第16讲 对数函数的图像与性质讲义-2026年新高一数学暑假衔接（人教A版）

第16讲 对数函数的图像与性质 1.牢记对数函数的标准定义，能区分标准对数函数和对数型复合函数，准确判断函数类型。 2.掌握底数大于1、底数大于0小于1两类对数函数的图像特点，熟记定义域、值域、定点、单调性全部基础性质。 3.可以利用单调性比较对数式大小、求解对数不等式，处理底数含参数的分类讨论问题。 4.掌握对数函数平移、对称翻折的图像变换规律，能求解复合对数函数定义域、单调区间，归纳常见易错点 一、对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 二、对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 三、不同底的对数函数图象的相对位置 一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴； 对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴． 四、反函数的概念 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． (1)y＝ax的定义域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域． (2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称． (3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同． 考点一、对数函数的概念及应用 例1　(1)下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． (2)已知，则（    ） A．2 B．1 C． D． 跟踪训练1　(1)下列函数表达式中，是对数函数的有（    ） ①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝log2(x＋1)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2）已知，则___________． 考点二、求对数函数的解析式 例2　(1)若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为________． (2)已知函数． (1)求函数的解析式； (2)解方程． 跟踪训练2　(1)已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为__________. (2)若点都在同一个对数函数的图象上，则t等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 （3）已知对数函数的图象过点． (1)求的解析式； (2)解方程． 考点三、对数函数的定义域问题 例3　(1)函数的定义域为（    ） A．R B． C． D． (2)函数的定义域为__________． 跟踪训练3 (1)函数定义域是，则的定义域是（     ） A． B． C． D． （2）函数的定义域是（    ） A．或 B．或 C．或 D． （3）若函数的定义域是，则实数的取值范围是________． 考点四、对数函数的值域问题 例4 (1)函数的值域为__________． (2)已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． （3）若函数的值域为，则实数的取值范围为________. 跟踪训练4 (1)已知，函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． (2)已知函数，，则函数的值域为______． （3）已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点五、对数函数图像的应用 例5 (1)若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． (2)函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 跟踪训练5 （1）（多选）已知，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． （2已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 考点六、对数（型）复合函数的单调性 例6 (1)函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． （2）是函数在区间上单调递增的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 （3）．已知函数在上单调递减，则的取值范围为________． 跟踪训练6 （1）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． （2）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． （3）已知函数（且）的图象过点． (1)求a的值； (2)若 （i）求的定义域并判断其奇偶性； （ii）求的单调递减区间． 考点七、对数函数的比大小问题 例7 (1)已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． （2）设，，，则的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 跟踪训练7 （1）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． （2）设 ，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点八、对数函数的综合应用 例8 (1)已知. (1)当时，判断在区间上的单调性，并证明你的结论； (2)若在区间上的最大值比最小值大1，求实数的值. （2）已知函数 (1)求函数的单调递增区间； (2)若对任意恒成立，求的取值范围． 跟踪训练8 （1）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值； (2)判断的单调性并加以证明； (3)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． （2）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值； (2)判断的单调性并加以证明； (3)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 一、单选题 1．若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 2.函数的定义域为（     ） A． B． C． D．R 3.已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）若（，且），则函数的大致图象可能为（    ） A． B．C．D． 6．函数（且）的图象过定点，若正数，，满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 二、多选题 7．已知函数，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则或 C． D．无最值 8．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 三、填空题 9．函数的单调递减区间为_____． 10．若函数的值域为，则的取值范围是________. 四、解答题 11．已知（且）． (1)若，求方程的解集； (2)若，求的取值范围． 12．已知函数，其中， (1)求的定义域； (2)若，求a的值； (3)讨论的单调区间． 13．（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 14．已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 对数函数的图像与性质 1.牢记对数函数的标准定义，能区分标准对数函数和对数型复合函数，准确判断函数类型。 2.掌握底数大于1、底数大于0小于1两类对数函数的图像特点，熟记定义域、值域、定点、单调性全部基础性质。 3.可以利用单调性比较对数式大小、求解对数不等式，处理底数含参数的分类讨论问题。 4.掌握对数函数平移、对称翻折的图像变换规律，能求解复合对数函数定义域、单调区间，归纳常见易错点 一、对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 二、对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 三、不同底的对数函数图象的相对位置 一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴； 对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴． 四、反函数的概念 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． (1)y＝ax的定义域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域． (2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称． (3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同． 考点一、对数函数的概念及应用 例1　(1)下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的定义可得. 【详解】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. (2)已知，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】由题设. 跟踪训练1　(1)下列函数表达式中，是对数函数的有（    ） ①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝log2(x＋1)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】根据对数函数的概念确定正确选项. 【详解】形如（且）的函数为对数函数， 故③④为对数函数， 所以共有个. 故选：B （2）已知，则___________． 【答案】 【分析】利用换元法求出函数的解析式，然后由内到外可计算得出的值. 【详解】对于，，令，则，所以， 故，，则，故. 故答案为：. 考点二、求对数函数的解析式 例2　(1)若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为________． 【答案】 【分析】设出函数解析式，再结合图象所过点求出参数即可. 【详解】设函数解析式为，且， 由函数的图象过点，得，即，解得， 所以该对数函数的解析式为为. 故答案为： (2)已知函数． (1)求函数的解析式； (2)解方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）在等式中，用替代，可得出，联立这两个等式，即可得出函数的解析式； （2）求出的值，然后直接解方程即可. 【详解】（1）由题意可知，函数的定义域为， 在等式中， 用替代可得， 所以，解得， （2）因为，由可得， 整理得，可得或，解得或. 跟踪训练2　(1)已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为__________. 【答案】. 【分析】利用奇函数的定义，将求时的解析式转化为时的情况，直接代入已知解析式即可. 【详解】解析：因为是奇函数，当时，， 所以当时，. 故答案为：. (2)若点都在同一个对数函数的图象上，则t等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据点求得对数函数为，再代入点运算即可. 【详解】设对数函数为（且）， 代入点可得，则，解得， 所以， 代入点可得，则， 可得，所以. 故选：C. （3）已知对数函数的图象过点． (1)求的解析式； (2)解方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法即可求解， （2）根据指对互化即可求解. 【详解】（1）由题意设(且)， 由函数图象过点可得， 即，所以， 解得，故． （2）方程，即， 所以，所以方程的解是． 考点三、对数函数的定义域问题 例3　(1)函数的定义域为（    ） A．R B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数真数恒大于0的性质，列不等式求解即可得到函数定义域. 【详解】对于对数函数（且），其真数必须满足, 因此要使有意义，需满足真数大于0，即 ，解得， 故函数的定义域为 (2)函数的定义域为__________． 【答案】 【详解】由题意可知，得，解得． 所以函数的定义域为． 跟踪训练3 (1)函数定义域是，则的定义域是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数定义域是，所以， 解得，所以的定义域是 （2）函数的定义域是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】直接由对数函数及幂函数的性质列不等式组，再解不等式组可得. 【详解】要使函数有意义，则， 由，得，解得或； 由，得，解得或. 因此不等式组的解集为或. 所以函数的定义域为或. （3）若函数的定义域是，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】将题设条件等价转换成不等式恒成立进行求解． 【详解】依题意得，对任意的，都有恒成立， 所以，故得，即对任意的恒成立， 则，即，解得， 故实数的取值范围是． 考点四、对数函数的值域问题 例4 (1)函数的值域为__________． 【答案】 【分析】由及对数函数的性质，可得到的取值范围，进而得到的取值范围，从而得到的取值范围，即可求得函数的值域. 【详解】因为，所以，， 所以，即的值域为． 故答案为：. (2)已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，由，得， ， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. （3）若函数的值域为，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】分别求出和时值域，要使函数的值域为，则两部分值域的并集要覆盖所有实数，再列不等式求实数的取值范围即可. 【详解】当时，，因为对数函数在单调递增，所以在单调递减， 所以，因此当时，值域为； 当时，开口向上，对称轴为，所以； 因此当时，值域为； 要使函数的值域为，则，解得. 跟踪训练4 (1)已知，函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段求出函数的取值范围，即可得解. 【详解】因为，， 当时，，在上为减函数， 所以. 当时，， 因为，所以在上为增函数， 所以. 综上，的值域为. 故选：C. (2)已知函数，，则函数的值域为______． 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，由对数函数和二次函数的性质即可求解． 【详解】，， 的定义域为，解得， 所以函数的定义域为， ， 又 ，又， ，即函数的值域为. 故答案为：. （3）已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算分段函数在每段上的值域，再取并集，根据并集为即可求出范围. 【详解】因在上单调递增，故， 若，则在上单调递减， 因，故， 此时不满足值域为； 若，则在上单调递增， 因，故， 若值域为，则，即， 综上，实数a的取值范围是. 故选：A 考点五、对数函数图像的应用 例5 (1)若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合排除法，根据指数函数与对数函数的图象判断． 【详解】因为，所以， 所以是减函数，且时，，是增函数， 排除选项BD，又的定义域为，故排除选项A，只有选项C满足． (2)函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 【答案】 【详解】因为，所以，即， 所以函数的图象恒过定点. 跟踪训练5 （1）（多选）已知，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数函数以及对数函数的图像分析求解即可. 【详解】由且，可得. 所以，. 当时：函数在上单调递增，且过点. 函数在上单调递增，所以在上单调递减，且过点. 选项B中，一条曲线过且递增，另一条曲线过且递减，符合. 当，函数在上单调递减，且过点. 函数在上单调递减，所以在上单调递增，且过点. 选项D 中，一条曲线过且递减，另一条曲线过且递增，符合. （2已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】由对数函数性质确定，，进而得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以函数的图象过定点， 所以，，代入得. 所以， 当且仅当时等号成立，即，时等号成立. 考点六、对数（型）复合函数的单调性 例6 (1)函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的定义域，根据复合函数单调性的求法，结合二次函数、对数函数的性质，即可得答案. 【详解】由题意得，令，解得或， 的定义域为， 设，， 根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又因为在为增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为. （2）是函数在区间上单调递增的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】先由复合函数单调性得出内层二次函数需单调递减且恒大于0的条件，从而得到函数递增的充要条件为 ；再将此范围与题干条件 比较，通过判断两者之间的推出关系确定条件类型． 【详解】设，则， 因为在定义域内单调递减，要使在上单调递增，需在上单调递减且恒大于0， 二次函数的图象开口向上，对称轴为，因为在上单调递减，所以， 又因为对任意恒成立，所以，即，解得， 因此，函数在区间上单调递增的充要条件为， 若，显然，所以必要性成立； 但不能保证，所以充分性不成立； 所以，“”是函数在上单调递增的必要不充分条件． （3）．已知函数在上单调递减，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】结合复合函数单调性与定义域分情况建立不等式求解可得. 【详解】设，. 由函数 在上单调递减， 则函数在上单调递减，且在上恒成立， 当时，函数在上单调递减， ，符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上所述，的取值范围为. 跟踪训练6 （1）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数定义域，根据复合函数单调性分析判断即可. 【详解】令，解得，可知函数的定义域为， 因为在定义域内单调递减， 且在内单调递增，在内单调递减， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的单调递减区间是. （2）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用复合函数单调性，对数函数底数和真数取值范围解题即可. 【详解】令，则函数可看成由 与复合而成， 因为对数的底数且，所以是单调递减函数， 又因为函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可以得到， 又在区间上，作为的真数要大于0恒成立， 所以，所以， 综上所述实数的取值范围为. （3）已知函数（且）的图象过点． (1)求a的值； (2)若 （i）求的定义域并判断其奇偶性； （ii）求的单调递减区间． 【答案】(1)2 (2)（i）；偶函数（ii） 【分析】（1）将点的坐标代入函数式即可求得； （2）（i）求出的表达式，根据真数大于零可求得定义域，根据与之间的关系得到奇偶性；（ii）复合函数根据“同增异减”原则可得到单调递减区间. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点， 所以，所以； （2）（i）根据（1）可得， 所以，， 则， ，解得， 所以的定义域为，显然定义域关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （ii）因，的定义域为， 令，则， 函数在定义域上单调递增，而函数在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可得的单调递减区间为. 考点七、对数函数的比大小问题 例7 (1)已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，分别判定、、与、的大小关系，即可比较三者大小. 【详解】，，， 故. （2）设，，，则的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，借助中间值和，比较大小即可求解. 【详解】因为指数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即， 所以，即. 故选：B. 跟踪训练7 （1）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性判断大小即可. 【详解】由函数是内的单调减函数，， 所以， ， 由函数是上的单调增函数，所以， 而，， 所以． 故选：A. （2）设 ，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】引入中间值0和1，判断的大小. 【详解】因为，，又，所以， ，所以. 考点八、对数函数的综合应用 例8 (1)已知. (1)当时，判断在区间上的单调性，并证明你的结论； (2)若在区间上的最大值比最小值大1，求实数的值. 【答案】(1) 单调递减， 证明：当时，， 设， 则， 因为，且为增函数，所以， 所以，所以在区间上的单调递减. (2)或 【分析】（1）由函数的单调性定义结合对数函数的单调性证明即可； （2）由复合函数的单调性结合对数的运算分和讨论即可； 【详解】（1）略 （2）当时，由复合函数的单调性可得在区间上单调递减， 所以， 即； 当时，由复合函数的单调性可得在区间上单调递增， 所以， 即， 综上，或. （2）已知函数 (1)求函数的单调递增区间； (2)若对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据对数的运算法则，对进行化简整理，利用换元法，结合二次函数的性质及复合函数单调性，即可得答案. （2）根据已知定义域结合对数函数值域化简，再构造函数应用单调性得出最值进而得出参数范围. 【详解】（1）由题意 ， 令， 则为开口向上，对称轴为的抛物线， 又因为在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，解得， 所以根据复合函数单调性得函数的单调递增区间为. （2）因为对任意恒成立，且， 所以，化简得恒成立， 令， 则在上单调递增， 所以，即得， 又因为恒成立，所以，所以. 所以的取值范围为． 跟踪训练8 （1）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值； (2)判断的单调性并加以证明； (3)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)在区间和单调递增，证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据奇函数的定义，结合对数的运算性质求解即可； （2）根据对数的单调性、单调性的定义进行求解即可； （3）根据奇函数的性质，结合换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为是奇函数， 所以，即，则， 故，则，由于x不恒为常数，则，即， 当时，，不满足题意； 当时，由，得或， 所以的定义域为，关于原点对称， 又，所以满足题意， 综上，． （2）在区间和单调递增，证明如下： 的定义域为， 当时，因为， 令，则，取， 则，即， 因为在其定义域上单调递增，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 因为是奇函数，所以在上也是单调递增， 因此在区间和单调递增； （3）因为为奇函数， 所以由，得， 因为在其定义域上单调递增， 所以在上恒成立，则恒成立， 令，则，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以． （2）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值； (2)判断的单调性并加以证明； (3)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)在区间和单调递增，证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据奇函数的定义，结合对数的运算性质求解即可； （2）根据对数的单调性、单调性的定义进行求解即可； （3）根据奇函数的性质，结合换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为是奇函数， 所以，即，则， 故，则，由于x不恒为常数，则，即， 当时，，不满足题意； 当时，由，得或， 所以的定义域为，关于原点对称， 又，所以满足题意， 综上，． （2）在区间和单调递增，证明如下： 的定义域为， 当时，因为， 令，则，取， 则，即， 因为在其定义域上单调递增，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 因为是奇函数，所以在上也是单调递增， 因此在区间和单调递增； （3）因为为奇函数， 所以由，得， 因为在其定义域上单调递增， 所以在上恒成立，则恒成立， 令，则，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以． 一、单选题 1．若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是对数函数的定义，根据定义求出符合条件的参数. 【详解】函数是对数函数， 且， 解可得或，，故选：C． 2.函数的定义域为（     ） A． B． C． D．R 【答案】B 【分析】由对数函数的真数大于零，进而求解. 【详解】由题意得：， 所以的定义域为. 3.已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指对数函数的单调性，通过中间量0和即可比较大小. 【详解】因为，所以． 4．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 因为在区间上单调递增，且为减函数， 由复合函数单调性知在上单调递减， 则有解得， 故的取值范围是， 故选：B． 5．（多选）若（，且），则函数的大致图象可能为（    ） A． B．C．D． 【答案】BD 【分析】对进行分类讨论，结合特殊值排除法来确定正确答案. 【详解】当时，， 即，解得， 对于函数，即是增函数， ，排除C选项，D选项符合. 当时，， 所以，所以， 所以，解得， 对于函数，是减函数， ，排除A选项，B选项符合. 6．函数（且）的图象过定点，若正数，，满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据对数函数性质求出定点确定、的值，再将式子变形，最后利用乘1法结合基本不等式求最值. 【详解】对于对数函数 ， 令，解得 ， 此时，因此函数过定点， 得 ，由条件 可得： ，即 ， 由 ，代入得： 利用1的代换结合基本不等式： 当且仅当成立时，等号成立， 结合 ，得 ，满足正数条件， 所以 . 所以当时，取最小值，最小值为. 二、多选题 7．已知函数，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则或 C． D．无最值 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，由，得，解得； 当时，由，得 ，解得， 综上或，A错误； 对于B，当时，由，得，解得； 当时，由，得，解得， 综上，或，B正确； 对于C，因为 ， 所以 ，C正确； 对于D，当时，，当时，， 所以，的值域为，D正确． 8．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【分析】求出函数的定义域，结合复合函数的单调性判断A、B，求出，即可判断C、D. 【详解】对于A、B：因为函数，则，解得， 所以的定义域为， 又， 令，，则， ∵在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， ∴在上单调递增，在上单调递减，故A、B正确； 对于C：因为， 故不恒成立， 所以的图象不关于点对称，故C错误； 对于D：∵函数, ∴，即， 即的图像关于直线对称，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 9．函数的单调递减区间为_____． 【答案】 【分析】结合复合函数“同增异减”的单调性规则，先求定义域再推导内层函数的对应单调区间即可 【详解】由题意可知，整理得， 解得定义域为，令， 由于底数，因此外层函数在上单调递减， 要使复合函数单调递减，需内层函数在定义域内单调递增， 是开口向下的二次函数，对称轴为，其单调递增区间为， 将该区间与定义域取交集，得， 因此函数的单调递减区间为. 10．若函数的值域为，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】先通过函数单调性，求出分段函数在上的值域，再通过对参数的范围讨论，通过二次函数的性质求出函数在上的值域，通过并集为全集求出参数的范围，从而求得结果. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以当时，， 令，， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递增， 则，即函数的值域为， 要想函数的值域为，则，即，所以， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递减，在上单调递增，则，即函数的值域为， 因为，所以此时函数的值域为，即， 综上所述：. 四、解答题 11．已知（且）． (1)若，求方程的解集； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，则， 因为， 所以， 化简可得， 即， 化简得， 所以， 所以或，解得或. （2）由，且， 若，对数函数单调递减，则，， 若，对数函数单调递增，则，， 综上，的取值范围是． 12．已知函数，其中， (1)求的定义域； (2)若，求a的值； (3)讨论的单调区间． 【答案】(1)； (2)4； (3)单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】（1）根据对数函数的成立的条件建立不等式组即可求出函数的定义域； （2）把代入的解析式，即可求出a的值； （3）利用对数的运算性质化简的解析式，结合复合函数单调性的关系进行求解即可. 【详解】（1）由条件，要使函数有意义，须有： ，解得：， 故的定义域为； （2）由得 ，即，得，满足， 故若，； （3）由条件得：, 由（1）知， 令，，该函数的图象是开口向下，对称轴为的抛物线， 故的单调递增区间为，单调递减区间为， 又，可得在定义域上是单调递增的，根据复合函数单调性的关系， 可得的单调递增区间为，单调递减区间为. 13．（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 【答案】（1）的取值范围是，值域为； （2）的取值范围是，定义域为 【分析】（1）分析可知，可求出的取值范围，再利用配方法结合对数函数的单调性可求出原函数的值域； （2）分析可知，可求出的取值范围，由可求出原函数的定义域. 【详解】（1）函数的定义域为，即恒成立， 则恒成立，所以． 此时，， 所以的取值范围是，函数的值域为； （2）函数的值域为，即真数必能取遍所有正数， 二次函数的图象不可能全在轴上方， ，所以或． 所以实数的取值范围是， 由得或． 所以函数的定义域为． 14．已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由对数函数的值域可得真数对应的二次函数的判别式大于等于，从而可得所求取值范围； （2）令，并结合定义域可得函数单调递增区间，从而可得所求取值的范围； （3）将不等式转化为，由单调性可得，所以只需，进而转化为，方法一：根据二次函数的在闭区间的最值问题分类讨论可得；方法二：通过参数分离可得及，分别求两个函数的最值可得. 【详解】（1）因为函数的值域为，所以能取到大于的所有值， 所以，解得或， 因此实数的取值范围为． （2）当时，． 令，得或， 又， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上单调递增， 因为题中在上单调递增，所以实数的取值范围为． （3）因为，使得成立，所以． 因为在时单调递减， 所以， 即，即成立． 方法一：设，其图象的对称轴为直线． 当时，只需，解得； 当时，只需，解得； 当时，只需，无解． 综上，得，即实数的取值范围为． 方法二：成立，等价于成立， 所以． 记，则在上单调递增， 所以，所以. 成立，等价于成立，所以． 记，则（当且仅当时取等号）， 所以，所以， 综上，，即实数的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $