第14讲 指数函数的图像与性质 讲义-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

第14讲 指数函数的图像与性质 1.精准牢记指数函数严格定义，区分指数函数与普通指数型函数，能判断解析式是否为标准指数函数。 2.掌握底数大于1、底数大于0小于1两类指数函数的图像样貌，熟记定义域、值域、单调性、定点等全部基础性质。 3.熟练运用单调性比较指数式大小，求解简单指数不等式，能结合定义域限制完成参数取值范围求解。 4.掌握指数函数常见平移、翻折变换规律，能画出复合指数函数简图，总结图像相关高频易错点 一、指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 二、指数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 三、解指数方程、不等式 简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解． 四、指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 考点一、指数函数的概念 例1　(1)若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 (2)（多选）下列函数中，不是指数函数的为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1　(1)（多选）函数是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． （2）（多选）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D．（且） 考点二、求指数函数的解析式、函数值 例2　(1)函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 (2)指数函数（且）的图像过点，若时，；时，，则________． 跟踪训练2　(1)已知是奇函数，当时，且，又，则（    ） A． B． C． D． (2)已知指数函数 (1)当时，求的值； (2)若是指数函数，求解析式. 考点三、指数函数的图象及应用 例3(1)函数与的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   (2)如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（　　） A． B． C． D． （3）若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 跟踪训练3 (1)，，则图象不经过第（  ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 （2）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A． B． C． D． （3）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． （4）已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（   ） A． B．8 C． D． 考点四、指数型函数的定义域和值域 例4 (1)函数的定义域为___________． (2)已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． （3）求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 跟踪训练4 (1)已知函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． (2)函数的值域为______． (3)求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3). 考点五、比较大小 例5 (1)已知，那么（    ） A． B． C． D． (2)设，，，则（    ） A． B． C． D． （3）设，则（   ） A． B． C． D． 跟踪训练5 (1)设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a (2)设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． （3）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 考点六、指数（型）函数的单调性 例6 (1)若，则是的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 （2）函数的递增区间是________________． （3）已知（，且）． (1)求函数的定义域、值域； (2)讨论函数的单调性． 跟踪训练6 (1)设函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 （2）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． （3）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 考点七、指数函数的单调性的综合应用 例7 (1)若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． (2)已知函数，且，在区间上的最大值与最小值之差为，则（      ） A．2 B．4 C． D． （3）已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)当时，求的解析式； (2)求满足不等式的的取值范围． 跟踪训练7 (1)若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． (2)已知函数，若对任意实数，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （3）若函数，存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． （4）已知是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)判断的单调性，并利用定义加以证明； (3)若时，不等式有解，求实数的取值范围． 一、单选题 1.已知，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知函数为奇函数，则（   ） A．4 B．2 C． D． 3.已知，则（ ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则的值是（    ） A． B．27 C． D．9 5．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6.已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列选项正确的是（     ） A．函数是指数函数，则 B．指数函数（，且）的值域为 C．函数（，且）的图象可以由的图象向右平移一个单位长度得到 D．函数（，且）恒过定点 8．函数，其中且，则下列结论正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．方程在R上有解 C．函数的图象过定点 D．当时，函数在其定义域上为增函数 三、填空题 9．对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 ____. 10．对，记则函数的最小值为______. 四、解答题 11．已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 12．已知函数，其中． (1)讨论函数的奇偶性； (2)当时，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 13．已知函数（，且，）. (1)若的图象过点和，求的解析式和值域； (2)当时，在区间上的最大值比最小值大，求的值. 14．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)用定义证明在上是单调递减函数； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 指数函数的图像与性质 1.精准牢记指数函数严格定义，区分指数函数与普通指数型函数，能判断解析式是否为标准指数函数。 2.掌握底数大于1、底数大于0小于1两类指数函数的图像样貌，熟记定义域、值域、单调性、定点等全部基础性质。 3.熟练运用单调性比较指数式大小，求解简单指数不等式，能结合定义域限制完成参数取值范围求解。 4.掌握指数函数常见平移、翻折变换规律，能画出复合指数函数简图，总结图像相关高频易错点 一、指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 二、指数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 三、解指数方程、不等式 简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解． 四、指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 考点一、指数函数的概念 例1　(1)若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【详解】由指数函数的定义得，解得. (2)（多选）下列函数中，不是指数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据指数函数的定义即可判断． 【详解】对于A，中底数，指数是自变量，指数式的系数为，所以是指数函数，故A不合题意； 对于B，中指数不是自变量，所以不是指数函数，故B符合题意； 对于C，中底数必须满足且时，才是指数函数，故C符合题意； 对于D，中指数式的系数不为1，所以不是指数函数，故D符合题意， 故选：BCD． 跟踪训练1　(1)（多选）函数是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可得出实数的值. 【详解】因为函数是指数函数， 则，解得. 故选：ACD. （2）（多选）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D．（且） 【答案】AD 【分析】根据指数函数的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，为指数函数； 对于B选项，不是指数函数； 对于C选项，不是指数函数； 对于D选项，当且时，且， 则（且）为指数函数. 故选：AD. 考点二、求指数函数的解析式、函数值 例2　(1)函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】运用代入法进行求解即可. 【详解】因为函数且的图象过点， 所以，或舍去， 故. 故选：A (2)指数函数（且）的图像过点，若时，；时，，则________． 【答案】64 【分析】将点代入解析式得出，进而由解析式得出. 【详解】因为指数函数（且）的图像过点， 所以或（舍）. 若时，；时，， 因此. 故答案为：64. 跟踪训练2　(1)已知是奇函数，当时，且，又，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数的性质求出的值，再结合可求出的值，可得出在时的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】因为函数是奇函数，当时，且， 则，即，所以，， 所以，当时，，故， 故选：C. (2)已知指数函数 (1)当时，求的值； (2)若是指数函数，求解析式. 【答案】(1)2; (2). 【分析】（1）当时，求出的解析式，进而求解; （2）根据为指数函数，求解出的值，进而求出解析式. 【详解】（1）当时，, 所以. （2）因为是指数函数， 所以, 解得；或且且， 即, 所以. 考点三、指数函数的图象及应用 例3(1)函数与的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据指数函数和幂函数的图象和性质直接判断即可. 【详解】函数为单调递减的指数函数，且过点，其值域为，排除B，D. 函数为幂函数，定义域和值域都是，且单调递增，过点. 故选：A. (2)如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，结合图象即可得到. 【详解】当时，越大，越大．的值小于的值小于的值小于的值. 故选：D. （3）若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令可得，当时，由题意可得，解得. 跟踪训练3 (1)，，则图象不经过第（  ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】根据指数函数图象的性质，结合图像的平移判断选项. 【详解】已知指数函数，，函数为减函数， 函数图象恒过，且，，因此函数经过第一，第二象限， 则函数的图象是由函数的图象向下平移个单位得到，又，则函数经过第二，第三，第四象限. 故选：A （2）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用指数函数与幂函数的性质，分类讨论，结合排除法，即可求解. 【详解】由函数和， 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越快， 函数在定义域为单调递增函数，可排除A和B项； 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越慢， 函数在定义域为单调递减函数，可排除C项. 故选：D. （3）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象平移结合题中函数图象分析判断即可. 【详解】因为函数的图象是由指数函数向下平移而得到， 由图可知，解得． 故选：D. （4）已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】通过令指数部分为0求出定点坐标，代入直线得到线性关系，再运用基本不等式求最小值即可. 【详解】令，即，，所以恒过定点， 因为点在函数的图象上，则有， ， 当且仅当，即时等号成立. 则的最小值为. 考点四、指数型函数的定义域和值域 例4 (1)函数的定义域为___________． 【答案】． 【分析】根据指数函数定义域及根号下大于等于0且分母不等于0得到不等式，解出即可. 【详解】由题意得，解得，则其定义域为. 故答案为：. (2)已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性求出函数值域. 【详解】函数在上单调递增，则， 所以的值域为. 故选：A （3）求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 【答案】(1)定义域为，值域为. (2)定义域为，值域为 【分析】（1）根据指数函数的性质和分母不为0进行求解即可. （2）根据指数函数的定义域和性质进行求解即可. 【详解】（1）由，得， 函数的定义域为． ， ．的值域为． （2）函数的定义域为． ． 故的值域为． 跟踪训练4 (1)已知函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知函数得单调性求闭区间上的函数值域即可. 【详解】因为是增函数，所以当时，，即， 所以的取值范围为. 故选：D. (2)函数的值域为______． 【答案】 【分析】根据指数复合函数值域计算求解. 【详解】因为， ，当时取最小值0． 所以值域为. 故答案为：. (3)求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，且 (2)R， (3)， 【分析】求函数定义域即求使函数有意义的自变量的取值范围，在函数定义域下结合函数单调性即可求得函数的最值，从而得到函数值域. 【详解】（1）满足，定义域为. ，，的值域为且. （2）定义域为R.，， 此函数的值域为. （3）由题意知，， ，定义域为. ，.又，. ，，此函数的值域为. 考点五、比较大小 例5 (1)已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数单调性判断的范围，再结合指数函数和幂函数单调性比较大小关系即可. 【详解】指数函数，底数，因此是上的减函数, 原不等式可改写为：, 根据减函数性质：函数值越小，对应指数越大，得：. 指数函数，底数，因此是减函数， 因为，所以. 幂函数，指数，因此在上是增函数. 因为，所以 所以 (2)设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 因为，且， 所以，即， ，因为，幂函数在上单调递增，， 所以，因此，即， ， 因为，，所以， 因为，所以，即， 因此. （3）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 跟踪训练5 (1)设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . (2)设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为减函数，函数为增函数， 所以，所以. （3）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据函数在R上单调递减可知， 根据函数在上单调递增可知， 故， 故选：A 考点六、指数（型）函数的单调性 例6 (1)若，则是的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合指数函数单调性判断即得. 【详解】函数是R上的减函数，则. 故选：A （2）函数的递增区间是________________． 【答案】 【详解】因为是减函数，在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数的单调性，所以函数的递增区间是. （3）已知（，且）． (1)求函数的定义域、值域； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递增 【分析】（1）根据函数解析式直接求解定义域和值域； （2）结合指数函数的性质，利用定义法直接判断函数单调性即可. 【详解】（1）由，， 所以的定义域为， 又， 因为，所以，， 所以，， 即函数的值域为. （2）由（1）知，， ，则 ， 当时，单调递减，， 当时，单调递增，， 又因为， 所以当时，，即， 此时在上单调递减； 当时，，即， 此时在上单调递增. 跟踪训练6 (1)设函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 【答案】C 【分析】先利用奇偶函数的定义，判断出的奇偶性，再由指数函数的性质，即可求解. 【详解】易知的定义域为，又，所以是偶函数， 当时，，易知在区间单调递增， 故选：C. （2）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确复合函数的构成，根据同增异减确定单调区间. 【详解】函数由和复合而成， 因为，其单调递减区间是，单调递增区间是； 而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性知的单调递减区间是. （3）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数、指数函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定单调递增区间. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域上单调递减，则的单调递增区间为. 故选：D 考点七、指数函数的单调性的综合应用 例7 (1)若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上为增函数， 且在上为减函数，在上为增函数， 而在上单调递增，所以． (2)已知函数，且，在区间上的最大值与最小值之差为，则（      ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】讨论、，结合指数函数的单调性求区间最值，再由已知列方程求参数值，进而求函数值. 【详解】当时，在区间上的最大值为，最小值为， 所以，即，又，解得， 此时函数，所以， 当时，在区间上的最大值为，最小值为， 所以，方程无解. 综上，. 故选：B （3）已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)当时，求的解析式； (2)求满足不等式的的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）利用偶函数性质以及时的解析式即可求得结果； （2）根据偶函数在对称区间上的单调性得出不等式关系，即可解得的取值范围. 【详解】（1）由，则，所以， 因为是偶函数，所以． （2）易知在上单调递增， 由偶函数关于轴对称可得在单调递减， 所以由及定义域可得， 解得或． 跟踪训练7 (1)若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则在上单调递增，从而得到即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 令， 又因为单调递减，则在上单调递增， 则，所以实数的取值范围是. (2)已知函数，若对任意实数，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对任意实数，都有，得到，从而得到在上是单调递减函数，利用单调性得到的取值范围. 【详解】因为对任意实数，都有， 所以， 所以在上是单调递减函数， 所以， 所以实数的取值范围为，故选项A正确. （3）若函数，存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别讨论，和三种情况，根据的单调性及条件，分析求解，即可得答案. 【详解】当时，函数在和上都递增， 且当时，， 则函数不存在最小值； 当时，，则在上递增， 又，且时，，而， 所以函数的最小值为； 当时，在上递减，要使函数存在最小值， 则需在上递增， 当时，， 所以，解得， 此时，， 综上所述，． （4）已知是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)判断的单调性，并利用定义加以证明； (3)若时，不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)由（1）可得，设，且， 则， 因为，所以， 故，即， 因此在上单调递增. (3) 【分析】（1）运用奇函数的性质求解； （2）写出函数的表达式，再根据单调性进行证明； （3）将不等式变式，运用函数为奇函数和其单调性，将不等式转化为函数自变量的大小对比. 【详解】（1）由题可得，即恒成立，解得. （2）略 （3）由题可得， 因为在上单调递增，所以，即， 因为，所以，令， 因为与在上都为减函数， 所以也在上为减函数，只需让， 而，故. 一、单选题 1.已知，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为在上为递增函数，所以能推出，那么成立. 若，成立，但是推出，因此必要条件不成立. 综上所述，此为充分不必要条件. 2.已知函数为奇函数，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】依题意，因为是奇函数，所以，所以． 3.已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数是减函数，又， 则， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 4．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则的值是（    ） A． B．27 C． D．9 【答案】A 【分析】由函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交，可得出，再将原点坐标代入该函数的解析式可求出的值，由此可计算出的值. 【详解】由函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交，可得出， 又函数的图象过原点，则，可得， 因此. 故选：A 5．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数图象是由函数图象向左平移1个单位，作出函数的图象，即可求解. 【详解】作出函数的图象，如下图所示， 将的图象向左平移个单位得到图象. 故选：B 6.已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数定义域与复合函数单调性计算即可得. 【详解】令， 由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得. a的取值范围是. 二、多选题 7．下列选项正确的是（     ） A．函数是指数函数，则 B．指数函数（，且）的值域为 C．函数（，且）的图象可以由的图象向右平移一个单位长度得到 D．函数（，且）恒过定点 【答案】ABD 【分析】本题关键在于： 1.指数函数定义：必须满足 “系数为，底数且”； 2.图像平移：遵循 “左加右减，上加下减” 原则，注意是对自变量进行操作； 3.定点问题：令指数部分为，即可求出指数型函数恒过的定点. 【详解】对于A，且，，则，A正确； 对于B，不论，还是，值域都为，B正确； 对于C，的图象向左平移一个单位长度得到的图象，C错误； 对于D，令，则，，所以函数（，且）恒过定点，D正确． 故选：. 8．函数，其中且，则下列结论正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．方程在R上有解 C．函数的图象过定点 D．当时，函数在其定义域上为增函数 【答案】AB 【分析】根据函数单调性的性质，结合奇函数的定义、指数的运算法则、指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，且， 故为奇函数，A正确； 对于BC，，故方程在上有解，B正确，C错误； 对于D，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递减，D错误． 故选：AB. 三、填空题 9．对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 ____. 【答案】 【分析】先由函数图象经过定点推得，求出，再由图象过点确定的值即可. 【详解】因为函数 的图象恒过定点，所以， 解得，故. 又的图象也过点，则，则得， 因，故，所以. 故答案为：. 10．对，记则函数的最小值为______. 【答案】1 【分析】在同一坐标系内作出函数，的图象，结合图像分析求解即可. 【详解】在同一坐标系内作出函数，的图象，如图所示， 观察图象知，当时，；当时，； 当时，，因此 函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，函数取得最小值1. 故答案为： 四、解答题 11．已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 【答案】(1)的减区间为，增区间为 (2) 【分析】本题考查复合函数的性质，通过分析内层函数与外层函数的单调性与值域，即可求得函数的单调区间与值域. 【详解】（1）， 在上单调递增，在上单调递减， 又因为在上单调递减， 所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为. （2）令，则， 则，即的值域为. 12．已知函数，其中． (1)讨论函数的奇偶性； (2)当时，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，为偶函数；当时，为奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数； (2) 【分析】（1）应用奇函数及偶函数的定义计算，再应用特殊值法计算判断； （2）应用换元法计算，再结合指数函数及二次函数值域计算求解. 【详解】（1）因为的定义域为，所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，则， ，从而， 所以既不是奇函数也不是偶函数． （2）当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， ，因为， 所以实数的取值范围为． 13．已知函数（，且，）. (1)若的图象过点和，求的解析式和值域； (2)当时，在区间上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由，,求出的值，进而求解即可； （2）当时，在区间上单调递增，结合单调性的性质求解即可. 【详解】（1）由题可知，， 解得，，所以. 因为，所以，所以在上的值域为. （2）当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去），故. 14．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)用定义证明在上是单调递减函数； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 由（1）知，，， ，由，得，即， 因此，即，所以在上是单调递减函数. (3). 【分析】（1）利用奇函数的定义求出. （2）利用减函数的定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）由给定不等式分离参数，再利用指数函数性质求出最小值即可求出范围. 【详解】（1）由定义域为的函数是奇函数，得， 即，整理得，解得， 所以. （2）略 （3）不等式， 当时，，则，， 由存在，使得成立，得， 所以的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $