第六周 第1天 函数应用（一） 暑假自学讲义 - 2026年新高一数学上学期人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第六周 第 1天 函数应用（一） 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 　1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题. (重点) 2.能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 用函数模型解决实际问题 💡知识梳理 用函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型. (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型. (3)求模：求解数学模型，得到数学结论. (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中. 可将这些步骤用框图表示如图. 知识点2 一次函数模型的应用 🎯例1某厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A地10台，B地8台．已知从甲地调运一台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运一台至A地、B地的运费分别为300元和500元．设从乙地调运x台至A地，总运费为y元． (1)求总运费y关于x的函数关系式． (2)若总运费不超过9 000元，问共有几种调运方案？ (3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费． 应用一次函数模型解决实际问题的注意点 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线，解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解. (2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数. 反思 归纳 🎯跟踪练习 1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km，之后以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s(km)与匀速行驶的时间t(h)之间的函数关系式，并求火车离开北京2 h时火车行驶的路程． 知识点3 二次函数模型的应用 🎯例2 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立二次函数模型解析式后，可结合实际问题确定定义域，利用配方法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题. (2)注意点：取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 反思 归纳 🎯跟踪练习 2某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，每生产1百台时，另需增加投入0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入(单位：万元)函数为R(x)＝5x－x2(0≤x≤5)，其中x是年产量(单位：百台). (1)将利润表示为关于年产量的函数； (2)年产量是多少时，企业所得利润最大？ 知识点4 分段函数模型的应用 🎯教材例题 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的关系如图所示， (1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(单位：km)与时间t的函数解析式，并画出相应的图象. 🎯例3 某科技企业决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本C(x)(万元).当年产量不足80台时，C(x)=x2+40x，当年产量不小于80台时，C(x)=101x+-2 180，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完. (1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式； (2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润. 应用分段函数时的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏. (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3)分段函数的值域或最值求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论. 反思 归纳 🎯跟踪练习3 已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t(单位：时)满足0<t≤24，t∈N.经测算，当16≤t≤24时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数为5 000，当0<t<16时，候车人数相对于满厅人数会减少，减少人数与t(16-t)成正比，且时间为6时，候车人数为3 800，记候车厅候车人数为f(t). (1)求f(t)的表达式，并求当天中午11点时，候车厅候车人数； (2)铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供免费面包，数量为P=+400，则当t为何值时，需要提供的免费面包数量最少？ 知识点5 幂函数模型 🎯例4 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比． (1)写出函数解析式； (2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式； (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量(精确到1 cm3/s). 幂函数模型应用的常见题型及解题策略: (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式． (2)根据题意直接列出相应的函数关系式． (3)结合幂函数的性质求最值，有时需要用换元法解决． 反思 归纳 🎯跟踪练习4 某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xa(a为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为________万元． 自学小结 函数的应用（一） 1.知识清单： 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数模型 f(x)= 幂函数模型 f(x)=axα+b(a，b，α为常数，a≠0) 2.方法归纳：配方法、判别式法、换元法. 3.常见误区：函数的实际应用问题易忽略函数的定义域. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨(　　) A．820元 B．840元 C．860元 D．880元 2．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 3．某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如表所示： x/元 130 150 165 y/件 70 50 35 如果日销售量y是关于售价x的一次函数，那么，要使每天所获得的利润最大，每件产品的售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？ 4．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加成本100元，已知总收益(单位：元)满足函数： R(x)＝其中x为月产量． (1)将利润表示为月产量x的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第六周 第 1天 函数应用（一） 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 　1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题. (重点) 2.能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 用函数模型解决实际问题 💡知识梳理 用函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型. (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型. (3)求模：求解数学模型，得到数学结论. (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中. 可将这些步骤用框图表示如图. 知识点2 一次函数模型的应用 🎯例1某厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A地10台，B地8台．已知从甲地调运一台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运一台至A地、B地的运费分别为300元和500元．设从乙地调运x台至A地，总运费为y元． (1)求总运费y关于x的函数关系式． (2)若总运费不超过9 000元，问共有几种调运方案？ (3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费． 【解】　(1)y＝300x＋500(6－x)＋400(10－x)＋800·[12－(10－x)]＝200(x＋43)(0≤x≤6，x∈N). (2)当y≤9 000时，200(x＋43)≤9 000，解得x≤2.又x∈N，所以x＝0，1，2，故共有三种调运方案，总运费不超过9 000元． (3)在(1)中，当x＝0时，总运费最低，调运方案：乙地6台全调运至B地，甲地调运2台至B地，10台至A地，这时总运费y为8 600元． 应用一次函数模型解决实际问题的注意点 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线，解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解. (2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数. 反思 归纳 🎯跟踪练习 1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km，之后以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s(km)与匀速行驶的时间t(h)之间的函数关系式，并求火车离开北京2 h时火车行驶的路程． 【解】因为火车匀速行驶的总时间为(277－13)÷120＝(h)，所以0≤t≤. 因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为s＝13＋120t.火车离开北京2 h时火车匀速行驶的时间为2－＝(h)，此时火车行驶的路程s＝13＋120×＝233(km). 知识点3 二次函数模型的应用 🎯例2 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【解】　(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N). (2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润． 所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N). (3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，所以当x<60时，w随x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元． 利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立二次函数模型解析式后，可结合实际问题确定定义域，利用配方法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题. (2)注意点：取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 反思 归纳 🎯跟踪练习 2某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，每生产1百台时，另需增加投入0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入(单位：万元)函数为R(x)＝5x－x2(0≤x≤5)，其中x是年产量(单位：百台). (1)将利润表示为关于年产量的函数； (2)年产量是多少时，企业所得利润最大？ 【解】(1)依题意得，设利润为G(x)，则G(x)＝－(0.5＋0.25x)＝－x2＋4.75x－0.5(0≤x≤5). (2)由(1)可知，G(x)＝－x2＋4.75x－0.5(0≤x≤5)，当x＝4.75时，G(x)有最大值．故当年产量为4.75百台时，企业所得利润最大． 知识点4 分段函数模型的应用 🎯教材例题 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的关系如图所示， (1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(单位：km)与时间t的函数解析式，并画出相应的图象. 【解】 (1)阴影部分的面积为 50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360. 阴影部分的面积表示汽车在这5h内行驶的路程为360 km. (2)根据题图，有 s= 这个函数的图象如图所示. 🎯例3 某科技企业决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本C(x)(万元).当年产量不足80台时，C(x)=x2+40x，当年产量不小于80台时，C(x)=101x+-2 180，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完. (1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式； (2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润. 【解】(1)当0<x<80时，y=100x- -500=-x2+60x-500； 当x≥80时，y=100x--500=1 680- 于是y= (2)由(1)可知当0<x<80时， y=-(x-60)2+1 300， 当x=60时，y取得最大值为1 300； 当x≥80时，y=1 680-≤1 680-2=1 500， 当且仅当x=即x=90时， y取最大值为1 500， 综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1 500万元. 应用分段函数时的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏. (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3)分段函数的值域或最值求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论. 反思 归纳 🎯跟踪练习3 已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t(单位：时)满足0<t≤24，t∈N.经测算，当16≤t≤24时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数为5 000，当0<t<16时，候车人数相对于满厅人数会减少，减少人数与t(16-t)成正比，且时间为6时，候车人数为3 800，记候车厅候车人数为f(t). (1)求f(t)的表达式，并求当天中午11点时，候车厅候车人数； (2)铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供免费面包，数量为P=+400，则当t为何值时，需要提供的免费面包数量最少？ 【解】(1)当0<t<16时，设f(t)=5 000-kt(16-t)， f(6)=3 800，则k=20， f(t)=t∈N， f(11)=5 000-20×11×5=3 900， 故当天中午11点时，候车厅候车人数为3 900. (2)当0<t<16时， P=+400=20+80≥20×2+80=480， 当且仅当t=10时等号成立； 当16≤t≤24时， P=+400≥+400≈483. 又483>480， 所以当t=10时，需要提供的免费面包数量最少. 知识点5 幂函数模型 🎯例4 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比． (1)写出函数解析式； (2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式； (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量(精确到1 cm3/s). 【解】　(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数). (2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400， 所以k＝. 所以函数解析式为R＝·r4. (3)因为R＝·r4， 所以当r＝5 cm时，R＝×54≈3 086(cm3/s). 所以气体通过的管道半径为5 cm时，该气体的流量为3 086 cm3/s. 幂函数模型应用的常见题型及解题策略: (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式． (2)根据题意直接列出相应的函数关系式． (3)结合幂函数的性质求最值，有时需要用换元法解决． 反思 归纳 🎯跟踪练习4 某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xa(a为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为________万元． 【解】　由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xa中，得3a＝27，解得a＝3，故函数解析式为y＝x3(0≤x≤5).所以当x＝5时，y＝125. 答案：125 自学小结 函数的应用（一） 1.知识清单： 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数模型 f(x)= 幂函数模型 f(x)=axα+b(a，b，α为常数，a≠0) 2.方法归纳：配方法、判别式法、换元法. 3.常见误区：函数的实际应用问题易忽略函数的定义域. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨(　　) A．820元 B．840元 C．860元 D．880元 【解】设y＝kx＋b，则1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000，则y＝－10x＋9 000.令400＝－10x＋9 000，解得x＝860(元). 故选C. 2．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 【解】由题意知，长方体的底面积为4 m2，设该长方体容器的长为x m，则宽为 m. 设该容器的总造价为y元，则y＝20×4＋2×10，即y＝80＋20(x>0).　 方法一：因为函数g(x)＝x＋在区间(0，2]上单调递减，在区间[2，＋∞)上单调递增， 所以g(x)min＝g(2)＝4， 所以ymin＝80＋20×4＝160(元). 方法二：80＋20≥80＋20×2＝160，当且仅当x2＝4，即x＝2时取等号，所以最低总造价为160元． 答案：160 3．某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如表所示： x/元 130 150 165 y/件 70 50 35 如果日销售量y是关于售价x的一次函数，那么，要使每天所获得的利润最大，每件产品的售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？ 【解】设y＝ax＋b(a≠0) 则解得 所以y＝200－x. 当每件产品的售价为x元时，每件产品的销售利润为(x－120)元， 设每天的销售利润为S元，则S＝(200－x)×(x－120)＝－x2＋320x－24 000＝－(x－160)2＋1 600，120<x<200， 所以当x＝160时，S取得最大值1 600. 所以，要使每天所获得的利润最大，每件产品的售价应定为160元，此时每天的销售利润为1 600元． 4．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加成本100元，已知总收益(单位：元)满足函数： R(x)＝其中x为月产量． (1)将利润表示为月产量x的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少？ 【解】　(1)由题意得总成本G(x)＝20 000＋100x，利润f(x)＝R(x)－G(x)＝ (2)因为当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000， 所以当x＝300时，f(x)取得最大值，为25 000. 当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数， f(x)＜60 000－100×400＝20 000＜25 000. 所以当x＝300时，f(x)取得最大值，为25 000. 即每月生产300台仪器时，能获得最大利润，最大利润为25 000元． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $