当时，，则的最小值为__________. 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义结合奇偶性可得，进而可得，整理可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为函数为幂函数， 则，解得或， 又因为，可知为奇函数，则，可得， 又因为，即，可得， 则，即， 当且仅当，即或时，等号成立， 所以的最小值为2. 四、解答题 11．已知幂函数的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)判断的增减性，并证明； (3)求在上的值域． 【答案】(1) (2) 是上的增函数． 证明：函数的定义域是．    ，且，    有.    因为，    所以， 所以， 即幂函数是上的增函数． (3) 【分析】（1）利用幂函数的定义及待定系数法可得答案； （2）利用单调性定义证明即可； （3）利用幂函数的单调性可得答案. 【详解】（1）设，   代入点， 得：，解得，    所以． （2）略 （3）由（2）知在上单调递增，    所以，    ，    所以的值域为． 12．已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且． (1)求与的解析式： (2)求函数在上的最值． 【答案】(1)；. (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）结合幂函数和一次函数定义，通过待定系数法求解方程； （2）根据二次函数性质结合给定区间求解最值即可. 【详解】（1）设幂函数，因为过点， 代入得：，得，因此 . 设一次函数，由题意：，得， 又过点，则，解得，故. （2）由题意得：，对称轴为， 且，则最大值在对称轴处取得：； 由，，可得最小值为. 所以在上的最大值为，最小值为. 13．已知幂函数，其中m为整数. (1)求. (2)判断函数的奇偶性并加以说明. (3)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 为奇函数，证明如下： 的定义域为， ，， 所以为奇函数. (3)的最小值为. 【分析】（1）由幂函数的定义可得，结合m为整数，可得，即可求出幂函数； （2）由函数奇偶性的定义证明即可； （3）由基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】（1）幂函数，所以， 解得或， 因为m为整数，所以，所以. （2）略 （3）当， ， 因为，， ， ，， 当且仅当，即时取等. 故的最小值为. 14．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用幂函数的概念，结合奇偶性即可求解； （2）把不等式转化为一元二次不等式来求解即可； （3）利用的任意性，求出的最大值为4，利用的存在性，求出，从而可求解参数范围. 【详解】（1）由为幂函数，得，解得或， 当时，为偶函数，符合题意： 当时，为奇函数，舍去. 综上：. （2） 或， 所以的取值范围为. （3）因为对，都存在，使得都成立， ，其中， 函数在上单调递增，所以在时取到最大值为4. 即， 因为存在，使得成立， 又因为是关于的在单调递增函数， 或， 故实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 幂函数的图像与性质 1.掌握幂函数严格定义，能够精准分辨幂函数，掌握幂函数的判定标准。 2.熟记五大基础幂函数的定义域、奇偶性、单调性与图像样貌，记住所有幂函数过定点 3.能够根据幂指数正负、大小判断函数图像高低，掌握幂指数大小和图像位置的对应规律。 4.可以借助幂函数单调性比较实数大小，求解幂函数相关不等式，处理幂指数含参数的分类讨论问题，梳理全章节高频易错点 一、幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 二、五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 三、一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列 考点一、幂函数的概念与求值 例1　(1)下列函数中是幂函数的是（    ） ① ；②；③ ；④；⑤ ；⑥ . A．① ③ ⑤ B．① ② ⑤ C．③ ⑤ D．只有⑤ (2)已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 （3）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练1　(1)“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）有下列函数： ①；②； ③；④； ⑤；⑥. 其中是幂函数的有______（只填序号）. （3）已知，若是幂函数，且，则______. （4）已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 考点二、幂函数的图象及应用 例2　(1)如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． (2)如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为__________.（请用“”连接） 跟踪训练2　(1)幂函数及直线，，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数的图像经过的“卦限”是________．    (2)以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 考点三、比较幂值的大小 例3(1)设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a (2)已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 跟踪训练3 (1)已知，，，则（    ） A． B． C． D． （2）下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． （3）若，则（    ） A． B． C． D． 考点四、幂函数单调性的应用 例4 (1)“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 跟踪训练4 (1)已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． (2)设是幂函数，若，则的取值范围是______． (3)已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 考点五、幂函数性质的综合应用 例5 (1)（多选）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为增函数 C．若，则 D．若，则 (2)已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， （3）已知幂函数. (1)若函数在其定义域上是增函数，且，求实数a的取值范围； (2)若函数是偶函数，证明：，，. 跟踪训练5 (1)（多选）已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则或 D．当时，，若，则 (2)已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 （3）已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 一、单选题 1.下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 2.已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 3.已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 4．已知幂函数为偶函数，且，，，则（　 　） A． B． C． D． 5．已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.已知函数，在实数集上满足：对，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是（   ） A．为偶函数 B．若，则 C．为增函数 D．函数为偶函数 8．已知，是函数的图象上任意两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 9．幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 10．已知幂函数满足，且当时，，则的最小值为__________. 四、解答题 11．已知幂函数的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)判断的增减性，并证明； (3)求在上的值域． 12．已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且． (1)求与的解析式： (2)求函数在上的最值． 13．已知幂函数，其中m为整数. (1)求. (2)判断函数的奇偶性并加以说明. (3)若，求的最小值. 14．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $